高中数学校本研修参与录范例-高中数学集合的来源
高考数学压轴题解题思路
一、数学归纳法的工具显神通.
案例一
下面是:2016年北京理科高考数学压轴题。
设数列A:
a
1
,
a
2
,…
a
N
(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正
整数k都有
a
k
<
a
n
,则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G(A)
是数列A
的所有“G时刻”组成的集合.
(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;
(I I)证明:
若数列A中存在
a
n
使得
a
n
>
a
1,则G(A)
?
?
;
(I I
I)证明:若数列A满足
a
n
-
a
n?1
≤1(n=2,3,
…,N),则G(A)的
元素个数不小于
a
N
?a
1
.
仅证第三小问.
分析:(I I
I)记
|G(A)|
表示集合中元素个数.
|?a
2
?a
1
.
当(1)
n?2
时,当
a
2
?a
1<
br>,|G(A)|?1
,又
a
2
?a
1
?1
,
则
|G(A)
a
2
?a
1
?0,|G(A)|?0
显然,
|G(A)|?a
2
?a
1
,
?n?2
成立
.
(2)假设
n?k
成立,如何利用
n?k
去证
n?k?
1
成立是个难点.首先对
n?k
成立的理解.其实质是
k
个元素,<
br>b
1
,b
2
,?b
k
.如果
b
n<
br>?
b
n?1
?
1.(n
?
2,
?
k
)
,则
G(A)
元素个数不小于
b
k
?b
1
,
b
1
,b
2
,?b
k
,可能是
a1
,a
2
,?a
k
,也可能是
a
1
,
a
2
,?a
n
?
中任
k
个元素组成的数列,只要新
数
列后一项减去前一项不超过
1
,就可以利用归纳假设.在利用
n?k
来证
n?k?1
成立时.必须对
a
1
,a
2
?a
k?1
减少一个元素,减少谁呢?显然,根
据“
G
时刻定义”,去掉
最大或最小元素对处理
G
时刻增加或减少较
好处理.
选择最小元素所在位置为分类标准.
?在
a
1
,a
2
?a
k?1
中如果最小元素是
a
k?1
,
a
k?
1
?a
1
?0
显然成立.
?如果最小元素是
a1
,去掉
a
1
后,
a
2
?a
k?1<
br>,
a
n
?a
n?1
?1
(
,n?3,
?
,k?1)
符合
n?k
成立的条件.令
a
2
?
a
k?1
的
G
时刻组成的集合为
G(A)
,则
|G
(A)|?a
k?1
?a
2
.
因为
a
1
是
最小元素,
a
1
,a
2
?a
k?1
的
G<
br>时刻元素个数为
|G(A
)
|?1
,?
ak?1
?a
1
?(a
k?1
?a
2
)?(a<
br>2
?a
1
)?|G(A)|?1.?n?k?1
成立.
?如果最小元素是在中间某个元素
a
i
,去掉
a
i
,要想<
br>a
1
,a
2
?a
i?1
,a
i?1,
?a
k?1
,对
n?k
成立,必须
a
i?1
?a
i?1
?1
成立,才能利用假设。
?a
i?1
?a
i
?1,a
i
?a
i?1
?0
.
?a
i?
1
?a
i?1
?(a
i?1
?a
i
)?(a
i
?a
i?1
)?1
,
?
对于
a
1,a
2
?a
i?1
,a
i?1,
?a
k?1<
br>可以利用归纳假设,
|G(A)|?a
k?1
?a
1
。
?a
i
是最小元
?a
1
,a
2
?a
k?
1
中
G
时刻元素个数等于
a
1
,a
2
?a
i?1
,a
i?1,
?a
k?1
中
G
时刻
元素,
素个数,
?n?k?1
成立.
综上所述命题为真.
说明:本题关键:?对
n?k
本质的理解;?选择了最小数,由最小数
的位置,有利于
确定
G
时刻元素个数.当然,也可以选择最大数的位
置去处理.
二、数列不等式中找递推
案例二:2016年浙江高考理科数学压轴题.
设数列
?
a
n
?
满足
a
n
?
a<
br>n?1
?1
,
n??
?
.
2
(I)证明:
a
n
?2
n?1
?
a
1
?2
?<
br>,
n??
?
;
3
?
??
(II)若
a
n
?
?
??
,
n??
,证明:
an
?2
,
n??
.
?
2
?
n
仅分析第二小问.分析:
a
n
?
a
n?1
a
aa
?1,??1?a
n
?
n?1
?1.
如果
a
n
?
n?1
=1;a
n
?
n?1
??1
.我们能得出什
22
22
么样的
递推关系呢?当然是:
a
n?1
?2?2(a
n
?2);a
n?1
?2?2(a
n
?2)
.那么对
于不等式同样可得出相应的递
推关系:
a
n?1
?2?2(a
n
?2)
且
an?1
?2?2(a
n
?2)
.若
?a
k
?<
br>?2
,由
a
n?1
?2?2(a
n
?2)
,
易得,
2
a
n?k
?
?2?2(a
n?k
?
?1
?2)?2(a
n?k
?
?2
?2)?
?
?
3
n?k
?
成立
2
n
(a
k<
br>?
?2),a
n?k
?
?2
n
(a
k
?
?2)?2
.用反证法,只需找到
2
n
(a
k
?
?2)?()
2
3
3
()
k
?<
br>()
k
?
4
n
4
n
的
n
,
只需
()?
2
,而
n???
,
()???
,
2
是常数,所以,
3
3a
k
?
?2
a
k
?
?2
33
与题设
|a
n
|?()
n矛盾,所以
?a
k
?
?2
不可能.同理,
?n
?
使
|a
n
?
?k
?
|?()
n
?
?k
?
,
22
利用
a
n?1
?2?2(
a
n
?2)
递推关系,若
?a
k
??2
也不可能,
所以
a
n
?2
n??
?
.
?
说明:本题关键:?在不等式
a
n
?
的应用.
三、基础小问是桥梁。
2016年江苏高考压轴题.
(记
U?
?
1,2,
S
T
?0
;
a
n?1
?1
中,找出递推关系;?反证法
2
,100
?
.对数列
?
a
n
?
(
n?N
*
)
和
U
的子集
T
,若
T??
,定义
若
T?<
br>?
t
1
,t
2
,
S
T
?a
1
?a
3
?a
66
.
,t
k
?
,定义
S
T
?a
t
1
?a
t
2
?
?a
t
k
.例如:
T?
?
1,3,66
?
时,
现设
?
a
n
?
(
n?N
*
)
是公比为
3
的等比数列,且当
T?
?
2,4
?
时,
S
T
?30
.
⑴
求数列
?
a
n
?
的通项公式;
⑵ 对任意正整数
k
(
1≤k≤100
),若
T?
?
1,2,
⑶ 设
C?U
,
D?U
,
S
C
≥S
D
,
求证:
S
C
?S
C
仅分析(2)、(3)问.
分析:(2
)由(1)可知
a
n
?3
n?1
,对
S
T
?a
k?1
,只需考虑极端情形:
s
k
?a
k?1
3
k
?1
就可以.由
a
k?1
?3,s
k
?
,则
a
k?1
?2s
k
,即
S
T
?a
k?1
.
2
k
D
,k
?
,求证:
S
T
?a
k?1
;
≥2S
D
.
(3)(
a
)当
C
、
D
有一个为
?
,显然成立。
(
b
)当
C
、D
不为
?
,(2)证明中得到:
a
k?1
?2s
k
很重要.
令
C?
?
C
1
,C
2
,
,D?
?
D
1
,D
2
?D<
br>i
?
?
C
j
?
a
j
?2
S
D
?2S
D
成立.
?S
C
?2S
D ?当
C
j
?D
i
?1
时,由(
2)可知,
i
?
S
C
?S
CD
≥2S
D<
br>.
?当
C
j
?1?D
i
时
,则由(2)可知,
?S
D
?2S
C
a
D
?2S<
br>C
?2S
C
,
ij
与
S
C
≥SD
矛盾.故不可能.
?当
D
j
?C<
br>i
时,若
C?D
,则显然成立.若
C?D
,则除去
C
和
D
中的相同项.令
C
?
?C
j
1
,C
j
2
?C
j
k
,D
?
?D
i
1
,D
i
2
?D
i
p
?S
C<
br>?S
D
,C?D,?S
C
?
?S
D
?
,
C
j
k
?D
i
p
.如果
C
j
k
?D
i
p
?1
.则由(2)可知
S<
br>C
?
?2S
D
?
?
(S
C
?SD
)?(S
C
?
D
?S
D
)?
??
??
(S
C
?
?S
D
?
)?S<
br>D
?
?0
.如果当
C
j?1
?1?D
i<
br>时,则由(2)可知,
a
D
i
?2S
C
j
?
2S
C
,
?S
D
?2S
C
与
S
C
≥S
D
矛盾.故不可能.
综上所述:
S
C
?S
C
合理分类.
D
本题的关键
?基础小问的利用;?
≥2S
D
成立.说明:
四、特殊位置找出路
2016年天津高考理科数学压轴题.
设函数f(x)=(x-1)
3
-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)存在极值点x
0
,且f
(x
1
)=f(x
0
),其中x
1
≠x
0
,求证:x
1
+2x
0
=3;
(III)设a>0,函数g(x)
=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小
于.
仅分析第(III)问.
1
4
分析:(III)只需找到某
一点的值不小于就可以.在
?
0,2
?
中,找那些点
呢?当然,中点
、端点、极值点就是最特殊的点,极值点不一定在定
义域中,所以首先考虑中点、端点。(1)如果f(0?)?1?bf,(?1?a)?bf,
1
4
。这三个中有一个绝对值不小
于
?(2?a?b
11
??f(0)?
①
4
4
1
11
就可以了。(2)如果没有,则
??f(1)?
即
②
.
4
4
4
③
?
1
?f(2)?
1
44
=
,
,显然必须考虑极值点。
考虑
的范围,才能确定极值点在不在定义域中。当然a的范围尽量
小,①+③化简得,a范围最小,
,
,
,当 时,
,当
时,
>
.综上所述,问题解决。