高考数学压轴题专项练习(最新版)

高考数学
压轴题型专项练习
（最新版）
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一．选择题（共6小题）

1．（新课标Ⅱ）已知f（x）是定 义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）
=2，则f（1）+f （2）+f（3）+…+f（50）=（ ）

A．﹣50

B．0 C．2 D．50
2．（新课标Ⅱ）已知F
1
，F
2
是椭圆C：< br>在过A且斜率为
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P
的直线上，△ PF
1
F
2
为等腰三角形，∠F
1
F
2
P =120°，则C的离心率为（ ）


A． B． C． D．

3．（上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转
A．

后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）

B． C． D．0
4．（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零 向量与的夹角为
4
A．

，向量满足﹣
+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）

﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

5．（浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB上的点（不含端点）．设
SE与BC所成的角为θ
1
，SE与平面ABCD 所成的角为θ
2
，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3
，则（ ）

A．θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B．θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C．θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D．θ
2
≤θ
3
≤θ
1

6．（浙江）函数y=2
|
x
|
sin2x的图象可能是（ ）

A． B． C．
2 16
D．

7．（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
条渐近线的距离为

﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一
c，则其离心率的值为 ．

8．（江苏）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（ a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，
1]上的最大值与最小值的和为 ．

9．（天津）已知a＞0，函数f（x）=
的实数解，则a的取值范围是 ．

．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异
10．（北京）已知椭圆M：+ =1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线
与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个 焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；
双曲线N的离心率为 ．

11．（上海）已知实数x
1
、x
2
、y
1、y
2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1， x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，则
的最大值为 ．

+
12．（上海）已知常数a＞0，函数f（x）=
则a= ．

的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2
p
+
q
=36pq，< br>13．（浙江）已知λ∈R，函数（fx）=，当λ=2时，不等式（fx）＜0的解集是 ．若
函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．

14．（浙江）已知点P（0，1），椭圆
点B横坐标的绝对值最大．
+y
2
=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 时，
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15．（浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4 ，6中任取2个数字，一共可以组成 个
没有重复数字的四位数．（用数字作答）



三．解答题（共2小题）

16．（上海）设常数a∈R，函数 f（x）=asin2x+2cos
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（





）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解． 17．（浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，
﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=


，求cosβ的值．

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高考数学压轴题小题

参考答案与试题解析



一．选择题（共6小题）
1．（新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若 f（1）
=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f（1）+ f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（ 50）

=f（1）+f（2）=2+0=2，

故选：C．



2．（新课标Ⅱ）已知F
1
，F
2
是椭圆C：
在过A且斜率为
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P
的直线上， △PF
1
F
2
为等腰三角形，∠F
1
F
2
P=120°，则C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【解答 】解：由题意可知：A（﹣a，0），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），

直线AP的方程为：y=（x+a），

c），

由∠F
1
F
2
P=120°，|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c，则P（2c，
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c ，

∴题意的离心率e==．

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故选：D．




3．（上海）设D是函 数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针
旋转
A．< br>后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）

B． C． D．0

个单位后与【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点 逆时针旋转
下一个点会重合．

我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时 ，此时得到的圆心角为，，0，然而
此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的 定义就是要求一个x只能对应一个y，
因此只有当x=
故选：B．



4．（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
4
A．
+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）

﹣1 B．+1
﹣4
），

，

C．2 D．2﹣

，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．

，向量满足﹣
【解答】解：由
∴（）⊥（
+3=0，得，

如图，不妨设
则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

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又非零向量与的夹角为
不妨以y=
即
故选：A．

，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线
．

的距离减1．




5．（浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等 ，E是线段AB上的点（不含端点）．设
SE与BC所成的角为θ
1
，SE与平面AB CD所成的角为θ
2
，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3
，则（ ）

A．θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B．θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C．θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D．θ
2
≤θ
3
≤θ
1

【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．

过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，

连接SN，

取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，
则θ
1
=∠SEN，θ
2
=∠SEO，θ
3
=∠SMO ．

显然，θ
1
，θ
2
，θ
3
均为锐角．

∵tanθ
1
=
∴θ
1
≥θ
3
，

又sinθ
3
=
∴θ
3
≥θ
2
．

故选：D．

，sinθ
2
=，SE≥SM，

=，tanθ
3
=，SN≥SO，

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6．（浙江）函数y=2
|
x
|
sin2x的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：根据函数的解析式y=2
|
x
|
sin2x，得到：函数的图象为奇函数，

故排除A和B．

当x=时，函数的值也为0，

故排除C．

故选：D．



二．填空题（共9小题）

7．（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
条渐近线的距离为
【解答】解：双曲线
﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一
c，则其离心率的值为 2 ．

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

可得：=b=，

可得，即c=2a，

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所以双曲线的离心率为：e=
故答案为：2．



．

8．（江苏）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，
1]上的最大值与最小值 的和为 ﹣3 ．

【解答】解：∵函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞） 上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣ 1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）
min=f（﹣1）=﹣4，f（x）
max
=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）
max
+f（x）
min
=﹣4+1=﹣3．



9．（天津）已知a＞0，函数f（x）=
的实数解，则a的取值范围是 （4，8） ．

【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x
2
+2ax+a=ax，

得x
2
+ax+a=0，

得a（x+1）=﹣x
2
，

得a=﹣，

，则g′（x）=﹣=﹣
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．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异
设g（x）=﹣，

由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，

由 g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，

当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x
2
+2ax﹣2a=ax，

得x
2
﹣ax+2a=0，

得a（x﹣2）=x
2
，当x=2时，方程不成立，

当x≠2时，a=
设h（x）=

，则h′（x）==，

由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，

由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜ 4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，

要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

则由图象知4＜a＜8，

故答案为：（4，8）




10．（北京）已知椭圆M ：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线
与椭圆M的四个交点及椭圆M的 两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 2 ．

【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与
椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

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