高中数学文化的构建研究-青海省高中数学名师工作室
2018年高考数学压轴题小题
一.选择题(共6小题)
1.(2018?新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣
∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f(1)+f(2)+f
(3)+…+f(50)=( )
A.﹣50
B.0 C.2 D.50
2.(2018?新课标Ⅱ)已知F
1
,F2
是椭圆C:
点P在过A且斜率为
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左
顶点,
的直线上,△PF
1
F
2
为等腰三角形,∠F
1F
2
P=120°,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
3.(2018?上海)设D是函数1的有限实数集,f(
x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点
逆时针旋转
A.
后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )
C. D.0 B.
4.(2018?浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角
为
足
A.
第1页(共16页)
,向量满
﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是( )
﹣1 B.+1
C.2 D.2﹣
5.(2018?浙江)已知四棱锥S﹣ABC
D的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含
端点).设SE与BC所成的角为θ1
,SE与平面ABCD所成的角为θ
2
,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3
,
则( )
A.θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B.θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C.θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D.θ
2
≤θ
3
≤θ
1
6.(2018?浙江)函数y=2
|
x
|
sin2x的
图象可能是( )
A.
B. C. D.
7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线
到一条渐近线的距离为
﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)
c,则其离心率的值为 .
8.(2018?江苏)若函数f(x)=2x
3
﹣ax
2
+1(a
∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣
1,1]上的最大值与最小值的和为
.
第2页(共16页)
9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=
互异的实数解,则a的取值范围是
.
.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个
10.(20
18?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条
渐近线与椭圆
M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率
为
;双曲线N的离心率为 .
11.(2018?上海)已知
实数x
1
、x
2
、y
1
、y
2
满足:x<
br>1
2
+y
1
2
=1,x
2
2
+y<
br>2
2
=1,x
1
x
2
+y
1
y2
=
+
,则
的最大值为 .
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数(fx)=
则a= .
的图象经过点P(p,),Q(q,).若2
p
+
q<
br>=36pq,
13.(2018?浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(
x)<0的解集
是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
第3页(共16页)
14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆
点B横坐标的绝对值最大.
+y
2
=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,<
br>15.(2018?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一
共可以组
成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
三.解答题(共2小题)
16.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=
asin2x+2cos
2
x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f(
)=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解. 17.(2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣
,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=
,求cosβ的值.
第4页(共16页)
2018年高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.(2018?新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣
∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f(1)+f(2)+f
(3)+…+f(50)=( )
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),
∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,
则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,
f(4)=f(0)=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,
则f(1)+
f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(
50)
=f(1)+f(2)=2+0=2,
故选:C.
2.(2018?新课标Ⅱ)已知F
1
,F
2
是椭圆C:
点P在过A且斜率为
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,
的直线上,△PF
1
F
2
为等腰三角形,∠F
1
F
2
P=120°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F
1
(﹣c,0),F
2
(
c,0),
直线AP的方程为:y=(x+a),
c),
由∠F
1
F
2
P=120°,|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c,则P(2c,
代入直线AP:c=(2c+a),整理得
:a=4c,
第5页(共16页)
∴题意的离心率e==.
故选:D.
<
br>3.(2018?上海)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕
原点
逆时针旋转
A.
B.
后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )
C.
D.0
个单位后与【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点
逆时针旋转
下一个点会重合.
我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时
,此时得到的圆心角为,,0,然而
此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的
定义就是要求一个x只能对应一个y,
因此只有当x=
故选:B.
4.(2018?浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为
足
A.
﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是( )
﹣1 B.+1
C.2 D.2﹣
,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.
,向量满
【解答】解:由
∴()⊥(
﹣4?+3=0,得
),
,
第6页(共16页)
如图,不妨设,
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
又非零向量与的夹角为
不妨以y=
即
故选:A.
,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.
为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线
.
的距离减1.
5.(2018?浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧
棱长均相等,E是线段AB上的点(不含
端点).设SE与BC所成的角为θ
1
,SE
与平面ABCD所成的角为θ
2
,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3
,则( )
A.θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B.θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C.θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D.θ
2
≤θ
3
≤θ
1
【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.
过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,
连接SN,
取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,
则θ
1
=∠SEN,θ
2
=∠SEO,θ
3
=∠SMO
.
显然,θ
1
,θ
2
,θ
3
均为锐角.
∵tanθ
1
=
∴θ
1
≥θ
3
,
第7页(共16页)
=,tanθ
3
=,SN≥SO,
又sinθ
3
=
∴θ
3
≥θ
2
.
故选:D.
,sinθ
2
=,SE≥SM,
6.(2018?浙江)函数y=2
|
x
|
s
in2x的图象可能是( )
A. B. C. D.
【解答】解:根
据函数的解析式y=2
|
x
|
sin2x,得到:函数的图象为奇函数,
故排除A和B.
当x=时,函数的值也为0,
故排除C.
故选:D.
二.填空题(共9小题)
7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双
曲线
到一条渐近线的距离为
【解答】解:双曲线
c,则其离心率的值为 2
.
=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为
第8
页(共16页)
﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)
c,
可得:=b=,
可得,即c=2a,
.
所以双曲线的离心率为:e=
故答案为:2.
8.(2018?江苏)若函数f(x)=2x
3
﹣ax
2
+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣
1,1]上的最大值与最小值
的和为 ﹣3 .
【解答】解:∵函数f(x)=2x
3
﹣ax
2
+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),
①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,
函数f(x)在(0,+∞)
上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;
②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,
∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,
又f(x)只有一个零点,
∴f()=﹣+1=0,解得a=3,
f(x)=2x
3
﹣3x
2
+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣
1,1],
f′(x)>0的解集为(﹣1,0),
f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减,
f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,
∴f(x)
min=f(﹣1)=﹣4,f(x)
max
=f(0)=1,
∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:
f(x)
max
+f(x)
min
=﹣4+1=﹣3.
9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=
互异的实数解,则a的取值范围是
(4,8) .
【解答】解:当x≤0时,由f(x)=ax得x
2
+2ax+a=ax,
第9页(共16页)
.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个
得x
2
+ax+a=0,
得a(x+1)=﹣x
2
,
得a=﹣,
,则g′(x)=﹣=﹣,
设g(x)=﹣
由g′(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,
<
br>由g′(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,
当x>0时,由f(x)=ax得﹣x
2
+2ax﹣2a=ax,
得x
2
﹣ax+2a=0,
得a(x﹣2)=x
2
,当x=2时,方程不成立,
当x≠2时,a=
设h(x)=
,则h′(x)==,
由h′(x)>0得x>4,此时递增,
由h′(x)<0得0<x<2或2<x<
4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,
要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解,
则由图象知4<a<8,
故答案为:(4,8)
第10页(共16页)
10.(2018?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),
双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形
的顶点,则椭圆M的离心率为
;双曲线N的离心率为 2 .
【解答】解:椭圆
M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与
椭圆M的四个交点及椭圆M
的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,
可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点
(,
,可得e
4
﹣8e
2
+4=0,e∈(0,1),
),可得:,可得
解得e=.
,即,
同时,双曲线的渐近线的斜率为
可得:,即,
可得双曲线的离心率为e=
故答案为:
;2.
=2.
11.(2018?上海)已知实数x
1
、x
2<
br>、y
1
、y
2
满足:x
1
2
+y
1
2
=1,x
2
2
+y
2
2
=1,x
1
x
2
+y
1
y
2
=
+的最大值为 +
.
,则
【解答】解:设A(x
1
,y
1
),B(
x
2
,y
2
),
=(x
1
,y
1
),=(x
2
,y
2
),
由x
12
+y
1
2
=1,x
2
2
+y
22
=1,x
1
x
2
+y
1
y
2
=,
可得A,B两点在圆x
2
+y
2
=1上,
且?=1×1×cos∠AOB=,
即有∠AOB=60°,
第11页(共16页)
即三角形OAB为等边三角形,
AB=1,
+的几何意义为点A,B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和,
显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,
可设AB:x+y+t=0,(t>0),
由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1,解得t=,
,
即有两平行线的距离为
即
故答案为:
+
+.
=,
+,
的最大值为
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数(fx)=
则a= 6
.
【解答】解:函数f(x)=
的图象经过点P(p,),Q(q,).若2
p
+
q
=36pq,
的图象经过点P(p,),Q(q,).
则:,
整理得:
解得:2
p
+
q
=a<
br>2
pq,
由于:2
p
+
q
=36pq,
所以:a
2
=36,
由于a>0,
故:a=6.
=1,
第12页(共16页)
故答案为:6
13.(2018?
浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集
是 {x|1<x<4}
.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 (1,3]∪(4,+∞) .
【解答
】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2
≤x<4};x
<2时,不等式f(x)<0化为:x
2
﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解
集为:
{x|1<x<4}.
函数f(x)恰有2个零点,
函数f(x)=的草图如图:
函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.
故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).
14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆
时,点B横坐标的绝对值最大.
【解答】解:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由P(0,1),=2,
+y
2
=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5
可得﹣x1
=2x
2
,1﹣y
1
=2(y
2
﹣1),<
br>
即有x
1
=﹣2x
2
,y
1
+2y
2
=3,
又x
1
2
+4y
1
2
=4m,
第13页(共16页)
即为x
2
2
+y
1
2
=m,①
x
2
2
+4y
2
2
=4m,②
①﹣②得(y
1
﹣2y
2
)(y
1
+2y
2
)=﹣3m,
可得y
1
﹣2y
2
=﹣m,
<
br>解得y
1
=
则m=x
2
2
+(
即有x
2
2
=m﹣(
,y
2
=,
)
2
,
)
2
==,
即有m=5时,x
2
2
有最大值4,
即点B横坐标的绝对值最大.
故答案为:5.
15.(2018?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共
可以组
成 1260 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【解答】解:从1
,3,5,7,9中任取2个数字有
从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有
可以组成<
br>种方法,
种方法,
=720个没有重复数字的四位数;
=540,
含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有
故一共可以
组成1260个没有重复数字的四位数.
故答案为:1260.
三.解答题(共2小题)
16.(2018?上海)设常数a∈R,函数
f(x)=asin2x+2cos
2
x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos
2
x,
∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos
2
x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
第14页(共16页)
∴﹣asin2x+2cos<
br>2
x=asin2x+2cos
2
x,
∴2asin2x=0,
∴a=0;
(2)∵f(
∴asin
∴a=
)=+1,
)=a+1=+1,
+2cos
2
(
,
∴f(x)=sin2x+2cos
2
x=
,
)+1=1﹣
)=﹣,
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
∵f(x)=1﹣
∴2sin(2x+
∴sin(2x+
∴2x+
∴x=﹣
=﹣
,<
br>
+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,
π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,
∵x∈[﹣π,π],
∴x=
17.(2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与
x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣
,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
或x=或x=﹣或x=﹣
【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x
轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).
∴x=﹣,y=,r=|OP|=
;
,r=|OP|=1,
,
,
第15页(共16页)
,
∴sin(α+π)=﹣sinα=
(Ⅱ)由x=﹣,y=
得,
又由sin(
α+β)=
得=,
,
.
<
br>则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=
∴cosβ的值为
或.
第16页(共16页)