高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

2020年10月6日发(作者：窦遵)

高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）
1．（12分）已知抛物线、椭圆和 双曲线都经过点
M
?
1,2
?
，它们在
x
轴上有共 同焦点，
椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线
l
过点
P
?
3,0
?
，交抛物线于
A,B
两点，是否存在垂直于
x< br>轴的直线
l
?
被以
AP
为直径的圆截得的弦长为定值？若存在 ，求出
l
?
的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y
2
?2px
?
p?0
?
，将
M
?< br>1,2
?
代入方程得
p?2

? 抛物线方程为: y
2
?4x
………………………………………………（1分）
由题意知椭圆 、双曲线的焦点为
F
?
?1,0
?
1
,F
2
?
1,0
?
, ? c=1
…………………（2分）
对于椭圆 ，
2a?MF
1
?MF
2
?
?
1?1
?< br>2
?2
2
?
?
1?1
?
2
?4?2 ?22

? a?1?2
? a?1?2
2
??
2
?3?22
………………………………（4分）
? b
2
?a
2
?c
2
?2?22
? 椭圆方程为：
x
2
3?22
?
y
2
2?22?1
对于双曲线，
2a
?
?MF
1
?MF
2< br>?22?2

? a
?
?2?1
? a
?
2
?3?22
? b
?
2
?c
?< br>2
?a
?
2
?22?2
? 双曲线方程为：
x< br>2
3?22
?
y
2
22?2
?1
…………… …………………（6分）
（Ⅱ）设
AP
的中点为
C
，
l< br>?
的方程为：
x?a
，以
AP
为直径的圆交
l
?
于
D,E
两点，
DE
中点为
H

?< br>x?3y
1
?
,
?
………………………………………………（ 7分） 令
A
?
x
1
,y
1
?
, ? C
?
1
22
??
? DC?
11
2
AP ?
?
x
1
?3
?
?y
1
2
22< br>
x
1
?3
1
CH??a?
?
x< br>1
?2a
?
?3
22

? DH?DC?CH ?
2
1
?
1
2
?
x
1
?3
?
?y
1
2
?
?
?
x?2a?3
???
?
?
4
?
1
4
?
?< br>?
a-2
?
x
1
?a
2
?3a
22 2
2
当a?2时,DH??4?6?2为定值;
? DE?2DH?22为定值
此时l
?
的方程为： x?2
…………（12分）
2．（14分）已知正项数列
?
a
n
?
中，
a1
?6
，点
A
n
a
n
,a
n?1在抛物线
y
2
?x?1
上；数
列
?
b
n
?
中，点
B
n
?
n,b
n
?
在 过点
?
0,1
?
，以方向向量为
?
1,2
?
的直线上.
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
的通项公式；
??
?
?
a
n
,
?
n为奇数
?
k
?
成立，若（Ⅱ）若
f
?
n
?
??
，问是否存在
k?N
，使
f
?
k?27
?< br>?4f
?
?
?
b
n
,
?
n为偶数
?
存在，求出
k
值；若不存在，说明理由； < br>（Ⅲ）对任意正整数
n
，不等式
a
n?1
?
1
??
1
?
1?1?
????
?
b
1
??
b
2
?
?
1
?
1?
??
?
b
n
?
?
a
n
n?2?a
n
?0
成立，求正数
a
的
取值范围.
解：（Ⅰ）将点
A
na
n
,a
n?1
代入
y
2
?x?1
中 得
??
a
n?1
?a
n
?1 ? a
n?1
?a
n
?d?1
? a
n
?a
1
?
?
n?1
?
?1?n?5
直线l:y?2x?1, ? b
n
?2n?1
?
?
n?5,
?
n为奇数?
（Ⅱ）
f
?
n
?
?
?
……………… ………………（5分）
?
?
2n?1,
?
n为偶数
?
当k为偶数时，k?27为奇数，
当k为奇数时，k?27为偶数，
? 2
?
k?27
?
?1?4
?
k?5
?
, ? k?
综上，存在唯一的k?4符合条件。
（Ⅲ）由
…………………………………… ……（4分）
f
?
k?27
?
?4f
?
k?
……………………（8分）
? k?27?5?4
?
2k?1
?
, ? k?4
35
?< br>舍去
?
2
a
n?1
?
1
??
1?
1?1?
????
?
b
1
??
b
2
?
?
1
?
1?
??
?
b
n
?
?
a
n
n?2?a
n
?0

< br>即a?
?
1
?
?
1?
?
?
b
n
?
?
11
??
1
?
?
1
?< br>记f
?
n
?
?
?
1?
??
1??
?
1?
?
2n?3
?
b
1
??b
2
?
?
b
n
?
?
1
??< br>1
?
?
1?
??
1?
?
2n?3
?
b
1
??
b
2
?
1
?
1
??
1
?
1?1?
????
2n?5
?
b
1
??
b
2
?
1
?
1
??
1?
1?1?
????
?
b
n
??
b
n ?1
?
? f
?
n?1
?
?
?
?
f
?
n?1
?
f
?
n
?
2?
2n?3
?
1
?
2n?32n?42n?4
?
?
1????
?
2n?5
?
b
n?1
?
2n?5
2n?3
2n?5?2n?3

?1
4n
2
?16n?16
4n?16n?15
? f
?
n?1
?
?f
?
n
?
, 即f
?
n
?
递增，
? f
?
n
?
min
?f
?
1
?
?
? 0?a?
45
15
………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O:
x?y?4
上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标
不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点
F(3, 0)
的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的
中点,
延长线段ON交C于点E.
求证:
OE?2ON
的充要条件是
|AB| ?3
.
22
144 5
?,
315
5
?
?
x
?
?x,
??
解: (1)设点
P(x, y)
, 点M的坐标为
(x, y)< br>,由题意可知
?
………………(2
?
y?2y,
?
分 )
x
2
?y
2
?1
. 又
x
?
?y
?
?4,
∴
x?4y?4?
4
22
22
x
2
?y
2
?1
.………………(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为
4
(2)设点
A(x
1
, y
1
)
,
B(x
2
, y
2
)
, 点N的坐标为
(x
0
, y
0
)
,

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O,
不合题意,舍去; ………………(5分)
㈡设直线l:
x?my?3,

?
?
x?my?3
由
?
消去x,
22
?
?
x?4y?4
22
得
(m?4)y?23my?1?0
………………①
∴
y
0
??
3m
,
………………(6分)
m
2
?4
3m
2
3m
2
?4343
??
∴
x
0
?my
0
?3??
2
,
22
m?4m?4m?4
∴点N的坐标为
(
433m
, ?)
.………………(8分)
m
2
?4m
2
?4
8323m
, ?)
, 由点E在曲线C上,
22
m?4m?4
①若
OE
?2ON
, 坐标为, 则点E的为
(
4812m
2
22
42
m?8 (m??4
舍去).
m?4m?32?0,
得, 即 ∴
??1
2222
(m?4)(m?4)
12m
2
?4m
2
?164 m
2
?1
??1,
由方程①得
|y
1
?y
2
|?
m
2
?4m
2
?4
又
|x
1
?x
2
| ? |my
1
?my
2
| ? |m(y
1
?y
2
)|,

∴
|AB| ? m
2
?1|y
1
?y
2
| ?3
.………………(10分)
4(m
2
?1)
2
?3,
m?8.
②若
|AB| ?3
, 由①得∴
2
m?4
∴点N的坐标为
(
362
, ?)
, 射线ON方程为:
y??x (x?0)
,
362
?
23
?
x?
2
?
x (x?0)
236
?
y??
?
3
, ?),
由
?
解得
?
∴点E的坐标为
(
2
33
?
x
2
?4y
2
?4
?
y??
6
?
?
3
?
∴
OE
?2ON
.

综上,
OE
?2ON
的充要条件是
|AB| ?3
.………………(12分)
4.（本小题满分14分）已知函数
f(x)?
1
(x?R)
.
x
4?2
11
(1) 试证函数
f(x)
的图象关于点
(, )
对称;
24
n
(2) 若数列
{a
n
}
的通项公式为a
n
?
f()

(m
?
N
?
,

n
?
1,

2,
?
,m)
, 求数列< br>{a
n
}
m
的前m项和
S
m
;

(3) 设数列
{b
n
}
满足:
b
1
?
1
3
,
b
n?1
?b
2
n
?b
n
. 设
T
n
?
111
????
.
b
1
?1b
2
?1b
n
?1
若(2)中的
S
n
满足对任意不小于2的正整数n,
S
n
?T
n
恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点
P
0
(x
0
, y
0
)
是函数
f(x)
的图象上任意一点, 其关于点
(, )
的对称点为
1
2
1
4
P(x, y)
. ?
x?x
0
1
?
?
x?1?x
0
,< br>?
?
2
?
2
由
?
得
?

1
y?y
1
y??y
0
.
0
?
?
?
2
?
?
4
?
2
所以, 点P的坐标为P
(1?x
0
, ?y
0
)
.………………(2分)
由点
P
0
(x
0
, y
0
)
在函数
f(x)
的图象上, 得
y
0
?
∵
f(1?x
0
)?
1
2
1
. x
0
4?2
1
4
1?x
0
4
x
0
4
x
0
??,

x
0
x
0< br>?24?2?42(4?2)
1111
4
x
0
∴点P
?y
0
??
x
0
?(1?x, ?y
0
)
在函数
f(x)
的图象上.
,
0
x
0
22
4?2
2(4?2)
2
1
4
1 kk1
(2)由(1)可知,
f(x)?f(1?x)?
, 所以
f()?f(1?)? (1?k?m?1)
,
2mm2
km?k11
)? , ?a
k
?a
m?k
?,
………………(6分) 即
f()?f(
mm22
∴函数
f(x)
的图象关于点
(, )
对称. ………………(4分)
由
S
m
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
m?1
?a
m
, ……………… ①
1
2

得
S
m
?a
m?1
?a
m?2
?a
m?3
?
?
?a
1
?a
m
,
………………②
由①＋②, 得
2S
m
?(m?1)?
∴
S
m
?
1m? 11m1
?2a
m
??2???,

22626
1
(3m?1).
………………(8分)
12
1
2
(3) ∵
b
1
?,
b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n
(b
n
?1)
, ………………③
3
∴对任意的
n?N
?
, b
n
?0
. ………………④
由③、④, 得
1
b
n?1
?
111111
??,
即
??
.
bn
(b
n
?1)b
n
b
n
?1b
n< br>?1b
n
b
n?1
∴
T
n
?(
分)
111111111
?)?(?)???(?)???3?
.……………(10
b
1
b
2
b
2
b
3
b
n
b
n?1
b
1
b
n?1
b
n?1
∵b
n?1
?b
n
?b
n
?0, ?b
n?1
?b
n
,
∴数列
{b
n
}
是单调递增数列 .
∴
T
n
关于n递增. 当
n?2
, 且
n?N
?
时,
T
n
?T
2
.
∵
b
1
?
2
11144452
,b
2
? (?1)?, b
3
?(?1)?,

33399981
175
?.
………………(12分)
b
1
52
∴
T
n
?T
2
?3?
∴
S
m
?
分)
751752384
,
即
(3m?1) ?,
∴
m??6,
∴m的最大值为6. ……………(14
5212523 939
5．（12分）
E
、
F
是椭圆
x?2y?4
的左、右焦点，
l
是椭圆的右准线，点
P?l
，过
点
E的直线交椭圆于
A
、
B
两点.
（1） 当
AE?AF
时，求
?AEF
的面积；
（2） 当
AB?3
时，求
AF?BF
的大小；
（3） 求
?EPF
的最大值.
y
22
A
P
M
?
m?n?4
1
解：（1）
?
2
?S?mn?2
< br>?AEF
2
m?n?8
2
?
（2）因
?
B< br>E
O
F
x
?
?
AE?AF?4
?AB?AF ?BF?8
，
BE?BF?4
?
?

则
AF?BF?5.

（1） 设
P(22,t)(t?0)

tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

?(
32232?222t223
?)?(1?)???
，
ttt
2
t
2
?6t?6t
?1
3
3
??EPF ?30

3
当
t?6
时，
tan?EPF?
22S
n
1
6．（14分）已知数列
?
a
n
?< br>中，
a
1
?
，当
n?2
时，其前
n
项和
S
n
满足
a
n
?
，
3
2S
n
?1
（2） 求
S
n
的表达式及
lim
a
n
的值；
n??
S
2
n
（3） 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（4） 设
bn
?
1
(2n?1)
3
?
1
(2n?1)3
，求证：当
n?N
且
n?2
时，
a
n
?b
n
.
2
2S
n
11
解：（1）
a
n
?S
n
?S
n?1
??S
n?1
?S< br>n
?2S
n
S
n?1
???2(n?2)

2S
n
?1S
n
S
n?1
所以
?
?
1
?
1
是等差数列.则.
S?
?
n
2n?1< br>S
?
n
?
lim
a
n
22
?lim ???2
.
n??
S
2
n??
2S?12limS
n
?1
nn
n??
（2）当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
11?2
，
? ?
2
2n?12n?14n?1
?
1
?
n?1
?< br>?
?
3
综上，
a
n
?
?
.
?
2
?
n?2
?
?
1?4n
2
?
（3）令
a?
111
,b?
，当
n?2
时，有
0 ?b?a?
（1）
2n?12n?13
法1：等价于求证
1
?
2n?1
1
?
2n?1
?
3
?1
?
2n?1
1
?
2n?1
?
3
.

当
n?2
时，
0?
111
?,
令< br>f
?
x
?
?x
2
?x
3
,0?x? ,

2n?133
3313
f
?
?
x
?< br>?2x?3x
2
?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0
， < br>222
3
则
f
?
x
?
在
(0,1
]
递增.
3
又
0?
111
??
，
2n?12n?13
11
)?g(),
即
a
n
?b
n
.
33
2n?12n?1
所以
g(
法（2）< br>a
n
?b
n
?
1111
??(?)?b
2< br>?a
2
?(b
3
?a
3
)

2n? 12n?1
(2n?1)
3
(2n?1)
3
?(a?b)(a
2
?b
2
?ab?a?b)
（2）
?(a?b)[(a
2
?
因
ababba
?a)? (b
2
??b)]

?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)]
（3）
2222
，所以
ab3a33
b??1?a??1??1??1??1?0
2222
2 3
(1)
ba
a(a???bb1??)?

22
由（1）（3）（4）知
a
n
?b
n
. 0
法3：令
g
?
b
?
?a?b?ab?a?b
，则
g
?
?
b
?
?2b?a?1?0?b?
22< br>1?a

2
所以
g
?
b
?
?max g
?
0
?
,g
?
a
?
?maxa?a,3 a?2a

22
??
??
因
0?a?
214
1
?)?0

,
则
a
2
?a?a
?a?1
?
?0
，
3a
2
?2a?3a(a?)?3a(
339
3
22
所以
g
?
b
?
?a ?b?ab?a?b?0
（5）
由（1）（2）（5）知
a
n
?b
n

7． (本小题满分14分)

x
2
y
2
设双曲线
2
?
2
=1( a > 0, b > 0 )的右顶
ab
点为A， P是双曲线上异于顶点的一个动点，从
A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分
别交于Q 和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|
OP
|
2

= |
OQ
·
OR
| ( O为坐标原点)；
??
???
???

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心
率的取值范围；
b
(x – a ),
a
???
??
?ab?kababkab
解得：
OR
= (,), 同理可得
OQ
= (,),
ak?bak?bak?bak?b
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y =
a
2
b
2
(1?k
2
)
?abab?kabkab
∴|
OQ
·
OR
| =|+| =
22
. 4分
ak?bak?bak?bak?b
|ak?b
2
|
??
???
设
OP
= ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
???
a
2
b< br>2
k
2
a
2
b
2
2
m =
2
, n =
2
,
2222
b?akb? ak
2
a
2
b
2
(1?k
2
)
a
2
b
2
k
2
a
2
b
2
∴ |
OP
| = :m + n =
2
+
2
=
2
,
b?a
2
k
2
b? a
2
k
2
b?a
2
k
2
???
2 22
∵点P在双曲线上，∴b
2
– a
2
k
2
> 0 .
∴无论P点在什么位置，总有|
OP
| = |
OQ
·
OR
| . 4分 ???
2
??
???
a
2
b
2
(1? k
2
)
（2）由条件得：
2
= 4ab, 2分
b?a
2
k
2
4b
2
?ab
即k = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >
2
ab?4a
2
17
2分
4

高考数学压轴题系列训练二（含答案及解析详解）
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f
n
( x ) = x
n
– ( x + a)
n
( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f
n
( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n ? a , 证明f

`
n + 1
( n + 1 ) < ( n + 1 )f
n
`(n)
解: (1) f
n
`( x ) = nx
n – 1
– n ( x + a)
n – 1
= n [x
n – 1
– ( x + a)
n – 1
] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ f
n
`( x ) < 0 , ∴ f
n
( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, f
n
( x ) = x
n
– ( x + a)
n
是关于x的减函数,
∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )
n
– ( n + 1 + a)
n
? n
n
– ( n + a)
n
. 2分
又 ∴f

`
n + 1
(x ) = ( n + 1 ) [x
n
–( x+ a )
n
] ,
∴f

`
n + 1
( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )
n
–( n + 1 + a )
n
] < ( n + 1 )[ n
n
– ( n + a)
n
] = ( n
+ 1 )[ n
n
– ( n + a )( n + a)
n – 1
] 2分
( n + 1 )f
n
`(n) = ( n + 1 )n[n
n – 1
– ( n + a)
n – 1
] = ( n + 1 )[n
n
– n( n + a)
n – 1
], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f

`
n + 1
( n + 1 ) < ( n + 1 )f
n
`(n) . 2分
2. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，
都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x
2
– 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=
?
?
1?x,x?[?1,0]
，是否满足题设条件？
?
1?x,x?[0,1]
解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u
2
– v
2
|=| (u + v )(u – v) |，
取u =
31
?[–1，1]，v = ?[–1，1],
42
5
| u – v | > | u – v |，
4
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
1
0
. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
2
0
. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
3
0
. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设
条件;
4
0
若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =
(1) 求证：| ac | ? 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ t?R, t ? –1,
∴ ⊿ = (–c
2
a)
2
– 16c
2
= c
4
a
2
– 16c
2
? 0 ，
∵ c ? 0, ∴c
2
a
2
? 16 , ∴| ac | ? 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 –
x
(x ? –1)的图象上，且有t
2
– c
2
at + 4c
2
= 0 ( c ? 0 ).
x?1
1
,
x?1
x
1
?x
2
11
–1 + = .
x
2
?1x
1
?1
(x
2
?1)(x
1
?1)
法1. 设–1 < x
1
< x
2
, 则f (x
2
) – f ( x
1
) = 1–
∵ –1 < x
1
< x
2
, ∴ x
1
– x
2
< 0, x
1
+ 1 > 0, x
2
+ 1 > 0 ,
∴f (x
2
) – f ( x
1
) < 0 , 即f (x
2
) < f ( x
1
) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) =
1
> 0 得x ? –1,
2
(x?1)
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?
4
> 0 ,
|a|
4
4
4
|a|
∴f (| c | ) ? f () = =
4
|a|
|a|?4
?1
|a|
f ( | a | ) + f ( | c | ) =
|a|
4|a|4
+ > +=1.
|a|?1
|a|?4|a|?4|a|?4
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
4．（本小题满分15分）
432
设定义在R 上的函数
f(x)?a
0
x?a
1
x?a
2
x?a
3
x?a
4
（其中
a
i
∈R，i=0,1,2,3 ,4），

当
x= －1时，f (x)取得极大值
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且 切点的横
坐标都在区间
?
?2,2
?
上；
2
，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
3
??
2
n
?12(1?3
n
)
4
,y?(n?N)（3） 若
x
n
?
，求证：
f(x)?f(y)?.

n+
nn
2
n
3
n
3
解：（1）
f(x)?
1
3
x?x.
…………………………5分
3
?
?
?
?
2
?
2
?
0,0,?2,.
…………10分 或
??
???
???
3
?
3
??
（2）
?
0,0
?
,
?
2,?
（3 ）用导数求最值，可证得
f(x
n
)?f(y
n
)?f(?1)?f (1)?
5．（本小题满分13分）
4
.
……15分
3
x
2
y
2
??1
上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x 轴的对设M是椭圆
C:
124
称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，Q N与PT的交点为E，当M沿椭圆
C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)( x
1
y
1
?0),E(x,y),

则
P(?x< br>1
,y
1
),Q(?x
1
,?y
1
),T( x
1
,?y
1
),
……1分
?
x
1
2
?
?
?
12

?
2
?
x
2
?
?
?12
y
1
2
?1,
4
2
y
2
?1.
4
(1)
………………………………………………………3分
(2)
1
3
由（1）－（2）可得
k
MN?k
QN
??.
………………………………6分
又MN⊥M Q，
k
MN
?k
MQ
??1,k
MN
??
x
1
y
,
所以
k
QN
?
1
.
y
1
3x
1
直线QN的方程为
y?
分
y
1
x
(x?x
1)?y
1
，又直线PT的方程为
y??
1
x.
……10
3x
1
y
1

从而得
x?
1 1
x
1
,y??y
1
.
所以
x
1
?2x,y
1
??2y.

22
x
2
?y
2
?1(xy?0),
此即为所求的轨迹方程.………………13分 代入（1）可得
3
6．（本小题满分12分）
2
过抛物线
x?4y
上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
PA?PB?0.

（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数
?
使 得
FA?FB?
?
(FP)
2
?0
？若存在，求出
?
的值，若不存在，请说明理由.
2
x
1
2
x
2
解法（一）：（1）设
A(x
1
,),B(x
2
,),(x
1
?x
2
)

44
'
由
x?4y ,
得：
y?
2
x

2
?k
PA
?
x
1
x
,k
PB
?
2

22?PA?PB?0,?PA?PB,?x
1
x
2
??4
………… ……………………3分
x
1
2
x
1
x
1
xx
1
2
?(x?x
1
)
即
y??
直线P A的方程是：
y?
①
42
24
2
x
2
xx
2
?
② 同理，直线PB的方程是：
y?
24
x
1
?x
2
?
x?
?
2
(x
1
,x
2
?R)
由①②得：
?
x
1
x
2
?
y???1,
4
?
∴点P的轨迹方程是
y??1(x?R).
……………………………… ……6分
2
x
1
2
x
2
x?x
?1), FB?(x
2
,?1),
P(
12
,?1)
（2）由（1 ）得：
FA?(x
1
,
44
2
FP?(
x
1
?x
2
,?2),x
1
x
2
??4
< br>2
22
x
1
2
x
2
x
1
2
?x
2
FA?FB?x
1
x
2
?(?1)(?1) ??2?
…………………………10分
444

2
(x1
?x
2
)
2
x
1
2
?x
2
(FP)??4??2

44
2
所以
FA?FB?(FP)
2
?0

故存在
?
=1使得
FA?FB?
?
(FP)
2
? 0
…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
PA?PB?0,

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
PA?PB,

设PA的直线方程是
y?kx?m(k,m?R,k?0)

由
?
?
y?kx?m
2
x?4kx?4m?0
得 ：
2
?
x?4y
???16k
2
?16m?0
即< br>m??k
2
…………………………3分
即直线PA的方程是：
y?kx?k

同理可得直线PB的方程是：
y??
2
11
x?
2

kk
1
?
y?kx?k
2
?
??
x?k? ?R
由
?

11
得：
?
k
y??x???
?
y??1
kk
2
?
故点P的轨迹方程是
y??1(x?R).
……………………………………6分
（2）由（1）得：
A( 2k,k),B(?
2
211
,
2
),P(k?,?1)

kkk
21
FA?(2k,k
2
?1),FB?(?,
2< br>?1)

k
k
1
FP?(k?,?2)

k
11
FA?FB??4?(k
2
?1)(
2
?1)??2? (k
2
?
2
)
………………………………10分
kk11
(FP)
2
?(?k)
2
?4?2?(k
2
?
2
)

kk
故存在
?
=1使得
FA? FB?
?
(FP)
2
?0
…………………………………………12分
7．（本小题满分14分）
1?x
?lnx
在
[1,??)
上是增函数.
ax
（1） 求正实数
a
的取值范围；
设函数
f(x)?

（2） 设
b?0,a?1
，求证 ：
解：（1）
f(x)?
'
1a?ba?b
?ln?.

a?bbb
ax?1
?0
对
x?[1,??)
恒成立， < br>2
ax
?a?
又
1
对
x?[1,??)
恒成 立
x
1
?1

?a?1
为所求.…………………………4分
x
a?ba?b
（2 ）取
x?
，
?a?1,b?0,??1
，
bb
1?x一方面，由（1）知
f(x)??lnx
在
[1,??)
上是增函数，
ax
a?b
?f()?f(1)?0

b
a?b
1?
b
?ln
a?b
?0
?
a?b
b
a?
b
a?b1
即
ln
… …………………………………8分
?
ba?b
另一方面，设函数
G(x)?x?lnx(x?1)

G
'
(x)?1?
1x?1
??0(?x?1)

xx
∴
G(x)
在
(1,??)
上是增函数且在
x?x0
处连续，又
G(1)?1?0

∴当
x?1
时，
G(x)?G(1)?0

a?ba?b

?ln
bb
1a?ba?b
综上所述，?ln?.
………………………………………………14分
a?bbb
∴
x?lnx
即
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系
xOy
中，一直角三角形< br>ABC
，
?C?90
，
y
A
B
、
C
在
x
轴上且关于原点
O
对称，
D
在边
BC
上，
BD?3DC
，
若一双曲线
E
以
B
、
C
为焦点，且经过
A
、
!ABC
的周长为12．
x
D
两点．
(1) 求双曲线
E
的方程；
(2) 若一过 点
P(m,0)
（
m
为非零常数）的直线
l
与双曲线
E
B
O
D
C
相交于不同于双曲线顶点的两点
M
、
N
，且
MP?
?
PN
，问在
x
轴上是否存 在定

点
G
，使
BC?(GM?
?
GN)？若存在，求出所有这样定点
G
的坐标；若不存在，
请说明理由．
x
2
y
2
解：(1) 设双曲线
E
的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
，
ab
则
B(?c,0),D(a,0),C(c,0)
．
由
BD?3DC
，得
c?a?3(c?a)
，即
c?2a
．
y
A
?
|AB|?|AC|?16a,
?
∴
?
| AB|?|AC|?12?4a,

?
|AB|?|AC|?2a.
?222
B
O
D
C
x
（3分）
解之得
a?1
，∴
c?2,b?3
．
y
2
∴双曲线
E
的方程为
x??1
．
3
2
（5分）
(2) 设在
x
轴上存在定点
G( t,0)
，使
BC?(GM?
?
GN)
．
y
设直 线
l
的方程为
x?m?ky
，
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
．
由
MP?
?
PN
，得
y
1
?
?
y
2
?0
．
y
即
?
??
1

y
2
B
G
O
① （6分）
C
P
N
x
∵
BC?(4,0)
，
MGM?
?
GN?(x
1
?t?
?
x
2
?
?
t,y
1
?
?
y
2
)
， < br>∴
BC?(GM?
?
GN)
?x
1
?t?
?
(x
2
?t)
．
即
ky
1
?m?t?< br>?
(ky
2
?m?t)
． ②
把①代入②，得
2ky
1
y
2
?(m?t)(y
1
?y
2
)?0

2
（8分）
③ （9分）
y
2
把
x?m?ky
代入
x??1
并整理得 3
(3k
2
?1)y
2
?6kmy?3(m
2
?1)?0

其中
3k
2
?1?0
且
??0
，即
k
2
?
1
且
3k
2
?m
2
?1
．
3
（10
?6km3(m
2
?1)

y
1
?y
2
?
2
．
,yy
1< br>?
2
2
3k?13k?1

分）
代入③，得
6k(m
2
?1)6km(m?t)

??0
，
3k
2
?13k
2
?1
化简得
kmt?k
．
当
t?
1
时，上式恒成立．
m
（12
1
因此，在
x
轴上存在定点
G(,0 )
，使
BC?(GM?
?
GN)
．
m
分）
9．(本小题满分14分)
已知数列
?
a
n
?
各 项均不为0，其前
n
项和为
S
n
，且对任意
n?N
*
都有
(1?p)S
n
?p?pa
n
2
1?C1
n
a
1
?C
n
a
2
?
（< br>p
为大于1的常数），记
f(n)?
2
n
S
n
n
?C
n
a
n
．
(1) 求
a
n
；
(2) 试比较
f(n?1)
与
p?1
f(n)
的大小（
n?N
*
）；
2p
?f(2n ?1)
2n?1
p?1
?
?
p?1
?
?
（
n?N
*
）．
?
1?
??
?
，
p?1
?
2p
?
?
?
?
?
(3) 求证：
(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)?
解：(1) ∵
(1?p)S
n
?p?pa
n
， ①
② ∴
(1?p)S
n?1
?p?pa
n?1
．
②－①，得
(1?p)a
n?1
??pa
n?1
?pa
n
，
即
a
n?1
?pa
n
． （3分）
在①中令
n?1
，可得
a
1
?p
．
∴< br>?
a
n
?
是首项为
a
1
?p
，公比 为
p
的等比数列，
a
n
?p
n
．
p(1?p
n
)p(p
n
?1)
?
(2) 由(1)可得
S
n
?
．
1?pp?1
2
1?C< br>1
n
a
1
?C
n
a
2
?
n 22
?C
n
a
n
?1?pC
1
n
?pC< br>n
?
nn
?C
n
p?(1?p)
n
?(p? 1)
n
．
（4分）

2
1?C
1
n
a
1
?C
n
a
2
?
∴
f(n )?
2
n
S
n
n
?C
n
a
np?1(p?1)
n
，
??
p2
n
(p
n
?1)
（5分）
p?1(p?1)
n?1
．
?
f(n?1)
?
p 2
n?1
(p
n?1
?1)
p?1(p?1)
n?1
p?1
而，且
p?1
，
?
f(n)
?
p2n?1
(p
n?1
?p)
2p
∴
p
n?1?1?p
n?1
?p?0
，
p?1?0
．
∴
f(n?1)
?
p?1
f(n)
，（
n?N
*
）．
2p
（8分）
(3) 由(2)知
f(1)?
p? 1p?1
，
f(n?1)
?
f(n)
，（
n?N
*
）．
2p2p
p?1p?1
2
f(n?1)?()f(n?2)?
2p2p
2
∴当
n…2
时，
f(n)??(
p?1
n?1
p?1
n

)f(1)?()
．
2p2p< br>∴
f(1)?f(2)?
p?1
?
p?1
?
?f(2 n?1)
?
?
??
?
2p
?
2p
?
?
p?1
?
?
??
?
2p
?
2n?1< br>
2n?1
p?1
?
?
p?1
?
?
?
?
1?
??
?
，
p?1
?
?
?
2p
?
?
?
（10分）
（当且仅当
n?1
时取等号）．
另一方面，当
n…2
，
k?1,2,,2n?1
时，
p? 1
?
(p?1)
k
(p?1)
2n?k
?
f(k) ?f(2n?k)??
??

p
?
2
k
(p
k
?1)2
2n?k
(p
2n?k
?1)
?
p? 1(p?1)
k
(p?1)
2n?k
…
?2
kk
?
2n?k2n?k

p2(p?1)2(p?1)
p?12(p?1)
n
??
p2
n
p?12(p?1)
n
??
p2< br>n
1

(p
k
?1)(p
2n?k
?1)
1
．
p
2n
?p
k
?p
2n?k
?1
∵
pk
?p
2n?k
…2p
n
，∴
p
2n
?p
k
?p
2n?k
?1?p
2n
?2p
n
?1?(p
n
?1)
2
．
p?12(p?1)
n
??2f(n)
，（当且仅当
k?n
时取等号）．（13
∴
f(k )?f(2n?k)
…
p2
n
(p
n
?1)
分）
∴
?
k?1
2n?12n?1
1
2n?1
f(k) ?
?
[f(k)?f(2n?k)]
…
?
f(n)?(2n?1)f (n)
．（当且仅当
n?1
时取
2
k?1k?1
等号）．

综上所述，
(2n?1)f(n)剟
?
f(k)
k? 1
2n?1
2n?1
p?1
?
?
p?1
?
?
*
?
1?
??
?
，（
n?N
）．（14 分）
p?1
?
?
?
2p
?
?
?

高考数学压轴题系列训练三（含答案及解析详解）
1．（本小题满分13分）
x
2
y
2
如图，已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0，b?0)
的右准线
l
1
ab
与一条渐近线
l
2
交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原
点.
??
（I）求证：
OM?MF
；
?
（II）若
|MF|?1
且双曲线C的离心率
e?
的方程；
（III）在（II）的条件下，直线
l
3
过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同 的两点P、
6
，求双曲线C
2
??
Q且P在A、Q之间，满足
AP?
?
AQ
，试判断
?
的范围，并用代数方法给出证明. a
2
b
解：（I）
?
右准线
l
1
：x ?
，渐近线
l
2
：y?x

c
a
?
a
2
aba
2
ab
222
，)

?M(，)，?F(c，0)，c?a?b
，
?OM?(
cccc
?
a
2
abb
2
ab
，?)?(，?)

MF?(c?
cccc
??
a
2
b
2
a
2
b
2
?
2
?0

?OM?MF?
2
cc
（II）
?e?
??
?OM?MF
……3分
6b2
，??e
2
?1?，?a
2
?2b
2

2a2?
b
4
a
2
b
2
b
2
(b< br>2
?a
2
)
?|
MF
|
?1，?
2
?
2
?1，??1
2

ccc
?b
2< br>?1，a
2
?1
x
2
?y
2
?1

?
双曲线C的方程为：
2
（III）由题意可得
0?
?
?1



……7分
……8分

证明：设
l
3
：y?kx?1
，点
P(x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)

?
x
2
?2y
2
?2
22
由
?
得
(1?2k)x?4kx?4?0

?
y?kx?1

?l
3
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?
1?2k
2
?0
?
22
?
??16k?16(1?2k)?0
?
?
?
x?x?
4k
?0
12
1?2k
2
?
?
4
?0
?
x
1
x
2
??
1?2k
2
?

??1?k??
?< br>2
k??
?
2
?
?
2
?
?
k?1

?
k?0
?
2
?
?
1?2k?0
……11分
2

2

??

?AP?
?
AQ，?(x
1
，y
1
?1)?
?(x
2
，y
2
?1)
，得
x
1
??
x
2

4k4
2
，
?
x??
2
1?2k
2
1?2k
2

(1?
?< br>)
2
16k
2
4k
2
2
????2?
2
?
?4(1?2k
2
)2k
2
?12k?1
? (1?
?
)x
2
?
2(1?
?
)
2
2
，?0?2k?1?1，??4

??1?k??
2
?

?(1?
?
)?4< br>?
2
?
?
2
?2
?
?1?0

……13分
?
?
的取值范围是（0，1）
2．（本小题满分13分）
(x?0)
?
0
已知函数
f( x)?
?
?
n[x?(n?1)]?f(n?1)
数列
{a
n
}
满足
a
n
?f(n)(n?N*)

（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
(n?1?x?n，n?N*)
，
（II）设x轴、直线
x?a< br>与函数
y?f(x)
的图象所围成的封闭图形的面积为
S(a)(a?0)，求
S(n)?S(n?1)(n?N*)
；
（III）在集合
M?{N|N?2k，k?Z
，且
1000?k?1500}
中，是否存在正整数N ，

使得不等式
a
n
?1005?S(n)?S(n?1)对一切
n?N
恒成立？若存在，则这样的正整数N
共有多少个？并求出满足条件的 最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与
{a
n< br>}
有关的数列
{b
n
}
，使得
lim(b
1
?b
2
?
?
?b
n
)
存在，并求出
n??
这个极限值.
解：（I）
?n?N*


?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1)


?f(n)?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1

f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3
……

f(n)?f(n?1)?n

将这n个式子相加，得

f(n)?f(0)?1?2?3?
?
?n?
n(n?1)

2
?f
(0)?0

?f(n)?
n(n?1)

2
n(n?1)
……3分
(n?N*)

2
（II）
S(n)?S(n?1)为一直角梯形（
n?1
时为直角三角形）的面积，该梯形的两底

?a
n
?
边的长分别为
f(n?1)，f(n)
，高为1

?S(n)?S(n?1)?
a?a
n
f(n?1)?f(n)

?1?
n?1
22
……6分
1n(n?1)n(n?1)n
2
?]?

?[

2222
（III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n
2
n
?1005???1005?n?2010

222
又
M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998}

?N?2010，2012，……，2998
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正 整数N，则
2010?2(m?1)?2998
，解得
m?495


?M
中满足条件的正整数N存在，共有495个，
N
min
?201 0

（IV）设
b
n
?
……9分
1
211
?2(?)
，即
b
n
?
an
n(n?1)nn?1
1111111
?
)
?
(?
)
?
?
?
(
?
)]
?2
(
1?
)

2334nn?1n?1
1
显然，其极限 存在，并且
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?l im[2?]?2
……10分
n??n??
n?1
则
b
1
?b
2
?
?
?b
n
?2
[(< br>1?
)
?
(
n
1
n?
n
1
c
n?1
注：
b
n
?
（c为非零常数），
b
n
?()，b
n
?q(0?|q|?1)
等都能使
2a
n
1
2
2a2a
n??
lim(b
1
?b
2
?
?
?b
n
)
存在.
19. （本小题满分14分）
y
2
x
2
?1
的两个焦点分别为< br>F
1
、F
2
，离心率为2. 设双曲线
2
?
3
a
（I）求此双曲线的渐近线
l
1
、l
2
的方程；
（II）若A、B分别为
l
1
、l
2
上的点，且
2|AB| ?5|F
1
F
2
|
，求线段AB的中点M的轨迹
方程，并说 明轨迹是什么曲线；
??
（III）过点
N(1，0)
能否作出直线
l
，使
l
与双曲线交于P、Q两点，且
OP·OQ?0
.
若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，说明理由.
解：（I）
?e?2，?c?4a


?c?a?3，?a?1，c?2

22
22
x
2
3
x

?1
，渐近线方程为
y??

?双曲线方程为y?
3
3
2
4分
（II）设< br>A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
，AB的中点
Mx，y

??

?2
|A B|?
5
|F
1
F
2
|
?|AB|?
55
|F
1
F
2
|??2c?10
22
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?10

33
x
1
，y
2??x
2
，2x?x
1
?x
2
，2y?y
1< br>?y
2
33
33
?y
1
?y
2
?( x
1
?x
2
)，y
1
?y
2
?(x
1
?x
2
)
33
又y
1
?
?
?
3(y
1
?y
2
)
?
2
?
3?
?
?
(x
1
?x
2
)
?
? 10
?
3
?
2
1x
2
3y
2
2< br>??1

?3(2y)?(2x)?100，即
37525
2
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为
103
，短轴长为
（9分）
（III）假设存在满足条件的直线
l

设
l：y ?k(x?1)，l与双曲线交于P(x
1
，y
1
)、Q(x
2，y
2
)

103
的椭圆.
3
??
? OP
·
OQ
?0

?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
?x
1
x
2
?k(x
1
?1)(x
2
?1)?0
?x
1
x2
?k
2
?
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1
?
?0(i)
2

?y?k(x?1)
?
由
?
2
x
2
得(3k?1 )x
2
?6k
2
x?3k
2
?3?0
?
y ?
3
?1

?
6k
2
3k
2?3
则x
1
?x
2
?
2
，x
1
x
2
?
2
(ii)
3k?13k?1
由（i）（ii）得
k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线
l
.
3. （本小题满分13分）
已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
(n?N)
，且
S
n
?(m?1)?ma
n
对 任意自然数都成
*
2
14分
立，其中m为常数，且
m??1
.
（I）求证数列
?
a
n
?
是等比数列；

（II）设数列
?
a
n
?
的公比
q?f(m)
，数 列
?
b
n
?
满足：
b
1
?
1a
1
，b
n
?f(b
n?1
)

3< br>(n?2，n?N
*
)
，试问当m为何值时，
limb
n(lga
n
)?lim3(b
1
b
2
?b
2< br>b
3
?b
3
b
4
?

n??n??
…?b
n?1
b
n
)
成立？
解：（I）由已知
S
n?1
?(m?1)?ma
n?1

S
n
?(m?1)?ma
n
（2）
由< br>(1)?(2)
得：
a
n?1
?ma
n
?ma
n?1
，即
(m?1)a
n?1
?ma
n
对任意
n?N
*
都成立
(1)

?m
为常数，且
m
??1
a
m

?
n?1
?
a
n
m?1
即
?
a
n< br>?
为等比数列5分

（II）当
n?1
时，
a
1
?(m?1)?ma
1

?a
1
?1，从而b
1
?
1
3
m
m?1

由（I）知q?f(m)?
?b
n
?f(b
n?1
)?
?
b
n?1
(n?2，n?N
*
)< br>b
n?1
?1
1111
?1?，即??1
b
n
b
n?1
b
n
b
n?1
?
1
?
?
为等差数列
?
b
n
?
11
?3?(n?1)?n ?2，b
n
?(n?N
*
)
b
n
n?2
n ?1

?
?

?9分
?
m
?

?a
n
?
??
?
m?1
?

n? 1mm
?limb
n
(lga
n
)?lim·lg?lg
n ??n??
n?2m?1m?1

lim3(b
1
b
2
?b
2
b
3
?…?b
n?1
b
n
)
n??

11
??
1111
?lim3
?????…??
?
?1
n??
?
3445n?1n?2
?
由题意知
lg
mm10
?1
，
??10，?m??

m?1m?19
13分

4．（本小题满分12分）
x
2
y
2
设椭圆
??1(a?b?0)
的左焦点为
F
，上顶点为
A
，过点
A
与
AF
垂直的直
a
2
b
2
线分别交椭圆和
x
轴正半轴于
P
，
Q
两点，且
P
分向量
AQ
所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过
A,Q,F
三点的圆恰好与直线
l
：
x?3y?3?0
相切，求椭圆方程．
解：（1）设点
Q( x
0
,0),F(?c,0),
其中
c?a
2
?b
2
,A(0,b)
．
由
P
分
AQ
所成的比为8∶ 5，得
P(
8
13
x
5
0
,
13
b)
， 2分
2
∴
(
8
13
)
2
x
0
a
?(
5
13
)
2< br>?1?x
3
2
0
?
2
a
．①， 4分
而
FA?(c,b),AQ?(x
0
,?b),FA?AQ
，
FA?AQ?0
．
?cx
2
x
b
2
∴0
?b?0,
0
?
c
．②， 5分 由①②知
2b
2
?3ac,?2c
2
?3ac?2a
2
?0
．
∴
2e
2
?3e?2?0.?e?
1
2
． 6分
b
2
（2）满足条件的圆心为
O
?
(
?c< br>2
2c
,0)
，
b
2
?c
2
a< br>2
?c
2
?c
2
2c
?
2c
?c, ?O
?
(c,0)
， 8分
b
2圆半径
r?
c
?2
2
?
a
2
2c?a
． 10分
由圆与直线
l
：
x?3y?3?0
相切得，
|c?3|
2
?a
，
又
a?2c,?c?1,a?2,b?3
．∴椭圆方程为
x
2
y2
4
?
3
?1
．
分
5．（本小题满分14分）
12

（理）给定正整数
n
和正数
b
，对于满足条件
a
1
?a
n?1
?b< br>的所有无穷等差数列
?
a
n
?
，
2
试求y?a
n?1
?a
n?2
???a
2n?1
的最大值， 并求出
y
取最大值时
?
a
n
?
的首项和公差． < br>（文）给定正整数
n
和正数
b
，对于满足条件
a
1< br>?a
n?1
?b
的所有无穷等差数列
?
a
n
?
，
2
试求
y?a
n?1
?a
n?2
?? ?a
2n?1
的最大值，并求出
y
取最大值时
?
a
n
?
的首项和公差．
（理）解：设
?
a
n
?公差为
d
，则
a
n?1
?a
1
?nd,nd? a
n?1
?a
1
． 3分
y?a
n?1
?a< br>n?2
?
?
?a
2n?1
?a
n?1
?(a
n?1
?d)?
?
?(a
n?1
?nd)

?(n?1)a
n?1
?(1?2?
?
?n)d
?(n?1)a< br>n?1
?
n(n?1)
d
4分
2
a?a
1
nd
)?(n?1)(a
n?1
?
n?1
)

22
?(n?1)(a
n?1
??
n?1
(3a
n?1
?a
1
)
． 7分
2
22
又
a
1
?a
n?1
?b,? ?a
1
??b?a
n?1
．
∴
3a
n?1
?a
1
??a
n?1
?3a
n?1
?b??(a
n?1
?)?
2
3
2
2
9?4b9?4b
，当且仅 当
?
44
a
n?1
?
3
时，等号成立． 11分
2
n?1(n?1)(9?4b)
∴
y?
． 13分
(3a
n?1
?a
1
)?
28
94b?3 (n?1)(9?4b)
当数列
?
a
n
?
首项
a< br>1
?b?
，公差
d??
时，
y?
，
44n8
(n?1)(9?4b)
∴
y
的最大值为． 14分
8
（文）解：设
?
a
n
?
公差为
d
，则
a
n?1
?a
1
?nd,nd?a
n?1< br>?a
1
． 3分
y?a
n?1
?a
n?2?
?
?a
2n?1
?a
n?1
(a
n?1?d)?
?
?(a
n?1
?nd)
?(n?1)a
n? 1
?(1?2?
?
?n)d
?(n?1)a
n?1
?
n(n?1)nd
d?(n?1)(a
n?1
?)
22
a
n?1
?a
1
n?1
)?(3a
n?1
?a
1)
， 6分
22

?(n?1)(a
n ?1
?

又
a
1
?a
n?1
?b,? ?a
1
??b?a
n?1
．
∴
3a
n?1
?a
1
??a
n?1
?3a
n?1
?b??(a
n?1
?)?
当且仅当
a
n?1
?
2
22
3
2
2
9?4b9?4b
．
?
44
3
时，等号成立． 11分
2
n?1(n?1)(9?4b)
∴
y?
． 13分
(3a
n?1
?a
1
)?
28
94b?3 (n?1)(9?4b)
当数列
?
a
n
?
首项
a< br>1
?b?
，公差
d??
时，
y?
．
44n8
(n?1)(9?4b)
∴
y
的最大值为． 14分
8
6．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线
x?2y ?2
于M、N不同两点，A
1
、A
2
分别为双曲线的
左顶点 和右顶点，设直线A
1
M与A
2
N交于点P（x
0
，y0
）
22
（Ⅰ）证明：
x
0
?2y
0
为定值;

22
（Ⅱ）过P作斜率为
?
x
0
的直线l，原点到直线l的 距离为d，求d的最小值.
2y
0
解（Ⅰ）证明：
设M(x
1,?y
1
),则N(x
1
,?y
1
),?A
1
(?2,0),A
2
(2,0)

?直线A
1
M的 方程为y?
y
1
x
1
?2
(x?2)
①
直线A
2
N的方程为
y?
?y
1
x
1?2
(x?2)
②……4分
①×②，得
y?
2
?y
1
2
x
1
?2
2
(x
2
? 2)

1
?
x
1
2
?2y
1
2< br>?2,?y
2
??(x
2
?2),即x
2
?2y2
?2
2
?
P(x
0
,y
0
)是直线 A
1
M与A
2
N的交点

22
?x
0?2y
0
?2为定值
??
8分
（Ⅱ）
l的方程为y?y
0
??
x
0
22
(x?x
0
),结合x< br>0
?2y
0
?2整理得x
0
x?2y
0
y? 2?0

2y
0
于是d?
2
22
x
0?4y
0
?
2
2
2?2y
0
?
2……10分
2
1?y
0

22
?x
0< br>?2y
0
?2
2
?y
0
?1
2
?1 ?y
0
?2?d?
2
?1

2
1?y
0< br>2
当
y
0
??1时,y
0
?1,d取最小值1
……12分
7．（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?x?sinx




（Ⅰ）若
x?[0,
?
],试求函数f(x)的值域;

（ Ⅱ）若
x?[0,
?
],
?
?(0,
?
),求证:
（Ⅲ
2f(
?
)?f(x)2
?
?x
?f();< br>
33
）若
x?[k
?
,(k?1)
?
],
?
?(k
?
,(k?1)
?
),k?Z,猜想
关系 （不必写出比较过程）.
2f(
?
)?f(x)2
?
?x
与f()
的大小
33
解：（Ⅰ）
当x?(0,
?
)时,f< br>?
(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数

又f(x)在区间[0,
?
]上连续

所以f(0)?f(x)?f(
?
),求得0?f(x)?
?
即f(x)的值域为[0,
?
]
??
4分
（Ⅱ）设
g( x)??
2f(
?
)?f(x)2
?
?x2f(
?
)?sinx2
?
?x

?f()
，
即g(x)???si n
3333
12
?
?x
g
?
(x)?(?cosx ?cos)
……6分
33
?x?[0,
?
],
?
?(0,
?
)
2
?
?x
??(0,
?
)< br>
3
由g
?
(x)?0,得x?
?
?当x?(0,< br>?
)时,g
?
(x)?0,g(x)为减函数.
当x?(
?< br>,
?
)时,g
?
(x)?0,g(x)为增函数??8分
< br>?
g(x)在区间[0,
?
]上连续
则g(
?
)为g (x)的最小值

对x?[0,
?
]有g(x)?g(
?
) ?0
2f(
?
)?f(x)2
?
?x
因而?f()
?
10分
33
2f(
?
)?f(x)2
?
?x（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
?f()

33

当k为奇数时










































2f(
?
)?f(x)2
?
?x
?f()
……14分
33

高考数学压轴题系列训练四（含答案及解析详解）
1．（本小题满分14分）
已知f(x)=
2x?a
(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
2
x ?2
1
的两个非零实根为x
1
、x
2
.试问：是否存在实数 m，使得
x
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=< br>不等式m
2
+tm+1≥|x
1
－x
2
|对任意a∈ A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；
若不存在，请说明理由.
本小题主 要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论
思想和灵活运用数学知 识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
4?2ax?2x
2
?2(x
2
?ax?2)
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
2222
(x?2)(x?2)
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x
2
－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设
?
(x)=x
2
－ax－2，
方法一：

?
(1)=1－a－2≤0，
①
?

?
－1≤a≤1，

?
(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只 有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇
(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二：

aa
≥0， <0，
22
①
?
或

?
(－1)=1+a－2≤0
?
(1)=1－a－2≤0
?
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
?
－1≤a≤1.
∵对x∈[－1 ，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇

< br>(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由
2x?a1
22
=，得x－ax－2=0， ∵△=a+8>0
2
x?2
x
∴x
1
，x
2
是方程x
2
－ax－2=0的两非零实根，
x
1
+x
2
=a，
∴ 从而|x
1< br>－x
2
|=
(x
1
?x
2
)
2?4x
1
x
2
=
a
2
?8
.
x
1
x
2
=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x
1< br>-x
2
|=
a
2
?8
≤3.
要使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
－x
2
|对任意a∈A及t∈[－1 ，1]恒成立，
当且仅当m
2
+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m
2
+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m
2
+tm－2=mt+(m
2
－2)，
方法一：
g(－1)=m
2
－m－2≥0，
②
?

g(1)=m
2
+m－2≥0，
?
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m
2
+tm+ 1≥|x
1
－x
2
|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
其取 值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
②
?
或
g(－1)=m
2
－m－2≥0 g(1)=m
2
+m－2≥0
?

m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
－x
2
|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其
取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

2．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=
C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹
方程；
（Ⅱ）若直线 l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，
试求
1
2
x上一点，直线l 过点P且与抛物线
2
|ST||ST|
?
的取值范围.
|SP|| SQ|
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想
和综合解题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x
1
，y
1
) ，Q(x
2
，y
2
)，M(x
0
，y
0
) ，依题意x
1
≠0，y
1
>0，y
2
>0.
由y=
1
2
x， ①
2
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k
切
= x
1
，
∴直线l的斜率k
l
=－
1
1
=-，
k
切
x
1
1
1
2
x
1
=－ (x－x
1
)，
x
1
2
∴直线l的方程为y－
方法一：
联立①②消去y，得x
2
+
∵M是PQ的中点
x
0
=
∴
y
0
=
2
x－x
1
2
－2=0.
x
1
x
1
?x
2
1
=-，
x< br>1
2
1
2
1
x
1
－(x
0
－x
1
).
x
1
2
消去x
1
，得y0
=x
0
2
+
1
2x
0
2
+ 1(x
0
≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x
2
+
方法二：
由y
1
=
1
2x
0
2
+1(x≠0).
x?x
2
1
2
1
x
1
，y
2=x
2
2
，x
0
=
1
，
2
22
得y
1
－y
2
=
则x
0
=
1
2
1
2
1
x
1
－x
2
=(x1
+x
2
)(x
1
－x
2
)=x
0< br>(x
1
－x
2
)，
222
y
1
? y
2
1
=k
l
=-，
x
1
?x
2
x
1
∴x
1
=－
1
，
x
0
将上式代入②并整理，得
y
0
=x
0
2
+
1
2x
0
2
+1(x
0
≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x
2
+
1
2x
0
2
+1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
|b||b||ST||ST|
|OT||OT|
???
??
.
??
|SP||SQ|
|PP||QQ||y
1
||y
2
|
y=
1
2
x
2
由 消去x，得y
2
－2(k
2
+b)y+b
2
=0. ③
y=kx+b
y
1
+y
2
=2(k
2
+b)，
则
y
1
y
2
=b
2
.
方法一：
∴
11
|ST||ST|
??
|b|(
?
)≥2|b|
y< br>1
y
2
|SP||SQ|
1
1
=2|b|=2. < br>2
y
1
y
2
b
∵y
1
、y
2
可取一切不相等的正数，

∴
|ST||ST|
?
的取值范围是（2，+
?
）.
|SP||SQ|
方法二：
y1
?y
2
2(k
2
?b)
|ST||ST|
?
∴=|b|=|b|.
y
1
y
2
|SP||SQ|
b
2
|ST||ST|
2(k
2
?b)2(k
2
?b)
2k
2
?
当b>0时，=b==+2>2；
2
|S P||SQ|
b
b
b
|ST||ST|
2(k
2
? b)2(k
2
?b)
?
当b<0时，=－b=.
2
|SP ||SQ|
?b
b
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k
2
+b )
2
-4b
2
=4k
2
(k
2
+2b)> 0，
于是k
2
+2b>0，即k
2
>－2b.
所以
|ST||ST|
2(?2b?b)
?
>=2.
|SP||SQ|
?b
2k
2
∵当b>0时，可取一切正数， b
∴
|ST||ST|
?
的取值范围是（2，+
?
）.
|SP||SQ|
方法三：
由P、Q、T三点共线得k
TQ
=K
TP
，
即
y
2
?b
y
1
?b
=.
x< br>x
2
1
则x
1
y
2
－bx
1
=x
2
y
1
－bx
2
，即b(x
2
－x
1
)=(x
2
y
1
－x
1
y
2< br>).
1
2
1
2
x
2
?x
1
?x
1
?x
2
1
22
于是b==－x
1
x
2
.
x
2
?x
1
2
11
|? x
1
x
2
||?x
1
x
2
|
xx
|b|
|ST||ST|
|b|
22
?
?
∴==+ =
|
2
|
+
|
1
|
≥2.
x< br>1
x
2
|SP||SQ|
|y
1
||y
2< br>|
11
2
2
∵
|
x
2
|
可取一切不等于1的正数，
x
1

∴
|ST||ST|
?
的取值范围是（2，+
?
）.
|SP||SQ|
3．（本小题满分12分）
某突发事件，在不采 取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400
万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施
所需的费用分别为45万元和 30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率
为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请
确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
．．．
本小题考 查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12
分.
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失 期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防 措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－
0.85=0.15，损失期望值为4 00×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种 预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发
事件的概率为（1－0.9）（1－ 0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），
所以总费用为75+6=8 1（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使< br>总费用最少.

4．（本小题满分14分）
已知
a
?< br>0,数列{a
n
}满足a
1
?
a,a
n?1
?
a
?
1
,n
?
1,2,
?
.

a
n
（I）已知数列
{a
n
}
极限存在且大于零， 求
A?lima
n
（将A用a表示）；
n??
（II）设
b
n
?a
n
?A,n?1,2,?,证明:b
n?1
??< br>（III）若
|b
n
|?
b
n
;

A(b
n
?A)
1
对n?1,2,?
都成立，求a的取值范围. < br>n
2

本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用 数学知识分析问题和解
决问题的能力，满分14分.
解：（I）由
lima
n
存在,且A?lima
n
(A?0),对a
n?1
?a?
n??n??
1
两边取极限得

a
n

1a?a
2
?4a?a
2
?4
A?a?,解得A?.又A?0,?A?.
A22
（II）
由a
n
?b
n
?A,an?1
?a?

11
得b
n?1
?A?a?.

a
n
b
n
?A
?b
n?1
?a?A?
b
n
111
?????.
b
n
?AAbn
?AA(b
n
?A)
即b
n?1
??

b
n
对n?1,2,?都成立
A(b
n
?A)
< br>（III）
令|b
1
|?
111
,得|a?(a?a
2
?4)|?.

222
?|

11
(a
2
?4?a)|?.
22
3
?a
2
?4?a?1,解得a? .

2
31
现证明当a
?
时,|b
n
|< br>?
n
对n
?
1,2,
?
都成立.
2
2
（i）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii）假设当
n?k(k?1)时结论成立,即|b
k
|?


1
,那么

2
k

|b
k?1
|?
|b
k
|
11
??
k

|A(b
k
?A)|A|b
k
?A|
2
故只须证 明
1
A|b
k
?A|
?
13
,即证A|b
k
?A|?2对a?成立.

22
a?a
2
?4
由于A??
2

2a?4?a
2
,
3
而当a?时,a
2
?4?a?1,? A?2.
2

1
?|b
k
?A|?A?|b
k|?2?
k
?1,即A|b
k
?A|?2.
2
3111
故当a?时,|b
k?1
|??
k
?
k?1
.22
22

即n=k+1时结论成立.
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.
故
|b
n
| ?
13
对n?1,2,
?
都成立的a的取值范围为[,??).

n
2
2
5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知
a?R
，函数
f(x)?x
2
|x?a|
.
(Ⅰ)当
a?2
时，求使
f(x)?x
成立的
x
的 集合；
(Ⅱ)求函数
y?f(x)
在区间
[1，2]
上的最小值.
本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力.
满分14分.
解：（Ⅰ）由题意，
f(x)?x
2
x?2
.
当
x?2
时，
f(x)?x
2
(2?x)?x
，解得
x?0< br>或
x?1
；
当
x?2
时，
f(x)?x
2
(x?2)?x
，解得
x?1?2
.
综上，所求解集为
0，1，1?2
.
（Ⅱ）设此最小值为
m
.
①当
a?1
时，在区间
[1，2]
上，
f(x)?x
3
?ax
2
.
因为
2

f
?
(x)?3x2
?2ax?3x(x?a)?0
，
x?(1，2)
，
3??
则
f(x)
在区间
[1，2]
上是增函数，所以
m ?f(1)?1?a
.
②当
1?a?2
时，在区间
[1，2]上，
f(x)?x
2
(x?a)?0
，由
f(a)?0
知

m?f(a)?0
.
③当
a?2时，在区间
[1，2]
上，
f(x)?ax
2
?x
3< br>.
2

f
?
(x)?2ax?3x
2
?3x(a?x)
.
3
若
a?3
，在区间
(1，2)
内
f
?
(x)?0
，从而
f(x)
为区间
[1，2]
上的增函数，
由此得
m?f(1)?a?1
.
若
2?a?3
，则
1?
2
a?2
.
3

当
1?x?
22
a
时，
f
?
(x)?0
，从而
f(x)
为区间
[1，a]
上的增函数；
33
22
2]
上的减函数. 当
a?x ?2
时，
f
?
(x)?0
，从而
f(x)
为区间< br>[a，
33
因此，当
2?a?3
时，
m?f(1)?a?1< br>或
m?f(2)?4(a?2)
.
当
2?a?
7
时 ，
4(a?2)?a?1
，故
m?f(2)?4(a?2)
；
3< br>7
当
?a?3
时，
a?1?4(a?2)
，故
m?f (1)?a?1
.
3
综上所述，所求函数的最小值
?
1?a，
?
?
0，
?

m?
?
4(a?2)，
?
?
?
a?1，
?
当a ?1时；
当1?a?2时；
7

当2?a?时；
3
7
当a?时．
3
6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
?1，a
2
?6，a
3?11
，且
，
(5n?8)S
n?1
?(5n?2)Sn
?An?B，n?1，，，23
其中
A，B
为常数.
(Ⅰ)求
A
与
B
的值；
(Ⅱ)证明：数列
?
a
n
?
为等差数列；
(Ⅲ) 证明：不等式
5a
mn
?a
m
a
n
?1
对 任何正整数
m，n
都成立.
本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.
解： （Ⅰ）由已知，得
S
1
?a
1
?1
，
S
2
?a
1
?a
2
?7
，
S
3
?a< br>1
?a
2
?a
3
?18
.
由
(5 n?8)S
n?1
?(5n?2)S
n
?An?B
，知
?
?3S
2
?7S
1
?A?B，

?
即
2S?12S?2A?B，
2
?
3
?
A?B??28，

?
2A?B??48，
?
解得
A??20
，
B??8
.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得
(5n?8S)
n?1
?n(5?
①
S2??n2?0
，
8
n
)
所以 (5n?3)S
n?2
?(5n?7)S
n?1
??20n?28
. ②
②-①，得
(5n?3)S
n?2
?(10n?1)S
n?1
?(5n?2)S
n
??20
， ③

所以
(5n?2)S
n?3
?(10 n?9)S
n?2
?(5n?7)S
n?1
??20
. ④
④-③，得
(5n?2)S
n?3
?(15n?6)S
n? 2
?(15n?6)S
n?1
?(5n?2)S
n
?0
.
因为
a
n?1
?S
n?1
?S
n
，
所以
(5n?2)a
n?3
?(10n?4)a
n?2
?(5n?2)a
n?1
?0
.
又因为
5n?2?0
，
所以
a
n?3
?2a
n?2
?a
n?1
?0
，
即
a
n?3
?a
n?2
?a
n?2
?a
n?1
，
n?1
.
所以数列
?
a
n
?
为等差数列.
方法2
由已知，得
S
1
?a
1
?1
，
又
(5n?8)S
n?1
?(5n?2)S
n
??20n?8
，且< br>5n?8?0
，
所以数列
?
S
n
?
是唯一 确定的，因而数列
?
a
n
?
是唯一确定的.
设
b
n
?5n?4
，则数列
?
b
n
?
为等差数 列，前
n
项和
T
n
?

于是
(5n ?8T)
n?1
?n(5?T2?
n
)
n(5n?3)
.
2
n?(5
(n?1)(n5?
8)
2
2)nn(?53)

?n?(52)??n?
，
20
2
8
由唯一性得
b
n
?a
n
，即数列
?
a
n
?< br>为等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
a
n
?1?5(n?1)?5n?4
.
要证
5a
mn
?a
m
a
n
?1
，
只要证
5a
mn
?1?a
m
a
n
?2a
m
a
n
.
因为
a
mn< br>?5mn?4
，
a
m
a
n
?(5m?4)(5n?4 )?25mn?20(m?n)?16
，
mn?4?)?1mn25?
故只要证
5(5
0?
即只要证
20m?2n3?7
m2?0n(?)? 1a6
m
a
n
2
，
a2
m
a
n
.
因为
2a
m
a
n
?a
m
?a
n
?5m?5n?8


?5m?5n?8?(15m?15n?29)

?20m?20n?37
，
所以命题得证.

高考数学压轴题系列训练五（含答案及解析详解）
1．（本小题满分14分）
x
2
y
2
已知椭圆
2
?
2
?1( a?b?0)
的左、右焦点分别是F
1
（－c，0）、F
2
（c，0 ），Q
ab
是椭圆外的动点，满足
|F
1
Q|?2a.
点P 是线段F
1
Q与该椭圆的交点，点T在线段F
2
Q上，
并且满足PT?TF
2
?0,|TF
2
|?0.

（Ⅰ）设
x
为点P的横坐标，证明
|F
1
P|?a?
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F
1
MF
2
的面积S=
b
2
.
若存在 ，求∠F
1
MF
2

的正切值；若不存在，请说明理由.
c
x
；
a
本小题主 要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，
以及综合运用数学知识 解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
(x,y).

由P
(x,y)
在椭圆上，得
b
2
2
|F
1
P|?(x?c)?y?(x?c)?b?
2
x
a

c
?(a?x)
2
.
a
2222
由
x?a,知a?< br>cc
x??c?a?0
，所以
|F
1
P|?a?x.
………………………3分
aa
证法 二：设点P的坐标为
(x,y).
记
|F
1
P|?r
1,|F
2
P|?r
2
,

则
r
1?(x?c)
2
?y
2
,r
2
?(x?c)
2
?y
2
.

c
x.

a
c
证法三：设点P的坐标为
(x,y).
椭圆的左准线方程为
a?x?0.

a
由
r
1
?r
2
?2a,r
1
2
?r
2
2
?4cx,得|F
1
P|?r
1
?a?

2
cac
|FP|
c
由椭圆第二定义得，即|F
1
P|?|x?
1
|?|a?x|.

?
aca
a
a
2
|x?|
c

由
x? ?a,知a?
cc
x??c?a?0
，所以
|F
1
P|?a ?x.
…………………………3分
aa
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
(x,y).

当
|PT|?0
时，点（
a
，0）和点（－
a
，0）在轨迹上. 当|
PT|?0且|TF
2
|?0
时，由
|PT|?|TF2
|?0
，得
PT?TF
2
.
又
|PQ|? |PF
2
|
，所以T为线段F
2
Q的中点.
在△QF1
F
2
中，
|OT|?
1
|F
1
Q| ?a
，所以有
x
2
?y
2
?a
2
.

2
222
综上所述，点T的轨迹C的方程是
x?y?a.
……… …………………7分
解法二：设点T的坐标为
(x,y).
当
|PT|? 0
时，点（
a
，0）和点（－
a
，0）在轨迹上.


当|
PT|?0且|TF
2
|?0
时，由
PT? TF
2
?0
，得
PT?TF
2
.
又
|P Q|?|PF
2
|
，所以T为线段F
2
Q的中点.
?< br>x?
?
?
设点Q的坐标为（
x
?
,y
?），则
?
?
y?
?
?
x
?
?c
,
2

y
?
.
2

因此
?
?
x
?
?2x?c,
①
?
y
?
?2y.
222



由
|F
1
Q|?2a
得
(x
?
?c)?y
?
?4a.
②
将①代入②，可得
x?y?a.

综上所述，点T的轨迹C的方程是
x?y?a.
……………………7分
222
222
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（
x
0
, y
0
）使S=
b
2
的充要条件是
22
?
x
0
?y
0
?a
2
,

?

?
1
2
?
?2c|y
0
|? b.
?
2
③
④


2
b
2
.
所以，当
a?
b
时，存在点M，使S=
b
2
； 由③得|y
0
|?a
，由④得
|y
0
|?
c
c
2
b
当
a?
时，不存在满足条件的点M.………………………11 分
c

2
当
a?
b
时，
MF
1
?(?c?x
0
,?y
0< br>),MF
2
?(c?x
0
,?y
0
)
， < br>c
222222
由
MF
1
?MF
2
?x0
?c?y
0
?a?c?b
，
MF
1
?MF
2
?|MF
1
|?|MF
2
|cos?F
1
MF
2
，
S?
1
|MF
1
|?|MF
2
|sin?F
1
MF
2
?b
2
，得
ta n?F
1
MF
2
?2.

2
解法二：C上存在点M （
x
0
,y
0
）使S=
b
2
的充要条件是
22
③
?
x
0
?y
0
?a
2< br>,
?

?
1

2
?
?2c|y
0
|?b.
④
?
2



b
2
b
4
b
2
b
2
22
.
上式代入③得
x
0
?a?
2
?(a?)(a?)?0.
由 ④得
|y
0
|?
c
cc
c
2
b
于 是，当
a?
时，存在点M，使S=
b
2
；
c
2< br>当
a?
b
时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c


2
y
0
y
0
b
当
a?
时，记
k
1
?k
FM
?
，
,k?k?
2F
2
M
1
x
0
?cx
0?c
c
由
|F
1
F
2
|?2a,
知< br>?F
1
MF
2
?90?
，所以
tan?F
1
MF
2
?|
k
1
?k
2
|?2.
…………14分
1?k
1
k
2
2．（本小题满分12分）
函数
y?f(x)
在区间（0，+∞）内可导，导函数
f
?
(x)
是减函数，且
f
?
(x)?0.
设
x
0
?(0,??),y?kx?m
是曲线
y?f(x)
在点（
x0
,f(x
0
)
）得的切线方程，并设函数
g(x)?kx?m .

（Ⅰ）用
x
0
、
f(x
0
)< br>、
f
?
(x
0
)
表示m；
（Ⅱ）证明：当
x
0
?(0,??)时,g(x)?f(x)
；
3
（Ⅲ）若关于
x
的不等式
x?1?ax?b?x
3
在[0,??)
上恒成立，其中a、b为实数，
2
2
2
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及 灵活运用数形结合的思想判断
函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学 基本关系解决问

题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：
m?f(x
0
)?x
0
f
?
(x
0
).
…… ……………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
h(x)?g(x)?f(x), 则h
?
(x)?f
?
(x
0
)?f
?
(x ),h
?
(x
0
)?0.

因为
f
?
(x)
递减，所以
h
?
(x)
递增，因此，当
x?x
0
时,h
?
(x)?0
；
当
x?x
0
时,h
?
(x)?0
.所以
x
0
是
h(x)
唯一的极值点，且是极小值点，可知
h(x)
的 最小值为0，因此
h(x)?0,
即
g(x)?f(x).
……………… …………6分
（Ⅲ）解法一：
0?b?1
，
a?0
是不等式 成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

x?1?ax?b,即x?ax ?(1?b)?0
对任意
x?[0,??)
成立的充要条件是

a?2(1?b).

另一方面，由于
f(x)?
3
x< br>3
满足前述题设中关于函数
y?f(x)
的条件，利用（II）的结
2
2
2
1
2
22
2
3
3
3
果可知，
ax?b?x
的充要条件是：过点（0，
b
）与曲线
y?x
3
相切的直线的斜率大于
a
，
2
2
该切线的方程为
y?(2b)
2
x?b.

于是
ax?b?
3< br>x
3
的充要条件是
a?(2b)
2
.
………………… ………10分
2
2
?
1
1

3
综上，不 等式
x?1?ax?b?x
3
对任意
x?[0,??)
成立的充要条 件是
2
2
2




(2b)
?
1
2
?a?2(1?b).
①
?
1
2
1
2
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是 ：不等式
(2b)
有解、解不等式②得
?2(1?b).
②
1
2
2?22?2
?b?.
③
44
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：
0?b?1,a?0
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 .

x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0
对任意
x?[0,??)
成立的充要条件是

a?2(1?b).
………………………………………………………………8分
1
2
22

2
3
3
33
令
?
(x)?ax?b?x
，于是
ax?b?x
对任 意
x?[0,??)
成立的充要条件是
2
2
2


?
(x)?0.
由
?
?
(x)?a?x
?
1
3
?0得x?a
?3
.

当
0?x?a
?3
时
?
?
(x)?0;
当
x?a
?3
时，
?
?
(x)?0
，所以，当
x?a
?3
时，< br>?
(x)
取最
?3
?
1
2
小值.因此
?
(x)?0
成立的充要条件是
?
(a)?0
，即
a?( 2b)





2
2
.
………………10分
综上，不等式
x?1?ax? b?
3
x
3
对任意
x?[0,??)
成立的充要条件是
2
(2b)
?
1
2
?a?2(1?b).
①
?
1
2
1
2
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是 ：不等式
(2b)
有解、解不等式②得
2?2
?b?
2?2
.

44
?2(1?b)
②
1
2
因此，③式 即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3．（本小题满分12分）
*
已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n ?1
?S
n
?n?5(n?N)

（I）证明数列
?
a
n
?1
?
是等比数列； 2
（II）令
f(x)?a
1
x?a
2
x??a
n
x
n
，求函数
f(x)
在点
x?1
处的导数< br>f
?
(1)
并比较
2f
?
(1)
与
23n?13n
的大小.
*
解：由已知
S
n?1
?Sn
?n?5(n?N)
可得
n?2,S
n
?2S
n?1
?n?4
两式相减得
2
S
n?1
?S
n
?2
?
S
n
?S
n?1
?
?1
即
a
n?1
?2a
n
?1
从而
a
n?1
?1 ?
?
2a
n
?
?
1
当
n?1
时< br>S
2
?2S
1
?1?5
所以
a
2
? a
1
?2a
1
?6
又
a
1
?5
所 以
a
2
?11
从而
a
2
?1?2
?
a
1
?1
?

*
故总有
a
n?1
?1?2(a
n
?1)
，
n?N
又
a
1
?5,a
1
?1?0
从而
a
n?1
?1
?2
即数列
?
a
n
?1
?
是等
a
n
?1
比数列；
n
（II）由（I）知
a
n
?3?2?1

2因为
f(x)?a
1
x?a
2
x??a
n
x< br>n
所以
f
?
(x)?a
1
?2a
2
x??na
n
x
n?1

从而
f
?
(1) ?a
1
?2a
2
??na
n
=
?
3?2? 1
?
?23?2
2
?1?
??
?n(3?2
n?1)

=
32?2?2
2
?
?
?n?2
n
?
-
?
1?2??n
?
=
3
?
n?1
?
?2
n?1
?
n(n?1)
? 6

2
由上
2f
?
(1)?23n
2
?1 3n?12
?
n?1
?
?2
n
-
122n
2
?n?1
=
n
2
12
?
n?1
??2
n
?12
?
n?1
?
(2n?1)
=12
(n?1)
?
?
?(2n?1)
?
?
①
????
当
n?1
时，①式=0所以
2f
?
(1)?23n ?13n
；
当
n?2
时，①式=-12
?0
所以
2f
?
(1)?23n?13n

当
n?3
时，
n?1?0

又
2?
?1?1
?
?C
n
?C
n
?
n01
n< br>n?1n
?C
n
?C
n
?
2n?2?2n?1

2
2
B
y
A
M
o
2
n
?
?
?
23n?13n
所以
?
n?1
?
?
即①从而
2f(1)
2?2n?1?0
?0
??
??< br>
4．(本小题满分14分)
已知动圆过定点
?
N
x
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?p
?
p
?
,0
?
，且与直线
x??
相 切，其中
p?0
.
2
?
2
?
x??
p< br>2
（I）求动圆圆心
C
的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C
上异于原点
O
的两个不同点，直线
OA
和
OB
的倾斜角分别为
?
和
?
，
当
?
,
?变化且
?
?
?
为定值
?
(0?
?
?< br>?
)
时，证明直线
AB
恒过定点，并求出该定点的坐
标. < br>解：（I）如图，设
M
为动圆圆心，
?
p
?
p
?
,0
?
为记为
F
，过点
M
作直线
x? ?
的垂线，垂
2
?
2
?
p
的距离相等，由抛
2
足为
N
，由题意知：
MF?MN
即动点
M
到定 点
F
与定直线
x??
物线的定义知，点
M
的轨迹为抛物线， 其中
F
?
方程为
y?2px(P?0)
；
2
p< br>?
p
?
,0
?
为焦点，
x??
为准线，所以 轨迹
2
?
2
?
（II）如图，设
A
?
x< br>1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，由题意得
x
1
?x
2
（否则
?< br>?
?
?
?
）且
x
1
,x
2
?0
所
2
y
1
2
y
2
,x
2?
以直线
AB
的斜率存在，设其方程为
y?kx?b
，显然x
1
?
，将
y?kx?b
与
2p2p

< br>y
2
?2px(P?0)
联立消去
x
，得
k
2
y?2p?y2p?0b
韦达定理知由
y
1
?y
2
?
2p2pb
①
,y
1
?y
2
?
kk
（1）当
?
?
?
2
时，即
?
?
?
?
?
2
时，
tan
?
?tan
所以
?
?1
y
1
y
2
??1,x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，
x
1
x< br>2
2
y
1
2
y
2
2pb
2
?yy?0
yy?4p
所以由①知：
?4p
2
所以
b?2p k.
因此直线
AB
的方程可
12
12
2
4p
k
表示为
y?kx?2Pk
，即
k(x?2P)?y?0
所以直线
AB
恒过定点
?
?2p,0
?

（2）当
?
?
?
2
时，由
?
?
?
?
?，得
tan
?
?tan(
?
?
?
)
=
tan
?
?tan
?
=
1?tan
?
t an
?
2p(y
1
?y
2
)
2p
2ptan
?
?
将①式代入上式整理化简可得：，所以
b??2pk
，
y
1
y
2
?4p
2
b?2pk
tan
?
此时，直线
AB
的方程可表示为
y?kx?
2p
2p
?
?2pk
即
k(x?2p)?
?
y?
tan
?
tan
?
?
?
?
?0

?所以直线
AB
恒过定点
?
?2p,
所以由（1）（2）知，当< br>?
?
过定点
?
?2p,
?
?
2p
t an
?
?
?

?
?
2
时，直线
A B
恒过定点
?
?2p,0
?
，当
?
?
?< br>2
时直线
AB
恒
?
?
2p
tan
?
?
?
.
?
5．（本小题满分12分）

x2
?y
2
?1
，双曲线C
2
的左、右焦点分别为C1
的左、右顶点，已知椭圆C
1
的方程为
4
而C
2的左、右顶点分别是C
1
的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C
2
的方程；
（Ⅱ）若直线
l:y?kx?2
与椭 圆C
1
及双曲线C
2
都恒有两个不同的交点，且l与C
2
的 两个交点A和B满足
OA?OB?6
（其中O为原点），求k的取值范围.
22解：（Ⅰ）设双曲线C
2
的方程为
x
?
y
?1
，则
a
2
?4?1?3,再由a
2
?b
2
?c2
得b
2
?1.

22
ab

x
2
?y
2
?1.
故C
2
的方程为
3x
2
?y
2
?1得(1?4k
2
)x
2
?82kx?4?0.
（II）将
y?kx?2代入
4
由直线l与椭圆C
1
恒有两个不同的交点得
?
1
?(82)
2
k< br>2
?16(1?4k
2
)?16(4k
2
?1)?0,

即
k
2
?
1
.
①
4
x
2
将y?kx?2代入?y
2
?1得(1?3k
2
)x
2
?62kx?9?0
.
3
由直线l与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A，B得
2
?
?
1?3k?0,
?
222
?
?
?
2< br>?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.

1
即k
2
?且k
2
?1.
3
设A(x
A
,y
A< br>),B(x
B
,y
B
),则x
A
?x
B?
62k?9
,x?x?
AB
1?3k
2
1?3k2

由OA?OB?6得x
A
x
B
?y
Ay
B
?6,而
x
A
x
B
?y
A
y
B
?x
A
x
B
?(kx
A
?2)(k x
B
?2)
?(k
2
?1)x
A
x
B?2k(x
A
?x
B
)?2

?(k?1)?
2
?962k
?2k??2

22
1?3k1?3k
3k
2
?7
?.
2
3k?1
3k
2
?715k
2
?13
于是
2
?6,即?0.解此不等式得
2
3k?13k?1
k
2
?
131或k
2
?.
③
153
由①、②、③得
1113
?k
2
?或?k
2
?1.

4315
故k的取值范围为
(?1,?
6．（本小题满分12分）
13311313
)?(?,?)?(,)?(,1)

15322315

数列{a
n
}满足
a
1
?1且a
n?1
?(1?
11
)a?(n?1)
.
n
n
2
?n2
n
（Ⅰ）用数学归纳法证明：
a
n
?2(n?2)
；
2
（Ⅱ）已知不等式
ln(1?x)?x对x? 0成立,证明:a
n
?e(n?1)
，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，
a
2
?2?2
，不等式成立. < br>（2）假设当
n?k(k?2)
时不等式成立，即
a
k
?2( k?2),

那么
a
k?1
?(1?
11
)ak
?
k
?2
. 这就是说，当
n?k?1
时不等式成立.
k(k?1)
2
根据（1 ）、（2）可知：
a
k
?2对所有n?2
成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
a
n?1
?(1?
两边取对数并利用已知不等式得
lna
n?1
1111
)a??(1??)a
n
.(n?1)

n
n
2
?n2
n
n
2
?n2
n
11
?ln(1?
2
?
n
)?lna
n

n? n2
?lna
n
?
11
11
lna?lna??
故
(n?1).

?.
n?1n
n
2n
n(n ?1)
2
n?n2
上式从1到
n?1
求和可得
lnan
?lna
1
?
111111
??????
2
???
n?1

1?22?3(n?1)n2
22
1
n11111111
2
?1??(?)?
?
?????1??1?
n
?2.

1
223n?1n2n
2
1?
2
1?
2
即
lna
n
?2,故a
n
?e(n?1) .

（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证
2?n(n?1)对n?2
成立，故
n
a
n?1
?(1?
1111
)a??(1?a?
nn
n(n?1)n (n?1)
n
2
?n2
n
(n?2),则b
n?1
?(1?
1
)b
n
n(n?1)
(n?2).

令
b
n
?a
n
?1(n?2).

取对数并利用已知不等式得
lnb
n?1
?ln(1?
1
)?lnb
n
n(n?1)
?lnb
n
?
1
n(n?1)
(n?2) .

111
??
?
?

1?22?3n(n?1)
上式从2到n求和得
lnb
n?1
? lnb
2
?
?1?
11111
???
?
???1.

223n?1n
(n?2).

1?ln3
?3e
因
b
2
?a
2
?1?3.故lnb
n?1
?1? ln3,b
n?1
?e
2222
故
a
n?1
?3e ?1?e,n?2,又显然a
1
?e,a
2
?e,故a
n
? e对一切n?1
成立.
7．（本小题满分12分）
已知数列
{a
n
}的各项都是正数,且满足:
a
0
?1,a
n?1
?（1）证明
a
n
?a
n?1
?2,n?N;

（2）求数列
{a
n
}
的通项公式a
n
.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
a
0
? 1,a
1
?
1
a
n
,(4?a
n
),n? N.

2
13
a
0
(4?a
0
)?,

22
∴
a
0
?a
1
?2
，命题正确.
2°假设n=k时有
a
k?1
?a
k
?2.

则
n?k?1时,a
k
?a
k?1
?
11< br>a
k?1
(4?a
k?1
)?a
k
(4?a
k
)

22
1
?2(a
k?1
?a
k)?(a
k?1
?a
k
)(a
k?1
?a
k< br>)
2

1
?(a
k?1
?a
k
)(4?a
k?1
?a
k
).
2
而
a
k ?1
?a
k
?0.
又
a
k?1
?
4?a< br>k?1
?a
k
?0,?a
k
?a
k?1
?0 .

11
a
k
(4?a
k
)?[4?(a
k
?2)
2
]?2.

22
∴
n?k?1
时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时 有
a
n
?a
n?1
?2.

方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
a
0?1,a
1
?
13
a
0
(4?a
0
) ?,
∴
0?a
0
?a
1
?2
；
22
2°假设n=k时有
a
k?1
?a
k
?2
成立，
1
x(4?x)
，
f(x)
在[0，2]上单调递增，所以由假设
2
111
有：
f(a
k?1
)?f(a
k
)?f(2),
即
a
k?1
(4?a
k?1
)?a
k
(4?a
k
)??2?(4?2),

222
令
f(x)?
也即当n=k+1时
a
k
?a
k?1?2
成立，所以对一切
n?N,有a
k
?a
k?1
?2

（2）下面来求数列的通项：
a
n?1
?
11a
n
(4?a
n
)?[?(a
n
?2)
2?4],
所以
22
2(a
n?1
?2)??(a
n< br>?2)
2

1
2
11
22
11
22
2
1
1?2?
?
?2
n?1
2
n
令
b
n
?a
n
?2,
则
b
n
?? b
n
??(?b)???()b?
?
??()b
n?1n?2n?1
222222
,
又b
n
=－1，所以
b
n
??()
2























1
2
n
?1
1
n
,即an
?2?b
n
?2?()
2?1

2

高考数学压轴题系列训练六（含答案及解析详解）
1．（本小题满分14分）
如图，设抛物线
C:y?x
的焦点为F，动点P 在直线
l:x?y?2?0
上运动，过P
作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物 线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
22
解：（1）设切点A、B坐标分别为
(x,x
0
)和(x
1
,x
1
)((x
1
?x
0
)
，
2
∴切线AP的方程为：
2x
0x?y?x
0
?0;

2
切线BP的方程为：
2x
1
x?y?x
1
?0;

解得P点的坐标为：
x
P
?
2
x
0
?x
1
,y
P
?x
0
x
1

2
x
0
?x
1
?x
P
?x
P
，
3
2
所以△APB的重心G的坐标为
x
G
?
2< br>y
0
?y
1
?y
P
x
0
?x
1
2
?x
0
x
1
(x
0
?x
1
)
2
?x
0
x
1
4x
P
?yp
y
G
????,

3333
所以
y
p
??3y
G
?4x
G
，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的 轨迹方程为：
2
1
x?(?3y?4x
2
)?2?0,即y?(4 x
2
?x?2).

3
（2）方法1：因为
FA?( x
0
,x
0
?),FP?(
由于P点在抛物线外，则
|FP |?0.

2
1
4
x
0
?x
1
1 1
2
,x
0
x
1
?),FB?(x
1
,x
1
?).

244
x
0
?x
1
1 11
2
?x
0
?(x
0
x
1
?)(x0
?)x
0
x
1
?
FP?FA
44
?
4
,

?
2
∴
cos?AFP?
1
|FP||FA||FP|
22
|FP|x
0
?(x
0
? )
2
4
x
0
?x
1
111
2
?x
1
?(x
0
x
1
?)(x
1
?)x
0
x
1
?
FP?FB
244
?
4
,
?
同理有
cos?BFP?
1
|FP||FB||FP|22
|FP|x
1
?(x
1
?)
2
4

∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当
x
1
x
0< br>?0时,由于x
1
?x
0
,不妨设x
0
?0,则y< br>0
?0,
所以P点坐标为
(
x
1
,0)
2< br>，则P点到直线AF的距离为：
d
1
?
|x
1
|1
;而直线BF的方程:y??
24
1
4
1
x
1
?0.

4
x
1
2
?
x
11
4
x,

即
(x
1
2
?)x?x< br>1
y?
x
1
x
1
|x|
|(x
1< br>2
?)
1
?
1
|(x
1
2
?)1
424
?
42
?
|x
1
|
所以P 点到直线BF的距离为：
d
2
?
1
2
2
1
222
x?
(x
1
?)?(x
1
)
1
4< br>4
所以d
1
=d
2
，即得∠AFP=∠PFB.
1
1
4
(x?0),即(x
2
?
1
)x?xy?1
x?0,
②当
x
1
x
0
?0
时， 直线AF的方程：
y??
000
4x
0
?044
2
x
0
?
1
1
4
(x?0),即(x
2
?< br>1
)x?xy?
1
x?0,
直线BF的方程：
y??
111
4x
1
?044
x
1
2
?
所以P 点到直线AF的距离为：
x?x
1
1
x?x
1
11
22
2
|(x
0
?)(
0
)?x
0
x< br>1
?x
0
||
0
)(x
0
?)
42 424
?
|x
0
?x
1
|
，同理可
d1
??
1
2
2
1
2
2
x
0< br>?
(x
0
?)
2
?x
0
4
4
得到P点到直线BF的距离
d
2
?
2．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆
3x?y?
?
上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB 的
22
|x
1
?x
0
|
，因此由d
1=d
2
，可得到∠AFP=∠PFB.
2
垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定
?
的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?
，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础 知识以及推理运算能力和综合解决问
题的能力.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为
y?k(x?1)?3,代入3x?y?
?
，
整理得
(k?3)x?2k(k?3)x?(k?3)?
?
?0.
①
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>),则x
1
,x
2
是方程①的两个不同的根，
∴
??4[
?
(k?3)?3(k?3)]?0,
②
且
x
1
?x
2
?

22
222< br>22
2k(k?3)
,
由N（1，3）是线段AB的中点，得
2k?3
x
1
?x
2
?1,
2
?k(k?3)? k
2
?3.

解得k=－1，代入②得，
?
?12,即
?
的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB的方程为
y?3??(x?1),即x?y?4?0.

解法2：设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则有
22
?
?
3x
1
?y
1
?
?

?
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0.

22
?
?
3x
2
?y
2
?
?
依题意 ，
x
1
?x
2
,?k
AB
??
3(x1
?x
2
)
.

y
1
?y
2
∵N（1，3）是AB的中点， ∴
x
1
?x
2
?2,y
1
?y
2
?6,从而k
AB
??1.

又由N（1，3）在椭圆内，∴
?
?3?1?3?12,

∴
?
的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
2
代入椭圆方程，整理得
4x?4x?4?
?
?0.

22
又设
C(x
3
,y
3
),D(x
4< br>,y
4
),
CD的中点为
C(x
0
,y
0< br>),则x
3
,x
4
是方程③的两根，
∴
x
3
?x
4
??1,且x
0
?
11313
(x
3
?x
4
)??,y
0
?x
0
?2?,即M(? ,).

22222

于是由弦长公式可得
|CD|?1? (?)?|x
3
?x
4
|?
1
k
2
2(< br>?
?3).
④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得
4x
2
?8x?16?
?
?0
⑤
同理可得 |AB|?1?k
2
?|x
1
?x
2
|?
∵当
?
?12
时，
2(
?
?3)?
2(
??12).
⑥
2(
?
?12),?|AB|?|CD|

假设存在
?
>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心 .
13
|???4|
|x?y
0
?4|
32
?< br>22
?.
⑦ 点M到直线AB的距离为
d?
0
2
22
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
AB
2
9
?
?12
?
?3CD
2
|????| |.

22222
|CD|
故当
?
>12时，A、B、C、 D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.
2
|MA|
2
?|MB|
2
?d
2
?|
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A、B、C、D共圆
?
△ACD为直角三角形，A为直角
?
|AN|2
=|CN|·|DN|，
|AB|
2
|CD||CD|
)?(?d)(?d).
⑧
222
?
?12
由⑥式知，⑧式左边
?,

2
即
(
由④和⑦知，⑧式右边
?(
2(
?
?3)
32
2(
?
?3)
32
?
?39
?
?12
?)(?)???,

2222222
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为
y?3?x?1
，代入椭圆方程，整理得
4x
2
?4x?4?
?
?0.
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
4x
2
?8x?16?
?
?0.
⑤
解③和⑤式可得
x
1,2
?
2?
?
?12? 1?
?
?3
,x
3,4
?.

22

不妨设
A(1?
1
?
?12,3?
1
?
? 12),C(
?1?
?
?3
,
3?
?
?3
),D(
?1?
?
?3
,
3?
?
?3
)< br>
222222
∴
CA?(
3?
?
?12?
?
?33?
?
?3?
?
?12
,)

22
DA?(
3?
?
?12?
?
?33?
?
? 3?
?
?12
,)

22
计算可得
CA?DA?0
，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
3．（本小题满分14分）
已知不等式
1111
?????[log
2
n],其中n
为大于2的整数，[log
2
n]
表示不超过
23n2
log
2
n
的最大整数. 设数列
{a
n
}
的各项为正，且满足
a< br>1
?b
(
b?
0),
a
n
?
na< br>n?1
,
n?
2,3,4,?

n?a
n?1
（Ⅰ）证明
a
n
?
2b
,n?3,4,5,?

2 ?b[log
2
n]
（Ⅱ）猜测数列
{a
n
}
是否 有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
n?N< br>时，对任意b>0，都有
a
n
?
本小题主要考查数列、极限及不等式的 综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：∵当
n?2时,0?a
n
?
1
.

5
na
n?1
1
n?a
n?1
11
,????,< br>
n?a
n?1
a
n
na
n?1
a
n?1
n
即
111
??,

a
n
a< br>n?1
n
111111111
??,??,
?
,??.

a
2
a
1
2a
3
a
2
3a< br>n
a
n?1
n
11111
??????.

a
n
a
1
23n
111
??[log
2
n ].

a
n
a
1
2
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，

∵a
1
?b,?
2?b[log
2
n]
111
? ?[log
2
n]?.
a
n
b22b
a
n
?
2b
.

2?b[log
2
n]
证法2：设f(n)?
111
????
，首先利用数学归纳法证不等式
23na
n
?
b
,n
?
3,4,5,
?
.< br>
1?f(n)b
（i）当n=3时， 由
a
3
?
3a
2
33b
???.

32?a
3?a
2
1?f(3)b
1
?1
3??1
a
2
2a
1
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时， 不等式成立，即
a
k
?
b
,

1?f(k)b则
a
k?1
?
(k?1)a
k
k?1k?1

??
1?f(k)b
(k?1)?a
k
(k?1)
?1(k ?1)??1
a
k
b
b
1?(f(k)?
1
)b< br>k?1
?
b
,

1?f(k?1)b
?
(k ?1)b
?
(k?1)?(k?1)f(k)b?b
即当n=k+1时，不等式也成立 .
由（i）、（ii）知，
a
n
?
b
,n
?3,4,5,
?
.

1?f(n)b
又由已知不等式得 a
n
?
b
1
1?[log
2
n]b
2
?
2b
,n
?
3,4,5,
?
.

2?b[log
2
n]
（Ⅱ）有极限，且
lima
n
?0.

n??
（Ⅲ）∵
2b221
?,令?,

2?b[log
2
n][ log
2
n][log
2
n]5
10
则有
log< br>2
n?[log
2
n]?10,?n?2?1024,

故取 N=1024，可使当n>N时，都有
a
n
?
1
.

5
4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F
1
，F
2
在x轴 上，长轴A
1
A
2
的长为4，左准
线l与x轴的交点为M，|MA< br>1
|∶|A
1
F
1
|＝2∶1．

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F
1
PF
2
最大值．
本题主要考 查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知
识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能 力.满分14分.
x
2
y
2
解：(Ⅰ)设椭圆方程为
2< br>?
2
?1
?
a?b?0
?
，半焦距为
c，则
ab
a
2
MA
1
??a,A
1
F
1
?a?c
c
?
a
2
?
c
?a ?2
?
a?c
?
?
?
由题意,得
?
2a? 4

?
a
2
?b
2
?c
2
??
?
? a?2,b?3,c?1
x
2
y
2
故椭圆方程为??1.
43
(Ⅱ)
设P
?
?4,y
0
?
,y
0
?0

设直线PF
1
的斜率k
1
??
y
0
y
,直线PF
2
的斜率k
2< br>??
0
35
0??F
1
PF
2
??PF
1
M?
? ?F
1
PF为锐角。
?
2
,

2y2y
0
k?k
15
? tan?F
1
PF2
?
21
?
2
0
??.
1?k
1k
2
y
0
?15
215y
0
15
15
.
15
当y
0
?15，即y
0
=?15时，tan ?F
1
PF
2
取到最大值，此时?F
1
PF
2最大，
故?F
1
PF
2
的最大值为arctan
5．已知函数
f
?
x
?
和
g
?
x?
的图象关于原点对称，且
f
?
x
?
?x
2< br>?2x
．
(Ⅰ)求函数
g
?
x
?
的解析式；
(Ⅱ)解不等式
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1< br>；
(Ⅲ)若
h
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?1
在?
?1,1
?
上是增函数，求实数
?
的取值范围．
本 题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合
运用所学知识分 析和解决问题的能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设函数
y?f
?x
?
的图象上任意一点
Q
?
x
0
,y
0
?
关于原点的对称点为
P
?
x,y
?
，则 ?
x
0
?x
?0,
?
?
x
0
??x,
?
2

即
??
y?yy??y.
?
0
?0,
?
0
?
?
2
∵点
Q
?
x
0
,y
0
?
在函数
y?f
?
x
?
的图象上
∴
?y?x
2
?2x，即y??x
2
?2x, 故g
?
x
?
??x
2
?2x

(Ⅱ)由< br>g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1， 可得2x
2
?x?1?0

当
x?1
时，
2x?x?1?0
，此时不等式无解.
当< br>x?1
时，
2x?x?1?0
，解得
?1?x?
因此，原不等 式的解集为
?
?1,
?
.
2
2
2
1
.
2
?
?
1
?
?
（Ⅲ）
h
?
x
?
??
?
1?
?
?
x
2
?2
?
1?
?
?
x?1

①
当
?
??1时，h
?
x
?< br>?4x?1在
?
?1,1
?
上是增函数，

?
?
??1

②
当
?
??1时，对称轴的方程为x?
1?
?
.

1?
?
1?
?
ⅰ）< br>当
?
??1时,??1,解得
?
??1.

1??
1?
?
ⅱ）
当
?
??1时,??1,解得?1??
?0.

1?
?
综上，
?
?0.

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满
分6分.
对定义域分别是D
f
、D
g
的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈D
f
且x∈D
g

规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈D
f
且x
?
D
g

g(x) 当x
?
D
f
且x∈D
g

(1) 若函数f(x) =
1
,g(x)=x
2
,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
x?1
(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定 义域为R的函数y=f(x),及一
个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
x
2
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
x?1
1 x=1
x
2
1
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
x?1
x?1
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+
?

4
?
?
)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
44
?
,
2
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+
2
sin2x, α=
g(x)=f(x+α)= 1+
2
sin2(x+π)=1-
2
sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+
2
sin2x)( 1-
2
sin2x)=cos4x.
7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满
分6分.
在直角坐标平面中,已知点P
1
(1,2), P
2
(2,2
2
),┄,P
n
(n,2
n
),其中n是正整数.对平面上任一
点A
0
,记A
1
为A
0
关于点P
1
的对称点, A
2
为A
1
关于点P
2
的对称点, ┄, A
N
为A
N-1
关于
点P
N
的对称点.
(1)求向量
A
0
A
2
的坐标;
(2)当点A
0
在曲线C上移动时, 点A
2
的轨迹是函数y=f(x)的图 象,其中f(x)是以3为周期
的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为 图象的函数在(1,4]上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n表示向量
A
0
A
n
的坐标.
[解](1)设点A
0
(x,y), A
0
为P
1
关于点的对称点A
0
的坐标为(2-x,4-y),
A
1
为 P
2
关于点的对称点A
2
的坐标为(2+x,4+y),

∴
A
0
A
2
={2,4}.
(2) ∵
A
0
A
2
={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C是 函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]
时,g(x) =lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
另解设点A
0
(x,y), A
2
(x
2
,y2
),于是x
2
-x=2,y
2
-y=4,
若3< x
2
≤6,则0< x
2
-3≤3,于是f(x
2
)=f( x
2
-3)=lg(x
2
-3).
当1< x≤4时, 则3< x
2
≤6,y+4=lg(x-1).
∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
(3)
A
0
A
n
=
A
0
A2
?A
2
A
4
???A
n?2
A
n< br>,
由于
A
2k?2
A
2k
?2P
2k?1
P
2k
,得
A
0
A
n
=2(
P
1
P
2
?P
3
P
4
???P
n ?1
P
n
n-1
})=2{
n
2(2
n
+ {1,2
?1)4(2
n
?1)
2
,
3
}={n,
3
}



)=2({1,2}+{1,2
3
}+┄