高中数学439个知识点总结-高中数学教材人教版选修4-5答案百度文库
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用
1.已知函数
f(x)?lnx?
a
.
x
(1)若函数
f(x)
有零点,求实数
a
的取值范围;
(2)证明:当
a?
2.已知函数
f(x)?x?alnx
(
a?R
),
F(x)?b
x
(
b?R
).
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)设
a?2
,
g(x)?f(x)?F(x)
,若
x
1
,x
2
(
0?x
1
?x
2
)是
g(x)
的两个零点,且
2
2
?x
时,
f(x)?e
.
e
x
0
?
x
1
?x
2
,试问曲线
y?g(x)
在点
x
0
处的切线能否与
x
轴平行?请说明理由.
2
3.已知函数
f(x)?x?mx?nx
(
m,n?R
)
(1)若
f(x)
在
x?1
处取得极大值,求实数
m
的取值范围;
(2)若
f(1)?0
,且过点
P(0,1)
有且
只有两条直线与曲线
y?f(x)
相切,求实数
m
的
值.
'
32
1
4.已知函数
f(x)?xe
,
g(x)?2x
.
(1)求函数
f(x)
的单调区间;
(2)求证:
?x?R
,
f(x)?g(x)
5.已知函数f(x)=
2x3
x
﹣ax+b在点(e,f(e))处的切线方程为y=﹣ax+2e.
lnx
(
Ⅰ
)求实数
b
的值;
(Ⅱ)若存在x∈[e,e
2
],满足f(x)≤
6.已知函数
f(x)?lnx?
1
+e,求实数a的取值范围.
4
1
2
11
ax?bx?1
的图像在
x?1
处的切
线
l
过点
(,)
.
222
(1)若函数
g(x)
?f(x)?(a?1)x(a?0)
,求
g(x)
的最大值(用
a
表示);
(2)若
a??4
,
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2
?3x
1
x
2
?2
,证明:
x
1
?x
2
?
1
.
2
2
7.已知函数
f(x)?xlnx?
a
32<
br>,
g(x)?x?x?3
,
a?R
.
x
(1)当<
br>a??1
时,求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程;
(2)若对任意的
x
1
,x
2
?[,2]
,都有<
br>f(x
1
)?g(x
2
)
成立,求实数
a
的
取值范围.
8.设函数
f(x)?e?ax?2
(1)求
f(x)
的单调区间;
(2)若
a?1,k
为整
数,且当
x?0
时,
函数,求
k
的最大值.
9.设函数
f(x)?x?bln(x?1)
.
(1)若对定义域内的任意
x
,都有
f(x)?f(1)
成立,求实数
b
的值; (2)若函数
f(x)
的定义域上是单调函数,求实数
b
的取值范围;
(3)若
b??1
,证明对任意的正整数
n
,
2
1
2
x
k
?x
f
?
(x)?1
恒成立,其中
f
?
(x)为
f(x)
的导
x?1
?
f(
k
)?1?2
k?1
n
11
3
?
1
?
3
3
?
1
.
3
n
3
10.已知函数
f(x)?a?e(x?1)lna?
x
1
(
a?0
且
a?1
),
e
为自然对数的底数.
a
(Ⅰ)当
a?e
时,求函数
y?f(x)
在区间
x?
?
0,
2
?
上的最大值;
(Ⅱ)若函数
f(x)
只有一个零点,求
a
的值.
11.已知函数
f(x)?
x?
1
,
g(x)?2alnx
.
x
(1)当
a
??1
时,求
F(x)?f(x)?g(x)
的单调递增区间;
(2)设<
br>h(x)?f(x)?g(x)
,且
h(x)
有两个极值
x
1
,x
2
,其中
x
1
?(0,]
,求
13
h(x
1
)?h(x
2
)
的最小值.
12.已知函数f(x)=lnx+x
2
﹣2ax+1(a为常数).
(
1
)讨论函数
f
(
x
)的单调性;
<
br>a
(
2
)若存在
x
0
∈
(
0
,
1]
,使得对任意的
a∈
(﹣
2
,
0]
,不等式
2me
(
a+1
)
+f
(
x
0
)>
a
2
+2a+4
(其中
e
为自然对数的底数)
都成立,求实数
m
的取值范围.
4
13.已知函数
f(x)=a
x
+x
2
﹣xlna(a>0,a≠1).
(
1
)求函数
f
(
x
)在点(
0
,
f(
0
))处的切线方程;
(
2
)求函数
f
(
x
)单调增区间;
<
br>(
3
)若存在
x
1
,
x
2
∈[﹣
1
,
1]
,使得
|f
(
x
1
)﹣
f
(
x
2
)
|≥e
﹣
1
(
e
是自然对数的底数),求
实数
a
的取值范围.
14.已知函数
f(x)?lnx?
1
,
g(x)?ax?b
.
x
(
1
)若函数
h(x)?f(x)?g(x)
在<
br>?
0,??
?
上单调递增,求实数
a
的取值范围;
(
2
)若直线
g(x)?ax?b
是函数
f(x)?lnx
?
1
图像的切线,求
a?b
的最小值;
x
(3)
当
b?0
时,若
f(x)
与
g(x)
的图像有两个交点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,求证:
x
1
x
2
?2e
2
5
15.某工艺品厂要设计一个如图1所
示的工艺品,现有某种型号的长方形材料如图2所示,
其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现
图1的情况.如图,ABCD(AB>AD)
为长方形的材料,沿AC折叠后
AB
?<
br>交DC于点P,设△ADP的面积为
S
2
,折叠后重合部
分△ACP的
面积为
S
1
.
(
Ⅰ
)设
AB?x
m,用
x
表示图中
DP
的长度,并写出
x
的取值范围;<
br>
(
Ⅱ
)求面积
S
2
最大时,应怎样设计材料的长和
宽?
(
Ⅲ
)求面积
?
S
1
?2S
2
?
最大时,应怎样设计材料的长和宽?
16.已知<
br>f
?
x
?
?e
2x
?ln
?
x?a
?
.
(1)当
a?1
时,求
f
?
x?
在
?
0,1
?
处的切线方程;
(2)若存在
x
0
?
?
0,??
?
,使得
f
?
x
0
?
?2ln
?
x
0
?a
?
?x
0
成立,求实数
a
的取值范围.
2
6
17.已知函数
f
?
x
?
?ax
?
lnx?1
?
?x
2
?
a?R
?
恰有两个极值点
x
1
,x
2
,且
x
1
?
x
2
.
(1)求实数
a
的取值范围;
(2)若不等式<
br>lnx
1
?
?
lnx
2
?1?
?
恒
成立,求实数
?
的取值范围.
18.已知函数f(x)=(lnx﹣k﹣1)x(k∈R)
(
1
)当
x
>
1
时,求
f
(
x
)的单调区间
和极值.
2
(
2
)若对于任意
x∈[e
,
e]
,都有
f
(
x
)<
4lnx
成立,求
k
的取值范围.
2
k
(
3
)若
x1
≠x
2
,且
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
),证明:
x
1
x
2
<
e
.
19.已知函数
f
?
x
?
?ae?
x<
br>1
2
x?x
(
a?R
).
2
(Ⅰ)若曲线
y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?
处的切线与
y
轴垂直,求
a
的值;
(Ⅱ)若函数
f
?
x
?
有两个极值点,求
a
的取值范围;
(Ⅲ)证明:当
x?1
时,
elnx?x?
x
??
1
.
x
7
1
20.已知函数
f
(
x
)
=x
3
-2x
2
+3x+b
(
b?R
)
.
3
(1)当
b=0
时,求
f
(
x
)
在
[
1,4
]
上的值域;
(2
)若函数
f
(
x
)
有三个不同的零点,求
b
的取值
范围.
21.已知函数
f(x)?
1
2
ax?lnx?2
. 2
(1)当
a?1
时,求曲线
f(x)
在点
(1,f(
1))
处的切线方程;
(2)讨论函数
f(x)
的单调性.
22.已知函数
f(x)?
1
?lnx
在
[1,??]
上为增函数,且
?
?(0,
?
)
.
xsin
?
(Ⅰ)求函数
f(x)
在其定义域内的极值;
(Ⅱ)若在
[1,e]
上至少存在一个
x
0
,使得
kx0
?f(x
0
)?
2e
成立,求实数
k
的取值
范围.
x
0
8
参考答案
1.(1)函数
f(x)?lnx?
由
f(x)?lnx?
a
的定义域为
(0,??)
.
x
a1ax?a
,得
f?
(x)??
2
?
.
2
xxxx
①当
a?0
时,
f
?
(x)?0
恒成立,函数
f(x)
在
(0,??)
上单调递增,
又
f(1)?ln1?a?a?0,x???,f(x)???
,
所以函数
f(x)
在定义域
(0,??)
上有
1
个零点.
②当
a?0
时,则
x?(0,a)
时,
f
?
(x)
?0;x?(a,??)
时,
f
?
(x)?0
.
所以函数
f(x)
在
(0,a)
上单调递减,在
(a,??)
上单调
递增.
当
x?a[f(x)]
min
?lna?1
.当
l
na?1?0
,即
0?a?
所以函数
f(x)
在定义域
(0
,??)
上有
2
个零点.
综上所述实数
a
的取值范围为
(??,]
.
另解:函数<
br>f(x)?lnx?
由
f(x)?lnx?
1
时,又
f(1)
?ln1?a?a?0
,
e
1
e
a
的定义域为
(0,??)
.
x
a
,得
a??xlnx
.
x
令
g(x
)??xlnx
,则
g
?
(x)??(lnx?1)
.
当
x?(0,)
时,
g
?
(x)?0
;当
x?(,?
?)
时,
g
?
(x)?0
.
所以函数
g(x)<
br>在
(0,)
上单调递增,在
(,??)
上单调递减.
故x?
1
e
1
e
1
e
1
e
11
111
时,函数
g(x)
取得最大值
g()??ln?
.
eeeee
1
,
e
因
x???,f(x)???
,两图像有交点得
a?
综上所述实数
a
的取值范围为
(??,].
(2)要证明当
a?
即证明当
x?0,a?
1
e<
br>2
?x
时,
f(x)?e
,
e
2a
?x<
br>?x
时,
lnx??e
,即
xlnx?a?xe
.
ex
9
令
h(x)?xlnx?a
,
则
h
?
(x)?lnx?1
.
当
0?x?
11<
br>时,
f
?
(x)?0
;当
x?
时,
f
?
(x)?0
.
ee
1
e
1
e
所以函
数
h(x)
在
(0,)
上单调递减,在
(,??)
上单调递
增.
当
x?
11
时,
[h(x)]
min
???
a
.
ee
211
时,
h(x)???a?
.①
eee
,则
?
?
(x)?e
?x
于是,当
a?令
?
(x)?xe
?x
?xe
?x
?e
?x<
br>(1?x)
.
当
0?x?1
时,
f
?
(x
)?0
;当
x?1
时,
f
?
(x)?0
.
所以函数
?
(x)
在
(0,1)
上单调递增,在
(1,?
?)
上单调递减.
当
x?1
时,
[
?
(x)]<
br>min
?
1
.
e
1
.②
e
于是
,当
x?0
时,
?
(x)?
显然,不等式①、②中的等号不能同时成
立.
故当
a?
2
?x
时,
f(x)?e
.
e
a2x
2
?a
,x?0
2.(Ⅰ)
f
?
(x)?2x??
xx
(1)当
a?0
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
在
?
0,??
?
上
单调递增,
(2)当
a?0
时,
f
?
(x)?0
得x?
a
有
2
??
a
?
a
?
????
所以a?0时,
f(x)的单调减区间是
?
0,
2
?
,单调增区间是
?2
,??
?
????
(Ⅱ)
g(x)?x?2lnx?bx
假设
y?g(x)
在
x<
br>0
处的切线能平行于
x
轴.
2
10
∵
g
?
(x)?2x?
2
?b,
?
x?0
?
x
由假设及题意得:
g(x
1
)?x
1
?2ln
x
1
?bx
1
?0
g(x
2
)?x
2
?2lnx
2
?bx
2
?0
2
2
x
1
?x
2
?x
0
2
g
?
(x
0<
br>)?2x
0
?
由-得,
?
x
2
1
2
?b?0
④
x
0
?x
2
?2
?
lnx
1
?lnx
2
?
?b
?
x
1
?x
2
?
?0
2
?
x
1
`
x
2
?2x
0
即
b?
x
1
?x
2
2ln
x
1
?2
x
1
2
?
x
1
?x
2
?
x
2
ln??
由④⑤得,
x
x
1
x
1
?x
22
?1
x
22
x
1
令
x
?t
,
2
x
1<
br>?x
2
,?0?t?1
.
则上式可化为
lnt?
2t
?2
?
0?t?1
?
,则
t?1
2
2t?2
,
t?1
设函数
h
?
t
?
?lnt?
?
t?1
?
?0
,
1
4
h
?
?
t
?
???
t
?
t?1
?
2
t
?
t?1
?
2
所以函数
h
?
t
?
?lnt?
2t?2
(0,1)
上单调递增
. 在
t?1
0?t?1
时,有
h
?
t
?
?h
?
1
?
?0
,即
lnt?
于是,当
所
以
2
3.(Ⅰ)
f
?
(x)?3x?2mx?n
2t?2
?0
与⑥矛盾.
t?1
y?f(x)
在
x
0
处的切线不能平行于
x
轴.
由f
?
?
1
?
?0得3?2m?n?0
??4m
2
?12n?0.
∴
?
m?3
?
?0,得到m??3
①
2
11
∵
f
?
(x)?3x?2mx?
?
2m?3
?
?
?
x?1
??
3x?2m?3
?
2
∴
f
?
(x)?0,得x?1或x??
?
1?
?
?
2m
?
?
3
?
由题
?
?
1?
?
?<
br>2m
?
?
?1,解得m??3
②
3
?
由①②得
m??3
(Ⅱ)由f
?
?
1
?
?0得3?2m?n?0
2<
br>所以
f
?
(x)?3x?2mx?
?
3?2m
?
因为过点
(0,1)
且与曲线
y?f(x)
相切的直线有且仅
有两条,
令切点是
P
?
x
0
,y
0
?<
br>,
则切线方程为
y?y
0
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
由切线过点
(0,1)
,所以有
1?y
0
?f
?
?
x
0
??
?x
0
?
∴
1?x
0
?mx
0
?
?
3?2m
?
x<
br>0
?3x
0
?2mx
0
?
?
3?2m
??
?x
0
?
322
??
整理得
2x
0
?mx
0
?1?0
32
所以,关于x
0
的方程2x
0
?mx
0
?1?0有两个不同的实根.
令h
?
x
?
?2x
3
?mx
2
?1,则h?
x
?
需有两个零点
h
?
?
x
?
?6x
2
?2mx
32
?
??
所以
m?0,且hx?0得x?0或x??
?<
br>m
?
由题,h
?
0
?
?0,或h
?
?
?
?0
?
3
?
?
m
?
又因为h
?
0
?
?1,所以h
?
?
?
?
0
?
3
?
m
3
?
m
??
m
?
所以2
?
?
?
?m
?
?
?
?1?0
?
3
??
3
?
32
解得m??3
,即为所求
4.(Ⅰ)
f
?
(x)?2xe?xe?ex?2x
∴<
br>?2?x?0时,f
?
?
x
?
?0,f
?
x
?
在
?
?2,0
?
上单调递减;
x2xx
?
2
?
12
x??
2或x?0时,f
?
?
x
?
?0,f
?
x
?
在
?
??,?2
?
和
?
0,??
?上单调递增.
所以f(x)的单调递减区间是
?
?2,0
?<
br>,单调递增区间是
?
??,?2
?
和
?
0,,??<
br>?
(Ⅱ)
显然
x?0
时有
f(x)?g(x)<
br>,只需证
x?0
时
f(x)?g(x)
,由于
x
2<
br>?0
只需证x?0时,e
x
?2x
令h(x)?e
x
?2x,x?
?
0,??
?
?h
?
(x)?e
x
?2
?h
?
(x)?0,得x?ln2
?x?
?
0,
ln2
?
,h
?
?
x
?
?0,x?
?ln2,??
?
,h
?
?
x
?
?0
?h
?
x
?
在
?
0,ln2
?
上单调递减,在
?
ln2,??
?
上单调递增
所以当
x?0
时,
f(x)?g(x)
.
综上
?x?R
,
f(x)?g(x)
5.
解:(
Ⅰ
)
f
(
x
)=
求导,
f′
(
x
)
=
?h(x)
m
in
?h
?
ln2
?
?e
ln2
?2ln2?2?
2ln2?2
?
l
?x?
?
0,??
?
,h(x)
?0恒成立
﹣
ax+b
,
x∈
(
0
,<
br>1
)
∪
(
1
,
+∞
),
﹣
a
,
则函数
f
(
x
)在点(
e
,
f
(
e
))处切线方程
y
﹣(
e
﹣
ex+b
)
=
﹣
a
(
x
﹣
e
),
即
y=
﹣
ax+e+b
,
由函数
f(
x
)在(
e
,
f
(
e
))处的切线
方程为
y=
﹣
ax+2e
,比较可得
b=e
,
实数
b
的值
e
;
(
Ⅱ
)由f
(
x
)
≤+e
,即
则
a≥
﹣
﹣
ax+e≤+e
,
2
在
[e
,
e]
,上有解,
设
h
(
x
)
=
求导
h′
(
x
)=
﹣
2
,
x∈[e
,
e]
,
﹣
,
==
,
令
p
(
x
)
=lnx
﹣
2
∴x
在
[e
,
e
2
]
时,
p′
(
x
)
=
﹣=
<
0
,
13
2则函数
p
(
x
)在
[e
,
e]
上单调
递减,
∴p
(
x
)<
p
(
e
)
=lne
﹣
2
<
0
,
2
则h′
(
x
)<
0
,及
h
(
x
)在区间
[e
,
e]
单调递减,
h
(
x
)
≥h
(
e
2
)
=
﹣
=
﹣,
∴
实数
a
的取值范围
[
﹣
6.(1)由
f(x)?
'
,
+∞]
.
1
?ax?b
,得
f
'
(1)?1?a?b
, <
br>x
111
l
的方程为
y?(?a?b?1)?(1?a?b)(x?1
)
,又
l
过点
(,)
,
222
∴
111
?(?a?b?1)?(1?a?b)(?1)
,解得
b?0
.
222
1
2
ax?(1?a)x?1
,
2
∵g(x)?f(x)?(a?1)x?lnx?
1
?a(x?)(x?1)
1?a
x?(1?a)x?1
a
∴
g
'
(x)??ax?1?a??(a?
0)
,
xxx
2
当
x?(0,)
时,
g(x)?
0
,
g(x)
单调递增;
当
x?(,??)
时,
g(x)?0
,
g(x)
单调递减.
故
g(x)
max<
br>?g()?ln
1
a
'
1
a
'
1
a
111
2
11
?a()?(1?a)?1??lna
.
a
2aa2a
(2)证明:∵
a??4
,
22
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2
?3x
1
x
2
?lnx
1
?2x
1
?1?lnx
2
?2x
2
?1?x
1
?x
2
?3x
1<
br>x
2
,
?ln(x
1
x
2
)?2(x1
?x
2
)
2
?x
1
?x
2
?x
1
x
2
?2?2
,∴
x
1
?x
2
?2(x
1
?x
2
)
2
?x
1
x
2
?ln(x
1
x
2
)
'
令
x
1
x
2
?m(m?0)
,
?
(m)?
m?lnm
,
?
(m)?
m?1
'
,令
?
(m)?0
得
0?m?1
;令
m
?
'
(m)?0<
br>得
m?1
.∴
?
(m)
在
(0,1)
上递减
,在
(1,??)
上递增,
2
∴
?
(m)?
?<
br>(1)?1
,∴
x
1
?x
2
?2(x
1?x
2
)?1
,
x
1
?x
2
?0,解得:
x
1
?x
2
?
1
.
27.(1)当
a??1
时,
f(x)?xlnx?
11
'
,
f(1)??1
,
f(x)?lnx?1?
2
,
xx
14
f
'
(1)?2
,
从而曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线为
y?2(x?1)?1<
br>,即
y?2x?3
.
(2)对任意的
x
1
,x2
?[,2]
,都有
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,从而
f(x)
min
?g(x)
max
对
g(x)?x?x?3
,
g(x)?3x?2x?x(3x?2)
,从而y?g(x)
在
[,]
递减,
32'2
1
2
1
2
23
21
[,2]
递增,
g(x)
max
?ma
x{g(),g(2)}?1
.
32
又
f(1)?a
,则
a?1
.
下面证明当<
br>a?1
时,
xlnx?
a1
?1
在
x?[,2]恒成立.
x2
f(x)?xlnx?
a11
?xlnx?
,即
证
xlnx??1
.
xxx
11
'
'
,则
h(x)?lnx?1?
2
,
h(1)?0
.
xx
''
令
h(x)?xlnx?
当
x?[,1]
时,
h(x)?0
,当
x?[1,2]
时,
h(x)?0
,从而
y?h(x)
在
x?[,1]
递减,
1
2
1
2
x?[1
,2]
递增,
h(x)
min
?h(1)?1
,
从而
a?1
时,
xlnx?
8.(1)函数f
(x)=e
x
-ax-2的定义域是R,f′(x)=e
x
-a,
若a≤0,则f′(x)=e
x
-a≥0,所以函数f(x)=e
x
-ax
-2在(-∞,+∞)上单调递增
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=e
x
-a<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=e
x
-a>0;
所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增
(2)由于a=1,
a1
?1
在
x?[,2]
恒成立. <
br>x2
k?x
'
f(x)?1?(k?x)(e
x
?1)?x?
1
x?1
?x?0,?e
x
?1?0.?k?
x?1?x
x
e?1
?xe
x
?1e
x
(e
x
?x?2)
x?1
'
令
g(x)?
x
?x
,
?k?g(x)
min
,
g(x)?
x
?1?
e?1
(e?1)
2
(e
x
?1)
2
令
h(x)?e?x?2,h(x)?e?1?0
,
?h(x)
在
(0,??)
单调递增,
且
h(1)?0,h(2)?0,?h(x)
在
(0,??)
上存在唯一零点,设此零点为
x
0
,则x
0
?(1,2)
x'x
15
''
当
x
0
?(0,x
0
)
时,
g(x)?0
,当
x
0
?(x
0
,??)
时,g(x)?0
?g(x)
min
?g(x
0
)?'
由
g(x
0
)?0?e
x
0
x
0<
br>?1
?x
0
,
e
x
0
?1
?x
0
?2,?g(x
0
)?x
0
?1?(2,3)
,
又
?k?g(x
0
)
所以
k
的最大值为2
9.(1)由
x?1?0
,得
x??1
.∴<
br>f
?
x
?
的定义域为
?
?1,??
?
.
因为对x∈
?
?1,??
?
,都有
f
?<
br>x
?
?f
?
1
?
,∴
f
?
1
?
是函数
f
?
x
?
的最小值,故有
f<
br>?
?
1
?
?0
.
f
(x)?2
x?
bb
,?2??0,
解得
b??4
.
x?12经检验,
b??4
时,
f(x)
在
(?1,1)
上单调
减,在
(1,??)
上单调增.
f(1)
为最小值.
b2x
2
?2x?b
(2)∵
f(x)?2x??,
又函数
f
?
x
?
在定义域上是单调函数,
x?1x?1
∴
f
?
?
x
?
?0
或
f
?
?
x
?
?0
在
?
?1,??
?
上恒成立.
若
f
?
?
x
?
?0
,则
2x?
b
?0
在
?
?1,??
?
上恒成立,
x?1
1
2
11
恒成立,由此得
b?
;
22
即
b??2x
2
?2x
=
?2(x?)
2?
若
f
?
?
x
?
?0
,则
2
x?
b
?0
在
?
?1,??
?
上恒成立,
x?1
1
2
1
恒成立.
2
即
b??2x
2
?2x
=
?2(x?)
2
?
因
?2(x
?)
2
?
1
2
1
在
?
?1,??
?
上没有最小值,∴不存在实数
b
使
f
?
?
x?
?0
恒成立.
2
?
1
?
2
2<
br>综上所述,实数
b
的取值范围是
?
,??
?
. (3)当
b??1
时,函数
f
?
x
?
?x?l
n
?
x?1
?
.令
?
?
h
?
x<
br>?
?f
?
x
?
?x
3
??x
3?x
2
?ln
?
x?1
?
,
则
h<
br>?
?
x
?
??3x
2
?2x?
13x
3
?
?
x?1
?
.
??
x?1x?1
2
当
x?
?
0,??
?
时,
h
?
?
x
?
?0
,所以函数
h
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递减.
又
h
?
0
?
?0
,
?
当
x?
?
0,??
?
时,恒有
h
?
x
?
?h
?
0
?<
br>?0
,即
x?ln
?
x?1
?
?x
恒成立.
23
16
故当
x?
?
0,?
?
?
时,有
f
?
x
?
?x
.
3
11
1
?
1
而
k?N
?
,
??
?
0,??
?
.取
x?
,则有
f
?
??
?
3
.
kk
?
k
?
k
?
?
?1??
f
?
2
?
k
?
k?1
n
?
1
?
1
3
?
11
.所以结论成立.
?????
33
3n
10.解:(Ⅰ)当
a?
e
时,
f(x)?e?e(x?1)?
x
1
x
,
f
'(x)?e?e
,令
f'(x)?0
,解得
e
x?1
,
x?(0,1)
时,
f'(x)?0
;
x?(1,2)
时,
f'(x)?0
,
∴
f(x)
max
?max
?
f(0),f(2)
?
,而
f(0)?1?e?
即
f(x)
max
?f(2)?e?3e?
x
2
11
2
,f(2)?e?3e?
,
ee
1
.
e
1
x
x
,
f'(x)?alna?elna?lna(a?e)
,
a
(
Ⅱ)
f(x)?a?e(x?1)lna?
令
f'(x)?0
,得
x
?log
a
e
,则
①当
a?1
时,
lna?0
,
x
(??,log
a
e)
log
a
e
(log
a
e,??)
?
f'(x)
f(x)
?
0
极小值
所以当
x?log
a
e
时,
f(x)
有最小值
f(x)
min
?f(log
a
e)??elna?
1
,
a
因为函数
f(x)
只有一个零
点,且当
x???
和
x???
时,都有
f(x)???
,则
f(x)
min
??elna?
11
?0
,即
el
na??0
,
aa
因为当
a?1
时,
lna?0
,所以此方程无解.
②当
0?a?1
时,
lna?0
,
x
(??,log
a
e)
log
a
e
(log
a
e,??)
?
↗
f'(x)
f(x)
?
↘
0
极小值
所以当
x?log
a
e
时,
f(x)
有最小值
f(x)
min
?f(log
a
e)??elna?
1
,
a
17
因
为函数
f(x)
只有一个零点,且当
x???
和
x???
时
,都有
f(x)???
,
所以
f(x)
min
??eln
a?
设
g(a)?elna?
11
?0
,即
elna??0
(
0?a?1
)(*)
aa
1e1ae?1
(0?a?1
)
,则
g'(a)??
2
?
2
,
aaaa
1
,
e
令
g'(a)?0
,得
a?
当
0?a?
11
时,
g'(a)?0
;当
a?
时,
g'(a)?0
;
ee
1111
时,
g(a
)
min
?g()?eln?e?0
,所以方程(*)有且只有一解
a?.
eeee
1
时函数
f(x)
只有一个零点.
e
所以当
a?
综上,
a?
11.(1)由题意得F(x)= x--2alnx. x0,
2
令
m<
br>(
x
)
=x
-
2ax+1
,
=
,
①当
②
当
a1
时,令
x
时F(x)在(0,+
,得
x
1
=
(0,
+
)
,
(
) (
-
单调递增;
,
x
2
=
) (
+
)
)
∴F(x)
的单增区间为
(0,
综上所述,当时
F(x)
的单增区间为(
0,
+
)
)
,
()
当
a1
时,
F(x)
的单增区间为
(0,
(
2
)
h(x
)= x
-
2alnx, h
(x)=,(x>0),
由题意知<
br>x
1
,x
2
是
x
2
+2ax+1=0
的两根,
∴x
1
x
2
=1, x
1
+
x
2
=
-
2a,x
2
=,2a=
==2(
), H
(x)=2(
时,
H(x)<0,
H(x)
在
,
--
)
令
H(x)=2()lnx=
当上单调递减,
H(x)
的最小值为
H()=,
18
即
-
的最小值为
.
12.解:(I)f(x)=lnx+x
2
﹣2ax+1,
f'
(
x
)
=+2x
﹣
2a=
2
令
g
(
x
)
=2x
﹣
2ax+1
,
,
(
i
)当
a≤0
时,因为
x
>
0
,所以
g
(
x
)>
0
,函数
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上单调递增;
(
ii
)当
0
<
a
增;
(
iii
)当
a
>
减;
在区间(
0
,)和(,
+∞
)时,
g
(
x
)>
0
,函数
f
(
x
)单调递增;
时,
x在(,)时,
g
(
x
)<
0
,函数
f
(
x
)单调递
时,因为
△≤0
,所以
g
(
x
)>
0
,函数
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上单调递
(
II
)由(
I
)知当
a∈
(﹣
2
,
0]
,时,函数
f
(
x)在区间(
0
,
1]
上单调递增,
所以当
x
∈
(
0
,
1]
时,函数
f
(
x
)
的最大值是
f
(
1
)
=2
﹣
2a
,对任意
的
a∈
(﹣
2
,
0]
,
a2
都
存在
x
0
∈
(
0
,
1]
,使得不等式a∈
(﹣
2
,
0]
,
2me
(
a+1
)
+f
(
x
0
)>
a+2a+4
成立,<
br>
a2
等价于对任意的
a∈
(﹣
2
,
0]<
br>,不等式
2me
(
a+1
)﹣
a+
﹣
4a<
br>﹣
2
>
0
都成立,
a22
记
h<
br>(
a
)
=2me
(
a+1
)﹣
a+
﹣
4a
﹣
2
,由
h
(
0
)>
0<
br>得
m
>
1
,且
h
(﹣
2
)
≥0
得
m≤e
,
h'
(
a
)
=
2
(
a+2
)(
me
a
﹣
1
)
=
0
,
∴a=
﹣
2
或
a=
﹣
lnm
,
∵a∈
(﹣
2
,
0]
,
∴2
(
a+2
)>
0
,
①
当<
br>1
<
m
<
e
2
时,﹣
lnm∈
(﹣
2
,
0
),且
a∈
(﹣
2
,﹣
l
nm
)时,
h'
(
a
)<
0
,
a∈
(﹣
lnm
,
0
)时,
h'
(
a)>
0
,所以
h
(
a
)最小值为
h
(
﹣
lnm
)
=lnm
﹣(
2
﹣
lnm
)>
0
,
所以
a∈
(﹣
2
,﹣
ln
m
)时,
h
(
a
)>
0
恒成立;
②
当
m=e
2
时,
h'
(
a
)
=2
(
a+2
)(
e
a+2
﹣
1
),因为
a∈
(﹣
2
,
0]
,所以
h'
(
a
)>
0
,
此时单调递增,且
h
(﹣
2
)
=0
,
<
br>所以
a∈
(﹣
2
,
0]
,时,
h
(
a
)>
0
恒成立;
2
综上,
m
的取值范围是(
1
,
e]
.
13.解:(1)∵f(x)=a
x
+x
2
﹣xlna,
∴f′
(
x
)
=a
x
lna+2x
﹣
ln
a
,
19
∴f′
(
0)
=0
,
f
(
0
)
=1
即函数f
(
x
)图象在点(
0
,
1
)处的切线斜率为
0
,
∴
图象在点(
0
,
f
(<
br>0
))处的切线方程为
y=1
;(
3
分)
xx
(
2
)由于
f'
(
x
)
=alna+
2x
﹣
lna=2x+
(
a
﹣
1
)
lna
>
0
①
当
a
>
1
,
y=2x<
br>单调递增,
lna
>
0
,所以
y=
(
ax
﹣
1
)
lna
单调递增,
故
y=
2x+
(
a
﹣
1
)
lna
单调递增,
<
br>∴2x+
(
a
x
﹣
1
)
lna
><
br>2×0+
(
a
0
﹣
1
)
lna=0
,即
f'
(
x
)>
f'
(
0
),所以x
>
0
故函数
f
(
x
)在(
0,
+∞
)上单调递增;
②
当
0
<
a
<
1
,
y=2x
单调递增,
lna
<
0<
br>,所以
y=
(
a
x
﹣
1
)
lna<
br>单调递增,
故
y=2x+
(
a
﹣
1
)
lna
单调递增,
∴2x+
(
a
x
﹣
1
)
lna
>
2×0+
(
a
0
﹣
1
)
lna=0
,即
f'
(
x
)>f'
(
0
),所以
x
>
0
故函数
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上单调递增;
<
br>综上,函数
f
(
x
)单调增区间(
0
,
+∞
);(
8
分)
(
3
)因为存在
x
1
,
x
2
∈[
﹣
1
,
1]
,使
得
|f
(
x
1
)﹣
f
(
x
2)
|≥e
﹣
1
,
所以当
x∈[
﹣<
br>1
,
1]
时,
|
(
f
(
x
))
max
﹣(
f
(
x
))
min
| <
br>=
(
f
(
x
))
max
﹣(
f(
x
))
min
≥e
﹣
1
,(
12<
br>分)
由(
2
)知,
f
(
x
)在<
br>[
﹣
1
,
0]
上递减,在
[0
,
1
]
上递增,
所以当
x∈[
﹣
1
,
1]<
br>时,(
f
(
x
))
min
=f
(
0
)
=1
,
(
f
(
x
))
max
=max{f
(﹣
1
),
f
(
1
)
}
,
而
f
(
1
)﹣
f
(﹣
1
)
=
(
a+1
﹣
lna
)﹣(<
br>+1+lna
)
=a
﹣﹣
2lna
,
记<
br>g
(
t
)
=t
﹣﹣
2lnt
(
t<
br>>
0
),因为
g′
(
t
)
=1+
2
﹣
=
(﹣
1
)
≥0
x
x
所以<
br>g
(
t
)
=t
﹣﹣
2lnt
在
t∈
(
0
,
+∞
)上单调递增,而
g
(
1)
=0
,
所以当
t
>
1
时,
g
(
t
)>
0
;当
0
<
t
<<
br>1
时,
g
(
t
)<
0
,
也就是当
a
>
1
时,
f
(
1
)>
f
(﹣
1
);
当
0
<
a
<1
时,
f
(
1
)<
f
(﹣
1
)(
14
分)
①
当
a
>
1
时,
由
f
(
1
)﹣
f
(
0
)
≥e﹣
1?a
﹣
lna≥e
﹣
1?a≥e
,
②
当
0
<
a
<
1
时,由
f
(
﹣
1
)﹣
f
(
0
)
≥e
﹣
1?+
lna≥e
﹣
1?0
<
a≤
,
综上知,所求a
的取值范围为
a∈
(
0
,
]∪[e
,
+∞
).(
16
分)
14.(1)解:h(x)=f
(x)﹣g(x)=
lnx?
111
?ax?b
,则
h
?<
br>(x)??
2
?a
,
xxx
20
∵h
(
x
)
=f
(
x<
br>)﹣
g
(
x
)在(
0
,
+∞
)上单
调递增,
∴
对
?x
>
0
,都有
h
?
(x)?
∵
1111
?
2
?a?0
,即对?x
>
0
,都有
a??
2
,
.…………2分
xxxx
11
?
2
?0
,
∴a?0
,
xx
故实数
a
的取值范围是
???,0
?
;
.…………3
分
(
2
)解:设切点为
?
x
0
,lnx
0
?
?
?
1
?
?
,则切线方程为
x
0
?
?
1
??
11
?
y?
?
lnx
0
?
?
?
?
?
2
?
?
x?x
0
?,
x
0
??
x
0
x
0
??
?
11
??
11
??
1
?
即
y?
?
?
2
?
x?
?
?
2
?
x
0
?
?
lnx
0
?
?
,亦即
x
0
??
x
0
x
0
??
x
0
x
0
??
?
11
?
2
y?
?
?
2
?
x?lnx
0
??1
,
x
0
?
x
0
x
0
?
1112
2
?t
?0a???t?tb?lnx??1??lnt?2t?1
,
令,由题
意得,
0
2
x
0
x
0
x
0
x0
令
a?b?
?
(t)??lnt?t?t?1
,则
?
?
(t)???2t?1?
2
1
t
?
2t?1??
t?1
?
,
.…………6
分
t
当
t?
?
0,1
?
时,
?
?
?
t
?
?0,
?
?
t
?
在
?
0,1<
br>?
上单调递减;当
t?
?
1,??
?
时,
?
?
?
t
?
?0,
?
?
t
?
在
?
1,??
?
上单调递增,
∴
a?b??
?
t
?
?
?
?
1
?
??1
,
故
a?b
的最小值为﹣
1
;
.………
…7
分
(
3
)证明:由题意知
lnx
1
?
两式相加得
lnx
1
x
2
?
11
?ax
1
,
lnx
2
??ax
2
,
x
1
x
2
x
1
?x
2
?a
?
x
1
?x
2
?
x
1
x
2x
ln
2
x
2
x
1
?x
2
?
?a
?
x
2
?x
1
?
即
x
11
两式相减得
ln
??a
x
1
x
1
x
2
x
2
?x
1
x
1
x
2
x
2
??
ln
x
1
?x
2
?<
br>x
1
1
?
?
?
x
1
?x
2
?
,即
?
?
?
∴
lnx
1
x2
?
x
1
x
2
?
x
2
?x<
br>1
x
1
x
2
?
??
??
21
lnx
1
x
2
?
2(x
1
?x
2
)
?
x
1
?x
2
?x
2
?
??
ln
,
. 9
分
x
1
x
2
x?x
?
21
?
x
1
x
2
?1
,
x
1
2
不妨令0?x
1
?x
2
,记
t?
2
?
t?1
?
?
t?1
?
?0
,
令
F(t
)?lnt?(t?1)
,则
F
?
(t)?
t?1
t(t?
1)
2
∴
F(t)?lnt?
2
?
t?1
?
2
?
t?1
?
在
?
1,??
?
上单调递
增,则
F(t)?lnt??F(1)?0
,
t?1t?1
x2
2(x
2
?x
1
)
2(x
1
?x<
br>2
)
?
x
1
?x
2
?
x
2
2
?
t?1
?
ln?
?
?
∴
ln
t?
,则,
∴
lnx
1
x
2
?
?
ln?2
,
xx?x
xxx?x
t?1
112
1
2
?
21
?
x
1
又
lnx
1
x<
br>2
?
4x
1
x
2
2(x
1
?x2
)
44
?lnx
1
x
2
??lnx
1
x
2
??2lnx
1
x
2
?
,
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
∴
2lnx
1x
2
?
42
?2
,即
lnx
1
x2
??1
,
.…………10
分
x
1
x
2
x
1
x
2
212
,则
x?0
时,
G
?
(x)??
2
?0
,
∴
G(x)
在
?
0,??
?
上单调递增.
xxx
令
G(x)?lnx?
又
ln2e?
212
?ln2?1??0.85
?1
,
e
2e
2
22
?1?ln2e?
,
x<
br>1
x
2
2e
∴
G(x
1
x
2
)?lnx
1
x
2
?
2
则
x
1
x
2
?2e
,即
x
1
x
2
?2e
.
.…………12
分
15.(Ⅰ)由题意,
AB?x
,
BC?2-x
,
Qx?2?x,?1?x?2
.…………
1分
设
DP=y
,则
PC?x?y
,由
△ADP≌△CB
'P
,故
PA=PC=x
﹣
y
,
222
由
PA=AD+DP
,得
?
x?y
?
?
?
2?x
?
?y
2
即:
y?2
?
1?
22<
br>?
?
1
?
?
,1?x?2
..…………3
分
x
?
(
Ⅱ
)记
△ADP
的面积为
S
2
,则
S
2
=
?
1-
分
<
br>2
??
1
??
2?x?3?x?
??
???
?3?22
.…………5
xx
????
当且仅当
x?2?
?
1,2
?
时,
S
2
取得最大值.
故当材
料长为
2m
,宽为
2?2m
时,
S
2
最大.
….…………7
分
??
22
(<
br>Ⅲ
)
S
1
+2S
2
=
11
?
4
??
1
?
x
?
2?x
?
?
?
1?
?
?
2?x
?
?3?
?
x
2
?
?
,1?x?2
22
?
x
??
x
?
1
?
4
?
?x
3
?2
?<
br>?0,?x?
3
2
.…………9
分
于是令
?
S
1
+2S
2
?
??
?
2x?
2
?
?
2
2
?
x
?
x
3
?
关于
x
的函数
S
1
+2S
2
在
1,2
上递增,在
???
3
2,2
上递减,
?<
br>?
当
x?
3
2
时,
S
1
+2S2
取得最大值.
3
故当材料长为
3
2m<
br>,宽为
2-2m
时,
S
1
+2S
2
最大.
.…………12
分
??
16
.(1)
a?1
时,
f
?
x
?
?e
2x<
br>?ln
?
x?1
?
,
f
?
?
x?
?2e
2x
?
1
x?1
1
f?
0
?
?1
,
f
?
?
0
?<
br>?2??3
,
1
所以
f
?
x
?
在
?
0,1
?
处的切线方程为
y?3x?1
(2)
存在
x
0
?
?
0,??
?
,
f
?
x
0
?
?2ln
?
x
0
?a
?<
br>?x
0
,
2
即:
e
2x
0
2?ln
?
x
0
?a
?
?x
0
?0在
x
0
?
?
0,??
?
时有解;
2
x
设
u
?
x
?
?e?ln
?
x?a
?
?x
2
,
u
?
?
x
?
?2e
2x
?
2x
1
?2x
x?a
令
m
?
x
?
?2e?
1
1
?2?0
?2x
,
m
?
?
x
?
?4e
2x
?
x?a
?
x?a
?
所以
u
?
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递增,所以
u
?
?
x
?
?u
?
?
0
?
?2?
1°当
a?
1
a
11
时,
u
?
?
0
?
?2??0
,∴
u
?
x
?
在
?
0,??
?
单调增,
2a
所以
u<
br>?
x
?
max
?u
?
0
?
?1?l
na?0
,所以
a?e
2°当
a?
1
?
1
?
时,
ln
?
x?a
?
?ln
?
x?
?
2
?
2
?
11
??
?
ln
?
x?
?
,
22
??
设
h
?
x
?
?x?
1
1
2
h
??
x
?
?1??
11
x?x?
22
x?
23
令
h
?
?
x
?
?0?x?
所以
h
?
x
?
在
?
0,所以
h
?
x
?
?h
?
11
,
h
?
?
x
?
?0?0?x?
22
??
1
??
1
?
单调递减,在
??
,??
?
单调递增
2
??
2
?
11
??
1<
br>??
?1?0x??lnx?
,所以
???
22
?
?
2
??
?
1
?
2
1
?
2
?
2x
?x?e?x?
???
?x
所以
u
?<
br>x
?
?e
2x
?ln
?
x?a
?
?
x
2
?e
2x
?ln
?
x?
?
2
??
2
?
设
g
?
x
?
?e
2x<
br>?x
2
?
?
?
?
x?
1
?
2
?
?
?
x?0
?
,
g
?
?x
?
?2e
2x
?2x?1
,
令
?
?
x
?
?2e
2x
?2x?1
,
?
??
x
?
?4e
2x
?2?4?2?0
所以<
br>?
?
x
?
?2e
2x
?2x?1
在
?
0,??
?
上单调递增,
所以
g
?
?
x
?
?g
?
?
0
?
?1?0
所
以
g
?
x
?
在
?
0,??
?
单调
递增,∴
g
?
x
?
?g
?
0
?
?
0
,
所以
g
?
x
?
?g
?
0<
br>?
?0
,
所以
u
?
x
?
?e2x
?ln
?
x?a
?
?x
2
?g
?
x
?
?0
所以,当
a?
1
2
时
,
f
?
x
?
?2ln
?
x?a
?
?x
2
恒成立,不合题意
综上,实数
a
的取值范围为
a?
1
2
.
17.(1)因为
f
?
?
x
?
?aln
x?2x
,
依题意得
x
1
,x
2
为方程
alnx?2x?0
的两不等正实数根,
∴
a?0
,
2lnx
a
?
x
,
令
g
?
x
?
?
lnx
x
,
g?
?
x
?
?
1?lnx
x
2
, 当
x?
?
0,e
?
时,
g
?
?
x
?
?0
;
当
x?
?
e,??
?时,
g
?
?
x
?
?0
,
所以
g
?
x
?
在
?
0,e
?
上单调递增,在
?
e,??
?
上单调递减,
g
?
1
??0
,
24
当
x?e
时,
g
?
x
?
?0
,
所以
0?
∴
0?
2
?g
?
e
?<
br>
a
21
?g
?
e
?
?
ae
解得
a?2e
,
故实数
a
的取值范围是
?
2e,??
?
.
(2)由(1)得,
alnx
1
?2x
1
,
alnx2
?2x
2
,两式相加得
a
?
lnx
1?
?
lnx
2
?
?2
?
x
1
?x
2
?
,
2
?
x
1
?
?x
2
?
故
lnx
1
?
?
lnx
2
?
a
两式相减可得
a
?
lnx
1<
br>?lnx
2
?
?2
?
x
1
?x
2<
br>?
,
故
a?2?
x
1
?x
2
<
br>lnx
1
?lnx
2
所以
lnx
1
?
?
lnx
2
?1?
?
等价于
所以
2
?<
br>x
1
?
?
x
2
?
?a
?
1
?
?
?
所以
2
?
x
1
?
?
x
2
?
?2
2
?
x
1
??
x
2
?
?1?
?
,
a
x
1
?x
2
?
1?
?
?
,
lnx
1
?lnx
2
即
?
x
1
?
?
x<
br>2
??
lnx
1
?lnx
2
?
?1?
?
,
x
1
?x
2
?
x
1
?<
br>x
1
?
?
??
ln
?
x
2
?
x
2
?1?
?
, 所以
x
1
?1
x
2
t?
?
?
lnt
?
x
1
?
?
0,1
?
,所以
?1?
?
因为
0?x
1
?x
2
,令
t?
x
2
t?1
即
?
t?
?
?
lnt?
?
1?
?
?
?
t?1
?
?0
,令
h
?
t
?
?
?
t?
?
?
lnt?
?
1?
?
?
?
t?1
?
,
则
h
?
t
?
?0
在
?
0,1
?
上恒成立,
h
?
?
t
?
?lnt?
令
I
?
t
?
?lnt?<
br>?
t
?
?
,
?
1
?
t?
?
?
?
,
I
?
?
t
?
??
2
?
2
?
t?
?
0,1
?
?
tttt
25
①当
?
?1
时
,
I
?
?
t
?
?0
所以
h
??
t
?
在
?
0,1
?
上单调递减,
h
?
?
t
?
?h
?
?
1
?
?0
所以
h
?
t
?
在
?
0,1
?
上单调递增,
所以
h
?
t
?
?h
?<
br>1
?
?0
符合题意
②当
?
?0
时,
I
?
?
t
?
?0
所以
h
?
?<
br>t
?
在
?
0,1
?
上单调递增
h
?
?
t
?
?h
?
?
1
?
?0故
h
?
t
?
在
?
0,1
?
上
单调递减,
所以
h
?
t
?
?h
?
1?
?0
不符合题意;
③当
0?
?
?1
时,<
br>I
?
?
t
?
?0?
?
?t?1
<
br>所以
h
?
?
t
?
在
?
?
,
1
?
上单调递增,
所以
h
?
?
t
??h
?
?
1
?
?0
所以
h
?
t
?
在
?
?
,1
?
上单调递减,
故h
?
t
?
?h
?
1
?
?0
不
符合题意
综上所述,实数
?
的取值范围是
?
1,??
?
.
18.解:(1)∵f(x)=(lnx﹣k﹣1)x(k∈R),
∴x
>
0
,
=lnx
﹣
k
,
①
当
k≤0
时,
∵x
>
1
,
∴f
′
(
x
)
=lnx
﹣
k
>
0
,<
br>
函数
f
(
x
)的单调增区间是(
1
,+∞
),无单调减区间,无极值;
②
当
k
>
0
时,令
lnx
﹣
k=0
,解得
x=e
k
,
当
1
<
x
<
e
时,
f′(
x
)<
0
;当
x
>
e
,
f
′
(
x
)>
0
,
∴
函数
f(
x
)的单调减区间是(
1
,
e
k
),单调减
区间是(
e
k
,
+∞
),
kkk
在区间
(
1
,
+∞
)上的极小值为
f
(
e
)=
(
k
﹣
k
﹣
1
)
e=
﹣<
br>e
,无极大值.
2
(
2
)
∵
对于
任意
x∈[e
,
e]
,都有
f
(
x
)<<
br>4lnx
成立,
kk
∴f
(
x
)﹣
4lnx
<
0
,
2
即问题转化为(
x
﹣
4
)
lnx
﹣(
k+1
)
x
<
0
对于
x∈[e
,
e]
恒成立,
即
k+
1
>
2
对于
x∈[e
,
e]
恒成立,令
g
(
x
)
=
,则
,
2
令
t
(
x
)
=4lnx+x
﹣
4
,
x∈[e
,
e]
,则,
∴t
(
x
)在区间
[e
,
e
2
]
上单调递增,故
t
(
x<
br>)
min
=t
(
e
)
=e
﹣
4+4
=e
>
0
,故
g′
(
x
)>
0
,
26
∴g
(
x
)在区间<
br>[e
,
e
2
]
上单调递增,函数
g
(
x
)
max
=g
(
e
2
)
=2
﹣
要使
k+1
>
∴k+1
>
2
﹣
,
2
对于
x∈[e
,
e]
恒成立,只要
k+1<
br>>
g
(
x
)
max
,
,即实数<
br>k
的取值范围是(
1
﹣,
+∞
).
k证明:(
3
)
∵f
(
x
1
)
=f(
x
2
),由(
1
)知,函数
f
(
x
)在区间(
0
,
e
)上单调递减,
kk+1在区间(
e
,
+∞
)上单调递增,且
f
(
e<
br>)
=0
,
不妨设
x
1
<
x
2
,则
0
<
x
1
<
e
<
x2
<
e
要证
x
1
x
2
<
e<
br>,只要证
x
2
<
2k
kk+1
,
<,
,即证
∵f
(
x
)在区间(
ek
,
+∞
)上单调递增,
∴f
(
x
2
)<
f
(),
又
f
(
x
1
)<
br>=f
(
x
2
),即证
f
(
x
1)<,
构造函数
h
(
x
)
=f
(<
br>x
)﹣
f
(
即
h
(
x
)
=
xlnx
﹣(
k+1
)
x+e
(
h′
(
x
)
=lnx+1
﹣(
k+1
)
+e
2k
(
2k
)
=
(
lnx
﹣
k
﹣
1)
x
﹣(
ln
k
),
x∈
(
0
,
e
)
﹣
k
﹣
1
),
+
)
=
(
lnx
﹣
k
),
∵x∈
(
0
,
e
k
),
∴lnx
﹣<
br>k
<
0
,
x
2
<
e
2k
,
即
h′
(
x
)>
0
,
∴
函数<
br>h
(
x
)在区间(
0
,
e
k
)上单
调递增,故
h′
(
x
)<
h
(
e
k
),
∵
,故
h
(
x
)<
0
,
∴f
(
x
1
)<
f
(
),即
f
(
x
2
)
=f
(
x
1
)<
f
(
2k
),
∴x
1
x
2<
br><
e
成立.
19.(Ⅰ)由
f
?
x
?
?ae?
x
1
2
x?x
得
f
?
?
x
?
?ae
x
?x?1
.
2
因为曲
线
y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?
处的切线与
y
轴垂直,
所以
f
?
?
0
?
?a?1?0
,解得
a?1
.
x
(Ⅱ)由(Ⅰ
)知
f
?
?
x
?
?ae?x?1
,若函数
f
?
x
?
有两个极值点,则
??
27
f
?
?
x
?
?ae
x<
br>?x?1?0
,即
a?
x?1x?1
有两个不同的根,且的值在根的左、右两侧符号相反.
a
?
e
x
e
x
e
x
?
?
x?1?
e
x
x?1
x
令
h
?
x
?
?
x
,则
h
?
?
x
?
?
,
??
x
x
2
e
e
?
e
?所以当
x?0
时,
h
?
?
x
?
?0<
br>,
h
?
x
?
单调递减;当
x?0
时,
h
?
?
x
?
?0
,
h
?
x?
单调递增.
又当
x???
时,
h
?
x?
???
;
x?0
时,
h
?
0
??1
;
x?0
时,
h
?
x
?
?0;
x???
时,
h
?
x
?
?0
, <
br>所以
0?a?1
.即所求实数
a
的取值范围是
0?a?1.
(Ⅲ)证明:令
g
?
x
?
?elnx?x?
x
1
(
x?1
),则
g
?
1
?
?0
,
x
e
x
1
g
?
?
x
?
?elnx??1?
2
.
xx
x
e
x
e
x
x?e
x
2
??
3
, 令
h
?
x
?
?g
?
?
x
?
,则
h<
br>?
?
x
?
?elnx?
xx
2
x
x
e
x
?
x?1
?
e
x
2
?0?0
,因为
x?1
,所以
elnx?0
,,
?0
,
2
3
x
x
x
x
所以
h
?<
br>?
x
?
?0
,即
h
?
x
?
?g
?
?
x
?
在
x?1
时单调递增,
又
g
?
?
1
?
?e?2?0
,所以
x?1<
br>时,
g
?
?
x
?
?0
,即函数
g<
br>?
x
?
在
x?1
时单调递增.
所以
x?1
时,
g
?
x
?
?0
,即
x?1
时
,
elnx?x?
x
1
.
x
120.(1)当
b=0
时,
f
(
x
)
=x3
-2x
2
+3x
,
f'
(
x
)=x
2
-4x+3=
(
x-1
)(
x-3
)<
br>.
3
当
x?
(
1,3
)
时,
f'
(
x
)
<0
,故函数
f
(
x
)<
br>在
(
1,3
)
上单调递减;
当
x?
(3,4
)
时,
f'
(
x
)
>0
,故函
数
f
(
x
)
在
(
3,4
)
上单调
递增.
由
f
(
3
)
=0
,
f
(
1
)
=f
(
4
)
=
4
.
3
轾
4
0,
; ∴
f
(
x
)在
[
1,4
]
上的值域为
犏
犏
臌
3<
br>(2)由(1)可知,
f'
(
x
)
=x
2
-
4x+3=
(
x-1
)(
x-3
)
,
由
f'
(
x
)
<0
得
1
f'<
br>(
x
)
>0
得
x<1
或
x>3
.
28
所以
f
(
x
)
在
(
1,3
)
上单调递减,在
(
-?,1
)
,
(
3,+?
)
上单调递增;
4
所以
f
(
x
)
max
=f
(
1
)
=b+
,
f
(
x
)
min
=f
(
3
)
=b
,
3
44
所以当
b+>0
且
b<0
,即
-时,
$$x
1
?
(
0,1<
br>)
,
x
2
?
(
1,3
)
,
x
3
?
(
3,4
)
,使得
33
f
(
x
1
)
=f
(
x
2
)
=f(
x
3
)
=0
,
骣
4
由
f
(
x
)
的单调性知,当且仅当
b?
琪
琪
,
0
时,
f
(
x
)
有三个不同零点.
桫
3
21.(1)当
a?1
时,函数
f(x)?
∴
f'(1)?0
,
f(1)??
1
2
1
x?lnx?2
,
f'(x)?x?
,
2x
3
,
2
3
.
2
∴曲线
f
(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y??
ax
2
?1
(x?0)
. (2)
f'(x)?
x
当
a?
0
时,
f'(x)?0
,
f(x)
的单调递减区间为
(0,
??)
;
当
a?0
时,
f(x)
在
(0,
22.(Ⅰ)
f
?
(x)??
aa
)
递减,在
(,??)
递增.
aa
11sin
?
?x?1
在上恒成立
,即
??0?0
.
[?1,??)
22
sin
?
?xxsin
?
?x
∵
?
?(0,
?
)
,
∴
sin
?
?0
.故
sin
?
?x?1?0
在
[?1,??)
上恒成立
只须
sin
?
?1?1?0
,即
sin
?
?1
,又
0?sin
?
?1
只有
sin
?
?1
,得
?
?
由
f
?
(x)??
?
2
.
11x?1
??
2
?0
,解得
x?1
.
2
xxx
∴当
0?x?1
时,
f
?
(x)?0;当
x?1
时,
f
?
(x)?0
.
故
f(x)
在
x?1
处取得极小值1,无极大值.
(Ⅱ)
构造
F(x)?kx?
12e1?2e
?lnx??kx??lnx
,则转化
为;若在
[1,e]
上存在
xxx
x
0
,使得
F(
x
0
)?0
,求实数
k
的取值范围.
29
当
k?0
时,
x?[1,e]
,
F(x)?0
在
[1,e]
恒成立,所以在
[1,e]
上不存在x
0
,使得
kx
0
?f(x
0
)?
2
e
成立.
x
0
1?2e1
kx
2
?1?2e?x
kx
2
?1?e?e(e?x)
?
②当
k?0
时,
F
?
(x)?k?
.
?
?
x
2
x
2
x
2
x
因为
x?[1,e]
,所以
e?x?0
,所以
F
?
(x)?0
在
x?[1,e]
恒成立.
故
F(x)
在
[1,e]
上单调递增,
F(x)
m
ax
?F(e)?ke?
解得
k?
11
?3
,只要
ke??3?0
,
ee
3e?1
.
e
2
3e?1
,??)
.
2
e
∴综上,
k
的取值范围是
(
30
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