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高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:09
tags:高中数学压轴题

高中数学选修b版-高中数学教材陕西版

2020年10月6日发(作者:宁超男)


放缩技巧
(高考数学备考资料)

证明数列型不等式,因其思维跨度 大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能
全面而综合地考查学生的潜能与后继学 习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素
材。这类问题的求解策略往往是:通过多 角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进
行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几 种:

一、
裂项放缩

例1
.(1) 求
?
k?1
n
2
4k
2
?1
2
4 n
2
?1
1
?
n
2
n
的值; (2)求证:
?
1
?
5
.
2
k?1
k< br>3
解析:(1)因为
?
211
,所以
n
212n
??
?1??
?
2
(2n?1)(2n?1)2n?12n? 1
2n?12n?1
k?1
4k?1
4
(2)因为
n
1111
?
25

1
?
,所 以
?
1
?1?2
?
?
1
??
?
? ??1??
??
2
?
2
?2
?
?
?
k352n?12n?133
??
k?1
1
4n?1
?
2 n?12n?1
?
n
2
?
4
1
奇巧积累

: (1)
1441
?

?
1
?2
?
2
?2
?
?
?
2
n4n4n?1
?
2n?12n?1
?
r?1
r
?C
n
?
(2)
1211

???
12
C
n?1
C
n
(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)

(3)
T
1n!11111
??????(r?2)

rr
r!(n?r)!
n
r!r(r?1)r?1r
n
(4)
(1?
1
)
n
?1?1?
1
?
1< br>?
?
?
n2?13?2
15
?

n(n?1)2
1
?n?2?n

n?2
?
2n?12n?3
?
2
11
?
n?1< br>(2n?1)?2(2n?3)?2
n
(5)
111
?
n
?
nnn
2(2?1)2?12
(6)
21
?
1
(7)
2(n?1?n)?
1
?2(n?n?1)
(8)
?
?
??
?
n
?

n
(9)
111
?
111
?
11
??

?
?
?
?
,?
?
?
?
k(n?1 ?k)
?
n?1?kk
?
n?1n(n?1?k)k?1
?
nn?1?k
?
n11

??
(n?1)!n!(n?1)!
(10) (11)
1
n
?2(2n?1?2n?1)?
22
2n?1?2n? 1
?
n?
2
11
?n?
22

(11)
(12)

(13)
(14)
2
n
2
n
2
n
2
n?1
11

?????(n?2)
n2nnnnn n?1n?1n
(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12 ?1
1
n
3
?
1
n?n
2
?
??
1111

?
??
?
?
n(n?1)(n?1)< br>?
n(n?1)
?
?
n(n?1)
?
n?1?n?1


1
?
n?1? n?1
?
1
?
?
??
?
?
n?1
?
2n
?
n?1
11

?
n?1n?1

2
n
12
n
?
n
?
32?13
2
n?1
?2?2
n
?(3?1)?2
n
?3?3(2
n
?1)?2
n
?2
n
?1?
k?211

??
k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1)!(k?2)!

1
?n?n?1(n?2)

n(n?1)
(15)
22
(15)
i?1?j?1
?
i< br>2
?j
2
(i?j)(i
2
?1?j
2
?1 )
i?j
?
i?j
i
2
?1?j
2
?1< br>?1



例2
.(1)求证:
1?
11171
?
2
?
????(n?2)

22
62(2n?1)
35(2n?1)
( 2)求证:
1
?
1
?
1
???
1
?
1
?
1

2
41636
4n
24n
(3)求证:
1
?1?3
?
1?3?5
?
?
?
1?3?5?
?< br>?(2n?1)
?2n?1?1

22?42?4?62?4?6?
?
?2n
n
(4) 求证:
2(n?1?1)?1?
1
?
1
???
1
?2(2n?1 ?1)

23
解析:(1)因为
111
?
11
?
,所以 < br>??
?
?
?
2
(2n?1)(2n?1)2
?
2n?12n?1
?
(2n?1)
?
(2i?1)
i?1
n
1
2
111111

?1?(?)?1?(?)
232n?1232n?1
(2)
1
?
1
?
1
???
1
?
1
(1?
1
???
1
)?
1
(1?1?
1
)

222
41636
4n
4
2n
4n
(3)先 运用分式放缩法证明出
1?3?5?
?
?(2n?1)
?
2?4?6 ?
?
?2n
1
2n?1
,再结合
1
n?2
?n?2?n
进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先
再证
1
n
1
n
?2(n?1?n)?
2
n?1?n
22
,所以容易经过裂项得到
2(n?1?1)?1?
1
?
1
???1

23n
而由均值不等式知道这是显然成立的,
?2(2n?1?2 n?1)?
2n?1?2n?1
?
n?
2
11
?n?
22
所以
1?
1
?
1
?
?
?
1
?2(2n?1?1)

23n

例3.求证:
6n111 5
?1???
?
?
2
?

(n?1)(2n?1) 49n3
1
?
n
2
1
??
1
?
2
?2
?
?
?
1
4n?1
2n?12n?1
?
2
?
n?
4
14
解析: 一方面: 因为,所以?
k
k?1
n
1
2
11
?
25

?
11
?1?2
?
??
?
??
??1??
2n?12n?1
?
33
?
35
另一方面:
1?
1
?
1
?
?
?
1
?1?
1
?
1
?
?
?
2
49n2?33 ?4
11n

?1??
n(n?1)n?1n?1

n?3
时,

n?2
时,
所以综上有

6n111
n6n
,当
n?1
时,
?1???
?
?
2
?
(n?1)(2n?1)49n
n?1(n?1)(2n?1)
6n111
?1???
?
?
2
,
(n?1)(2n?1)49
n
,
6n1115
?1???
?
?
2
?

(n ?1)(2n?1)49n3
例4.
(2008年全国一卷)设函数
f(x)?x?x lnx
.数列
?
a
n
?
满足
0?a
明:< br>a
k?1
?b
.
1
1)
,整数
k

a
1
?b
?1
.
a
n?1
?f(an
)
.设
b?(a
1

.证
a
1lnb
解析: 由数学归纳法可以证明
?
a
n
?
是递增数列, 故 若存在正整数
m?k
, 使
a
m
?b
, 则
a
k?1
?a
k
?b
,

a
m
?b(m?k)
,则由
0?a
1
?a
m
?b?1

a
m
lna
m
?a
1
lna
m
?a
1
lnb?0
,
a?a?alna?a?
k
a lna
,
?
mmk?1kkk1
m?1
因为

?
a
m?1
k
m
lna
m
?k(a
1
lnb)
,于是
a
k?1
?a
1
?k|a
1lnb|?a
1
?(b?a
1
)?b



例5
.已知
n
,
m?N
?
,
x??
1,
S
m
?
1
m
?
2
m
?3
m
?
?
?n
m
,求证:
n
m?1
?(m?1)S
n
?(n?1)
m?1
?1
.
解析:首先可以证明:
(1?x)
n
?1?nx

n
m?1
?n
m?1
?(n?1)
m?1
?(n?1)
m?1
?(n?2)
m?1
???1
m?1
?0?
n
[k
m?1
?(k?1)
m?1
]
所以要证
?
k?1

n
m?1
?(m?1)S
n< br>?(n?1)
m?1
?1
只要证:
?
[k
m?1
?(k?1)
m?1
]?(m?1)
?
k
m
?(n ?1)
m?1
?1?(n?1)
m?1
?n
m?1
?nm?1
?(n?1)
m?1
???2
m?1
?
1m?1
?
?
[(k?1)
m?1
?k
m?1
]
k ?1k?1k?1
nnn

故只要证
?
[k
k?1
n
m?1
?(k?1)
m?1
]?(m?1)
?< br>k?
?
[(k?1)
m?1
?k
m?1
]
,
m
k?1k?1
nn
即等价于
k
m?1
?(k?1 )
m?1
?(m?1)k
m
?(k?1)
m?1
?k
m
,
即等价于
1?
m?1
?(1?
1
)
m?1
,1?
m?1
?(1?
1
)
m?1
而正是成立的,所以原命题成立.
kkkk

例6.已知
a
n?4
n
?2
n
,
T?
n
2
n
a
1
?a
2
?
?
?a
n
,求证:
T?T?T???T?
3
.
123n
2
nn
解析:
T?4
1
?4
2
?4
3
???4
n
?( 2
1
?2
2
???2
n
)?
4(1?4)
?
2(1?2)
?
4
(4
n
?1)?2(1?2
n
)

n
1?41?23
所以
2
n
2
n
3?2
n
32
n
T
n
??
n?1?
n?1
?
n?1
??
4
n
4442
4?3?2
n?1
?222?(2
n
)
2
?3?2
n
?1
(4?1)?2(1?2
n
)
??2?2
n?1??2
n?1
3
3333
2
n

?
32
n
3
?
11
?

???
n
?
n?1
?
nn
2(2?2?1)(2?1)2< br>?
2?12?1
?
1111
从而
T?T?T???T ?
3
?
?
?
1??????
n
123n
2
?
3372?1
1
2
n?1
?
3

?
?
?1
?
2

例7.已知
x
1
?1
,
x?
?
n(n?2k?1,k?Z)
,求证:
?
n
?
n?1(n?2k,k?Z)
1
4
1
4< br>x
2
?x
3
?
?
1
1
4
x
4
?x
5
?
?
?
?
2
1
4
x
2n
x
2n?1
?2(n?1?1)(n?N*)

证明:
4
1
x
2n
x
2n?1
?
(2n?1)(2n?1)
?
1
4
4n?1
1
2
?
1
4
,


4n
2
2
2?n
2
2n
?2(n?1?n)
因为
2n?n?n?1
,所以
4
x
2n
x
2n?1
?
2n
?
n?n?1
所以
4
1
x
2
?x
3
?
1
4
x
4
?x
5?
?
?
1
4
x
2n
x
2n?1
?2(n?1?1)(n?N*)

二、函数放缩
例8 .求证:
ln2
?
ln3
?
ln4
???
ln3< br>?3
n
?
5n?6
(n?N
*
)
.
n
23436
n
解析:先构造函数有
lnx?x?1?
lnx
?1?
1
,从而
ln2
?
ln3
?
ln4
???
ln3
n
xx
234
3
n
1 11

?3
n
?1?(????
n
)
23
3
n?1n?1
cause
1
?
1
?
?
?
23
?
39
?
3
1
?
11
??< br>111111
?
11
?
5
?
33
??
9
?
1
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
n
?
n
?
?
?
n
?
??
?
?
?
?
?
n?1
n< br>?
32?13
?
6
?
69
??
1827?
3
?
23
??
456789
??
2
?
2?3
?
5n

?
?
?
6
?< br>所以
ln2
?
ln3
?
ln4
?
?
?
ln3
?3
n
?1?
5n
?3
n
?5n?6

n
234
3
66
n



???
2
例9.求证:(1)
?
?2,
ln2
?
ln3
???
lnn
?
2 n?n?1
(n?2)

???
23n
2(n?1)
解析:构造函数
?
lnn
2
lnx
,得到
lnn
?
2
f(x)?
?
nn
x
2
,再进行裂项
l nn
?1?
1
?1?
22
nn
1
,求和后可以得到 答案
n(n?1)
函数构造形式:
lnx?x?1
,
lnn
?
?n
?
?1(
?
?2)

例10.求证:
1
?
1
???
1
?ln(n?1)?1 ?
1
???
1

23n?12n
解析:提示:
ln (n?1)?ln
n?1
?
n
???
2
?ln
n? 1
?ln
n
???ln2

nn?1
1

x
1nn?1
函数构造形式:
lnx?x,lnx?1?
y
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
f(x)?
1
,
x
E
F
O
A
n-in
D
C
B
x
首先:
S
A BCF
1
?
?
x
n?i
n
n
n
, 从而,
1
?i?
1
?lnx|
n
?lnn?ln(n?i)

n?i
?
n
n?i
x

i?1
有,
1
?lnn?ln(n?1)
,
所以有
1
?ln2< br>2
,
1
?ln3?ln2
,…,
1
?lnn?ln( n?1)
,
3
n
1
?ln(n?1)?lnn
,相加后可以 得到:
n?1
111
??
?
??ln(n?1)

23n?1
另一方面
S

i?1
有,
ABDE
1
?
?
n?i
x
n
,从而有
1
?i?
n?i
1

?lnx|
n
n?i
?lnn?ln(n?i )
?
n?i
x
n
1
?lnn?ln(n?1)
,
n?1
111

?ln(n?1)?1????
n?12n
所以有
ln(n?1)?1?
1
???
1
,所以综上有
1< br>?
1
???
2n
23

例11.求证:
(1 ?
1
)(1?
1
)???(1?
1
)?e

(1?
1
)(1?
2!3!n!
9
.解析:构造函数后即可证明
11
)?
?
?(1?
2n
)?e
81
3< br>,叠加之后就可以得到答案
3
n(n?1)?1

例12.求证:< br>(1?1?2)?(1?2?3)???[1?n(n?1)]?e
2n?3
解析:
函数构造形式:

例13.证明:
ln2
?
ln3
?
ln4
?
?
?
345
31?ln(1? x)3
(x?0)??(x?0)
x?1xx?1
ln[n(n?1)?1]?2?< br>ln(x?1)?2?
(加强命题)

lnnn(n?1)
?(n? N*,n?1)
n?14
f
'
(x)?0

1?x?2,令
f
'
(x)?0

x?2
,
解析:构造函数
f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1)
,求导,可以得到:

f
'
(x)?
12?x
,令
?1?
x?1x?1
所以
f(x)?f(2) ?0
,所以
ln(x?1)?x?2
,令
x?n
2
?1有,
lnn
2
?n
2
?1

所以
lnn
n?1
?
n?1
2
,所以
ln2
?
ln3
?
ln4
?
?
?
345
lnn n(n?1)

?(n?N*,n?1)
n?14



例14. 已知
a
1
?1,a
n?1
?(1?
11
证明
a?e
2
.
n
)a
n
?
n
.
n?n2
2
解析:
a
n?1
?(1?
,
1111
)a
n< br>?
n
?(1??
n
)a
n
n(n?1)n(n?1)
22
n?1
然后两边取自然对数,可以得到
lna?ln(1?

11
?
n
)?lna
n
n(n?1)
2

然后运用
ln(1?x)?x
和裂项可以得到答案)
放缩思路:
1 1
11
a
n?1
?(1?
n?n
2
?
2< br>n
)a
n
?
lna
n?1
?ln(1?
n? n
2
?
2
n
)?lna
n
?
?lnan
?
11
?
n
n?n2
2
n?1
i? 1
。于是
lna
n?1
?lna
n
?
11
?
n
n?n2
2


?
i?1
n?1
(lna
i?1
?lna
i
)?
?
111
(
2
?
i
)?lna
n
?lna
1
?1? ?
n
i?i2
1
1?()
n?1
11
2
? 2??
n
?2.
1
n
2
1?
2

lna
n
?lna
1
?2?a
n
?e
2
.

注:题目所给条件
ln(1?x)?x

x?0
)为一有 用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;
当然,本题还可用结论
2
n
?n(n?1)(n?2)
来放缩:

11
1
a?(1?)a? ?
n?1
n(n?1)
n
n(n?1)
a
n?1
? 1?(1?
n(n?1)
)(a
n
?1)?
ln(a
n?1
?1)?ln(a
n
?1)?ln(1?
n?1

n?1

11
11
?ln(a
n
?1)?ln( a
2
?1)?1??1
)?.
?
?
[ln(a
i? 1
?1)?ln(a
i
?1)]?
?
i(i?1)n
n(n ?1)n(n?1)
i?2i?2

ln(a
n
?1)?1?ln3 ?a
n
?3e?1?e
2
.



例16.(2008年福州市质检)已知函数
f(x)?xlnx.

a?0,b ?0,证明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).

解析:设函数
g(x)?f(x)?f(k?x),(k?0)

f(x)?xlnx,?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x),

?0?x?k.g
?
(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?ln
x
,
k?x
令g
?
(x)?0,则有
x2x?kk?1??0??x?k.
k?xk?x2
k
k
k
∴函数
g(x)在[,k
)上单调递增,在
(0,
k
]
上单调递减.∴g(x)
的最小值为
g()
,即总有
g(x)?g().

2
2
2
2
















g(
k
)?f(
k
)?f(k?
k
)?klnk
?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2,

2222
?g(x)?f(k)?kln2,


f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.


x?a,k?x?b,

k?a?b.

?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.

?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).



例15.(2008年厦门市质检) 已知函数
f(x)
是在
(0,??)< br>上处处可导的函数,若
x?f'(x)?
(I)求证:函数
g(x)?
f(x)
上是增函数;
在(0,??)
x
f(x)

x?0
上恒成立.
(II)当
x
1
?0,x
2
?0时,证明:f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
?x
2
)

(III)已知不等式
ln(1?x)?x在x??1且x?0
时恒成立,
求证:< br>1111n
ln2
2
?
2
ln3
2
?
2
ln4
2
???ln(n?1)
2
?
22
2( n?1)(n?2)
234(n?1)
(n?N
*
).

解析:(I)
g'(x)?
(II)因为

,所以函数上是增函数
f'(x)x?f(x)
f(x)
?0
g( x)?在(0,??)
2
x
x
g(x)?
f(x)
在(0, ??)
x
上是增函数,所以
f(x
1
)f(x
1
?x
2
)x
1

??f(x
1
)??f(x
1
?x
2
)
x
1
x
1
?x
2< br>x
1
?x
2
f(x
2
)f(x
1
? x
2
)x
2

??f(x
2
)??f(x
1
?x
2
)
x
2
x
1
?x
2x
1
?x
2
两式相加后可以得到
f(x
1)?f(x
2
)?f(x
1
?x
2
)

(3)

f(x
1
)
f(x
1
?x< br>2
?
?
?x
n
)
x
1
??f(x< br>1
)??f(x
1
?x
2
???x
n
)x
1
x
1
?x
2
?
?
?x
n
x
1
?x
2
?
?
?x
n
f(x< br>2
)
f(x
1
?x
2
?
?
?xn
)
x
2
……
??f(x
2
)??f(x< br>1
?x
2
???x
n
)
x
2
x1
?x
2
?
?
?x
n
x
1
? x
2
?
?
?x
n
f(x
n
)f(x
1
?x
2
?
?
?x
n
)x
n

??f(x
n
)??f(x
1
?x
2
???xn
)
x
n
x
1
?x
2
?
?< br>?x
n
x
1
?x
2
?
?
?x
n

相加后可以得到:
f(x
1
)? f(x
2
)???f(x
n
)?f(x
1
?x
2< br>???x
n
)

所以
x
1
lnx
1
?x
2
lnx
2
?x
3
lnx
3
???x
n
lnx
n
?(x
1
?x
2
?? ?x
n
)ln(x
1
?x
2
???x
n
)


x
n
?
1
(1?n)
2
,有
?
1111
?
1111
??
111
?
< br>2222
?
?
?
???
???
?
??ln? ?
?
?
?
2
2
ln2?
3
2
ln 3?
4
2
ln4?
?
?
(n?1)
2
ln (n?1)
?
?
?
?
222222
??
(n?1)
?
3(n?1)
2
?
??
?
234
??< br>2
?
1
??
11
?
n
?
111?
?
111
?
?
?
????
????
?
??
?
?
??
?
??ln??
?
??
?
2
2
3
2
2(n?1)(n?2)
(n? 1)n
?
(n?1)
2
?
?
?
n?1
??
2n?2
?
??
?
2?13?2

所以< br>1111n
ln2
2
?
2
ln3
2
?
2
ln4
2
???ln(n?1)
2
?
22
2( n?1)(n?2)
234(n?1)
ln(n?1)
2
ln41
?

?
1
???ln4
?
?
?
(n?1)( n?2)(n?1)(n?2)
?
n?1n?2
?
(n?N
*
).

(方法二)
ln(n?1)
2
(n?1)
2
所以
11111
?
nln4
?
1
ln2
2
?
2
ln3
2
?
2
ln4
2
?
?
?ln(n?1)
2
?ln4
?
?
?
?
2 2
234(n?1)
?
2n?2
?
2(n?2)


ln4?1?





1
,所以
1

111n
ln2
2
?
2
ln3
2
?
2
ln4
2
???ln(n?1)
2
?(n?N
*
).
22
n?1
2(n?1)(n ?2)
234(n?1)
三、分式放缩
姐妹不等式:
b
?
b?m
(b?a?0,m?0)

b
?
b?m
(a?b?0,m?0)

aa?m
aa?m
记忆口诀”小者小,大者大”


解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:
(1?1)(1?
1
)(1?
1
)
?
(1?
1
)?2n?1

352n?1
1111
(1?)(1?)(1?)
?
( 1?)?
2462n
1
2n?1
1
2n?1
也可以表示成为

1?3?5?
?
?(2n?1)
?
2?4?6
?
?2n
?2n?1
2?4?6?
?
?2n
1?3?5?< br>?
?(2n?1)
a
解析: 利用假分数的一个性质
b
?
b?m
(b?a?0,m?0)
可得
a?m

2
?
4
?
6
?
2n?
1352n?1
1352n?1
3572n?1
1352n?1

??
?
?
??
?
?
(2
n?
1)
2462n
2462n
?
(
2
?
4
?
6
?
2n
)
2
?2n?1

(1?1)( 1?
1
)(1?
1
)
?
(1?
35
1)?2n?1.

2n?1

111
例20.证明:
( 1?1)(1?)(1?)
?
(1?)?
3
3n?1.

473n?2
解析: 运用两次次分式放缩:
2583n?13693n

???
?
??.??
?
??
1473n?22583n?1
(加1)
(加2)
2583n?147103n?1

??????.?????
1473n?23693n
相乘,可以得到:
3n?1
?
47103n?11473n?2
?
258
< br>????
?
??(3n?1)
?
???
?
?
?
?.??
?
??
3n?2
?
2583n?12583n? 1
?
147
2
所以有
(1?1)(1?
1
)(1 ?
1
)
?
(1?
1
)?
3
3n?1.
473n?2

四、分类放缩
例21.求证:
1?
1
?
1
???
23
1n
?

2?1
2
n
解析:
1?
1
?< br>1
???
23
11111111
?1??(?)?(
3
?
3
?
3
?
3
)???

244
2?12222
n
(
1111n1n

?? ??)???(1?)?
2
2
n
2
n
2
n
2
n
2
2
n
n
例22.(2004年全国高中数学联赛加试 改编) 在平面直角坐标系
xoy
中,
y
轴正半轴上的点列
?A
?
与曲线
y?2x

x
≥0)上的点列
?< br>B
n
?
满足
OA?OB?
1
,直线
A
n
B
n
在x轴上的截距为
a
n
.点
B
n
的横坐标为
b
n
,
n?N
?
.
nnn
(1)证明
a
n
>
a
n?1
>4,
n?N
?
; (2)证明有
n
0
?N
?
,使得对< br>?n?n
0
都有
b
2
?
b
3
???
b
n
?
b
n?1
<
n?2008
.
b
1
b
2
b
n?1
b
n
解析:(1) 依题设有:
A

b
n
2
? 2b
n
?
n
?
1
?
,由
OB?
1
得:
n
?
0,
?
,B
n
b
n< br>,2b
n
,
?
b
n
?0
?
n
?
n
?
??
,又直线
A
n
B
n

11
,?b
n
??1?1,n?N
*
22
nn< br>
a
n
?
b
n
x
轴上的截距为
a
n
满足

2n
2
b
n
?1?n
2
b
n
2
?0,b
n
?2?
1
nb
n
2
?
a
n
?0
?
?
?
1
??
1
?
2b
n
?
?
?
?
0?
?
?
b
n
?0
?
n
??n
??

1?n2b
n
?a
n
?
b< br>n
1?n2b
n
b
n
12
??
2
? ?b
n
?2?2b
n
?4
?a
n
?
12
?1?1?2?2
1
2
?1

2
nn
1?2nb
n
nb
n
nb
n
1?n2b
n
??


显然,对于
1
?
n
1
,有
a
n
?a
n?1
?4,n?N
*

?0
n?1
(2)证明:设
1
?1?
n
2
c
n
?1?
,则
b
n?1
,n?N< br>*
b
n
?1
?
11
?
?n
2
?
2
?
?
?
n
?
n?1
?
2< br>?
??
1
?1?1

n
2
11
?1 ??1
2
2
n
?
n?1
?
1
c
n
?
?
n?1
?
2
1
?1?1
n
2
??
1
?1?1
??
2
2n?1
n
2n? 1112n?1
??
????
222
?
n?1
?
2
1
?1
?
n?1
?
?
2
2
1?1
?
2
?
n?1
?
??
n
2
n
2
??
?
2n?1
??
n?2
?
?2
?
n?1
?

S
n
?c
1
?c< br>2
?
11
S
n
???
34
?2?
2
?n?0,?c
n
?
1
,n?N
*
< br>n?2
?c
n
,n?N
*
,则当
n?2
k< br>?2?1k?N
*
时,
??
?
11
?
11
??
1
?
k
?
?
?
?
?
?
2
?
2?12
?
34
??
2?1
k?
1
??
1
?
?
?
?
2
3< br>??
2
k?1
?1
?
1
2
k
?
?
?
11
?2
2
?
3
?
2
22
?2
k?1
?
1k?1

?
2k
2
所以,取
n
0
?2
4009
?2
,对
?n?n
0
都有:
?
b
n?1
?
?
b
2
??
b
3
?
4017?1
??
????
1??1??
?
?1??S?S??2008

nn?
b
??
b
?
0
??
b
n
?
2
1
?
2
???
?
故有
b
2?
b
3
???
b
n
?
b
n?1
<
n?2008
成立。
b
1
b
2
b
n ?1
b
n
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数
f(x)?x< br>2
?bx?c(b?1,c?R)
,若
f(x)
的定义域为[-1,0 ],值域也
为[-1,0].若数列
{b
n
}
满足
b
n
?
f(n)
(n?N
*
)
,记数列
{b
n
}
的前
n
3
n
项和为
T
n
, 问是否存在正常数A,使得对于
任意正整数
n
都有
T
n
?A
?并证明你的结论。
解析:首先求出
f(x)?x
2?2x
,∵
b
n
?
f(n)n
2
?2n1??
n
3
n
3
n


T
n< br>?b
1
?b
2
?b
3
???b
n
? 1?
1
?
1
???
1
,∵
1
?
1
?2?
1
?
1
,
1
?
1
?
1
?
1
?4?
1
?
1
,…
23n82
3442
5678
1
2
k?1
k
1111
k
?
?
?
k
?2
k?1
?
k?
,故当
n?2
时,
T
n
??1
,
?12?2222
2
?
k?1
因此,对任何常数A,设
m
是 不小于A的最小正整数,
则当
n?2
2m?2
时,必有
T?
2m?2
?1?m?A
.
n
2
故不存在常数A使
Tn
?A
对所有
n?2
的正整数恒成立.
?
x?0,< br>例24.(2008年中学教学参考)设不等式组
?
y?0,
表示的平面区域为
D
,
?
?
y??nx?3n
?
n
D
内整数坐标点的个数为
a
n
.设
S
n
?1
?
1
?
?
?
1
, 当
n?2时,求证:
1
?
1
?
1
?
?
?
1
?
7n?11
.
n
a
n?1
a
n ?2
a
2n
a
1
a
2
a
3
a2
n
36
解析:容易得到
a
n
?3n
,所以, 要证
11117n?11
只要证
S
n
???
?
??
2
a
1
a
2
a
3
a
2
n
36
?1?
1117n?11
,因为
??
?
?n
?
23212


S
2
n
?1?
1377n?11
,所以原命题得
1111111111
?(?)?(???)??
?(
n?1
?
n?1
?
?
?
n?1??T
2
1
?T
2
2
?
?
?T< br>2
n?1
??(n?1)?
221212
23456782?12?2 2



五、迭代放缩
例25. 已知
x
n? 1
?
x
n
?4
n
,x
1
?1
,求 证:当
n?2
时,
?
|x
i
?2|?2?2
1?n

x
n
?1
i?1
解析:通过迭代的方法得到
x
n
?2?
1
,然后相加就可以得到结论
n?1
2
例26. 设
sin1!sin2!sinn!
,求证:对 任意的正整数
1
k,若k≥n恒有:|S
n+k
-S
n
|<
S
n
?
2
1
?
2
2
???
2
n
解析:
|S
sin(n?1)!sin(n?2)!s in(n
n?k
?S
n
|?|
2
n?1
?
2
n?2
???
?k)
2
n?k
|


?|
sin(n?1)!sin(n?2)!sinn(?k)111

2< br>n?1
|?|
2
n?2
|?
?
?|
2
n?k
|?
2
n?1
?
2
n?2
?
?< br>?
2
n?k

?
1
(
1
?
11111

2
n< br>2
2
2
???
2
k
)?
2
n
?(1?
2
k
)?
2
n

2
n
?(1?1)
n
?C
0
?C
1n
nn
?? ?C
n
?n
所以
|S
11

n?k
?S
n
|?
2
n
?
n

六、借助数列递推关系
例27.求证:
1
?
1?3
?1?3?5
?4?6
?
?
?
1?3?5?
?
? (2n?1)
22?422?4?6?
?
?2n
?2n?2?1

解析: 设
a
?3?5?
?
?(2n?1)
n
?
1

2?4?6?
?
?2n
a
2n? 1
n
?1
?
)
a
n
?2(n?1)a
n? 1
?2na
n
?a
n
,从而
2(n?1
a
n
?2(n?1)a
n?1
?2na
n
,相加后就可以得到 a
1
?a
2
?
?
?a
n
?2(n?1 )a
n?1
?2a
1
?2(n?1)?
1
2n?3
?1?(2n?2)?
1
2n?2
?1

所以
1
?
1?3
?
1?3?5
?
?
?
1?3?5?
?
?(2n?1)

22?42?4?62?4?6?
?
?2n
?2n?2?1

例28. 求证:
1
?
1?3
?
1?3?5
??
?
1?3?5?
?
?(2n?1)

22?42?4?62?4?6?
?
?2n
?2n?1?1
解析: 设
a?
1?3?5?
?
?(2n?1)

n2?4?6?
?
?2n
a
?1
n
?1
?
2n
2(n?1)
a?1)?1]a2n?1)a
,从而
n
?[ 2(n
n?1
?(
n
?a
n?1
a
n
?1
?[2(n?1)?1]a
n?1
?(2n?1)a
n
,相加后就可 以得到
a
1
?a
2
?
?
?a
n
?(2n?1)a
n?1
?3a
1
?(2n?1)?
1
2n ?1
?
3
2
?2n?1?1


例29. 若a
1
?1,a
n?1
?a
n
?n?1
,求证:
1
?
1
a
?
?
?
1
?2(n?1 ?1

1
aa
)
2n
n


解析:
a
n?2
?a
n?1
?n?2?a
n
?a
n?1
?1?
1
a
n?1
?a
n?2
?a
n

所以就有
1
a
1
?

111
?
?
???a
n?1
?a
n
?a< br>2
?a
1
?2a
n?1
a
n
?a
2
?2n?1?2
a
2
a
n
a
1

七、分类讨论
例30.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
?2a
n
?( ?1)
n
,n?1.
证明:对任意的整数
m?4
,有
解析:容易得到
a
2
n?2
,
2?(?1)
n?1
.
3
1117

??
?
??
a
4
a
5
a
m
8
n
?
??
由于通项中含有
(?1)
,很难直接放缩,考虑分项讨论:

n?3

n
为奇数时

?
n

1131132
n?2
?2
n?1
??(
n?2
?
n?1
)??
2n?3n?1n?2
an
a
n?1
2
2?12?1
2
2?2?2?1
32
n?2
?2
n?1
311
(减项放缩),于是
??? (
n?2
?
n?1
)
2n?3
22
222
①当
m?4

m
为偶数时
1
?
1
?
?
?
1
?
1
?(
1
?
1
)?< br>?
?(
1
?
1
)

a
4
a
5
a
6
a
4
a
5
a
m
7
??(
3
?
4
?
?
?
m?2
)? ???(1?
m?4
)???.

22
2
224288222
a
m?1
a
m
②当
m?4

m
为奇数时
①②得证。

八、线性规划型放缩
(添项放缩)由①知
11
111
117

??
?
??
1
?
1
?
?
?
1
?
1
??
????.
a
4
a
5
a
m
a
4
a
5
a
4
a
5
a
m
a
m?18
a
m
a
m?1
例31. 设函数
f (x)?
2x?1
.若对一切
x?R

?3?af(x)?b?3< br>,求
a?b
的最大值。
x
2
?2
解析:由
1?(x?2)
2
(x?1)
2
(f(x)?)(f(1) ?1)?
22(x
2
?2)
2

(f(x)?
1< br>)(f(1)?1)?0

2

1
??f(x)?1
2
由此再由
f(x)
的单调性可以知道
f(x)
的最小值为
?
1
,最大值为
1

2
1
因此对一切x?R

?3?af(x)?b?3
的充要条件是,
?

a

b
满足约束条件
?
a?b??3

?
?3??a?b?3
2
?
?
?
?3?a?b?3
?
a?b?3
?
?
1
?
?a?b??3
?
2
?
1
?
?a?b?3
?2
由线性规划得,
a?b
的最大值为5.

九、均值不等式放缩
例32.设
S
n
?1?2?2?3?
?
?n(n?1).
求 证
n(n?1)
?S
2
n
?
(n?1)
2
.
2

解析: 此数列的通项为
a
k
?
? k?k(k?1)?
k(k
?
1),k
?
1,2,
?
,n.

k?k?11

nn
1

?k??
?
k?S
n
?
?
(k?)
22
2< br>k?1k?1

n(n?1)
?S
2
n
?
n (n?1)n(n?1)
2

??.
222
ab?
a?b< br>2
注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k(k?1) ?k?1
则得
S?
?
(k?1)?
(n?1)(n?3)
?
(n?1)
n
22
k?1
n
2
,若放成
, 就放过“度”了!
























②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

n
11
?< br>?
?
a
1
a
n
?
n
a
1< br>?
a
n
?
a
1
?
?
?a
n
?
n
2
a
1
2
?
?
?a
n
n


其中,
n?2,3
等的各式及其变式公式均可供选用。



例33.已知函数
f(x)?
解析:

?(1?
1
,若且
f(x)
在[0,1]上的最小值为
1
,求证:< br>f(1)?f(2)???f(n)?n?
1
?
1
.

4

f(1)?
bx
2
1?a?2
2
n?12
5
4
x
111

f(x)??1??1?(x?0) ?f(1)?
?
?f(n)?(1?)
xxx
2?2
1?41?42 ?2
1111111
)???(1?)?n?(1????
n?1
)?n?< br>n?1
?.

2n
422
2?22?222
例34. 已知
a,b
为正数,且
1
?
1
?1
,试证:对每一 个
n?N
?

(a?b)
n
?a
n
?b< br>n
?2
2n
?2
n?1
.
ab
解析: 由
1
?
1
?1

ab?a?b
,又
(a?b )(
1
?
1
)?2?
a
?
b
?4
,故
ab?a?b?4
,而
ab
abba
0n1n?1rn?rrn n
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

1 n?1rn?rrn?1
in?i
,倒序相令
f(n)?(a?b)
n
?a
n
?b
n
,则
f(n)
=
C
nab???C
n
ab???C
n
ab
n?1
,因为C
n
?C
n
1rn?1
加得
2f(n)
=C
n
(a
n?1
b?ab
n?1
)???C
n
(a
n?r
b
r
?a
r
b
n?r
)???C
n
(ab
n?1
?a
n?1
b)
, < br>而
ab?ab
n?1n?1
???a
n?r
b?ab
rrn?r
???ab
n?1
?a
n?1
b?2ab?2?4?2< br>n?1

nn
n
2
1rn?1

2f(n )
=
(C
n
???C
n
???C
n
)(a
r
b
n?r
?a
n?r
b
r
)?(2n
?2)(a
r
b
n?r
?a
n?r
b
r
)
?(2
n
?2)?
2
n?1
,所以
f(n)
?(2
n
?2)?
2
n
,即对每一个
n? N
?

(a?b)
n
?a
n
?b
n
?2
2n
?2
n?1
.
3
n
n
nn?1
2
例35.求证
C?C?C?
?
?C?n?2
1
n
2
n
(n?1,n?N)

n
n
解析: 不等式左
C?C?C???C?
2?1?1?2?2?
?
?2
原结论 成立.
例36.已知
f(x)?e?e
,求证:
f(1)?f(2)?f( 3)?
?
?f(n)?(e
解析:
f(x)?f(x
1
x
1
?
2
)?(e
1
n
2
n3
n
n2n?1
?n?1?2?2???2
n
2n?1
=
n?2
n?1
2

x?x
n?1
?1)

n
2
11e
x1
e
x
2
1

x
2
x
1?x
2
)?(e?)?e??
x
1
?
x
1x
2
?e
x
1
?x
2
?1
x
1
x
2
x
2
eeeee?e

n
经过倒序相乘,就可以得到
f(1)?f(2)?f(3)?
?
?f(n)?(en?1
?1)
2

例37.已知
f(x)?x?
1,求证:
f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2
n
(n?1)n

x
解析:
(k?
1
)(2n?1?k?
k
1k2n?1?k1

)?k(2n?1?k)????2(2n?1?k)?2
2n?1?k2n?1?kkk(2 n?1?k)
其中:
k?1,2,3,?,2n
,因为
k?2n ?k(1?k)?2n?(k?1)(2n?k)?0?k(2n?1?k)?2n

所以
(k?
1
)(2n?1?k?
k
1
)?2n?2

2n?1?k
从而
[f(1)?f(2)?f(3)???f(2n )]
2
?(2n?2)
2n
,所以
f(1)?f(2)?f(3)? ??f(2n)?2
n
(n?1)
n
.
例3 8.若
k?7
,求证:
S
n
?
1
?
1?
1
?
?
?
nn?1n?2
13
?
.
nk?12
解析:
2S
n
?(
1
?< br>n
1111111
)?(?)?(?)???(?)

nk?1n?1nk?2n?2nk?3nk?1n
xy
xy
因 为当
x?0,y?0
时,
x?y?2xy,
1
?
1
?
2
,所以
(x?y)(
1
?
1
)?4
, 所以
1
?
1
?
xy
xy
4
,当且仅当x?y
x?y
时取到等号.


所以
2S
所以
n
?
44444n(k?1)

???
?
??
n?nk?1n?1?nk?2n?2?nk?3n?nk?1 n?nk?1
S
n
?
2(k?1)2(k?1)43
??2??1
k?1k?12
1?k?
n
所以
S
n
?11113

???
?
??
nn?1n?2nk?12
例39.已知
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
,求 证:
f(0)?f(1)?
a
2
16
.
2
解析:
f(0)?f(1)?a
2
[x(1?x)][x(1?x)]?
a< br>.
1122
16
例40.已知函数f(x)=x
2
-(-1 )
k
·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,

求证: [f ’(x)]
n
-2
n1
·f’(x
n
)≥2
n(2
n
-2).
解析: 由已知得
f
?
(x)?2x?
2
(x?0)

x
(1)当n=1时,左式=
(2x?
2
)?(2x?
2
)? 0
右式=0.∴不等式成立.
xx
(2)
n?2
, 左式=
[f
?
(x)]
n
?2
n?1
?f
?
( x
n
)?(2x?
2
)
n
?2
n?1
?( 2x
n
?
2
)

x
x
n

?2
n
(C
1
x
n?2
?C
2
x
n?4
???C
n?2
1
?C
n?1
1
) .

nnnn
n?4n?2
xx
S?C
1
x
n?2
?C
2
x
n?4
? ?C
n?2
1
?C
n?1
1

nnnn
n?4n?2
xx
由倒序相加法得:

1
2S?C
n
(x
n?2
?
1
x
n?2
2
)?C
n
(x
n?4
?
1
xn?4
n?1
)???C
n
(
1
x
n?2?x
n?2
)

12n?1

?2(C
n
?C
n
???C
n
)?2(2
n
?2)

所以
S?(2
n
?2).

所以
[f
?
(x)]
n
?2
n?1
?f
?
(x
n
)?2
n
(2
n
?2)成立.
综上,当k是奇数 ,
n?N
时,命题成立

例41. (2007年东北三校)已知函数
f(x)?a
x
?x(a?1)

(1)求函数
f(x)
的最小值,并求最小值小于0时的
a
取值范围;
1'2'n?1'
(2)令
S(n)?C
n
f (1)?C
n
f(2)?
?
?C
n
f(n?1)
求 证:
S(n)?(2
n
?2)?f
'
(
n
)

?
2
(1)由f
'
(x)?a
x
lna?1, f
'
(x)?0,即:a
x
lna?1,?a
x
?
同理:f
'
(x)?0,有x??log
a
lna,
1
,又 a?1?x??log
a
lna
lna
所以f
'
(x)在( ??,?log
a
lna)上递减,在(?log
a
lna,??)上递增;
所以f(x)
min
?f(?log
a
lna)?
若f(x )
min
?0,即
1?lnlna
lna

1?lnlna 1
?0,则lnlna??1,?lna?
lnae
1
e
?a的取值 范围是1?a?e


12n?1
(2)S(n)?C
n
(aln a?1)?C
n
(a
2
lna?1)?
?
?C
n< br>(a
n?1
lna?1)
122n?1n?112n?1
?(C
n
a?C
n
a?
?
?C
n
a)lna?(Cn
?C
n
?
?
?C
n
)
1
1 2n?1
?[C
n
(a?a
n?1
)?C
n
(a< br>2
?a
n?2
)?
?
?C
n
(a
n ?1
?a)]lna?(2
n
?2)
2

?a(2
n
?2)lna?(2
n
?2)
n
?(2?2)(alna?1)? (2
n
?2)f
'
(),
2
所以不等式成立。
n< br>n
2
n
2

★例42. (2008年江西高考试题)已知函数

解析:对任意给定的
a?0
,
x?0
,由
11
f(x)???
1?x1?a
1
8
1?
ax
f
?
x
?
?
11ax
,
x?
?
0,??
?
.对任意正数
a
??
ax?8
1?x1?a
,证明:
1?f
?
x
?
?2

,

若令
b?
8
,则
abx?8
① ,而
f
?
x
?
?
ax< br>(一)、先证
f
?
x
?
?1
;因为
111< br>??
1?x1?a1?b

11

1
1

1

1
?
?
?
1?x
1?x
1? b
1?b
1?a
1?a
又由
2?a?b?x?22a?2bx?4
4
2abx?8
,得
a?b?x?6

所以
f
?
x
?
?1
?
1
?
1
?
1
?
1
?1
?
3?2(a?b?x)?(ab?ax?bx)

(1?x)(1? a)(1?b)
1?x1?a1?b
1?x1?a1?b
?
9?(a?b?x )?(ab?ax?bx)
1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx
??1

(1?x)(1?a)(1?b)
(1?x)(1?a)(1?b)
(二)、再 证
f
?
x
?
?2
;由①、②式中关于
x,a,b< br>的对称性,不妨设
x?a?b
.则
0?b?2

(ⅰ)、当< br>a?b?7
,则
a?5
,所以
x?a?5
,因为
1
?1

1?b
112
,此时
f
?x
?
?
1
?
1
?
1
?2

???1
1?x1?a1?b
1?x1?a1?5
(ⅱ)、当
a?b?7
③,由①得 ,
因为
同理得
今证明
x?
8

1
?
ab
1?x
ab

ab?8
1bb
2
b
2
所以
?1???[1? ]
2
1?b1?b4(1?b)2?(1b)
1a

?1?
2(1?a)
1?a
1b

?1?
2(1?b)
1?b
,于是
1
?
abab
?

f
?
x
?< br>?2?
?
??2
?
2
?
ab?8
?
?
1?a1?b
?
abab
⑦,
??2
1?a1?bab?8
因为
a
?
b
?2
1?a1?b
ab

(1?a)(1?b)
只要证
abab
,即
ab?8?(1?a)(1?b)
,也即
a?b?7
,据③,此为显然.
?
(1?a)(?1b)ab?8
f(x)?2
. 因此⑦得证.故由⑥得
综上所述,对任何正数
a,x
,皆有
1?f
?
x
?
?2


例43.求证:
1?
111

??
?
??2
n?1n?23n?1
解析:一方面:
11 11
?
11
?
12
??
?
???
?
?
?
???1
n?1n?23n?12
?
34
?
24


(法二)
1111
?
?
11
??
11
?
1
?
?

?
1
??
?< br>???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n?1n?23n?12
?
?n?13n?1
??
n?23n
??
3n?1n?1
?
?
?
?

1
?
4n?24n?24n?2
?
?
?
??
?
?
?
2
?
(3n?1)(n ?1)3n(n?2)(n?1)(3n?1)
?
?
??
(2n?1)
2
111

?
??
?
2n?1
?
??
?????1
22
?
2
?
(2n?1)
2< br>?n
2
(2n?1)
2
?(n?1)
2
(2n?1) ?n
?
(2n?1)
?
另一方面:

十、二项放缩
1112n?12n?2

??
?
???? 2
n?1n?23n?1n?1n?1
1n
1

2
n
?(1?1)
n
?C
n
0
?C
n< br>,
2
n
?C
n
0
?C
n
???C< br>n
?n?1
,
2

2
n?C
0
?C
1
?C
2
?
n?n?2

2
n
?n(n?1)(n?2)

nnn
2
例44. 已知
a
1
?1,a
n?1?(1?
2
11
)a
n
?
n
.
证明< br>a
n
?e

n?n2
2
解析:
a
n?1
?(1?
11
1

)a
n
??
a
n?1
?1?(1?)(a
n
?1)?
n (n?1)n(n?1)
n(n?1)
ln(a
n?1
?1)?ln(an
?1)?ln(1?
n?1
11

n?1

11
)?.
?
?
[ln(a
i?1
?1)?ln(ai
?1)]?
?
?ln(a
n
?1)?ln(a
2?1)?1??1
n(n?1)n(n?1)
i(i?1)n
i?2i?2

ln(a
n
?1)?1?ln3?a
n
?3e?1?e
2
.

45.设
1
,求证:数列
{a
n
}
单调递增且
a
n
a
n
?(1?)
n
n?4.

解析: 引入一个结论:若
b?a?0

b
n ?1
?a
n?1
?(n?1)b
n
(b?a)
(证略) < br>整理上式得
a
n?1
?b
n
[(n?1)a?nb].

?


a?1?
1
,b?1?
1
代 入(
?
)式得
(1?
1
)
n?1
?
(1?
1
)
n
.

n?1n
n?1
n

{a
n
}
单调递增。

a?1,b?1?
1
代入(
2n
?
)式得
1?(1?
1
n
11
)??(1?)
2n
?4.

2n22n
n
此式对一切正整数
n
都成立,即对一切偶数有
(1?
1
)
n
?4
,又因为数列
{a
n
}
单调递增,所以对
一切正整数
n

(1?
1
)n
n
?4

注:①上述不等式可加强为
2?(1?
1
)
n
?3.
简证如下:
n
1
1
1
2n
1
利用二项展 开式进行部分放缩:
a
n
?(1?
1
)
n
?1?C
n
??C
n
?
2
???C
n
.
n
nn
nn
只取前两项有
a?1?C
1
?
1
?2.
对通项作如下放缩:
nn
n
11nn?1n?k?1111

k
C
n< br>????
?
???.
nk!1?2
?
2
2
k ?1
n
k
k!nn
n?1
故有
a
n
?1?1?
1
?
1
???
1
?2?
1
?
1?(12)
?3.

2
2
2
21?1 2
2
n?1
②上述数列
{a
n
}
的极限存在,为无 理数
e
;同时是下述试题的背景:已知
i,m,n
是正整数,且
1? i?m?n

.
1)
ii
证明
n
i
Am
;(2)证明
(1?m)
n
?(1?n)
m
.
(01年全国卷理科第20题)
?m
i
A
n
简析 对第(2)问:用
1n
代替
n
得数列
{b
n
}:b
n
?(1?n)
n
是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:
数列
{(1?n)}
递减,且
1?i?m?n,

(1?m)
1
n
1
m
1
?(1?n)
n
,

( 1?m)
1
n
?(1?n)
m

当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等
式、甚至 构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

< /p>


例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:
a
n
?b< br>n
?2
1?n.

解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为
a,
1
,b
成等差数列,设
a?
1
?d,b?1
?d

2
22
从而




例47.设
n?1,n?N
,求证
(
2
)
n
?
3
8
.
(n?1)(n?2)
22
?
1
??
1
?
a
n
?b
n
?
?
?d
?
?
?
?d
?
?2
1?n
?
2
??
2
?
nn
解析: 观察
(
2
)
n
的结构,注意到
(
3
)
n
?(1 ?
1
)
n
,展开得
3
111nn(n?1)(n?1)( n?2)?6
,即
1
1
23
1(n?1)(n?2)
,得证 .
(1?)
n
?1?C
n
??C
n
?
2
?C
n
?
3
?
?
?1???
(1?)n
?
22288
22
28
例48.求证:
ln3?ln 2
?ln(1?
1
)?
ln2
. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
n2nn
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数
y?f(x),x?N
*
,y?N
*
,满足:
① 对任意
a,b?N
*
,a?b
,都有
af(a)?bf(b)?af (b)?bf(a)

②对任意
n?N
*
都有
f[f(n)]?3n
.
(I)试证明:
f(x)

N
上的单调增函数;
(II)求
f(1)?f(6)?f(28)

(III)令
a< br>n
?f(3
n
),n?N
*
,试证明:.
n11≤??
4n?2a
1
a
2
?
11

?
a
n
4
*
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为
af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)
,所以可以得到
(a?b)f(a)?(a?b)f(b)?0
,
也就是
(a ?b)(f(a)?f(b))?0
,不妨设
a?b
,所以,可以得到
f(a )?f(b)
,也就是说
f(x)

N
上的
单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发 现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就
有思路了!
由(1)可知
(a?b)(f(a)?f(b))?0
,令
b?1 ,a?f(1)
,则可以得到
(f(x)?1)(f(f(1))?f(1))?0
,又
f(f(1))?3
,所以由不等式可以得到
1?f(1)?3
,又
f(1)?N*
,所以可以得到
f(1)?2

接下来要运用迭代的思想:
因为
f(1)?2
,所以
f(2)? f[f(1)]?3
,
f(3)?f[f(2)]?6
,
f(6)?f[f( 3)]?9


f(9)?f[f(6)]?18
,
f(18)?f[f(9)]?27
,
f(27)?f[f(18)]?54
,
f(54)?f[f(27)]?81

在此比较有技巧的方法就是:

81?54?27?54?27
,所以可以判断
f(28)?55

*


当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的 方法,把所有项数尽可能地列出
来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有
f(1)?f(6)?f(28)
=
55?9?2?66

(3)在解决
{a
n
}
的通项公式时也会遇到困难.

f[f(3
n
)]?3
n?1
,f(3
n ?1
)?f{f[f(3
n
)]}?3f(3
n
),?a
n ?1
?3a
n
,所以数列
a
n
?f(3
n
),n?N
*
的方程为
a
n
?2?3
n
,
从而
1
?
1
???
1
?
1
(1?
1
)
,
n
a
1
a
2
a
n
43
1
一方面
1
(1?
1
)?
1
,另一方面
3
n
?(1?2)
n
?C
n
0
?2
0
?Cn
?2
1
?2n?1

n
434
所以
1
(1?
1
)?
1
(1?
n
434
n11
≤??
4n?2a
1
a
2
?
112nn< br>,所以,综上有
)???
2n?142n?14n?2
11
.
?
a
n
4
例49. 已知函数f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件:
① 对于任意
x?
[0 ,1],总有
f
?
x
?
?3
,且
f
?1
?
?4
;② 若
x
(Ⅰ)求f?0?的值;(Ⅱ)求证:f?x?≤4;
(Ⅲ)当
x?(
1
,
1
](n?1,2,3,???)
时,试证明:
f(x )?3x?3
.
nn?1
33
1
?0,x
2
?0 ,x
1
?x
2
?1,
则有
f
?
x
1
?x
2
?
?f
?
x
1
?
?f( x
2
)?3.

解析: (Ⅰ)解:令
x
1
?x< br>2
?0
,由①对于任意
x?
[0,1],总有
f
?< br>x
?
?3
, ∴
f(0)?3

又由②得
f(0)?2f(0)?3,

f(0)?3;

f(0)?3.

(Ⅱ)解:任取
x
1
,x< br>2
?[0,1],
且设
x
1
?x
2
,

f(x
2
)?f[x
1
?(x
2< br>?x
1
)]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?3,

因为
x
2
?x
1< br>?0
,所以
f(x?x
1
)?3
,即
f(x
2
?x
1
)?3?0,

2

f(x
1
)?f(x
2
)
.
∴当
x?
[0,1]时,
f(x)?f(1)?4
.
1
(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明:
f(
1
)?
n?1
?3(n?N *)

n?1
33
(1) 当n=1时,
f(
1
) ?f(1)?4?1?3?
1
?3
,不等式成立;
00
33
(2) 假设当n=k时,
f(

f(

11
)?
k?1
?3(k?N*)
33
k?1
11 1
1111111
)?f[
k
?(
k
?
k
)]?f(
k
)?f(
k
?
k
)?3

?f(
k
)?f(
k
)?f(
k
)?6

333
3333333
k?1

3f(
1
)?f(
3
k
11

)?6?
k?1
?9.
33< br>k?1
即当n=k+1时,不等式成立
由(1)、(2)可知,不等式
f(< br>于是,当
x?(
1
,
n
11
)?
n?1?3
对一切正整数都成立.
n?1
33
1
111
]( n?1,2,3,???)
时,
3x?3?3?
n
?3?
n?1?3?f(
n?1
)

33
333
n?1

x?
[0,1],
f
?
x
?
单调递增 ∴
f(
1
)?f(
1
)
所以,
f(x)?
nn?1
33
f(
1
)?3x?3.

n?1
3


例50. 已知:
a
1
?a
2
??a
n
?1,a
i
?0

(i?1,2?n)
求证:
解析:构造对偶式:令
A?
a
1
2

B?
a
1
?a
2
a
2
?a
3?
2
a
1
2
a
2
??
a
1< br>?a
2
a
2
?a
3
?
22
a
n
a
n
1

?1
??
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1
2
22
2
a< br>n
a
n
a
2

?1
??
?
??
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a< br>n?1
?a
n
a
n
?a
1
22
2< br>a
3
a
n
a
2
a
1
2
< br>??
?
??
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1
222222
22

A?B?
a
1
?a
2
?
a
2
?a
3
?
?
?
an?1
?a
n
?
a
n
?a
1

(a
1
?a
2
)?(a
2
?a
3
)?< br>?
?(a
n?1
?a
n
)?(a
n
?a1
)?0,?A?B

a
n?1
?a
n
an
?a
1

?
a
i
2
?a
2
j
a
i
?a
j
1

(a
i
?a
j
)
2

i,j?1,2?n)

22222
2
1
a
2< br>?a
3
a
n
a
n
?a
1
2
1
11
a
1
2
?a
2
?1
?a
n
?
?
(a
1
?a
2
)?(a
2
? a
3
)?
?
?(a
n?1
?a
n
)?(a
n
?a
1
)
?
?

?A?(A?B)?( )??
?
??
42
22a
1
?a
2
a2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1








十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在
?
a,b
?
上的可积函数
f
?
x
?
?
?< br>?
?
0
,则
例51.求证:
?
e
?e
?
.
解析:
?
e
?e
?
?
l n
?
?
lne
,∵
ln
?
?
lne
?
?
lnx
?
?
?
d
?
lnx
?
?
?
1?lnx
dx

??
?
e< br>?
??
?
e
?
ex
?
?
e
x
2
?
x
?
e
?
?
f
?
x
?
dx?
?
?
?
0
.
b
a< br>x?
?
e,
?
?
时,
1?lnx
?0

x
2
?
?
e
1?lnx

dx?0
2
x

ln
?
?
lne

?
e
?e
?
.
?
e
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证:
1?
1
?
1
?
23
?< br>1
?2
n
1
x
?
n?1?1

?< br>n?1,n?N
?
.
?
解析: 考虑函数
f
?
x
?
?
在区间
?
i,i?1
?
?
i?1,2,3,,n
?
上的定积分.
如图,显然
1
?
1
?1?
i?1
1
dx
-①
?
i
iix< br>nn

i
求和,
?
1
?
?
i?1< br>1
dx
?
n?1
1
dx

?
i?
1
i?1
i
i?1
x
x
?
?2?
?
?
2x
?
1
n?1
?
n?1?1
.
?

例53. 已知
n?N,n?4
.求证:
1
?
1
?
1
?
n?1n?2n?3
?
17
?
.
2n10
解析:考虑函数
f
?
x?
?
1
在区间
?
i?1
1?x
i
?< br>,
??
?
nn
?
?
i?1,2,3,,n
?
上的定积分.

1
n?i
11
??
n
1 ?
i
n
?
?
i
n
i?1
n
1dx
-②
1?x



1
n
11
?
??
n?i
?
i?1
i?1
n
n
1?< br>i
n
?
?
?
i?1
n
i
n
i?1
n
1
1
1
1
dx
?
?
dx ?
?
ln
?
1?x
?
?
??
0
0
1?x
1?x
?ln2?
7
.
10











例54. (2003年全国高考江苏卷)设
a?0
,如图,已知直线
l:y ?ax
及曲线
C

y?x
2

C
上的点< br>Q
1
的横坐
标为
a
1

0?a
1< br>?a
).从
C
上的点
Q
n
?
n?1
?
作直线平行于
x
轴,交直线
l
于点
P
n?1,再从点
P
n?1
作直线平行于
y
轴,交曲线
C
于点
Q
n?1
.
Q
n
?
n?1,2,,n
?
的横坐标构成数列
?
a
n
?
.
(Ⅰ)试求< br>a
n?1

a
n
的关系,并求
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)当
a?1,a?
1
时, 证明
1
?
(a
n
2
k
?a
k?1
)a
k?2
?
k?1
1

32
n
1
(Ⅲ)当
a?1
时,证明
?(a
k
?a
k?1
)a
k?2
?
.
k?1
3
解析:
a
n
?a(
a
1
2
n?1
)
(过程略).
a
1
证明(II):由
a?1< br>知
a
n?1
?a
n
2
,∵
a
∵当< br>k?1
时,
a
n

?
(a
k?1
?
1
,∴
11
.
a
2
?,a
3
?
2
416
k?2
?a
3
?
1

16
k
?a
k?1
)a
k?2
?
1
n11
.
?
(a
k
?a
k?1
)?(a
1
?a
n?1
)?
16
k?1
1632
2
.
?a
k
证明(Ⅲ):由
a?1

a
k?1< br>∴
(a
k
?a
k?1
)a
k?2
?(ak
?a
k?1
)a
k
2
?1
恰表示阴影部分面 积,
显然

n
2
(a
k
?a
k?1< br>)a
k?1
?
?
a
k
a
k?1
x< br>2
dx

?
(a
k?1
k
n
a< br>1
n
1
3
1
.
2
a
?a
k?1
)a
k?2
?
?
(a
k
?a
k?1
)a
k
2
?1
?
?
?
x
2
dx
?
?
0
xdx
?a
1
?
a
33
k?1
k?1
k
k?1
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:



1
??< br>i?1
1
dx
?2
?
?
i
ix
i? 1?i
?


1
n?i
?
?
i
n
i?1
n
i
???
i?1
?

1dx
?ln
?
1?
?
?ln
?
1?
?
n
??
n
??
1?x

sin
?
i
?sin
?
i?1
?
1?sin
2
?
i ?1
?
sin
?
i
1
1?x
2
sin?
i?1
dx?
?
i
?
?
i?1


(a
k
2
?a
k?1
)a
k?1
?
?
a
k
a
k?1
x
2
dx?
1
3
.
3
a
k
?a
k
?
?1< br>?
3


十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:
1
?
3?1
1114
??
?
??

n?1
3?13?2?1
3?2?1
7
1
111111111
?
?
????
?
????
?
?
11 147484
n?1n?12n?1
4
3?2?1
3?2?1
47< br>3?2?1
28
3?23?2
???
1
???
283
1?
84847
2


例56. 设
an
?1?
11
1
?
?
?,a?2.
求证:a
n
?2.

?
a
n
a
2
a
3
2
解析: a?1?
1
?
1
???
1
?1?
1
?
1
???
1
.

n
aa222
a
3n23n

k
2
?k?k?k(k?1),k?2
(只将其中一个
k
变成
k?1
,进 行部分放缩),
?
1
?
2
k
111
??

k(k?1)k?1k
于是
a
n
?1?
1
1111 1111
?2??2.

?????1?(1?)?(?)???(?)
22 2
n
223n?1n
23n
2
例57.设数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?na
n
?1
?
n?N
?
?
,当
a
1
? 3

证明对所有
n?1,

(i)a
n
?n? 2

(ii)
1111
?????

1?a
1
1?a
2
1?a
n
2
解析: < br>(i)
用数学归纳法:当
n?1
时显然成立,假设当
n?k
时 成立即
a
k
?k?2
,则当
n?k?1

ak?1
?a
k
(a
k
?k)?1?a
k
(k? 2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3
,成立。

(ii)
利用上述部分放缩的结论
a
k?1
?2a
k
?1
来放缩通 项,可得
a
k?1
?1?2(a
k
?1)?
a
k< br>?1???2
k?1
(a
1
?1)?2
k?1
?4? 2
k?1
?
11
?
k?1
.

a
k
?1
2

?
i?1
n
1
?
?
1?a
i
i?1
n
1
1?()
n

11
2
?
1
.??
1
2
2
i?1
4
1?
2
注:上述证明
(i)
用到部分放缩 ,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
a
k?1
?(k?2)(k?2?k)?1 ?k?3

证明
(ii)
就直接使用了部分放缩的结论
a
k ?1
?2a
k
?1



十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
|sinx|?|x|(x?R)
.
解析:(i)当
x?0
时,
|sinx|?|x|

(ii)当
0?x?
?
时,构造单位圆,如图所示:
2
y
P
A
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
sinx?x?|sinx|?|x|

O
T
B
x



x?
?

|sinx|?|x|

2
所以当
x?0

sinx?x

|sinx|?|x|

(iii)当
x?0
时,
?x?0
,由(ii)可知:
|sinx|?|x|

所以综上有
|sinx|?|x|(x?R)















十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明
f(x)?A
,只 要证明
f(x)?A?B(B?0)
,其中
B
通过寻找分析,归纳完成. < br>n
例59.求证:对一切
n(n?N*)
,都有
?
1
?3
.
k?1
kk
解析:
1
kk
?
1
k
3
?
1
k(k
2
?1)
?
??
1111

?
??
?
?
??
(k?1)k (k?1)
?
(k?1)kk(k?1)
?
k?1?k?1
??1111
?
11
?
k?1?k?1

?
??< br>?
???
??
?
?
(k?1)k
?
k?1? k?1
2
k(k?1)kk?1k?1
??
??
?
1
?
11
?
2k
??
??
?
2
k
?
k?1k?1
?
11

?
k?1k?1
从而?
k
k?1
n
1
k
?1?


??????
?
???1????3
2
132435k?1k?1kk?1< br> 当然本题还可以使用其他方法,如:
?

1111
?
kk
?
kk?1
?
k?k?k?1
?
?
k(k?1 )
?
?
1
?

?
1
1
?
11k?k?1
?
11
?
?
?
?2?
?
?
?
???
?
?
?
1
k?1k
k?k?1k k?1k
??
??
k
2
?
?
nn
所以
?
1
?1?
?
1
?1?2(1?
1
) ?3
.
k?1
kk
k?2
kkk

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面
目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明
A?f(x)?B
,只要证明:
A?C?f(x)?B?C(C?0,A?B)
.
例60.已知数列
{a
n
}
满足:
a?1,a?a?
1
,求证:2n?1?a
n
?3n?2(n?2).

1n?1n
a
n


解析:
?
1
?
,从而
a
n
2
?a
n?1
2
?2
,所以有
2
?
a
n
?
?
a??a?2
k?1
?
n?1
a
?
n?1
??
2
2
a
n
2
?(a
n
2
?a
n?1
2
)?(a
n?1
2
?a
n?2
2
)?
?
?(a
2
2
?a
1
2
)?a1
2
?2(n?1)?1?2n?1
,所以
a
n
?2n ?1


a
2
n
?
1
?< br>,所以
a
n
2
?a
n?1
2
?3
, 所以有
2
?
?
?
a??a?3
n?1k?1
?< br>a
n?1
?
??
2

a
n2
?(a
n
2
?a
n?1
2
)?(a
n?1
2
?a
n?2
2
)?
?
?(a
2< br>2
?a
1
2
)?a
1
2
?3(n?1)?1 ?3n?2
所以
a
n
?3n?2

所以综上有
2n?1?a
n
?3n?2(n?2).

引申:已知数 列
{a
n
}
满足:
a?1,a?a?
1
,求证:
n
1
1n?1n
?
a
a
n
k?1
?2n?1
.
12
2n?1?2n?3
k
解析:由上可知
a
n
?2n?1
,又
2n?1?
2n?1?2n?3
2,所以
1
a
n
?
2n?1
??2n?1?2n?3
n
从而
?
1
?1?3?1?5?3?
?
?2n?1?2n?3?2n?1(n?2)

k?1
a
k
n
又当
n?1
时,1
?1
,所以综上有
?
1
?2n?1
.
a
1
k?1
a
k

同题引申: (2008年浙江 高考试题)已知数列
?
a
?
,
a
n
?0
,
a
1
?0
,
a
n?1
2
?a
n? 1
?1?a
n
2
(n?N
?
)
.
n
S
n
?a
1
?a
2
???a
n,
T
(1)
a
n
?a
n?1
;
n
?
.求证:当
n?N
?
时.
111
? ?
?
?
1?a
1
(1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
1
)(1?a
2
)
?
(1?a
n
)
★(3)
T
n
?3
. (2)
S
n
?n?2
;
解析:(1)
a< br>n?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1
,猜想< br>a
n
?1
,下面用数学归纳法证明:
(i)当
n?1
时,
a
1
?1
,结论成立;
(ii)假设当
n?k(k?1)
时,
a
k
?1
,则
n?k?1(k?1)
时,
a
k?1
2
?a
k?1
?1?a
k
2

从而
a
k?1
2
?a
k?1
?2?a
n?1
?1
,所以
0?ak?1
?1

所以综上有
0?a
n
?1
,故
a
n?1
2
?a
n
2
?0?a
n?1
?a
n

(2)因为
an?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1

a
2
2
?a
1
2
?1?a
2
,
a
3
2
?a
2
2
?1?a
3
,…,
a
n?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1
, 相加后可以得
到:
a
n?1
2
?a
1
2
?n?(a
2
?a
3
???a
n?1
)?S
n?1
?n?a
n?1
2
,所以
S
n
?n?1?an
?n?2
,所以
S
n
?n?2

2
(3)因为
a
n?1
2
?a
n?1
?1?a
n2
?2a
n
,从而
a

n?1
? 1?
2a
n
,有
1
a
?
n?1
,所以有
a
n?1
1?a
n?1
2a
n
aaaa
1
?
n?1
?
n
?
3
?
n?
n1
?1
,从而
(1?a
3
)
?
(1?an
)(1?a
n?1
)2a
n
2a
n?1
2a
2
2a
2
aa
?1
,所以
11
?
n?
n
1
?1
??
n
(1?a
1
)(1 ?a
2
)(1?a
3
)?(1?a
n
)(1?a
n ?1
)
2a
2
1?a
2
2
n?1
aa,所以
11
?
n21
n
??
n
n
( 1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
3
)?(1?a
n
)
2a
2
1?a
2
2
?2


T
n
?1?
aa
a
111112
?
3
?
4
???
n
n
?1???
2
???
n?2
??1?1?3

2?2
1?a
2
2
2
1 ?a
2
2
222
5?1
所以综上有
T
n
?3
.















例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列
{a
n
}
的首项
(1)证明:对任意的
x?0
,
a≥
1?
n
1?x
2
(2)证明:
a?a??a?
n
.
12n
a
1
?
3
,
a
n?1
5
?
3a
n
,n?1,2,

2a
n
?1
1
?
2
?
2,
; < br>?x
?
,
n?1,
2
?
n
(1?x)
?
3
?
n?1
n
解析:(1)依题,容易得到a
n
?
3
2?3
n
?1?
2
,要证< br>x?0
,
11
?
2
?
2,
,
a< br>n
≥??x
?
,
n?1,
n
2
?
n
3
1?x(1?x)
?
3
?
即证
1?
2< br>?
1
?
n
3
1?x
1
?
2221< br>?
?x?1?1
?
??
n
?
2
?
n 2
(1?x)
?
3(1?x)
2
?
1?x
3(1? x)

n
即证
2
?
2?3
n
1?x
3(1?x)
2
3
n
?
2
,设
t?
1< br>所以即证明
?
(t)??
2?3
n
?t
2
? 2t?
2
?1?0(0?t?1)

?1?0
1?x
3n
3
n
3
n
2
,这是显然成立的.
?1?0
n
3

11
?
2
?
,
n?1,2 ,
??x
?
2
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
从而
?
(1)?0
,即
?
2?3
n?2?
所以综上有对任意的
x?0
,
a
(法二)


n
11
?
2
?
2
?

??x
?
?
1
?
1
2
?
?1?1?x?
2
?
n
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
1?x(1?x)
?
3
?
2
21
?1
?
1
?
1
≤a
n
?
??
? ??a
?(1?x)
n
?
?a
n
?
??
1 ?x
a(1?x)
2
a1?x
a
?
n
n
?
?
n
?
?
11
?
1?x(1?x)
2,
?
原不等式成立.
(2)由(1)知,对任意的
x?0
,有
a
1
?a
2??a
n

11
?
2
?
11
?
2
?
??x
?
???x
?
?
2
?
2
?
2
1?x(1?x)
?
3
?
1?x(1?x )
?
3
?
?
n1
?
22
?
???
1?x(1?x)
2
?
33
2
2
?
n
3
?
11
?
2
?
??x
?

2
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
?
2
?

?nx
?
n
3
?
?

1
?
22
x?
?
?
2
?
n
?
33
2
?
1
?

?
1?
n
?
11
??
3
?
3
?
?
?
?
1?
n
??
?
?
n
?
1?
1
?
n
?
3
?
??
?
3
?



a
1
?a
2
?
nn
2
n
2
?a
n
≥??
1
n?1
1
?
1
?
1?
?
1?
n
?
n?1?
n
3
n
?
3
?

?
原不等式成立.














十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年 福建省高考)已知函数
f(x)?ln(1?x)?x
.若
f(x)
在区间< br>[0,n](n?N*)
上的最小值为
b
n
,

a
n
?ln(1?n)?b
n
.求证:
a
1
?
a
1
?a
3
?
?
?
a
1
?a< br>3
?a
5
?
?
?a
2n?1
?2a?1?1
.
n
a
2
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6
?
?
?a
2n
证明:首先:可以得到
a
n
?n
n
.先证明
1?3?5?< br>?
?(2n?1)
?
2?4?6?
?
?2n
4
1

2n?1
2n?12n?1
2
(方法一)
?
1?3?5?
?
?(2n?1)
?
?
1?3
?< br>3?5
?
?
?
(2n?1)(2n?1)
?
1
?
1
所以
1?3?5?
?
?(2n?1)
?
2 22
??
?
2?4?6?
?
?2n
?
22?134
2(2n)
2?4?6?
?
?2n
1

2n?1
(方法二)因为
1
?
1?1
?
2
,
3
?
3?1
?
4
,
?
,
2n?1
?
2n?1?1
?
4?152n2n?1
2
2n
,相乘得:
2n?1

1
,从而
1?3?5?
?
?(2n?1)1
?
1?3?5?
?
?(2n?1)
?.
?
?
2?4?6?
?
?2n
?
?
2n?1
2?4?6?
?
?2n
2n?1
??
(方法三) 设A=
1?3?5?
?
?(2n?1)
,B=
2?4?6?
?
?2n
2?4?6?
?
?2n
,因为
3?5?7?
?
?(2n?1)
2
A2
1
.
2n?1
所以
?
1?3?5 ?
?
?(2n?1)
?
?
??
?
2?4?6??
?2n
?
1
,
2n?1
从而
1?3?5?
?
?(2n?1)
?
2?4?6?
?
?2n
下面介 绍几种方法证明
a
1
?
a
1
?a
3
??
?
a
1
?a
3
?a
5
?
?
?a
2n?1
?2a?1?1

n
a
2
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6?
?
?a
2n
(方法一)因为

2n?1?
2n?1?2n?1
,所以
1
,所以有
?2n ?1?2n?1
2
2n?1
n
11?31?3?5?
?
?( 2n?1)

??
?
??
?
2k?1?2n?1?1
22?42?4?6?
?
?2n
k?1
(方法二)
n?2?n?< br>2
,因为
n?2?n
1
2n?1
1
?
n?2
2
n?2?n
,所以
1
?n?2?n
n?2

n?2n?1
,可以得到
?2n?1?2n?1
,所以有
n

11?31?3?5?
?
?(2n?1)
??
?
??
?
2k?1?2n?1?1
22?42?4?6?
?
?2n
k?1
(方法三)设
a?
1?3?5?
?
?(2n? 1)
,a?
2n?1
a
所以
2(n?1)a
n?1
?a
n?1
?(2n?1)a
n
?a
n?1
,
n n?1n
2?4?6?
?
?2n2n?2


从而
an?1
?[2(n?1)?1]a
n?1
?(2n?1)a
n
, 从而
a
n
?(2n?1)a
n
?(2n?1)a
n?1
a
1
?a
2
?a
3
???a
n?(2n?1)a
n
?(2n?1)a
n?1
?(2n?1)a
n?1
?(2n?3)a
n?2
???5a
2
?3a
1?(2n?1)a
n
?
3

a
n
?
2
1
,
2n?1
所以
a?a?a?
?
?a?2n?1 ?
3
?2n?1?1

123n
2
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当
n?1时,左边=
1
3
?
k?1
n
1
2k?1
?2n?1?1

,右边=
3?1?
2
3?1
?
1
3?1
2
显然不等式成立;
(ii)假设
n?k(k?1)时,
所以要证明
k?1
i?1
?
i?1
k
1< br>2i?1
?2k?1?1
,则
n?k?1
时,
1
3
?
1
5
?
?
?
1
2k?1
?1
2k?3
?2k?1?1?
1
2k?3
,
?
1
2i?1
?2k?3?1
,只要证明
2k?1?
1
2k ?3
?2k?3?
1
2k?3
?2k?3?2k?1?
1
2 k?3?2k?1
2
,这是成立的.
这就是说当
n?k?1
时,不 等式也成立,所以,综上有
a
1
a
2
?

a
1
?a
3
a?a?a?
?
?a
2n?1
?
?
?
135
?2a
n
?1?1
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6
?
?
?a
2n
探究2.(2008年全国二卷)设函数
f(x)?
解析:因为
f(x)?

g(x)?f(x)?ax
,则sinx
.如果对任何
x

0
,都有
f(x)

ax
,求
2?cosx
a
的取值范围.
sinx
,所以
cosx(2?cosx)?sin
2
x1?2cosx
f'(x) ??
2?cosx
(cosx?2)
2
(cosx?2)
2
g'(x)?f'(x)?a?

,
g(0)?0
1?2cosxcosx ?2?cosx?2?1?223
?a??a???a
222
(cosx?2)(co sx?2)cosx?2(cosx?2)
因为
|cosx|?1
,所以
(i)当
a?
1
时,
3
g'(x)?0
231
?

?
??
?< br>?1,
?
2
cosx?2(cosx?2)3
??
恒成立,即
g(x)?g(0)?0
,所以当
a?
1
时,
f(x)

ax
恒成立.
3
(ii)当< br>a?0
时,
f(
?
)?
1
?0?a?(
?< br>)
,因此当
a?0
时,不符合题意.
222
(iii)当
0?a?
1
时,令
h(x)?sinx?3ax
,则< br>h
?
(x)?cosx?3a
故当
x?
?
0,arc cos3a
?
时,
h
?
(x)?0
.
3
因此
h(x)

?
0,
arccos3a)
时,
h (x)?h(0)?0
,
arccos3a
?
上单调增加.故当
x?(0,

sinx?3ax
.于是,当
x?(0,arccos3a)
时,
f (x)?
所以综上有
a
的取值范围是
?
1
?

?
3
,??
?
??
sinxsinx

??ax
2?cosx3
变式:若
0?x
i
?arccos3a
,其中
i?1,2,3,?,n

1

0?a?
,
x
1
?x
2
?x
3
???x
n
?arccos3a
,求证:
3
xx
xx
3a
tan
1
?tan
2
?tan
3
???tann
?arccos3a
.
22222
xsinx
i
s inx
i
证明:容易得到
tan
i
?

?
2cosx
i
?12
由上面那个题目知道
sinx
i
?3a x
i


就可以知道
tan

xx
x
1
x
3a
?tan
2
?tan
3
???t an
n
?arccos3a

22222
★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数
f(x)?
1?x
e
?ax
.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
1?x
解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
f
?
(x)?
ax
2
?2?a
e
?ax
.
(1?x)
2
(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因
而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-
x
0
?
1
2
a?2
,
a
a?2
,
a
a?2
a
)为减函数, 故在区间(0,
a?2
a
) 内任取一点, 比如取
就有 x
0
∈(0, 1) 且 f (x
0
) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
f(x)?
1?x
e
?ax

1?x
?1
, 这时a满足要求.
1?x
1?x
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

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