黄冈中学高考数学压轴题精选( 共二十套)

知方程
f
?
(x)?ax
2
?2 bx?c?0(?)
有两个不等实根，设为
x
1
,x
2
，
又由
f
?
(1)?a?2b?c?0
知，
x
1?1
为方程（
?
）的一个实根，则有根与系数的关系得
x
1< br>?x
2
??
2b
a
,x
2b
2
??
a
?1?0?x
1
， ……………………9分
当
x?x
2
或
x?x
1
时 ，
f
?
(x)?0
，当
x
2
?x?x
1< br>时，
f
?
(x)?0
，
故函数
f(x)
的 递增区间为
[x
2
,x
1
]
，由题设知
[x
2
,x
1
]?[s,t]
，
因此
|s?t|?|x1
?x
2
|?2?
2b
a
，由（Ⅰ）知
0≤
b
a
?1
得
|s?t|
的取值范围为
[2, 4)
；…12分
（Ⅲ）由
f
?
(x)?a?0
，即
ax
2
?2bx?a?c?0
，即
ax
2
?2bx?2b ?0
，
因为
a?0
，则
x
2
?2?
b< br>a
x?2?
bb
a
?0
，整理得
(2x?2)
a
?x
2
?0
，
设
g(
b
)?(2x ?2)
b
?x
2
b
aa
，可以看作是关于
a
的一次函数，
由题意
g(
bb
a
)?0
对于
0
≤
a
?1
恒成立，
故
?
?
g(?1)
≥
0,
?
?
x
2
+2x?2
≥
0 ,
?
g(0)?0,
即
?
?
?
x
2?0,
得
x
≤
?3?1
或
x
≥
3?1
，
由题意，
[k,??)?(??,?3?1]U[3?1,??)
， < br>故
k
≥
3?1
，因此
k
的最小值为
3?1< br>． ……………………16分
32
．（本小题满分
12
分）

解：（
1
）依题意，随机变量
ξ
的取值是
0
，
1
，
6
，
8
．

P(ξ=0)=
0.1
，
P(ξ=1) =
3
?0.9
，
P(ξ=6)=
3
88
?0.9
，
P(ξ=8)=
2
8
?0.9
．

得
?
分布列：

……
6
分

?
（
2
）

0 1 6 8
P
i

0.1

3
?
32
8
0.9

8
?0.9
8
?0.9

E
?
=
0?0.1?
3
8
?0.9
?
1
?
32
8
?0.9
?
6
?
8
?0.9
?
8
?4.2
．……
12
分

33．（本小题满分14分）
解：（
1
）∵
c
2
?a
2
?b
2
，∴
c
2
?4m
2
．……
2
分

又∵
PF
1
?PF
2
?0

∴
P F
1
?PF
2
，…………
3
分
PF
22< br>2
1
?PF
2
?
?
2c
?
?16m
2
．……
5
分

由椭圆定义可知
PF
1< br>?PF
2
?2a?26m
，
?
PF
1
?PF
2
?
2
?16m
2
?8?24m
2
，…< br>6
分

从而得
m
2
?1
，
c
2
?4m
2
?4
，
c?2
．

∴
F
1
?
?2，0
?
、
F
2
?
2 ，0
?
．

…………
7
分

∴

（
2
）∵
F
1
（
-2
，
0
），
F
2
（
2
，
0
），< br>
由已知：
QF
1
?
2
2
2QM
， 即
QF
1
?2QM
，所以有：
QF
1
?2QF2
?1
，设
P
（
x
，
y
），

…
2
2
22
2
?
2
?
9
分

则
?
x?2
?
?y?2
?
?x?2
?
?y?1
?
，…
12
分

? ?
即
?
x?6
?
?y
2
?32
（或
x?y?12x?4?0
）

22
2
y Q（x，y）
综上所述，所求轨迹方程为：
?
x?6
?
?y
2
?32．…
14
分


M

F
1

F
2

x
O
34．（本小题满分14分）
解 ：（1）由a
n
＋
1
＝a
n
＋6a
n
－< br>1
，a
n
＋
1
＋2a
n
＝3(a
n
＋2a
n
－
1
) (n≥2)
∵a
1
＝5，a
2
＝5 ∴a
2
＋2a
1
＝15
故数列{a
n
＋
1
＋2a
n
}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
＋
（2）由（1）得a
n
＋
1
＋2a
n
＝5·3
n
由待定系数法可得(a
n
＋
1－3
n1
)＝－2(a
n
－3
n
) 即a< br>n
－3
n
＝2(－2)
n
－
1
－
故a
n
＝3
n
＋2(－2)
n1
＝3
n
－ (－2)
n
………9分
2
（3）由3
n
b
n
＝n(3
n
－a
n
)＝n[3
n
－3
n
＋(－2)
n
]＝n(－2)
n
，∴bn
＝n(－)
n

3
2222
令S
n
＝|b
1
|＋|b
2
|＋…＋|b
n
|＝＋2()
2
＋3()
3
＋…＋n()
n

3333
22222
＋
S
n
＝()
2＋2()
3
＋…＋(n－1)()
n
＋n()
n1
…………11分
33333
22
[1－()
n
]
33
122222222
得S
n
＝＋()
2
＋()
3
＋…＋()
n
－n()
n+1
＝－n()
n+1
＝2[1－()
n
]－n()
n+1

3333332333
1－
3
22
∴ S
n
＝6[1－()
n
]－3n()
n+1
＜6
33
要使得|b
1
|＋|b
2
|＋…＋|b
n
|＜ m对于n∈N恒成立，只须m≥6 …14分
＊
2
x
1
?x
2
2
k
2
k
x
1
x
2
? ()?
x
1
?x
2
?
24
，当且仅当
2< br>时等号成立，故
u
的取值范35．（本小题满分14分）解：（1）
k
2
(0,]
4
．……5分 围为
（
2
）解法一（函数法）
(
xx
111
?x
1
)(?x
2
)??x
1
x
2
?
1
?
2

x
1
x
2
x
1
x
2
x
2
x
1
2
x
1
2
?x
2
1k
2
?1k< br>2
?1
?x
1
x
2
???x
1
x< br>2
??2?u??2
……6
分

x
1
x2
x
1
x
2
x
1
x
2
u2
k?1
kk
2
2
f(u)?u??2
由
0? u?
，又
k?1
，
k?1?0
，∴在
(0,]
上是 增函数，
……7
分

u
44
2

222
kk?1k42k
2
11
???2??2??(?)
k?1< br>2
2
所以
(?x
1
)(?x
2
)?
u??2
4
k
4kk2

x
1
x
2
u
4
2
即当
k?1
时不等式
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
成立．
………9
分

x
1
x
2
2k
11 k2
2
x
1
x
2
4k
2
1
?x< br>1
x
2
???
2
??2

解法二（不等式证 明的作差比较法）
(?x
1
)(?x
2
)?(?)?
x1
x
2
2k
x
1
x
2
x
2< br>x
1
k4
x
1
x
2
k
2
? 4x
1
x
2
k
2
?4x
1
x
2< br>(x
1
?x
2
)
2
14k
2
??< br>??
2
?(?x
1
x
2
)?(??2)
?< br>，

2
kx
1
x
2
4x
1
x
2
x
1
x
2
k4x
2
x
122
将
k?4x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
代入得

11k2
2
(x
1
?x
2
)
2
(4?k
2
x
1
x
2
?4k
2
)
(?x
1
)(?x
2
)?(? )
?
，
……6
分

2
x
1
x
2
2k
4kx
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
(4?k
2
x
1
x
2
?4k
2
)
?0
，∵
(x
1
?x
2
)?0
，
k?1
时
4?kx
1
x
2?4k?4(1?k)?kx
1
x
2
?0
，∴
4k2
x
1
x
2
22222
即当
k?1
时 不等式
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)< br>2
成立．
……………9
分

x
1
x
2
2k
（
3
）解法一（函数法）

22
11
1?kk2k
2
记
(?x
1
)(?x
2
)?u??2?f(u)
，则
(?)?f()
，

x
1x
2
u2k2
k
2
k
2
即求使
f(u )?f()
对
u?(0,]
恒成立的
k
的范围．
…………10
分

4
4
由（
2
）知，要使
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
对任意
(x
1
,x
2
)?D
恒成立，必有
0?k ?1
，

x
1
x
2
2k
1?k
2
因此
1?k?0
，∴函数
f(u)?u??2
在
(0,1? k
2
]
上递减，在
[1?k
2
,??)
上递增，< br>………12
分

u
2
k
2
k
2k
2
要使函数
f(u)
在
(0,]
上恒有
f( u)?f()
，必有
?1?k
2
，即
k
4
?16k
2
?16?0
，

4
44
解得
0?k
2
?45?8
．
……………14
分

解法二（不等式证明的作差比较法）

11k2
2
(x
1
?x
2
)
2
(4?k
2
x
1
x
2
?4k
2
)
由
(2)< br>可知
(?x
1
)(?x
2
)?(?)?
，

2
x
1
x
2
2k
4kx
1
x2
22
要不等式恒成立，必须
4?kx
1
x
2
?4k?0
恒成立，
………10
分

4?4k
2
即
x
1
x
2
?
恒成立，
………11
分

k
2
k
2
k
2
4 ?4k
2
由
0?x
1
x
2
?
得，即
k
4
?16k
2
?16?0
，
……13
分

?
2
4
4k
解得
0?k2
?45?8
．

11k 2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
2
2< br>xx2k
0?k?45?8
．…14分
k
12
因此不等式恒成立的的范围是
(




【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选 八
x
2
y
2
6
36、已知椭圆C：
2
＋
2
＝1（a＞b＞ 0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A
，
3
ab
B两点 ，N为弦AB的中点。
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K
ON
；
（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角
?
（
?
∈R）使 等式：
OM
＝cos
?
OA
＋sin
?
OB
成
立。



37、已知曲线C上任意一点M到点F（0，1） 的距离比它到直线
l:y??2
的距离小1。
（1）求曲线C的方程；
（2）过点
P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP?
?
PB.

①当
?
?1时,求直线m
的方程；
②当△AOB的面积为
42
时（O为坐标原点），求
?
的值。




38、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，对一切正整数
n
，点
P
n
(n,S
n
)
都在函数
f(x)?x?2x
的图像上，且
过点
P
n
(n,S
n
)
的切线的斜率 为
k
n
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式．
2

（2）若
b
n
?2
k
n
a
n
，求数列{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
（3）设
Q?{xx?k
n
,n?N
?
},R?{x x?2a
n
,n?N
?
}
，等差数列
{c
n
}
的任一项
c
n
?Q?R
，其中
c
1
是
Q?R
中的最小数，
110?c
10
?115
，求
{c
n
}
的通项公式.







3
a?,a
2
?2
，且
S
n ?1
?3S
n
?2S
n?1
?1?0
，其中
n?2 ,n?N
*
. 39、已知
S
n
是数列
?
an
?
的前
n
项和，
1
2
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
；
S
n
?n
(2)(理科)计算
lim
的值. ( 文科) 求
S
n
.
n??
a
n






1
40、函数
f(x)
对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.
2
n?1
)(n?N)
的值；
n
12n?1
（2）数列
{a
n
}满足a
n
?f(0)?f()?f()???f ()?f(1),求数列{a
n
}
的通项公式。
nnn
（1）求
f()和f()?f(
（3）令
b
n
?
1< br>2
1
n
4
4a
n
?1
22
,Tn
?b
1
2
?b
2
?b
3
2
???b
n
,S
n
?32?
16
试比较T
n
与S
n
的大小。
n




2011年黄冈中学高考数学压轴题精选（八） 参考答案
a
2
?b2
2
c6
22
?
a?3b
36、解：(1）设椭圆的焦 距为2c,因为
?
，所以有，故有。从而椭圆C的方程
2
a3
3a
可化为：
x?3y?3b
①
………
2分
222

易知右焦点F的坐标为（
2b,0
），
据题意有AB所在的直线方程为：
y?x?
22
2b
②
………
3分
由①，②有：
4x?62bx?3b?0
③
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，弦AB的中点
N(x
0
,y
0
)< br>，由③及韦达定理有：
x
0
?
x
1
?x
2
32b2
?,y
0
?x
0
?2b??b.
244
所以
K
ON
?
y
0
1
??，即为所求。
………
5分
x
0
3
(2）显然
OA
与< br>OB
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
OM，
有且只有一对实数
?
,
?
，使得等式
OM?
?
OA?
?
OB
成立。设
M(x,y)
，由1）中各点的坐 标有：
(x,y)?
?
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)
，所以
x?
?x
1
?
?
x
2
,y?
?
y
1
?
?
y
2
。
………
7分
又点在椭圆C上，所以有
(
?
x
1< br>?
?
x
2
)
2
?3(
?
y
1
?
?
y
2
)
2
?3b
2
整理为
?
2
(x
1
2
?3y
1
2
)?< br>?
2
(x
2
2
?3y
2
2
)?2< br>??
(x
1
x
2
?3y
1
y
2)?3b
2
。 ④
32b3b
2
,x< br>1
?x
2
?
由③有：
x
1
?x
2< br>?
。所以
24
x
1
x
2
?3y
1
y
2
?x
1
x
2
?3(x
1
?2 b)(x
2
?2b)?4x
1
x
2
?32b(x
1
?x
2
)?6b
2
?3b?9b?6b?0
222
⑤
22
又A﹑B在椭圆上，故有
(x
1
?3y
1
)?3b,(x
2
?3y
2
)?3b
⑥
2222
将⑤，⑥代入④可得：
?
?
?
?1
。
………
11分
对于椭圆上的每一个点
M
，总存在一对实数，使等式
OM?
?
OA?
?
OB
成立，而
?
??
?1

在直角坐标系
x?o?y
中，取点P（
?,
?
），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为
?
，显然 < br>22
22
?
?cos
?
,
?
?sin
?
。
也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角
?
（
?∈R）使等式：
OM
＝cos
?
OA
＋sin
?
OB
成立。
37、（1）解法一：设
M(x,y),则由题设得|MF|?|y?2|?1
，
即
x
2
?(y?1)
2
?|y?2|?1

…………1分

当
y??2时,x
2
?(y?1)< br>2
?y?1,化简得x
2
?4y
；
当
y??2时,x
2
?(y?1)
2
??y?3,

化简得
x?8y?8与y??3
不合
故点M的轨迹C的方程是
x?4y

2
2
…………3分
…………4分
…………5分
（1）解法二：
?点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y??2
的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，
点M到F（1，0）的距离与它到直线
l
?
:y??1
的距离相等 …………3分
?点M的轨迹C是以F为焦点,l
?
为准线的抛物线

所以曲线C的方程为
x?4y

2
…………5分
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为
y?2?k(x?2),即y?kx?(2?2k)
，
代入
x?4y得x?4kx?8(k?1)?0
（☆）
22
…………6分
??16(k
2
?2k?2)?0对k?R恒成 立,所以,直线m
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为
A(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
则
x
1
?x
2
?4k,x
1
x
2
?8(k?1)

①由
AP?
?
PB,且
?
?1得点P是弦AB的中点
，
…………7分
?x
1
?x
2
?4,则4k?4,得k?1?直线m的方程是x?y?0
…………9分
②< br>?|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2
?(1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
x
1
]?4(1? k
2
)(k
2
?2k?2)

点O到直线m的距离
d?
|2?2k|
1?k
2
，
?S
?ABO
?
1
|AB|?d?4|k?1|k
2
?2 k?2?4(k?1)
4
?(k?1)
2
…………10分
2
?S
?ABO
?42,?4(k?1)
4
?(k?1)
2
?42
，
?(k?1)
4
?(k?1)
2
?2?0,(k ?1)
2
?1或(k?1)
2
??2
（舍去）
?k?0或k?2

当
k?0时,
方程（☆）的解为
?22

…………12分

若
x
1
?22,x
2
??22,则
?
?
2?22
?22?1
2?22
22?2
?3?22
若
x
1
??22,x
2
?22,则
?
??3?22
…………13分
当
k?2时,
方程（☆）的解为
4?22

若
x< br>1
?4?22,x
2
?4?22,则
?
?
?2?22
2?22
?2?22
2?22
?3?22

若
x< br>1
?4?22,x
2
?4?22,则
?
?
所以，
?
?3?22或
?
?3?22

?3?22
…………14分
2*
38、解：（1）
Q
点
P
n
(n,S
n
)
都在函数
f(x)?x?2x
的图像上，
?< br>S
n
?n?2n(n?N)
,
2
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?2n?1.

当ｎ＝1时，
a
1
?S
1
?3
满足上式，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?2n?1.
…….3分
（2）由
f(x)?x?2x
求导可得
f(x)?2x?2

2‘
Q
过点
P
n
(
n
,
S
n< br>)
的切线的斜率为
k
n
，
?k
n
?2n?2
.
?b
n
?2
k
n
a
n
＝4? (2n?1)?4
n
.
?T
n
?4?3?4
1
? 4?5?4
2
?4?7?4
3
????+4?（2n?1)?4
n< br>①
由①×4，得
4T
n
?4?3?4
2
?4?5 ?4
3
?4?7?4
4
????+4?（2n?1)?4
n?1②
①-②得：
23nn?1
?
?3T
n
?4?
3?4?2?4?4????+4-（2n?1)?4
??
??
2
??
4（1?4
n?1
）
?4
?
3?4?2 ?-（2n?1)?4
n?1
?

1?4
??
?T
n
?
6n?1
n?2
16
?4?
……………………………… ………………………………..7分
99
（3）
QQ?{xx?2n?2,n ?N
?
},R?{xx?4n?2,n?N
?
}
,
?Q?R ?R
.
又
Qc
n
?Q?R
，其中
c
1< br>是
Q?R
中的最小数，
?c
1
?6
.
Q< br>?
c
n
?
是公差是4的倍数，
?c
10
?4 m?6(m?N
*
)
.

又
Q110?c
1 0
?115
，
?
?
所以
c
10
?114< br>，
?
110?4m?6?115
?
m?N
*
,解得ｍ＝27.
设等差数列的公差为
d
，则
d＝
c
10
?c
1
114?6
＝＝12，

10?19
?c
n
? 6?(n?1)?12?12n?6
，所以
?
c
n
?
的通项 公式为
c
n
?12n?6
…………12分
39、解：①
Q
S
n?1
?3S
n
?2S
n?1
?1?0
?
S
n?1
?S
n
?2(S
n
?S
n?1
)?1


?
a
n?1
?2a
n
?1(n?2)
---------2分
又
a
1
?,a
2
?2
也满足上式，
?
a
n?1
?2a
n
?1(n?N
*
)
?
a
n?1
?1?2(a
n
?1)
（< br>n?N
*
）
?
数列
?
a
n
?1< br>?
是公比为2，首项为
a
1
?1?
3
2
1< br>的等比数列 ----------- 4分
2
1
a< br>n
?1??2
n?1
?2
n?2
-------------- 6分
2
②
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n
?
?
2
?1
?1
?
?
?
2
0
?1
?
?
?< br>2
1
?1
?
?...?
?
2
n?2
?1
?

②
S
n
?a
1
?a
2< br>?...?a
n


?2
?1
?1?2
0< br>?1?2
1
?1?...?2
n?2
?1


?2?2?2?...2
???
0
?????
?
?11n?22
n
?1
?
?n

?
2
?n
-------------（9分）
1
S?n
2?1
2
n
?2
---------------（12分） 于是
lim
n
?lim
n?1
?lim
x??x??
2a
n
?2
x??
1
?
2
22
n
n
1?
40、解：（1）令
x?111
的f()?

224
11111n?1
令
x?得 f()?f(1?)??f()?f()

nnn2nn
1n?1
（2）a
n
?f(0)?f()???f()?f(1)

nn
n?1 1
又
a
n
?f(1)?f()???f()?f(0)
，两式相加
nn
1n?1
2a
n
?[f(0)?f(1)]?[f()?f() ]???[f(1)?f(0)]

nn
n?1

?
2
n?1
a
n
?(n?N*)

41
a
n?1
?a
n
?,故数列{a
n
}
是等差数列
4
（3）
b
n
?
4
4a
n
?1
?
4

n

22
T
n< br>?b
1
2
?b
2
???b
n
?16(1?< br>111
111
?16[1?????)

????
222
1?22?3n(n?1)
23n

11111
?16[1?(1?)?(?)???(?)]

223n?1n
1
?16(2?)

n
16
?32??S
n

n
T
n
?S
n







【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选（九）
2
41．已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
? 2a?1
（a是常数，且
a??1
），
a
n
?2a
n?1
?n?4n?2
（
n?2
），数列
?
b
n< br>?
2
的首项
b
1
?a
，
b
n
?a
n
?n
（
n?2
）。
（1）证明：
?< br>b
n
?
从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设
S< br>n
为数列
?
b
n
?
的前n项和，且
?
S
n
?
是等比数列，求实数a的值；
（3）当a>0时，求数列
?
a
n
?
的最小项。



42．已知抛物线C：
y?2px(p?0)
上任意一点到焦点 F的距离比到y轴的距离大1。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物 线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学 问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称
为原来问题的一个“ 逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥 < br>的体积”．求出体积
16
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4， 体积为
16
，求侧棱长”；
33
3
2
也可以是“若正四棱锥 的体积为
16
，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点
A(?
p
,0)
的直线交抛物线C：
y
2
?2px(p? 0)
于P、Q两点，设点P关于x轴的对
2
称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f(x)=
5?2x
，设正项数列
?
a< br>n
?
满足
a
1
=l，
a
n?1
?f
?
a
n
?
．
16?8x
(I)写出
a
2
，
a
3
的值;
(Ⅱ)试比较
a
n
与
5
的大小，并说明理由；
4
n
51
n
(Ⅲ)设数列
?
b
n
?
满足
b
n
=－
a
n
，记S
n
=
?
b
i
．证明：当n≥2时,S
n
＜(2－1)．
44
i?1





3
44．已知函数f(x)=x－3ax(a∈R)．
(I)当a=l时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值
范围；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．





45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A
n
}，{B
n
}，{C
n
}，其中
A
n< br>(n,a
n
),B
n
(n,b
n
)


C
n
(n?1,0)
，满足向量
A
nA
n?1
与向量
B
n
C
n
共线，且点（B，n ）在方向向量为（1，6）的
线上
a
1
?a,b
1
??a.

（1）试用
a
与n表示
a
n
(n?2)
；
（2）若
a
6
与
a
7
两项中至少有一项是
a
n
的最小值，试求
a
的取值范围。




2011年黄冈中学高考数学压轴题精选（九） 参考答案
2
41.解：（1）∵
b
n
?a
n
?n

222
∴
b
n?1
?a
n?1
?(n?1)?2a
n
?(n?1)?4(n?1)?2?(n?1)

2

?2a
n
?2n?2b
n
(n≥2) …………3分

由
a
1
?2a?1
得
a
2
?4a
，
b
2
?a
2
?4?4a?4
，
∵
a??1
，∴
b
2
?0
，…………4分
即
{b
n
}
从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分 < br>(4a?4)(2
n?1
?1)
??3a?4?(2a?2)2
n …………8分 （2）
S
n
?a?
2?1
S
n
(2a?2)2
n
?3a?43a?4
当n≥2时，
??2?
n ?1n?1
S
n?1
(2a?2)2?3a?4(a?1)2?3a?4
∵< br>{S
n
}
是等比数列, ∴
S
n
(n≥2)是常数，
S
n?1
∴3a+4=0，即
a??
4
。…………11分
3
n?2n
（3）由（1）知当
n?2
时，
b
n< br>?(4a?4)2?(a?1)2
，
?
2a?1(n?1)
所以a
n
?
?
，…………13分
n2
(a?1)2?n( n?2)
?
所以数列
?
a
n
?
为2a+1，4a， 8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。…………15分
当
a?(0,)
时，最小项为8a-1；
1
4
1
时，最小项为4a或8a-1；………16分
4
11
当
a?(,)
时，最小项为4a；
42
1
当
a?
时，最小项为4a或2a+1；…………17分
2
1
当
a?(,??)
时，最小项为2a+1。…………18分
2
当
a?

42. 解：（1）
y?4x
…………4分
2
t
2
2
（2）设
N(,?t)
（ t>0），则
M(t,2t)
，F(1,0)。
4
因为M、F、N共线，则 有
k
FM
?k
NF
，…………6分
所以
?t1
2
t?1
4
?
2t
，解得
t?2
， …………8分
2
t?1
所以
k?
22
?22
，…………10分
2?1

因而，直线MN的方程是
y?22(x?1)
。……… …11分
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：
y?2px(p?0)
的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x
轴的对称点为R，则直线RQ必过 定点
A(?
证明：设过F的直线为y=k(x
?
2
p
,0)
。…………13分
2
p
)，
P(x
1
,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2
)
，则
R(x
1
,?y
1
)

2
?
y
2
?4x
p
2
1
22
?
222
由
?
，…………14分
p
得
kx?(pk?4)x?pk?0
，所以< br>x
1
x
2
?
4
4
?
y?k(x?)
?2
p
k(x
1
?)
?y
1
2
， …………15分
k
RA
???
pp
x
1
?x1
?
22
ppp
k(x
2
?)k(x
1
x
2
?x
1
)k(x
1
?)
2
?
22
=
k
，…………16分
k
QA
???
RA
ppp
x
2
?x
1
x
2
?x
1< br>x
1
?
222
所以直线RQ必过焦点A。…………17分
[注：完成此解答最高得6分。]
②过点
A(?
p
,0)
的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。
2
[注：完成此解答最高得6分。]
③已知抛物线C：
y?2px(p?0)
，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛 物线C于P、Q两点，设点P关于
x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。
[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。]
x
2
y
2
“逆向问题”二：已知椭圆C：
2
?
2
?1
的焦点为F
1
(-c,0)，F
2
(c,0)，过F
2
的直线交椭圆C于P、Q两 点，
ab
2
a
2
设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
A(,0)
。
c
[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]
22
“逆向问题”三：已知双曲线C：
x
?
y
?1
的焦点 为F
1
(-c,0)，F
2
(c,0)，过F
2
的直线交双 曲线C于P、Q两
22
ab
a
2
点，设点P关于x轴的对称点为R， 则直线RQ必过定点
A(,0)
。
c
[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]
其它解答参照给分。
5?2a
n
73
43．(1)
a
n?1
?
，因为< br>a
1
?1,
所以
a
2
?,a
3
?.
……………………………… 2分
16?8a
n
84
（2）因为< br>a
n
?0,a
n?1
?0,
所以
16?8a
n
?0,0?a
n
?2.
…………………………………3分
55< br>48(a
n
?)a
n
?
5
5?2a
n
5
4
?
3
?
4
,……………………………………………5 分
a
n?1
????
416?8a
n
432(2?an
)22?a
n