(完整版)高考数学压轴题小题

高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析


一．选择题（共6小题）

1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满 足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）
+f（2）+f（3）+…+f（50） =（ ）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f（1）+ f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（ 50）

=f（1）+f（2）=2+0=2，

故选：C．



2．）已知F
1
，F
2
是椭圆C：
率 为
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜
的直线上，△PF1
F
2
为等腰三角形，∠F
1
F
2
P=120 °，则C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：由题 意可知：A（﹣a，0），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），

直线AP的方程为：y=（x+a），

c），

由∠F
1
F
2
P=120°，|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c，则P（2c，
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，

∴题意的离心率e==．

第1页（共12页）

故选：D．




3．设D是函数1的有限实数集，f（ x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中，f（ 1）的可能取值只能是（ ）

A． B． C． D．0

个单位后与【 解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
下一个点会重合．< br>
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，< br>因此只有当x=
故选：B．



4．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
则|﹣|的最小值是（ ）

A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．

，向量满足﹣4 ?+3=0，
【解答】解：由
∴（）⊥（
﹣4?+3=0，得
），

，

，

如图，不妨设
第2页（共12页）

则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为
不妨以y=
即
故选：A．

，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线
．

的距离减1．




5．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线 段AB上的点（不含端点）．设SE
与BC所成的角为θ
1
，SE与平面ABCD所成 的角为θ
2
，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3
，则（ ）

A．θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B．θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C．θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D．θ
2
≤θ
3
≤θ
1

【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．

过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，

连接SN，

取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，
则θ
1
=∠SEN，θ
2
=∠SEO，θ
3
=∠SMO ．

显然，θ
1
，θ
2
，θ
3
均为锐角．

∵tanθ
1
=
∴θ
1
≥θ
3
，

又sinθ
3
=
∴θ
3
≥θ
2
．

第3页（共12页）

=，tanθ
3
=，SN≥SO，

，sinθ
2
=，SE≥SM，

故选：D．




6．函数y=2
x
sin2x的图象可能是（ ）

||
A． B． C． D．

【解答】解：根据函数的解析式y=2
|
x
|
sin2x，得到：函数的图象为奇函数，

故排除A和B．

当x=时，函数的值也为0，

故排除C．

故选：D．



二．填空题（共9小题）

7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
的距离为c，则其离心率的值为 2 ．

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线
【解答】解：双曲线
第4页（共1 2页）

可得：=b=，

可得，即c=2a，

．

所以双曲线的离心率为：e=
故答案为：2．



8．若 函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一 个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的
最大值与最小值的和为 ﹣3 ．

【解答】 解：∵函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且 只有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞） 上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣ 1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）
min=f（﹣1）=﹣4，f（x）
max
=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）
max
+f（x）
min
=﹣4+1=﹣3．



9．已知a＞0，函数f（x）=
则a的取值范围是 （4，8） ．

【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x
2
+2ax+a=ax，

第5页（共12页）

．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

得x
2
+ax+a=0，

得a（x+1）=﹣x
2
，

得a=﹣，

，则g′（x）=﹣=﹣，

设g（x）=﹣
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
< br>由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，
当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x
2
+2ax﹣2a=ax，

得x
2
﹣ax+2a=0，

得a（x﹣2）=x
2
，当x=2时，方程不成立，

当x≠2时，a=
设h（x）=

，则h′（x）==，

由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，

由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜ 4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，

要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

则由图象知4＜a＜8，

故答案为：（4，8）




第6页（共12页）

10．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1． 若双曲线N的两条渐近线与椭圆
；双M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
曲线N的离心率为 2 ．

【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N ：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与
椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，
，可得e
4﹣8e
2
+4=0，e∈（0，1），

），可得：，可得
解得e=．

，即，

同时，双曲线的渐近线的斜率为
可得：，即，

可得双曲线的离心率为e=
故答案为：


；2．

=2．

11．已知实数x
1
、x
2
、y
1
、y
2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x2
+y
1
y
2
=，则
最大值为 + ．
+的
【解答】解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），

=（x
1
，y
1
），= （x
2
，y
2
），

由x
1
2
+ y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
= 1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，

可得A，B两点在圆x
2
+y
2
=1上，

且?=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

第7页（共12页）

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0，（t＞0），

由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1，解得t=，

，

即有两平行线的距离为
即
故答案为：


+
+．

=，

+，

的最大值为
12．已知常数a＞0，函数f（x）=
6 ．

【解答 】解：函数f（x）=
的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2
p
+
q< br>=36pq，则a=
的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：
解得：2
p
+
q
=a< br>2
pq，

由于：2
p
+
q
=36pq，

所以：a
2
=36，

由于a＞0，

故：a=6．

=1，

第8页（共12页）

故答案为：6



13．已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是 {x|1＜x＜
4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1，3]∪（4，+∞） ．

【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x |2
≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x
2
﹣4x+3＜0，解得1 ＜x＜2，综上，不等式的解集为：
{x|1＜x＜4}．

函数f（x）恰有2个零点，

函数f（x）=的草图如图：

函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．

故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．




14．已知点P（0，1），椭圆
坐标的绝对值最大．

【解答】 解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

由P（0，1），=2，

+y
2
=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 5 时，点B横
可 得﹣x
1
=2x
2
，1﹣y
1
=2（y
2
﹣1），

即有x
1
=﹣2x
2
，y
1
+ 2y
2
=3，

又x
1
2
+4y
1
2
=4m，

第9页（共12页）

即为x
2
2
+y
1
2
=m，①

x
2
2
+4y
2
2
=4m，②

①﹣②得（y
1
﹣2y
2
）（y
1
+2y
2
）=﹣3m，

可得y
1
﹣2y
2
=﹣m，
< br>解得y
1
=
则m=x
2
2
+（
即有x
2
2
=m﹣（
，y
2
=，

）
2
，

）
2
==，

即有m=5时，x
2
2
有最大值4，

即点B横坐标的绝对值最大．

故答案为：5．



15．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 1260 个
没有重复数字的四位数．（用数字作答）

【解答】解：从1，3，5， 7，9中任取2个数字有
从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有
可以组成
种方 法，

种方法，

=720个没有重复数字的四位数；

=540，

含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有
故一共可以 组成1260个没有重复数字的四位数．

故答案为：1260．



三．解答题（共2小题）

16．设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos
2
x，

∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos
2
x，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

第10页（共12页）

∴﹣asin2x+2cos< br>2
x=asin2x+2cos
2
x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

（2）∵f（
∴asin
∴a=
）=+1，

）=a+1=+1，

+2cos
2
（
，

∴f（x）=sin2x+2cos
2
x=
，

）+1=1﹣
）=﹣，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣
∴2sin（2x+
∴sin（2x+
∴2x+
∴x=﹣
=﹣
，< br>
+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]，

∴x=


17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合 ，它的终边过点P（﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

或x=或x=﹣或x=﹣

【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．

∴x=﹣，y=，r=|OP|=
；

，r=|OP|=1，

，

，

=，

第11页（共12页）

，

∴sin（α+π）=﹣sinα=
（Ⅱ）由x=﹣，y=
得，
又由sin（α+β）=
得

则cosβ=cos[（α+β ）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
或cosβ=cos[（α+β） ﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
∴cosβ的值为


或．

，

．

第12页（共12页）