高考数学真题压轴题汇编

（2）当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y?kx?m,

x
2
y
2
??1
，得 由题意知m
?0
， 将其代入
32
(2?3k
2
)x
2
?6kmx?3(m2
?2)?0
，
其中
??36km?12(2?3k)(m?2)?0,

即
3k?2?m

22
2222
…………（*）
6km3(m
2
?2)
,x
1
x
2
?,
又
x
1
?x
2
??
22
2?3k2?3k
263k
2
?2?m
2
,
所以
|PQ|?1?k?(x< br>1
?x
2
)?4x
1
x
2
?1?k?
2
2?3k
222
因为点O到直线
l
的距离为
d?
|m|
1?k,
2

所以
S
?OPQ
?
1
|PQ|?d

2
22
1|m|
2
263k?2?m

?1?k? ?
2
22?3k
2
1?k
6|m|3k
2
?2?m
2
?

2?3k
2
又
S
?OPQ
?
2
6
,

2
2
整理得
3k?2?2m,
且符合（*）式，
6km
2
3(m
2
?2)
)?2??3,
此时< br>x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2?(?
2?3k
2
2?3k
2
2
1
2
2
2
222
222
y
1
2
?y
2
?(3?x
1
2
)?(3?x
2
)?4?(x
1
2
?x
2
)?2.

333
2222
综上所述，x
1
?x
2
?3;y
1
?y
2
?2,
结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线
l
的斜率存在时，
由（I）知
|OM|?|x
1|?
6
,|PQ|?2|y
1
|?2,

2

因此
|OM|?|PQ|?
6
?2?6.

2
（2）当直线
l
的斜率存在时，由（I）知
x
1
?x
2
3k
?,

22m
y
1
?y
2
x
1
?x
2
3k
2?3k
2
?2m
2
?
?k()?m???m??,
22 2m2mm
x
1
?x
2
2
y
1
?y
2
2
9k
2
16m
2
?211
2
|OM |?()?()????(3?),

2222
224mm4m2m
222(2m
2
?1)1
22
24(3k?2?m)
|PQ|?(1 ?k)??2(2?),
(2?3k
2
)
2
m
2
m
2
所以
|OM|?|PQ|?
22
111
?(3?
2
)?2?(2?
2
)

2
mm
11
)(2?)
22
mm


11
3?
2
?2?
2
mm
)
2
?
25
.?(
24
?(3?
511
，当且仅当3?
2
?2?
2
,即m??2
时，等号成立.
2mm
5
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
.

2
所以
|OM|?|PQ|?
解法二：
222222
因为
4|OM|?|PQ|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)


22
?2[(x
1
2
?x
2
)?(y
1
2
?y
2
)]
?10.

4|OM|
2
?|PQ|
2
10
??5.
所以< br>2|OM|?|PQ|?
25
5
,
当且仅当
2|OM|?|P Q|?5
时等号成立。
2
5
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
.

2
即
|OM|?|PQ|?
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G ，使得
S
?ODE
?S
?ODG
?S
?OEG
?< br>6
.

2
6
，
2
证明：假设存在
D(u,v),E(x
1
,y
1
),G(x
2
,y
2
)满足S
?ODE
?S
?ODG
?S
?OEG
?

由（I）得
2222
u
2
?x
1
2
?3,u
2
?x
2
?3,x
1
2
?x< br>2
?3;v
2
?y
1
2
?2,v
2
?y
2
?2,y
1
2
?y
2
?2,
322
解得u
2
?x
1
2
?x
2
?;v
2
?y
1
2
?y
2
?1.
2
5< br>因此u,x
1
,x
2
只能从?中选取,v,y
1
,y
2
只能从?1中选取,
2
只能在
(?
因此D，E，G
6
,?1)
这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与
2
6
矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
2
S
? ODE
?S
?ODG
?S
?OEG
?




（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x< br>2
=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于
第一象限内的任意一点，过M，F， O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离
为
3
。
4
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于 点M？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为
2
，直线l：y=kx+
1
与抛物线C有两个不同的交点A，B，l
4
的最小值。 与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
22(本小题满分13分)
已知函数f(x) =
1
≤k≤2时，
2
lnx?k
（k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点
x
e
（1，f(1)）处的切线与x轴平行。
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
g(x)?1?e
。 （Ⅲ）设g(x)=(x
2
+x)
f'(x)
,其中
f'(x)< br>为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，
（21）（本小题满分13分）
?2x
p
解析：（Ⅰ）F抛物线C：x
2
=2py（p＞0）的焦点F
(0,
)
，设M
(x
0
,
0
)(x
0< br>?0)
，
Q(a,b)
，
2
2p
由题意可知
b?
2
pppp3
3
，则点Q到抛物线C的准线的距离为
b???? p?
，解得
4
4
2424

p?1
，于是抛物 线C的方程为
x
2
?2y
.
（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，
x
1
1
而
F(0,),O(0,0),M(x
0
,
0
)
，
Q(a,)
，
MQ?OQ?QF
，
22
4
xx
3
11
(x
0
?a)?(
0
?)
2
?a< br>2
?
，
a?
0
?x
0
，
882416
2
2
3
2
1
x
0
?
2
42
，则
1
x
4
?
3
x
2?
1
?
1
x
2
， 由
x?2y
可得< br>y
?
?x
，
k?x
0
?
3
000< br>8842
x
0
3
?x
0
88
即
x< br>0
?x
0
?2?0
，解得
x
0
?1
，点M的坐标为
(1,)
.
（Ⅲ）若点M的横坐标为
2
，则点M< br>(2,1)
，
Q(?
42
2
1
2
21
,)
。
84
?
x
2
?2y
1
?
2
由
?
1
可得
x?2kx??0
，设
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
y?kx?
2
?
4
?
AB?(1?k
2
) [(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
?(1?k
2
)(4k
2
?2)

k ?
?2
8
2
2
圆
Q:(x?
2
2
1213
)?(y?)
2
???
，
D?
82641632< br>1?k
?
2k
81?k
2

3k
2
3?2k
2
，
DE?4[?]?
2232
32(1?k)8(1?k)
2
5
3?2k
2
2< br>于是
AB?DE?(1?k)(4k?2)?
，令
1?k?t?[,5]

4
8(1?k
2
)
22
22
3?2k
2
2t?111
2
AB?DE?(1?k)(4k?2)??t(4t?2)??4t ?2t??
，
2
8t8t4
8(1?k)
22
22
111
?
，
g
?
(t)?8t?2?
2
， 8t4
8t
51
当
t?[,5]
时，
g
?(t)?8t?2?
2
?0
，
4
8t
设
g( t)?4t?2t?
2

51
255111
,k?
时< br>g(t)
min
?4??2????4
.
5
4
42
16410
8?
4
1
1
22
故当
k?时，
(AB?DE)
min
?4
.
2
10
即当
t?



22(本小题满分13分)
1
?k?lnx
lnx?k1?k
x
??
解析：由f(x) = 可得，而，即解得
k?1
；
?0
，
f(x)?f(1)?0< br>x
x
e
e
e
1
?1?lnx
（Ⅱ）
f
?
(x)?
x
，令
f
?
(x)?0
可得
x?1
，
x
e
11
当
0?x?1
时，< br>f
?
(x)??1?lnx?0
；当
x?1
时，
f< br>?
(x)??1?lnx?0
。
xx
于是
f(x)
在区间
(0,1)
内为增函数；在
(1,??)
内为减函数。
1< br>?1?lnx
1?x
2
?(x
2
?x)lnx
2x
简证（Ⅲ）
g(x)?(x?x)
，
?
e
x
e
x
当
x?1
时，
1? x?0,lnx?0,x?x?0,e?0
，
g(x)?0?1?e
22x?2
.
1
?1?lnx
1?x
2
?(x
2
?x)l nx
2
x
当
0?x?1
时，要证
g(x)?(x?x)?? 1?e
?2
。
xx
ee
只需证
1?x?(x?x)lnx ?e(1?e)
，然后构造函数即可证明。




21、（本小题满分13分）
设函数
f(x)?
22 x?2
x
?c
（
e?2.71828…
是自然对数的底数，
c?R
）
e
2x
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数。

22、（本小题满分13分）
3
x
2
y
2
椭圆< br>C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别是
F
1
,F
2
，离心率为，过
F
1
且垂直
2
ab

于
x
轴的直线被椭圆
C
截得的线段长为 1.
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）点
P
是椭圆
C
上除长轴端点外的任一点，连接
PF
1
,PF
2
。设< br>?F
1
PF
2
的角平分线
PM
交
C
的长轴于点
M(m,0)
，求
m
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条 件下，过点
P
作斜率为
k
的直线
l
，使得
l
与椭圆
C
有且只有一个公共
点。设直线
PF
1
,PF2
的斜率分别为
k
1
,k
2
，若
k?0
，试证明
个定值.
21、解：（Ⅰ）
f'(x)?(1?2x)e
由
f'(x)?0
，解得
x?
当
x?
?2x
11< br>?
为定值，并求出这
kk
1
kk
2
，
1
，
2
1
时，
f'(x)?0
，
f(x)
单调递增；
2
1
当
x?
时，
f'(x)?0
，
f(x)
单调递减.
2
11
所以，函数
f(x)
的单调递增区间是
(??,)
，单调递减区间是
(,??)
，
22
11
?1
最大值为
f()?e?c
.
22< br>（Ⅱ）令
g(x)?lnx?f(x)?lnx?xe
?2x
?c,x?(0, ??)
.
?2x
（1） 当
x?(1,??)
时，
lnx?0
，则
g(x)?lnx?xe
?2x
?c
，
所以
g'(x)?e
e
2x
(?2x?1)
.
x
e
2x
?0
， 因为
2x?1?0,
x
所以
g'(x)?0

因此
g(x)
在
(1,??)
上单调递增.
（2）当
x?(0,1)
时，
lnx?0
，则
g(x)??lnx?xe< br>?2x
?2x
?c
，
所以
g'(x)?e
2x2
e
2x
(??2x?1)
.
x
2x
因为
e?(1,e),e?1?x?0
，

e
2x
??1
.
所以
?
x
又
2x?1?1
，
e
2x
?2x?1?0
，即
g'(x)?0
， 所以
?
x
因此
g(x)
在
(0,1)
上单调递减.
综合（1）（2）可知 当
x?(0,??)
时，
g(x)?g(1)??e
当
g(1)??e
?2
?2
?c
.
?c?0
，即
c??e
?2
时，
g(x)
没有零点，
故关于
x
的方程
lnx?f(x)
的根的个数为0；
当< br>g(1)??e
?2
?c?0
，即
c??e
?2
时，
g(x)
只有一个零点，
故关于
x
的方程
lnx?f(x)
的根的个数为1；
当< br>g(1)??e
?2
?c?0
，即
c??e
?2
时，
① 当
x?(1,??)
时，由（Ⅰ）知

g(x)?lnx? xe
?2x
1
?c?lnx?(e
?1
?c)?lnx?1?c，
2
1?c
要使
g(x)?0
，只需使
lnx?1?c?0
，即
x?(e
② 当
x?(0,1)
时，由（Ⅰ）知
,??)
；
1
g(x)??lnx?xe
?2x
?c?? lnx?(e
?1
?c)??lnx?1?c
，
2
要使
g(x)?0
，只需使
?lnx?1?c?0
，即
x?(0,e
所以
c?e
时，
g(x)
有两个零点，
故关于
x
的方程
lnx?f(x)
的根的个数为2.
综上所述，
当
c??e
时，关于
x
的方程
lnx ?f(x)
的根的个数为0；
当
c??e
时，关于
x
的方 程
lnx?f(x)
的根的个数为1；
当
c??e
时，关于
x
的方程
lnx?f(x)
的根的个数为2.
?2
?2
?2
?2
?1?c
)
；

x
2
y
2
b
2
22、解（Ⅰ）:由于
c?a?b
，将
x??c
代入椭圆方程
2?
2
?1
，得
y??
，
aba
222
2b
2
?1
，即
a?2b
2
.
由题意知
a
又
e?
c3
?
，所以
a?2,b?1
.
a2
x
2
?y
2
?1

所以 椭圆
C
的方程为
4
（Ⅱ）解法一：
设
P(x
0
,y
0
)(y
0?0)
.
又
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，
所以直线
PF
1
,PF
2
的方程分别为:
lPF
1
:y
0
x?(x
0
?3)y?3y
0< br>?0,
l
PF
2
:y
0
x?(x
0
?3)y?3y
0
?0.
由题意知

my
0
?3y
0
y
0
?(x
0
?3)
22
?my
0
?3y
0
y
0
?(x
0
?3)
22
，
由于点
P
在椭圆上，
x
0
2< br>?y
0
2
?1
所以
4

所以
m?3
(
3
x
0
?2)
2
2
?
(
m?3
3
x
0
?2)
2
2

因为
?3?m?3,?2?x
0
?2
，
可得
m?33?m
.
?
33
x
0
?22 ?x
0
22
3
x
0
.
4
所以
m?
因此
?
33
?m?
.
22

解法二：
设
P(x
0
,y
0
)
，
当
0?x
0
?2
时，
① 当
x
0
?3
时，直线
PF
2
的斜率不存在，易知
P(3,)
或< br>1
2
1
P(3,?)
.
2
1
若
P (3,)
，则直线
PF
1
的方程为
x?43y?3?0
.
2
由题意得
m?3
7
?3?m
，
3
， 因为
?3?m?
所以
m?
33
.
4
若
P(3,?)
,同理可得
m?
② 当
x
0
?3
时，
1
2
33
.
4
设直线
PF
1
,PF
2
的方程分别为
y?k
1
(x?3),y?k
2
(x?3)
，
由题意知
mk
1
?3k
1
1?k
2
2
1
?
mk
2
?3k
2
1?k
2
2
，
1
2
(m?3)
k
1
所以 ，
?
2
1
(m?3)
1?
k
2
2
1?x
0
2
?y
0
2
?1
因为
4
并且
k
1
?
所以
y
0
y< br>0
,k
2
?
，
x
0
?3x
0?3
(m?3)
2
4(x
0
?3)
2
?4?x
0
2
3x
0
2
?83x
0
?16(3x< br>0
?4)
2
???
2
2222
(m?3)4(x0
?3)?4?x
0
3x
0
?83x
0
?16
(3x
0
?4)

，
即
m?3
?
m?3
3x
0
?4
.
3x
0
?4
因为
?3?m?3,0?x
0
?2且x
0
?3

所以
3+m
4+3x
0
.
=
3-m4?3x
0
3x
0
，
4
333
且m?
.
24
整理得
m?
故
0?m?
综合①②可得
0?m?
3
.
2
3
?m?0
.
2
33
综上所述，
m
的取值范围是
(?,)
.
22
当
-2?x
0
?0
时，同理可得
?
（Ⅲ）设
P(x
0
,y
0
)(y
0
?0)
，则直线
l
的方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，
?
x
2
2
?
+y=1
联立
?
4

?
y?y?k(x?x)
00
?
整理得
(1?4k
2
)x
2
?8(ky
0
?k
2
x
0
)x?4(y
0
2
?2kx
0
y
0< br>?k
2
x
0
2
?1)?0

由题意
??0
，
222
即
(4?x
0
)k?2x
0
y
0
k?1?y
0
?0

x
0
2
?y
0
2
?1

又
4
222
所以
16y
0
k?8x< br>0
y
0
k?x
0
?0

故
k?
x
0
，
4y
0
由（Ⅱ）知
11
x
0
?3x
0
?32x
0
，
????
k
1
k
2
y
0
y
0
y
0

所以
4y2x
11111
??(? )?(?
0
)
0
??8
，
kk
1
kk< br>2
kk
1
k
2
x
0
y
0
1 1
为定值，这个定值为
?8
.
?
kk
1
kk
2
因此