高中数学压轴题精选

2007年高考压轴题集锦
1．(安徽卷) 如图，曲线
G
的方程为
y
2
?2x(y
≥
0)
．以原点为圆心．以
t(t ?0)
为半径的圆
分别与曲线
G
和
y
轴的正半轴相交于点< br>A
与点
B
．直线
AB
与
x
轴相交于点
C
．
（Ⅰ）求点
A
的横坐标
a
与点
C
的横坐标
c
的关系式
（Ⅱ）设曲线
G
上点
D
的横 坐标为
a?2
，求证：直线
CD
的斜率为定值．


y

G:y
2
?2x


D


A
B



O
a
a?2

Ｃ

x



2．(安徽卷) 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为
a
1
，
以后每年交纳的数目均比上一年增加
d(d?0)
，因此，历年 所交纳的储备金数目
a
1
，a
2
，
是
一个公差为< br>d
的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且
计算复利 ．这就是说，如果固定年利率为
r(r?0)
，那么，在第
n
年末，第一年所 交纳的储
备金就变为
a
1
(1?r)
n?1
，第二年所交纳 的储备金就变为
a
2
(1?r)
n?2
，
末所累计的储备金 总额．
（Ⅰ）写出
T
n
与
T
n?1
(n
≥
2)
的递推关系式；
（Ⅱ）求证：
T
n
?A
n
?B
n
，其中
?
A
n
?
是一个等比数列，
?
B
n
?
是一个等差数列．


3．( 北京卷)已知集合
．以
T
n
表示到第
n
年
A??
a
1
，a
2
，，a
k
?
(k≥2)
，其中
a
i
?Z(i?12，，，k)
，由
A
中< br>的元素构成两个相应的集合：
S?
?
(a，b)a?A，b?A，a?b?A
?
，
T?
?
(a，b)a?A，b?A，a?b?A
?．
其中
(a，b)
是有序数对，集合
S
和
T
中的元素个数分别为
m
和
n
．
若对于任意的
a?A
，总有
?a?A
，则称集合
A
具有性质
P
．
（ I）检验集合
2，3
?
，，，3
?
?
?1，
?012
与是否具有性质
P
并对其中具有性质
P
的集合，写出相应
的集合
S
和
T
；

（II）对任何具有性质
P
的集合
A
，证明：
n≤
k(k?1)
2
；
（III）判断
m
和
n
的大小关系，并证明你的结论．


4．（福建卷）等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，a
1
?1?2，S
3
? 9?32
．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项
an
与前
n
项和
S
n
；
（Ⅱ）设
b
n
?


5．（福建卷）已知函数
f(x)?e?kx，x?R

（Ⅰ）若
k?e
，试确定函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ ）若
k?0
，且对于任意
x?R
，
f(x)?0
恒成立，试 确定实数
k
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
F(x)?f(x)?f(?x)< br>，求证：
F(1)F(2)


6．(广东卷) 已知
a是实数，函数
f(x)?2ax?2x?3?a
．如果函数
y?f(x)
在区间
[?1,1]
上有零点，求
a
的取值范围．

< br>7．(广东卷)已知函数
f(x)?x?x?1
，
?
、
?是方程
f(x)?0
的两个根(
?
?
?
)，
f
?
(x)
2
2
x
S
n
(n?N
?
)
，求证：数列
{b
n
}
中任意不同的三项都不可能成为等 比数列．
n
F(n)?(e
n?1
?2)(n?N
?
)
．
n
2
是
f(x)
的导数．设
a
1
?1，
a
n?1
?a
n
?
(1)求
?
、< br>?
的值；
f(a
n
)
，
(n?1,2,)
.
f
?
(a
n
)
(2)证明：对任意的正整数
n
有
an
?
?
；
（3）记
b
n
?ln



a
n
?
?
,
(n?1,2,)
.求数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
．
a
n
?
?

8．（湖北卷）已知定义在正实数集上的函 数
f(x)?
1
2
x?2ax
，
g(x)?3a
2
lnx?b
，其中
2
a?0
．设两曲线
y?f(x)
，
y?g(x)
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用
a
表示
b
，并求
b
的最大值；
（II）求证：
f(x)≥g(x)
（
x?0
）．


9．（湖北卷）已知
m，n
为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当
x??1
时，
(1?x)≥1?mx
；
m
1
?
1m
?
1
??
（II）对于
n≥6
，已知
?
1?
，求证，
?1??
???
22
?
n?3
??
m?3
?
m
??
1??
求证
?
1?
，2，，n
；
?
?
??
，
m?1
n?32
????
（III）求出满足等式
3 ?4?


10．（湖南卷）已知双曲线
x?y?2
的左、右焦点分 别为
F
1
，
F
2
，过点
F
2
的动 直线与双
曲线相交于
A，B
两点．
（I）若动点
M
满足
FM
，求点
M
的轨迹方程；
?F
1
A?F
1
B?FO
11
（其中
O< br>为坐标原点）
（II）在
x
轴上是否存在定点
C
，使
CA
·
CB
为常数？若存在，求出点
C
的坐标；若不存
在， 请说明理由．


11．（湖南卷）已知
A
n
(a
n
，b
n
)
（
n?N*
）是曲线
y?e
上的点，
a
1
?a
，
S
n
是数列
{an
}
222
的前
n
项和，且满足
S
n
?3na
n
?S
n?1
，
a
n
?0
，n?2，
…．
3，4，
mm
mm
nn
?(n?2)< br>n
?(n?3)
m
的所有正整数
n
．
22
x
（I）证明：数列
?
?
b
n?2
?
?
（
n≤2
）是常数数列；
?
b
n
?
（II）确定< br>a
的取值集合
M
，使
a?M
时，数列
{a
n
}
是单调递增数列；
（III）证明：当
a?M
时，弦
A
n
A
n?1
（
n?N*
）的斜率随
n
单调 递增．

12．（江苏卷）数列
{a
n
}
为等差数列，数列
{b
n
}
是公比为
q
的等比数列，若a
1
?b
1
，a
2
?b
2
?a
1
，记
S
n
为数列
{b
n
}
的前
n
项的和．
（1）若
b
k
?a
m
(k，m是大 于2的正整数)
，求证：
S
k?1
?(m?1)a
1
；（4 分）
（2）若
b
3
?a
i
(i为某个正整数)
， 求证：
q
为整数，且数列
{b
n
}
中的每一项都是数列{a
n
}
的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数
q
，使等比数列
{b
n
}
中有3项成等差数列，若存在，写出一个
q
的
值；若不存在，请说明理由．（4分）


13．（江苏卷）设
a，b，c，d
是不全为
0
的实数，函数
f(x)?bx?cx?d ，

2
g(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d，若
f(x)?0
有实数根，且都是
g(f(x))?0
的根，反之，< br>g(f(x))?0
的实根都是
f(x)?0
的根．
（1）求
d
的值；（3分）
（2）若
a?0
，求
c
的取值范围；（6分）
（3）若
a?1
（7分）
，f(1)?0
，求
c
的取值范围．

2007年高考压轴题集锦（答案）
1．本小题综合考查平面解析几何知识， 主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直
线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考 查运算能力与思维能力、综合分析问
题的能力．本小题满分12分．
y
解：（Ⅰ）由题意知，
A(a，2a)
．
2
因为
OA?t
，所以
a?2a?t
．
B
A
由于
t?0
，故有
t?a
2
?2a
． （1）
由点
B(0，t)，C(c，0)
的坐标知，
直线
BC
的方程为
O
a
22
G:y?2x

D
a?2

Ｃ

x
xy
??1
．
ct
a2a
??1
，
ct
又因点
A
在直线
BC
上，故有
将（1）代入上 式，得
a2a
??1
，
c
a(a?2)
解得
c?a?2?2(a?2)
．
（Ⅱ）因为
D(a?2，2(a?2))
，所以直线
CD
的斜率为
k
CD
?
2(a?2)2(a?2)2(a?2)
????1
．
a?2?c
a?2?(a?2?2(a?2))?2(a?2)
所以直线
CD
的斜率为定值．


2．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本 概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取
信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实 际问题的能力．本小题满分
14分．
解：（Ⅰ）我们有
T
n
?T< br>n?1
(1?r)?a
n
(n
≥
2)
．
（ Ⅱ）
T
1
?a
1
，对
n
≥
2
反复 使用上述关系式，得
T
n
?T
n?1
(1?r)?a
n< br>?T
n?2
(1?r)
2
?a
n?1
(1?r)?a
n
?
n?1n?2

?a
1
(1?r)?a
2
(1?r)?

①
?a
n?1
(1?r)?a
n
，
在①式两端同乘
1?r
，得
(1?r)T
n
?a
1
(1?r)
n
?a
2
(1?r)
n?1
??a< br>n?1
(1?r)
2
?a
n
(1?r)
② < /p>

nn?1n?2
②
?
①，得
rT
n
? a
1
(1?r)?d[(1?r)?(1?r)??(1?r)]?a
n
< br>d
[(1?r)
n
?1?r]?a
1
(1?r)
n< br>?a
n
．
r
ar?dar?d
d
n
即T
n
?
1
2
(1?r)?n?
1
2
．
rrr
ar?dar?d
d
n
如果记
A
n
?
1
2
(1?r)
，
B
n
??
1
2
?n
，
rrr

?
则
T
n
?A
n
?B
n
． 其中
?
A
n
?
是以
a
1
r?d
(1?r)
为首项，以
1?r(r?0)
为公比的等比数列；
?
B
n
?
是以
2
r
ar?d
d
d
?< br>1
2
?
为首项，
?
为公差的等差数列．
rr
r


3．（I）解：集合
集合
，，，3??
012
不具有性质
P
．
2，3
?
S?< br>?
(?13)，，，(3?1)
??
?1，
具有性质
P
，其相应的集合
S
和
T
是，
．
T?
?
(2，?1)，，?23?
?
（II）证明：首先，由
A
中元素构成的有序 数对
因为
0?A
，所以
(a
i
，a
j
)< br>共有
k
个．
2
(a
i
，a
i
)?T(i?12，，，k)
；
(a
i
，a
j
)?T
又因为当
a?A
时，
?a?A
时，
?a?A
，所以当时，
(a
j
，a< br>i
?)Ti，j(?，，，1k2
．
1
2
k(k?1)
(k?k)?
2
， 从而，集合
T
中元素的个数最多为
2
n≤
即
k(k?1)
2
．
（III）解：
m?n
，证明如下：
（1）对于
(a，b)?S< br>，根据定义，
a?A
，
b?A
，且
a?b?A
，从而
(a?b，b)?T
．
如果
(a，b)
与
(c，d)是
S
的不同元素，那么
a?c
与
b?d
中至少有一个不 成立，从而
a?b?c?d
与
b?d
中也至少有一个不成立．
故< br>(a?b，b)
与
(c?d，d)
也是
T
的不同元素．

可见，
S
中元素的个数不多于
T
中元素的个数，即
m≤n
，
A
，从而
(a?b，b)?S
．如（2）对于
(a，b)?T
，根据定义，
a?A
，
b?A
，且
a?b?
果
(a，b)
与
(c，d)
是
T
的不同元素，那么
a?c
与
b?d
中至少有一个不成立，从而
a?b?c?d
与
b?d
中也不至少有一个不成立，
故
(a?b，b)
与
(c?d，d)
也是
S
的不同元素．
可见，
T
中元素的个 数不多于
S
中元素的个数，即
n≤m
，
由（1）（2）可知，
m?n
．


4．本小题考查数列 的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前
n
项和公式，考查等
比数列的概念与 性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
?
?
a
1
?2?1，
解：（Ⅰ）由已知得
?
，
?d?2
，
?
?
3a
1
?3d?9?32






故
a
n
?2n?1?2，S
n
?n(n?2)
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
b
n
?
S
n
?n?2
．
n
2
假设数列
{b
n
}
中存在三项
bp
，b
q
，b
r
（
p，q，r
互不相等）成等 比数列，则
b
q
?b
p
b
r
．
2
即
(q?2)?(p?2)(r?2)
．
?(q
2
?pr)?(2q?p?r)2?0

p，q，r?N
?
，
2
?
q
2
?pr? 0，
?
p?r
?

?
?
?
?
(p?r)
2
?0，?p?r
．
?
?pr，
2
??
?
2q?p?r?0，
与
p?r
矛盾．


所以数列
{b
n
}
中任意不同的三项都不可能成等比数列．


5．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函< br>数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问
题的能 力．满分14分．
x
解：（Ⅰ）由
k?e
得
f(x)?e?ex< br>，所以
f
?
(x)?e?e
．
x

由
f
?
(x)?0
得
x?1
，故
f(x)
的 单调递增区间是
(1，??)
，
由
f
?
(x)?0
得
x?1
，故
f(x)
的单调递减区间是
(??，1)
．
（Ⅱ）由
f(?x)?f(x)
可知
f(x)
是偶函数．
于是
f(x)?0
对任意
x?R
成立等价于
f(x)?0
对 任意
x≥0
成立．
x
由
f
?
(x)?e?k?0
得
x?lnk
．
x
①当
k?(01]，
时，f
?
(x)?e?k?1?k≥0(x?0)
．
此时
f(x)
在
[0，??)
上单调递增．
故
f(x)≥f(0)?1?0
，符合题意．
②当
k?(1，??)
时，
lnk?0
．
当
x< br>变化时
f
?
(x)，f(x)
的变化情况如下表：
x

(0，lnk)

lnk

0

极小值
(lnk，??)

?

单调递增
f
?
(x)

f(x)

?

单调递减
由此可得，在
[0，??)
上，
f(x)≥f(lnk) ?k?klnk
．
依题意，
k?klnk?0
，又
k?1，?1?k?e
．
综合①，②得，实数
k
的取值范围是
0?k?e
．
（Ⅲ）
F(x)?f(x)?f(?x)?e
x
?e
?x
，
?F(x
1
)F(x
2
)?
e
x
1
?x
2
?e
?(x
1
?x
2
)
?ex
1
?x
2
?e
?x
1
?x
2
?e
x
1
?x
2
?e
?(x
1
?x2
)
?2?e
x
1
?x
2
?2
，
?F(1)F(n)?e
n?1
?2
，
F(2)F(n?1)?e
n?1
?2

F(n)F(1)?e
n?1
?2.
由此得，
[F(1)F(2)
故
F(1)F( 2)
F(n)]
2
?[F(1)F(n)][F(2)F(n?1)][F(n)F( 1)]?(e
n?1
?2)
n

n?1
F(n)?(e?2)，n?N
?
．
n
2

6．解析1：函数
y?f(x)< br>在区间[-1，1]上有零点，即方程
f(x)?2ax
2
?2x?3?a=0在[-1，1]
上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x) =0在[-1，1]上有解<=>
f(?1)?f(1)?0
或
?
af(?1 )?0
?
af(1)?0
?
?3?7?3?7
?
或
a?5
?
a?
或a≥1.
?
??4?8a(3?a)?0
?1?a?5
或
a?
22
?
?
?
1
?[? 1.1]
?
?
a
?3?7
或a≥1.
2
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
所以实数a的取值范围是
a?
∴
f(x)?2ax
2
?2x?3?a
=0在[-1，1]上 有解，
?(2x
2
?1)a?3?2x
在[-1，1]上有解
12x
2
?12x
2
?1
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数
y?
[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x
??
a3?2x3?2x
1(t?3)
2
?217
∈[-1，1]，则
2x?3?t
，t∈[ 1,5],
y???(t??6)
，
2t2t
7t
2
?7
t?[1,7)
时，
t?(7,5]
时，设
g(t)?t?.g'( t)?
2
，此函数g(t)单调递减，
g'(t)?0
，
g'(t)
>0,
t
t
此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是
[7?3, 1]
，∴
f(x)?2ax
2
?2x?3?a
=0在[-1，1]上
有解?


7．解析：（1）∵
f(x)?x
2
? x?1
，
?
,
?
是方程f(x)=0的两个根
(
?
?
?
)
，
∴?
?
?1?5?1?5
；
,
?
?
22
115
a(2a?1)?(2a?1)?
nnn
a?a
n
?1
44

?a
n
?? a
n
?
2
2a
n
?12a
n
?1
2
n
3?7
1
∈
[7?3,1]
?a?1
或
a??
。
2
a
（2）
f'(x)?2x?1
，
a
n?1
5
4
=
(2a
n
?1)?
1< br>4
1
5?1
5?1
，∵
a
1
?1
， ∴有基本不等式可知
a
2
??0
（当且仅当
a
1
?
2a
n
?12
2
2
?
5?1
5?15?1
，……，
a
n
?
，
?
?
（n=1,2, ……）
?0
同，样
a
3
?
2
22
(a?< br>?
)(a
n
?
?
)a
n
?
?
?(a
n
?1?
?
)
，而
?
?
?
??1
，即
?
?1??
?
， （3）
a
n?1
?
?
?a
n
?
?
?
n
2a
n
?12a
n
?1
时取等号），∴
a
2
?
(a
n
?
?
)
2
(a
n
?
?< br>)
2
1?
?
3?53?5
a
n?1
?
?
?
n?ln2?ln
，同理
a
n?1
?
??
，
b
n?1
?2b
n
，又
b
1?l
2a
n
?12a
n
?1
1?
?
2
3?5

S
n
?2(2
n
?1)l n
3?5
。
2

8．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等 知识，考查综合运用数学知识解决问题的
能力．
解：（Ⅰ）设
y?f(x)
与
y?g(x)(x?0)
在公共点
(x
0
，y
0
)
处的切线相同．
3a
2
，由题意
f(x
0
)? g(x
0
)
，
f
?
(x
0
)?g
?
(x
0
)
．
∵f
?
(x)?x?2a
，
g
?
(x)?
x
?
1
22
x?2ax? 3alnx
0
?b，
00
?
3a
2
?
2< br>即
?
由
x
0
?2a?
得：
x
0?a
，或
x
0
??3a
（舍去）．
2
3a< br>x
0
?
x
0
?2a?，
?
x
0?
1
2
5
a?2a
2
?3a
2
lna ?a
2
?3a
2
lna
．
22
5
22< br>令
h(t)?t?3tlnt(t?0)
，则
h
?
(t)?2 t(1?3lnt)
．于是
2
即有
b?
当
t(1?3ln t)?0
，即
0?t?e
时，
h
?
(t)?0
；
当
t(1?3lnt)?0
，即
t?e
时，
h
?< br>(t)?0
．
11
????
?∞
?
为减函数， 故
h(t)
在
?
0，e
3
?
为增函数，在
?
e
3
，
????
2
?
1
?
3于是
h(t)
在
(0，?∞)
的最大值为
h
?
e
3
?
?e
3
．
??
2
1
3< br>1
3
（Ⅱ）设
F(x)?f(x)?g(x)?
1
2
x?2ax?3a
2
lnx?b(x?0)
，
2
3a
2
(x?a)(x?3a)
?(x?0)
． 则
F
?
(x)
?x?2a?
xx
?∞)
为增函数， 故
F(x)
在
(0，a)
为减函数，在
(a，
?∞)
上的最小值是
F(a)?F(x
0
)?f(x
0
)?g(x
0
)?0
． 于是函数
F(x)
在
(0，
故当
x ?0
时，有
f(x)?g(x)
≥
0
，即当
x?0
时，
f(x)
≥
g(x)
．



< /p>

9．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分
析问题能力和推理能力．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当
m?1
时，原不等式成立；当
m?2
时，左边
?1?2x?x
，右 边
?1?2x
，
因为
x
2
2
≥
0
，所以左边
≥
右边，原不等式成立；
k
（ⅱ）假设当
m?k时，不等式成立，即
(1?x)
≥
1?kx
，则当
m?k?1< br>时，
∵x??1
，
∴1?x?0
，于是在不等式
(1?x)
k
≥
1?kx
两边同乘以
1?x
得
(1?x)< br>k
·(1?x)
≥
(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx
2
≥
1?(k?1)x
，
所以
(1?x)
k?1
≥
1?(k?1)x
．即当
m?k?1
时，不等式也成立．
m
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数
m
，不等式都成立．
1?
m
?
（Ⅱ）证：当
n
≥
6，m
≤
n
时，由（Ⅰ）得
?
1?
≥
1??0
，
?
n?3n?3
??
于是
?
1?
?
?
m
?< br>1
??
≤
1?
???
n?3
??
n?3?
nnm
nm
?
?
1
?
?
?
1
?
，2，，n
．
?
?
?
1?
?
?
?
??
，
m?1
?
2
?
?
?
?
n?3
?
?
?
m
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n
≥
6
时，
1
??
2
??
1??1 ?
????
?
n?3n?3
????
nn
n
?1
?
1
??
?
?
1?
?
??
??
?
n?3
??
2
?
2
?
n
n
2
1
?
1
?
?
??
?1?
n?1
，
2
?
2
?
n
?
n?2
??
n?1
?
∴
??
?
??
?
?
n?3
??
n?3
?
即
3?4?
nn
nn
?
3
?
?
??
?1
．
?
n?3
?
?(n?2)
n
?(n?3)
n
．即当
n
≥< br>6
时，不存在满足该等式的正整数
n
．
故只需要讨论
n?1，2，3，4，5
的情形：
当
n?1
时，
3?4
，等式不成立；
当
n?2
时，
3?4?5
，等式成立；
当
n?3
时，
3?4?5?6
，等式成立；
当
n ?4
时，
3?4?5?6
为偶数，而
7
为奇数，故
3?4? 5?6?7
，等式不成立；
当
n?5
时，同
n?4
的情形可分析出，等式不成立．
3
． 综上，所求的
n
只有
n?2，
解法2：（Ⅰ）证：当
x?0
或
m?1
时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当
x??1
，且
x?0
时，
m
≥
2
，
(1?x)?1?mx
． ①
m
222
3333
444 4
4
44444

（ⅰ）当
m?2
时，左边
? 1?2x?x
，右边
?1?2x
，因为
x?0
，所以
x?0
，即左边
?
右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当
m?k(k
≥
2)
时，不等式①成立，即
(1?x)?1?kx
，则当
m?k ?1
时，
k
22
因为
x??1
，所以
1?x?0
．又因为
x?0，k
≥
2
，所以
kx?0
．
2
于是在不等式
(1?x)?1?kx
两边同乘以
1?x
得
k
(1?x)
k
·(1?x)?(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x ?kx
2
?1?(k?1)x
，
所以
(1?x)
k?1< br>?1?(k?1)x
．即当
m?k?1
时，不等式①也成立．
n
综上所述，所证不等式成立．
mm
?
?
1
?< br>1
1
?
?
?
1
?
?
（Ⅱ）证：当< br>n
≥
6
，
m
≤
n
时，
∵
?
1?
?
?
，
∴
?
?
1?
?
?
?
??
，
n?32
??
?
?
n?3
?
?
?
?
2
?
?
n
1
?
m
?
而由（Ⅰ），
?
1?
≥
1?0?
，
?
n?3
?
n?3
?
mm
??
m11??????
∴
?
1?
?
≤
?
?
1?
?
?
?
??
．
?
n?3
?
?< br>?
n?3
?
?
?
?
2
?
?
n
n
m
（Ⅲ）解：假设存在正整数
n
0
≥
6
使等式
3
0
?4
0
?
nn
?(n
0?2)
n
0
?(n
0
?3)
n
0
成立 ，
?
3
??
4
?
?
即有
????
?
n?3n?3
?
0
??
0
?
n
0n
0
n
0
?
n?2
?
?
?
0
?
?1
． ②
n?3
?
0
?
n
0
n
0
?
3
??
4
?
又由（Ⅱ） 可得
??
?
??
?
n?3n?3
?
0
??
0
?
??
n?1
?
n
?
?
?1?
0
?
?
?
1?
0
?
?
?
n
0
?3
??
n
0
?3
?
00< br>?
1
??
1
?
?
??
?
??
?
?
2
??
2
?
?
n
0
?2< br>?
?
??

n?3
?
0
?
n
0
n
0
n
0
n
0
?
1
?
?
?
1?
?

?
n
0
?3
?< br>nn?1
?
11
?1?
n
0
?1
，与②式矛 盾．
22
故当
n
≥
6
时，不存在满足该等式的正整数n
．
下同解法1．


0)
，
F
2
(2，0)
，设
A(x
1
，y
1
)
，< br>B(x
2
，y
2
)
． 10．解：由条件知
F
1
(?2，

解法一：（I）设
M(x，y)
，则则
FM?(x?2，y)
，
F
1
A?(x
1
?2，y
1
)
，
1
F
1
B?(x
2
?2，y2
)，FO?(2，0)
，由
FM?F
1
A?F
1B?FO
111
得
?
x?2?x
1
?x
2< br>?6，
?
x
1
?x
2
?x?4，
即
?

?
y?y?y
y?y?y
?
12
?
1 2
于是
AB
的中点坐标为
?
?
x?4y
?
，
?
．
?
22
?
y
y
y?y
2
y
2
当
AB
不与
x
轴垂直时，
1
，即
y
1
?y
2
?(x
1
?x
2
)
．
??
x?8
x
1
?x
2
x?4?2
x?8
2
2222
又因为
A，B
两点在双曲线上， 所以
x
1
?y
1
?2
，
x
2
?y
2
?2
，两式相减得
(x
1
?x
2
)( x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)(y1
?y
2
)
，即
(x
1
?x
2
)(x?4)?(y
1
?y
2
)y
．
将
y1
?y
2
?
y
(x
1
?x
2
)
代入上式，化简得
(x?6)
2
?y
2
?4
．
x?8
当
AB
与
x
轴垂直时，
x
1
?x
2
?2
，求得
M(8，0)
，也满足上述方程．
所以点
M
的轨迹方程是
(x?6)?y?4
．
（II）假 设在
x
轴上存在定点
C(m，0)
，使
CACB
为常数．
当
AB
不与
x
轴垂直时，设直线
AB
的方程是y?k(x?2)(k??1)
．
代入
x?y?2
有
(1?k)x?4kx?(4k?2)?0
． < br>222222
22
4k
2
4k
2
?2
则x
1
，x
2
是上述方程的两个实根，所以
x
1
?x
2
?
2
，
x
1
x
2
?
2
，
k?1
k?1
于是
CACB?(x
1
?m )(x
2
?m)?k
2
(x
1
?2)(x
2
?2)

?(k
2
?1)x
1
x
2
?( 2k
2
?m)(x
1
?x
2
)?4k
2
? m
2

(k
2
?1)(4k
2
?2)4k
2
(2k
2
?m)
22
???4k?m

22k?1k?1
2(1?2m)k
2
?24?4m
2
??m?2( 1?2m)??m
2
．
22
k?1k?1
因为
CACB< br>是与
k
无关的常数，所以
4?4m?0
，即
m?1
， 此时
CACB
=
?1
．

?2)
， 当AB
与
x
轴垂直时，点
A，B
的坐标可分别设为
(2， 2)
，
(2，
?2)??1
． 此时
CACB?(1，2)(1，< br>故在
x
轴上存在定点
C(1，0)
，使
CACB
为常 数．
?
x
1
?x
2
?x?4，
解法二：（I）同 解法一的（I）有
?

y?y?y
?
12
当
AB< br>不与
x
轴垂直时，设直线
AB
的方程是
y?k(x?2)(k ??1)
．
代入
x?y?2
有
(1?k)x?4kx?(4k?2)?0
． < br>222222
4k
2
则
x
1
，x
2
是上述方程的两个实根，所以
x
1
?x
2
?
2
．
k?1
?
4k
2
?
4k
．
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
?4)?k
?
?4
?
?
2
?
k?1
?
k?1
4 k
2
由①②③得
x?4?
2
．…………………………………………… ……④
k?1
y?
4k
．………………………………………………………… …………⑤
2
k?1
x?4
?k
，将其代入⑤有
y当
k?0
时，
y?0
，由④⑤得，
x?4
4y(x?4 )
y
22
y??
．整理得
(x?6)?y?4
．
2
22
(x?4)
(x?4)?y
?1
y
2
4?< br>0)
，满足上述方程． 当
k?0
时，点
M
的坐标为
(4，
当
AB
与
x
轴垂直时，
x
1
?x< br>2
?2
，求得
M(8，0)
，也满足上述方程．
故点
M
的轨迹方程是
(x?6)?y?4
．
22
0)
，使
CACB
为常数， （II）假设在
x
轴上存在定点点
C(m，
4k
2
4k
2
?2
当< br>AB
不与
x
轴垂直时，由（I）有
x
1
?x
2
?
2
?1
，
x
1
x
2
?
2
．
k
k?1
以上同解法一的（II）．

222
11．解：（I）当
n≥2
时，由已知得
S
n
?S
n?1
?3na
n
．
2
因为
a
n
?S
n
?S
n?1
?0
，所以
S
n
?S
n?1
?3n
． …… ①
2
于是
S
n?1
?S
n
?3(n?1)
． ……②
由②－①得
a
n?1
?a
n
?6n?3
． …… ③
于是
a
n?2
?a
n?1
?6n?9
． …… ④
由④－③得
a
n?2
?a
n
?6
， …… ⑤
?
b
?
b
n?2
e
a
n?2< br>所以
?
a
n
?e
a
n?2
?a
n< br>?e
6
，即数列
?
n?2
?
(n≥2)
是常 数数列．
b
n
e
?
b
n
?
（II）由① 有
S
2
?S
1
?12
，所以
a
2
?12?2a
．由③有
a
3
?a
2
?15
，
a
4
?a
3
?21
，所以
a
3
?3?2 a
，
a
4
?18?2a
．
而 ⑤表明：数列
{a
2k
}
和
{a
2k?1
}
分别是以
a2
，
a
3
为首项，6为公差的等差数列，
所以
a2k
?a
2
?6(k?1)
，
a
2k?1
?a
3
?6(k?1)
，
a
2k?2
?a
4
? 6(k?1)(k?N*)
，
数列
{a
n
}
是单调递增数 列
?a
1
?a
2
且
a
2k
?a
2 k?1
?a
2k?2
对任意的
k?N*
成立．
?a
1
?a
2
且
a
2
?6(k?1)?a
3
?6(k?1)?a
4
?6(k?1)

?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a?12?2a?3?2a?18?2a?即所求
a
的取值集合是
M?
?
a
915
?a?
．
44
?915?
?a?
?
．
4
??
4
b
n?1
?b
n
e
a
n?1
? e
a
n
（III）解法一：弦
A
n
A
n?1
的斜率为
k
n
?

?
a
n?1
?an
a
n?1
?a
n
e
x
(x?x
0< br>)?(e
x
?e
x
0
)
e
x
?e< br>x
0
任取
x
0
，设函数
f(x)?
，则f(x)?

x?x
0
(x?x
0
)
2
xxxxxx
记
g(x)?e(x?x
0
)?(e?e
0
)
，则
g
?
(x)?e(x?x
0
)?e?e?e(x?x
0
)
，
x
??)
上为增函数， 当
x?x
0
时，
g
?
(x)?0
，
g(x)
在
( x
0
，

当
x?x
0
时，
g
?
(x)?0
，
g(x)
在
(??，x
0
)
上为减函数，
??)
上所以
x?x
0
时，
g(x)?g (x
0
)?0
，从而
f
?
`(x)?0
，所以f(x)
在
(??，x
0
)
和
(x
0
，
都是增函数．
由（II）知，
a?M
时，数列
{a
n< br>}
单调递增，
e
a
n?1
?e
a
n
e
a
n?2
?e
a
n
取
x
0
? a
n
，因为
a
n
?a
n?1
?a
n?2< br>，所以
k
n
?
．
?
a
n?1
?a
n
a
n?2
?a
n
e
a
n?1
? e
a
n?2
e
a
n
?e
a
n?2
取
x
0
?a
n?2
，因为
a
n
?a
n?1
?a
n?2
，所以
k
n?1
?
．
?
a
n?1
?a
n?2
a
n
?a
n?2
所以
k
n
?k
n?1
，即弦
A
n
A
n?1
(n?N*)
的斜率随
n
单调递增．
e
x
?e
a
n?1
??)
上都是解法二：设函数
f(x)?< br>，同解法一得，
f(x)
在
(??，a
n?1
)
和< br>(a
n?1
，
x?a
n?1
增函数，
e
a
n
?e
a
n?1
e
x
?e
a
n? 1
e
a
n?2
?e
a
n?1
e
x
?e
a
n?1
a
n?1
所以
k
n
??li m?e
，
k
n?1
??lim?e
a
n?1
． < br>??
a
n
?a
n?1
n→a
n?1
x?a< br>n?1
a
n?2
?a
n?1
n→a
n?1
x ?a
n?1
故
k
n
?k
n?1
，即弦
A< br>n
A
n?1
(n?N*)
的斜率随
n
单调递增．



12．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分 类讨论等思想方法进
行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．
解：（1）设等差数列的 公差为
d
，则由题设得
a
1
?d?a
1
q
，
d?a
1
(q?1)
，且
q?1
．
由
b
k
?a
m
得
b
1
q
k?1
?a
1
?(m?1)d
，所以
b
1
(q
k?1
?1)?(m?1)d
，
b
1
(q
k?1
?1)
(m?1)d
(m?1)a
1
(q?1)
S
k?1
???? (m?1)a
1
．
q?1q?1q?1
故等式成立．
（2）（ⅰ）证明
q
为整数：
2
2
由
b
3
?a
i
得
b
1
q?a
1
?(i?1)d
，即
a
1
q?a
1
?(i?1)a
1
(q ?1)
，
移项得
a
1
(q?1)(q?1)?a
1
(i?1)(q?1)
．
因
a
1
?b
1
?0< br>，
q?1
，得
q?i?2
，故
q
为整数．