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2009-2017年湖南省学考真题压轴题
【2009年学考压轴题】在正项等比数
列{a
n
}中,a
1
=4,a
3
=64.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)记bn
=log
4
a
n
,求数列{b
n
}的前n项
和S
n
;(3)记y=-
?
+4
?
-m,对于(2)中的S
n
,不等式y
2
≤S
n
对一切正整数n及任意实数
?
恒成立,求实数m的取值范围.
【2010年学考压轴题】
(本小题满分10分)已知函数
f(x)?log
2
(x?1)
.
(1) 求函数
y?f(x)
的定义域;
(2) 设
g(x)?
f(x)?a
,若函数
y?g(x)
在
(2,3)
内有且仅有一个零
点,求实数
a
的取
值范围;
m
,是否存在正实数
m
,使得函数
y?h(x)
在
[3,9]
内的最小
f(x)
值为4?若存在,求出
m
的值;若不存在,请说明理由.
(3)
设
h(x)?f(x)?
1
【2011年学考压轴题】(本小题满分
10分)设函数
f(x)?a?b
,其中向量
a?(cos2x?1,1)
,
b?(1,3sin2x?m)
.
(1)求
f(x)
的最小正周期;
(2)当
x?
?0,
?
?
时,
?4?f(x)?4
恒成立,求实数
m<
br>的取值范围.
?
?
6
?
?
【2012年学考压轴题】(10分)已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?2?a
(
a
为常数,
n?N?
)
n
(1)
求
a
1
,
a
2
,
a
3
;(2)若
数列
?
a
n
?
为等比数列,求常数
a
的值及
a
n
;
(3)对于(2)中的
a
n
,记
f<
br>?
n
?
?
?
?a
2n?1
?4
?<
br>?a
n?1
?3
,若
f
?
n
?
?0
对任意的正整数
n
恒成立,求实数
?
的取值范围。
2
【2013年压轴题】已知关于
x,y
的二元二次方程
x
2<
br>?y
2
?2x?4y?k?0(k?R)
表示圆
C.
(1)求圆心
C
的坐标;
(2)求实数
k
的取值范围 <
br>(3)是否存在实数
k
使直线
l:x?2y?4?0
与圆
C<
br>相交于
M,N
两点,且
OM?ON
(
O
为
坐
标原点)?若存在,请求出
k
的值;若不存在,说明理由.
【2014年学考压轴题】(本小题满分10分)已知圆
C:x?y?2x?3?0
.
(1)求圆的圆心
C
的坐标和半径长;
(2)直线
l
经过
坐标原点且不与
y
轴重合,
l
与圆
C
相交于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
两点,求证:
22
11
?
为定值;
x
1
x
2
(3)斜率为1的直线
m
与圆
C
相交于
D,E
两点,求直线
m
的方程,使△CDE的面积最大.
3
【2015年学考压轴题】(本小题满分10分)已知数列{a
n
}满足a1
=2,a
n
+
1
=a
n
+2,其中n∈N<
br>*
.
(1)写出a
2
,a
3
及a
n
.
111
(2)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,设T
n
=++…
…+,试判断T
n
与1的大小关系;
S
1
S
2
S
n
(3)对于(2)中的S
n
,不等式S
n
·S
n
-
1
+4S
n
-λ(n+1)S
n
-
1<
br>≥0对任意大于1的整数n恒成
立,求实数λ的取值范围.
【2016年学考压轴题】(本小题满分10分)已知函数
f(x)?log
a
x
(a?0
,且
a?1
)
,
且
f(3)?1
.
(1)
求
a
的值,并写出函数
f(x)
的定义域;
(2)
设
g(x)?f(1?x)?f(1?x)
,判断
g(x)
的奇偶性,并说明理由;
(3)
若不等式
f(t?4
x
)?f(2
x
?t)
对任意
x?[1,2]
恒成立,求实数的取值范围.
【2017年学考压轴题】(
本小题满分10分)已知O为坐标原点,点P(1,<
br>2
)在
圆M:
x
2
?y
2
-4x?ay?1
?0
上,
(1)求实数
a
的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线
l
1
,l
2
,
l
1
与圆M交于A,B两点,
l
2
与圆M交于C,D
两点,求
AB?CD
的最大值.
4
2009-2017年湖南省学考真题压轴题
参考答案
【2009年学考压轴题】
(1)a
n
=4
n
;
(2)S
n
=
n(n?1)
(3)m≥3.
2
【2010年学考压轴题】
(1)
xx?1
;
(2)
?1?a?0
; (3)
m?4
.
【2011年学考压轴题】
(1)T=
?
(2)(—6,1)
【2012年学考压轴题】
解:(1)
a
1
?S
1
?a?2
,
…………………………………………1分
由
S
2
?a
1
?
a
2
,得
a
2
?2
,
…………………………………2分
由
S
3
?a
1
?a2
?a
3
,得
a
3
?4
;
………………………………3分
(2)因为
a
1
?a?2
,当n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?
2
n?1
,
又{
a
n
}为等比数列,所以
a1
?1
,即
a?2?1
,得
a??1
,…………………
…5分
故
a
n
?2
n?1
;
……………………………………………………6分
(3)因为
a
n
?2n?1
,所以
f(n)?
?
?2
2n
??
?4
?
?2
n
?3
, ……………………7分
n
22
令
t?2
,则
t?2
,
f(n)?
?
?t
?4
?
?t?3?
?
(t?2)?4
?
?3
,
设
g(t)?
?
(t?2)?4
?
?3
,
当
?
?0
时,
f(n)??3?0
恒成立,
…………………………………8分
2
当
?
?0
时,
g(t
)?
?
(t?2)?4
?
?3
对应的点在开口向上的抛物线上,所以
f(n)?0
2
不可能恒成立,
……………………………………9分
2
当
?
?0
时,
g(
t)?
?
(t?2)?4
?
?3
在
t?2
时有最大
值
?4
?
?3
,所以要使
f(n)?0
对任意的
正整数
n
恒成立,只需
?4
?
?3?0
,即
???
综上实数
?
的取值范围为
?
33
,此时
?
?
?
?0
,
44
3
?
?
?0
.
…………………………………10分
4
5
【2013年学考压轴题】
(1)
C:(x?1)
2
?(y?2)
2
?5?k
,
?C(?1,2)
(2)由
5?k?0?k?5
?
x?2y?4?0
(3)
由
?
?5y
2
?16y?8?k?0
22
?(x?1)?(y?2)?5?k
设
M(x
1
,y
1
)
,N(x
2
,y
2
),
则
y
1
?y
2
?
168?k24
,
??16
2
?20(8?k)?0
?k?
,y
1
y
2
?
555
4k?16
x
1
?2y
1
?4,x
2
?2y
2
?4
,?x
1
x
2
?(2y
1
?4)(2y
2
?4)?4[y
1
y
2
?2(y
1
?y
2
)?4]?
5
4k?168?k824
OM?ON,?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0,
即
??0?k?(
满足
k?)
5555
2
【2014年学考压轴题】
解:
(1)配方得
?
x?1
?
?y
2
?4
,
则圆心C的坐标为
?
?1,0
?
,……………………2分
圆的半径长为
2
; ………………………………………………………………………4分
(2)设直线
l
的方程为
y?kx
,
?
x2
?y
2
?2x?3?0
联立方程组
?
,消去
y
得
1?k
2
x
2
?2x?3?0
,
……………5分
?
y?kx
??
2
?
x?x??
12
?
?
1?k
2
则有:
?
………………………………………………6分
3
?
xx??
12
?
1?k
2
?
所以
11
x
1
?x
2
2
???
为定值. ………………………………………………7分
x<
br>1
x
2
x
1
x
2
3
(3)解法一
设直线m的方程为
y?kx?b
, 则圆心C到直线m的距离
d?
b?1
2
,
所以
DE?2R
2
?d
2
?24?d
2
,
…………………………………8分
22
S
?CDE
4?d
?
?d
?
1
2
?DE?d?4?d?d??2
,
22
当且仅当
d?4?d
2
,即
d?2
时,
?CDE
的面积最大, …………………………9分
从而
b?1
?2
,
解之得
b?3
或
b??1
,
2
故所求直线方程为
x?y?3?0
或
x?y?1?0
.……………………………………10分
解法二 由(1)知
CD?CE?R?2
,
所以
S
?C
DE
?
1
CD?CE?sin?DCE?2sin?DCE?2
,当且仅当<
br>CD?CE
时,
?CDE
的面积最
2
大,
此时
DE?22
, ………………………………………………………8分
6
设直线m的方程为
y?x?b
则圆心C到直线m的距离<
br>d?
由
DE?2R
2
?d
2
?24?d
2<
br>?22
, 得
d?2
,
b?1
2
,………………9分
?2
,得
b?3
或
b??1
,故所求直线方程为
x?y?3?0
或
x?y?1?0.………10分
2
【2015年学考压轴题】
由
b?1
解:(1) 依题a
2
=
a
1
+2=4,a
3
= a
2
+2=6,
依题{a
n
}是公差为2的等差数列,∴a
n
=2n;
…3分
1111
(2) ∵
S
n
=n(n+1),∴
?
,
??
S
n
n(n?1)nn?1
111111
)?1?
∴T
n
?(1?)?(
?)??(?
<1 …6分
223nn?1n?1
(3)
依题n(n+1)?(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0,
即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0,
444
?n?1??1?5
, 即λ≤<
br>n?
对大于1的整数n恒成立,又
n?
n?1n?1n?1
4
当且仅当n=3时,
n?
取最小值5, 所以λ的取值范围是(-∞,5]…10分
n?1
【2016年学考压轴题】
【解析】(1)
由
f(3)?1
,得
log
a
3?1
,所以
a?3
. …… 2分
函数
f(x)?log
3<
br>x
的定义域为
(0,??)
.
…… 4分
(2)
g(x)?log
3
(1?x)?log
3<
br>(1?x)
,定义域为
(?1,1)
.
因为
g(?x)?l
og
3
(1?x)?log
3
(1?x)??g(x)
,所以
g(x)
是奇函数.
…… 7分
(3) 因为函数
f(x)?log
3
x
在
(0,??)
上是增函数,所以.
不等式
f(t?4)?f(2?t)
对任意
x?[1,2]
恒成立,等价于不等式组
xx
?
t?4
x
?0,
?
x
?
2?t?0,
?
t?4
x
?2
x
?t.
?
(i)
(ii)
对任意
x?[1,2]
恒成立. <
br>(iii)
x
2
x
1
?
由
(i)
得
t?0
;由
(ii)
得
t?2
,依题意得
t?2<
br>;由
(iii)
得
t?
x
.
4?1
2x
?
1
2
x
11
x
令
u?2
,则
u?[2,4]
. 易知
y?u?
在区间
[2,4]
上是增函数,所以
y?u?
在
uu
522
1
区间
[
2,4]
上的最小值为,故的最大值为,依题意,得
t?
.
1
25
5
2
x
?
x
2
2
综上所述,
t
的
取值范围为
?t?2
. ……
10分
5
【2017年学考压轴题】
22
(1)因为
点P(1,
2
)在圆M:
x?y-4x?ay?1?0
上
所以
12
?(2)
2
-4?1?a?2?1?0
?a?0
………………3分
7
(2)因为直线OP的斜率为
k<
br>OP
?
2?0
?2
,圆M的圆心为
M(2,0)
1?0
所以
过圆心M且与直线OP平行的直线的方程为:
y?0?2(x?2)
即
2x?y?22?0
…………6分
(
3)因为圆M的标准方程为:
(x?2)
2
?y
2
?3
,
故直线
l
1
,l
2
的斜率均存在。
设直线
l
1
的方程为
kx?y?0
,则
l
2
的方程为
x?ky?0
于是圆心M到直线
l
1
的距离为
d
1
?
|2k|
k?1
2
4
k
2
3?k
2
于是
|AB|?23?d?23?
2
?2
2
k?1k?1
2
1
圆心M到直线
l
2
的距离为
d
1
?
2
k?1
2
43k
2
?1
所以
|CD|?23?d?23?
2
?2
2
k?1k?1
2
2
?
33
?
d
1
?3
又由
?
可得
k
的取值范围是
(?3,?)(,3)
33
?
?
d
2
?3
这时
(3k
2
?1)(3?k
2
)
|AB|?|CD|?4?
k
2?1
(3k
2
?1)?(3?k
2
)
2
?4?
2
k?1
?4
22
当且仅当
3k?1?3?k
即
k??1
时取等号,所以
|AB|?|CD|
的最大值为4
8