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2018山东省高三压轴题数学试卷(理)含答案解析 精品

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:21
tags:高中数学压轴题

日照东港实验高中数学老师-高中数学学科知识与教学能力2018

2020年10月6日发(作者:柏继民)



2018山东省高考压轴卷
理科数学
一、选择题:本大题共 10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的
1. 已知复数
z
满足
(2?i)z?5
,则
z
在 复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设集合
M?xx?3x?2?0
,集合
N?
?
x()
x
?4
?
,则
M
?
2
?
?
?
1
2
?
?
N
= ( )
A.
xx??2
B.
xx??1
C.
xx??1
D.
xx??2

3.设
?,
?
是两个不同的平面,直线
m?
?
,则“
m?
?
”是“
?

?
”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ).
????????

A.
6
?
B.
5
?
C.
4
?
D.
3
?

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[ 50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到 如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共
有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分 的学生人数为( )



A.588 B.480 C.450 D.120
6.按照如图的程序运行,已知输入x
的值为
2?log
2
3
, 则输出
y
的值为( )

A. 7 B. 11 C. 12 D. 24
1
的等差数列,
S
n

{a
n
}
的前
n
项和.若
a
2
, a
6
,a
14
成等比数列,则
S
5
?
( )
2
3525
A. B.
35
C. D.
25

2
2
7.已知
{a
n
}
是公差为
8.一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点Po离地面2m,风车翼片 的一个端点P从P
o
开始
按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间f(m in)之间的函数关系式是( )

A.
C.
B.
D.

9.设函数
f
?
?
x
?

f
?
x
?

x?R
)的导函数,
f
?< br>0
?
?1
,且
3f
?
x
?
?f?
?
x
?
?3
,则
4f
?
x
?
?f
?
?
x
?
的解
集是( )
A.
?
?
3
??
e
?
?
ln4
??
ln2
?
,??,??
D.
,??
?
B.
?
,??
?
C.
??? ?
????
?
3
??
3
?
?
2
? ?
3
?
1
2
x
的对称轴与准线的交点,点
F
为该抛物线的焦点,点
P
在抛物线上且满足
4
10. 已知点
A< br>是抛物线
y?
|PF|?m|PA|
,当
m
取最小值时,点< br>P
恰好在以
A

F
为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )
A.
2?1
5?1
B. C.
2?1
D.
5?1

2
2
二 、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.



11. 已知向量
a,b
,满足
a?(1,3)

(a?b)?(a?b)
,则
|b|?
.
1
??
12. 二项式
?
x?
?
展开式中的常数项为 .
x
??
6
13. 若x,y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为 .
14.已知点
P
在单位圆
x
2
?y
2
?1
上运动,点
P< br>到直线
3x?4y?10?0

x?3
的距离分别记为
d1

d
2


d
1
?d
2< br>最小值为__________.
?
b,a?b?1
15.现定义一种运算“
?
”;对任意实数
a,b

a?b?
?
,设
f(x)?(x
2
?2x)?(x?3)
,若函
?
a,a?b?1

g(x)?f(x)?k
的图象与
x
轴恰有二个公共点,则实数< br>k
的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上
的指定区域内.
16.(本小题 满分12分)在
?ABC
中,内角
A,B,C
的对边为
a,b,c< br>,已知
2ccosA?a?2b
.
(1)求角
C
的值; < br>(2)若
c?2
,且
?ABC
的面积为
3
,求
a,b
.
17. (本小题满分12分) 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB?BC?CA?AA
侧棱
AA
1
?
平面
ABC

1
?2

且< br>D

E
分别是棱
A
1
B
1

AA
1
的中点,点
F
在棱
AB
上,且
AF?1
AB
.
4

(1)求证:
EF
平面
BDC
1

(2)求二面角
E?BC
1
?D
的余弦值.
18.(本小 题满分12分)已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足:
S
5
?30

S
10
?110
,数列
?
b
n
?
的前
n


T
n
满足:
b
1
?1

b< br>n?1
?2T
n
?1
.



(Ⅰ)求
S
n

b
n

(Ⅱ)比较S
n
b
n

2T
n
a
n
的大 小,并说明理由.
19. (本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来 越多.某自行车租车点的收
费标准是每车每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费 2元(不足1小时的部分按 1
小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游(各租一车一次). 设甲、乙不超过两小时还车的概率
分别为
1111
,
;两小时以上且不超过三 小时还车的概率分别为
,
;两人租车时间都不会超过四小时.
4224
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的 租车费用之和为随机变量
?
,求
?
的分布列与数学期望
E
?

22
20. (本小题满分13分) 已知直线
y?x?1
被圆
x?y?
3
截得的弦长恰与椭圆
2
x
2
y
2
2
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的短轴长相等 ,椭圆
C
的离心率
e?

ab
2
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)已知过点
M(0,?)
的动直线
l
交椭圆
C

A,B
两点, 试问:在
y
轴上是否存在一个定点
T
,使得无

l
如何转动,以
AB
为直径的圆恒过定点
T
?若存在,求出点
T
的坐标,若不存在,请说明理由.
21. (本小题满分14分)已知函数
f(x)?ax ?ln(?x),x?[?e,0),g(x)??
底数,
a?R

(1) 当
a??1
时,讨论函数
f(x)
的单调性并求
f(x)
的 最小值;
(2)求证:在(1)的条件下,
|f(x)|?g(x)?
1
3
ln(?x)
,其中e
是自然对数的
x
1

2< br>(3)是否存在实数
a
,使
f(x)
的最小值是
3
, 如果存在,求出
a
的值;若不存在,请说明理由.
2018山东高考压轴卷数学理word版参考答案
1.【 答案】D
【 解析】
由题意得
z?
选D.

2.【 答案】A
【 解析】

55(2?i)
??2?i
,所以
z?2?i
,所以< br>z
在复平面内对应的点位于第四象限,故
2?i(2?i)(2?i)

< br>
由已知
A?{x|?2?x??1}

N?{x|x??2},所以
M
3.【 答案】C
【 解析】
N?{x|x??2}
.故选A.
一条直线垂直于两个不同的平面,则这两个平面平行;反之也成立(面面平行的判定与性质)。故选C.
考点:充分条件和必要条件.
4. 【 答案】B
【 解析】
由三视图 可知几何体为圆锥和半球的组合体.半球的半径为1,圆锥的高为为
22
,故圆锥的母线长为< br>(22)
2
?1
2
?3
,故几何体的表面积
S?5.【 答案】B
【 解析】
1
?4
?
?1
2?
?
?1?3?5
?
.
2
根据频率分布直方图,成绩 不少于
60
分的频率,然后根据频数=频率×总数,可求出所求.根据频率分布直
方图 ,成绩不少于
60
分的学生的频率为
1?10?(0.005?0.015)?0.8
.由于该校高一年级共有学生
600
人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年 级模块测试成绩不少于
60
分的人数为
600?0.8?480
.
故 选B.
6.【 答案】D
【 解析】
由程序框图,
x?2?log2
3?4
,因此
x
值变为
2?log
2
3?1 ?3?log
2
3?4
,此时计算
y?2
3?log
23
?2
3
?2
log
2
3
?8?3?24.故选D.
7.【 答案】C
【 解析】
因为
{a
n}
是公差为
1
的等差数列,
S
n

{a
n
}
的前
n
项和,
a
2
,a
6
,a
14
成等比数列,所以
2
111335?4125
(a
1
??5)
2
?(a
1
?)(a
1
??13),解得
a
1
?
,所以
S
5
?5????
,故选C.
22222222
8.【 答案】B
【 解析】
设h(t)=Acosωt+B,
∵12min旋转一周,∴=12,∴ω=.
由于最大值与最小值分别为18,2.



∴,解得A=﹣8,B=10.
t+10. ∴h(t)=﹣8cos
故选:B.
9. 【 答案】D
【 解析】
根据
f
?
0
?
?1

3f
?
x
?
?f
?
?x
?
?3
,导函数于原函数之间没有用变量x联系,可知函数与
y?e< br>x
有关,
可构造函数为
f
?
x
?
?2e3x
?1

4f
?
x
?
?f
?
?
x
?
?3f
?
x
?
?3
,即
f
?
x
?
?3

2e?1?3
,解得
x?
3x
ln2

3
故选D
10.【 答案】C.
【 解析】
如下图所示,
A(0,?1)

F(0,1)
,过
P
作准线的垂线,垂足是
H
,由对称性,不妨令
P
在第 一象限,∴
m?
|PF||PH|
??sin?PAH
,∴问题等价于求?PAH
的最小值,
|PA||PA|
y?

tan?PAH ?
11
2
x?1
11
1111
4
?
4?x??2x??1
,当且仅当
x??x?2
时等号成立,
4x
xx4x4x
c1
??2?1
,故选C.
a
2?1
此时
|PA|?|PF|?22?2?2a?a?2?1
,∴
e?
11.【 答案】
10

【 解析】

(a?b) ?(a?b)
,即
(a?b)?(a?b)?a?b?0
,即
a?b
,所以
|b|?|a|?1
2
?3
2
?10
.
12.【 答案】20

22
22



【 解析】
1
??
rn?r
?
1
?
rn ?r
?
1
?
3
r?3
中的通项为,若为常数项,则,
x?CxC
66
x
??????
?C
6
?20
.
x
???
x
??
x
?
13.【 答案】-4
【 解析】
由题意作平面区域如下,
6rr

目标函数z=﹣2x+y可化为y=2x+z,
故结合图象可知,
当过点B(3,2)时,
z有最小值为﹣2×3+2=﹣4;
故答案为﹣4.
14.【 答案】
5?
【 解析】

P
?
cos
?
,sin
?
?
,则
d
1
?
45

5
3cos
?
?4sin
?
?10
43
?2?sin
??
cos
?
,而
d
2
?3 ?cos
?
,所以
555
48
4545
,故答案应填
d
1
?d
2
?
5?sin
?
?cos
?
?5?sin
?
?
?
?
?
,所以
d
1
?d
2
最小值为
5?
55
55
5?
4 5
.
5
15.【 答案】
?
?3,?2
?
??
?8,?7
?
?
?
1
?



【 解析】
?
?
x?3
?
x ?4或x??1
?
由题意得出函数
f
?
x
?
??
,作出函数
f
?
x
?
的图象如图所示,若函数
g(x)?f(x)?k
2
?
?
x?2x
?
?1?x?4
?
的图象与
x
轴恰有二个公共点,则方程
f
?
x< br>?
?k?0

f
?
x
?
??k
恰有 二个不同实根,则
?k??1

2??k?3

7??k?8
,所以
k
的取值范围是
?
?3,?2
?
?
??8,?7
?
?
?
1
?
,故答案应填
?
?3,?2
?
?
?
?8,?7
?
?
?
1
?
.
y
9
8
D
(4,8)
7
B
(4,7)
6
5
4
C
(-1,3)
3
A< br>(-1,2)
2
1
-3-2-1
-1
O
12345< br>x
E
(1,-1)
-2

16.【 答案】(1)
C?
【 解析】
?
3
;(2)
a?b?2
.
(1)∵
2ccos A?a?2b
,∴
2sinCcosA?sinA?2sinB


2sinCcosA?sinA?2sin(A?C)


2sinCcosA?sinA?2sinAcosC?2cosAsinC
, < br>∴
sinA?2sinAcosC
,∴
cosC?
又∵
C是三角形的内角,∴
C?
(2)
S
?ABC
?3
,∴< br>1
.
2
?
3
.
1
?
absin?3
,∴
ab?4

23
222
2
又∵
c?a?b?2abcosC
,∴
4?(a?b)? 2ab?ab
,∴
a?b?4
,

a?b?2
.
17.【 答案】(1)详见解析;(2)
【 解析】

10
.
5



(1)设
O

AB
的中点, 连结
A
1
O
,∵
AF?
1
AB

O

AB
的中点,∴
F

AO
的中点,
4
又∵
E

AA
1
的中点,∴
EFAO
, 又∵
D

A
1
B
1
的中点,
O

AB
的中点,∴
A
11
D?OB

又∵
A
,∴
EFBD

BD
,又∵
EF AO
1
DBO
为平行四边形,∴
AO
1
DOB
,∴ 四边形
A
11
又∵
EF?
平面
DBC
1

BD?
平面
DBC
1
,∴
EF
平面
DBC
1
;(2)建立如图所示的坐标系,

AB?BC?CA?AA
1
B
1

AA
1
的中点,
AF?
1
?2

D

E
分别为
A
1
AB

4
1

E(?1,0,1)

F(?,0,0)

B(1,0,0)

D(0,0,2)

C
1
(0 ,3,2)
,设平面
DBC
1
的法向量为
n?(x,y,z)

2
1
EF?(,0,?1)

BD?n??x?2z?0

BC
1
?(?1,3,2)

BC
1
?n? x?3y?2z?0

BD?(?1,0,2)

2
不妨令
z?1
,则
y?0

x?2
,∴
n?(2,0,1)
,同理可得平面
EBC
1
的一个法向量为
m?(1,?3,2)

cos?m,n??
10
|m?n|1?2?(?3)?0?2?110
,∴ 二面角
E?BC
1
?D
的余弦值为.
??
5
5
|m|?|n|
22?5

18.【 答案】(Ⅰ)
S
n
?

n(2?2n)
?n
2
?n

b
n
?3
n?1
;(Ⅱ)当
n?4(n?N
*
)
时,
S
n
b
n
?2T
n
a
n
;当
2
n?5(n?N
*
)
时,
S
n
b
n
?2T
n
a
n< br>,理由见解析.
【 解析】
(Ⅰ)设等差数列
?
a
n?
的首项为
a
1
,公差为
d
,由已知可得:
5?4
?
5a?d?30
?
?
a
1
?2
?
1
2
解得,
?
?
d?2
10?9
??
10a?d?110
1
?
?2
所以
a
n?2?(n?1)?2?2n

S
n
?
n(2?2n)
?n
2
?n

2
对数列
?
b
n
?
,由已知有
b
2
?2T
1
?1
,即
b2
?2b
2
?1?3



所以
b
2
?3b
1
,(*)
又由已知
b
n?1
?2T
n
?1
,可得
b
n
?2T< br>n?1
?1(n?2,n?N
*
)

两式相减得
b
n?1
?b
n
?2(T
n
?T
n?1
)? 0
,即
b
n?1
?b
n
?2b
n
?0(n ?2,n?N
*
)

整理得
b
n?1
?3bn
(n?2,n?N
*
)

结合(*)得
b
n?1

n?N
*
,
? 3
(常数)
b
n
所以数列
?
b
n
?
是以
b
1
?1
为首项,
3
为公比的等比数列,
所以
b
n
?3
n?1
.
(Ⅱ)
2Tn
?b
n?1
?1?3
n
?1

2n?1n
所以
S
n
b
n
?n?n?3,2T
n
a< br>n
?2n3?1,

2n?12n?1
于是
S
nb
n
?2T
n
a
n
?n?n?3?2n3?1?n?
?
3
?
n?5
?
?2
?
?

????
????
显然当
n?4(n?N
*
)
时,
S
n
b
n
?2T
n
a
n
?0,即
S
n
b
n
?2T
n
a
n


n?5(n?N
*
)
时,
S
n
b< br>n
?2T
n
a
n
?0
,即
S
nb
n
?2T
n
a
n

所以当
n?4 (n?N)
时,
S
n
b
n
?2T
n
an
;当
n?5(n?N)
时,
S
n
b
n
?2T
n
a
n
.
19.【 答案】(1)
【 解析】
**
57
;(2)分布列见解析,数学期望是.
162
11

44
1111115
记甲、乙两人所付得租 车费用相同为事件
A
,则
P(A)???????

42244416
5
所以,甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为.
16
(1)由题意得,甲,乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为
,
(2)设甲 、乙两个所付的费用之和为
?

?
可能取得值为0,2,4,6,8
15
P(
?
?0)?,P(
?
?2)?????,P(
?
?4)???????

844221644242416
1111311 1
P(
?
?6)?????

P(
?
?8)???

4424164416
分布列




所以
E
?
?0??2?
1
8
55317
?4??6??8??

161616162
x
2
?y
2
?1
;20.【 答案】(1)(2)存在一个定点
T(0,1)
满足条件.
2
【 解析】
(1)则由题设可求得
b?1

x
2
2
?y
2
?1

e?
, 则
a?2
,所以椭圆
C
的方程是
2
2
(2)解法一 :假设存在点
T(0,v)
,若直线
l
的斜率存在,设其方程为
y? kx?
整理得
(18k
2
?9)x
2
?12k?16?0< br>
1
,将它代入椭圆方程,并
3
12k
?
x?x?
?
?
12
18k
2
?9
设点
A、B
的坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
?

?16
?
xx?
?
12
18k
2
?9
?
因为
TA?(x
1
,y
1
?v),TB?(x
2
,y
2
?v)

y
1
?kx
1
?,y
2
?kx
2?
1
,所以
3
12v1
TA?TB?x
1
x< br>2
?(y
1
?v)(y
2
?v)?(k
2
? 1)x
1
x
2
?(k?kv)(x
1
?x
2
)?v
2
??

339
1
3
(6v
2< br>?6)k
2
?(3v
2
?2v?5)
?

6k
2
?2
当且仅当
TA?TB?0
恒成立时,以
AB为直径的圆恒过定点
T

?
6v
2
?6?0
所以
?
2
,解得
v?1
,此时以
AB
为直径的圆恒 过定点
T(0,1)

?
3v?2v?5?0
当直线
l< br>的斜率不存在,
l

y
轴重合,以
AB
为直径的圆为
x?y?1
也过点
T(0,1)

综上可知,在坐标平面上存在一个定点
T(0,1)
,满足条件分
解法二: 若直线
l

y
轴重合,则以
AB
为直径的圆为
x? y?1

22
若直线
l
垂直于
y
轴,则以
AB
为直径的圆为
x?(y?)?
22
22
1
3
16

9



?
x
2?y
2
?1
?
x?0
?

?
2
,解得,由此可知所求点
T
如果 存在,只能是
(0,1)

?
1
2
16
?
y?1
?
x?(y?)?
39
?
事实上点
T(0,1)
就是所求的点,证明如下:
当直线
l
的斜率不存在,即直线
l

y
轴重合时,以
AB
为直径的圆为
x
2
?y
2
?1
,过点
T(0,1 )

当直线
l
的斜率存在,设直线方程为
y?kx?
1
3
代入椭圆方程并整理得
(18k
2
?9)x
2
?12 x?16?0

12k
?
x?x?
?
?
1218k
2
?9
设点
A、B
的坐标为
A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
?
,因为
?16
?
xx?
12
?
18k
2
?9
?
TA?(x
1
,y
1
?1),TB?(x
2
,y
2
?1)
,所以有
416?16k
2?16?16k
2
?32k
2
?16
TA?TB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?(y
1
?y< br>2
)?1?(k?1)x
1
x
2
?k(x
1
?x
2
)??0

2
3918k?9
2
所以TA?TB
,即以
AB
为直径的圆恒定过点
T(0,1)

综上可知,在坐标平面上存在一个定点
T(0,1)
满足条件
21.【 答 案】(1)函数
f(x)

?
?e,?1
?
上是减函数,在
?
?1,0
?
上是增函数,最小值为
1
;(2)证明见解析 ;
(3)存在,
a??e
.
【 解析】
2
时,f(x) ??x?ln(?x),

f
?
(x)??1?
(1)
?当 a??1
1x?1
??

xx
?当?e?x??1时,f
?
(x)?0;当?1?x?0时,f
?
(x)?0

?
函数
f(x)

?
?e,?1
?
上是减函数,在
??1,0
?
上是增函数
?f(x)
的最小值为
f(?1)?1

(2)证明:
?f(x)在
?
?e,0
?
上的最小值为1,




(3)假设存在实数a,使
f (x)?ax?ln(?x)在x?
?
?e,0
?
上有最小值3,
若f
?
(x)?a?
1
e
11
?
1
?1
?0恒成立,又x?
?
?e,0
?
则?
?
? ?,?
?
,则a??,

xx
?
e
?
e< br>1
?0

?函数f(x)?ax?ln(?x)是
?
?e,0
?
上的增函数
x
41
?f(x)
min
?f(? e)??ae?1?3.解得a????
(舍去)
ee
111
②若
a??,则当?e?x?时,f
?
(x)?a??0

eax
①若< br>a??,有f
?
(x)?a?
11
此时f(x)?ax?ln(?x) 是减函数,当?x?0时,f
?
(x)?a??0
ax

111此时f(x)?ax?ln(?x)是增函数?f(x)
min
?f()?1?ln(?) ?3,解得a??e
2
??
aae
由①、②知,存在实数
a??e< br>2
,使得当x?
?
?e,0
?
时,f(x)
有最小值 3
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