【压轴题】高一数学上期末试题及答案

【压轴题】高一数学上期末试题及答案

一、选择题
1
． 已知
f(x)
在
R
上是奇函数，且
f(x?4)?f(x),当x? (0,2)时，f(x)?2x
2
,则f(7)?

A
．
-2
A
．
a?c?b

B
．
2
B
．
b?c?a

C
．
-98
C
．
c?a?b

D
．
98

D
．
c?b?a

2 ．已知
a=2
1.3
，
b=4
0.7
，
c=log
3
8
，则
a
，
b
，
c
的大小关系 为（

）

3．已知
a?log
2
e
，
b?ln2
，
c?log
1
2
1
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为

3
C
．
c?b?a
D
．
c?a?b

A
．
a?b?c
B
．
b?a?c

4． 已知奇函数
y?f(x)
的图像关于点
(
则当
x?(
?,0)
对称，当
x?[0,)
时，
f(x)?1?cosx
，< br>22
?
5
?
,3
?
]
时，
f(x)
的解析式为（ ）

2
A
．
f(x)??1?sinx
B
．
f(x)?1?sinx
C
．
f(x)??1?cosx
D
．
f(x)?1?cosx

5．设
a?log
6
3
，
b?lg5
，
c?log
14
7
，则
a,b,c
的大小关系是（ ）

A
．
a?b?c

A．
B
．
a?b?c
C
．
b?a?c

C．
D
．
c?a?b

D．
6
．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）

B．

7．若
x
0
＝
cosx
0
，则（

）

A
．
x
0
∈（
?
?
?
??
??
，）
B
．
x
0
∈（，）
C
．
x
0
∈（，）
D
．
x
0
∈（
0
，）

3243646< br>且与二次函数在同一坐标系内的图象8．对数函数
可能是
(

)

A
．
B
．
C
．
D
．

9．设函数
f
?
x
?
是定义为R的 偶函数，且
f
?
x
?
对任意的
x?R
，都有
1
?
f
?
x?2
?
?f
?
x?2
?
且当
x?
?
?2,0
?
时，

f?
x
?
?
?
??
?1
，若在区间
?< br>?2,6
?
内关于
x
?
2
?
的方程
f
?
x
?
?log
a
?
x?2
?
?0(a?1
恰好有3个不同的实数根，则
a
的取值范围是
（ ）

A
．
?
1,2
?
B
．
?
2,??
?

3
C
．
1,4

x
??
D
．
?
3
4,2

?10．函数
f
?
x
?
是周期为4的偶函数,当
x?0, 2
时，
f
?
x
?
?x?1
,则不等式
xf
?
x
?
?0
在
?
?1,3
?
上的 解集是 ( )

??

A
．
?
1,3
?
B
．
?
?1,1
?
C
．
?
?1,0
?
U
?
1,3
?
D
．
?
?1,0
?
U
?
0,1
?

11．若不等式
x
2
?ax?1?0
对于一切
x?
?
0,
A
．
a?0

12．函数
f
?x
?
?
B
．
a??2

?
?
1
?
?
恒成立，则
a
的取值范围为( )

2
?
C
．
a??
5

2
D
．
a??3

1
2
x?2ln
?
x?1
?
的图象大致是( )

2
B
．
A
．

C
．
D
．

二、填空题

?
x ?1
?
13．已知函数
f
?
x
?
满足
2f
??
?
x
??
?
x?1
?
f
??
?1?x
，其中
x?R
且
x?0
，则函数
f
?
x
?
x
??
的解析式为
__________

22m
14．如果函数
y?m?9m?19x
??
2
?7m ?9
是幂函数，且图像不经过原点，则实数
m?
___________
.< br>
15．
a?1.1
0.1
，
b?log
1
2
2
，
c?ln2
，则
a
，
b
，
c
从小到大的关系是
________
.

2
）满足函数关 系
的保鲜时间
16
．某食品的保鲜时间
y
（单位：小时）与储存温度
x
（单位：
（
设计
192
小时，在
22
1 7．函数
y?
为自然对数的底数，
k
、
b
为常数）．若该食 品在
0
的保鲜时间是
48
小时，则该食品在
33
的保鲜时间 是

小时
.

x
?sinx?2
的最大值和最小值之和为
______

x
2
?1
?
(a?2)x,x?2
?
x
18．已知 函数
f(x)?
?
?
1
?
，满足对任意的实数
x< br>1
?x
2
，都有
?
??
?1,x?2
??
2
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
成立，则实数
a
的取值范围为
__________
．
< br>x
1
?x
2
?
sin
?
x
(x?0 )
1111
f(x)?
19．已知则
f(?)?f()
为
_ ____

?
66
?
f(x?1)
(x?0)
20 ．已知二次函数
f
?
x
?
，对任意的
x?R
，恒有
f
?
x?2
?
?f
?
x
?
??4 x?4
成立，且

f
?
0
?
?0
.< br>设函数
g
?
x
?
?f
?
x
?
?m
?
m?R
?
.
若函数
g
?
x
?
的零点都是函数
h
?
x
?
?f
?
f< br>?
x
?
?
?m
的零点，则
h
?
x< br>?
的最大零点为
________
.

三、解答题
3
x
?1
.

21．已知函数
f(x)?
x
3?1
（
1
）证明：
f(x)
为奇函数；

（
2
）判断
f(x)
的单调性，并加以证明；

（
3
）求
f(x)
的值域
.

22．已知 函数
f(x)?log
2
(3?x)?log
2
(x?1)
.

（
1
）求该函数的定义域；

（
2
） 若函数
y?f(x)?m
仅存在两个零点
x
1
,x
2
，试比较
x
1
?x
2
与
m
的大小关系
.

23．已知定义在
?
0,?
?
?
上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
，
f
?
2020
?
?1
，且
当
x?1
时，
f< br>?
x
?
?0
.

（
1
）求
f
?
1
?
；

（
2
）求证：
f
?
x
?
在定义域内单调递增
;

（
3
）求解不等式
f
?
x
2
?2019x?
?
1
.

2
3
x
?1< br>24．已知函数
f(x)?
是定义域为
R
的奇函数
.

x
m?3?1
（
1
）求证：函数
f(x)
在
R
上是增函数；

（
2
）不等式
fcosx?asinx ?3?
25．已知幂函数
f
?
x
?
?x
m
2
?
2
?
1
对任意的
x?R
恒成立，求实数
a
的取值范围
.

2
?2m?3
?
m?Z
?
为偶函数，且在区间
?
0,?
?
?
上单调递减
.

b
（
1
）求函数
f
?
x
?< br>的解析式；

（
2
）讨论
F
?
x
?
?af
?
x
?
?
xf
?
x
?的奇偶性
.
?
a,b?R
?
（直接给出结论，不需证明）

26．已知函数
f
?
x
?
?log
a
?
1?x
?
?log
a
?
x?3
??
0? a?1
?
.

（
1
）求函数
f
?
x
?
的定义域
;

（
2
）求函数
f
?
x
?
的零点
;

（
3
）若函数
f
?
x
?
的最小值为
?4
,
求
a
的值．


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一、选择题

1．A
解析：
A

【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504× 4＋3)＝f(3)＝
f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1
2
＝－2，即f(2 019)＝－2.

故选
A

2．C
解析：
C

【解析】

【分析】

利用指数函数
y?2
与对数函数
y?log
3
x
的 性质即可比较
a
，
b
，
c
的大小．

【详解】

x
Qc?log
3
8?2?a?2
1. 3
?b?4
0.7
?2
1.4
，

?c?a?b
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．D
解析：
D

【解析】

分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果
.

详解：由题意结合对数函数的性质可知：

a?log
2
e?1，
b?ln2?
据此可得：
c?a?b
.

本题选择
D
选项
.

11
?
?
0 ,1
?
，
c?log
1
?log
2
3?log2
e
，

log
2
e3
2
点睛：对于 指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因
幂的底数或指数不相同，不 能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方
法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不 同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根
据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数 幂的大小的比较，利用图象法
求解，既快捷，又准确．

4．C
解析：
C

【解析】

【分析】

当
x?
?
?
5
?
??
?
?
,3
?
?
时，
3
?
?x?
?
0,
?
,结合奇偶性与对称性即可得到结果.

?
2
??
2
?
【详解】

因为奇函数y?f
?
x
?
的图像关于点
?
且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，所以
f
当
x?
?
?
?
?
,0
?
对称，所以
f
?
?
?x
?
?f
?
?x
?
?0
，

2
??
?
?
?x
?
?f?
x
?
，故
f
?
x
?
是以
?
为周期的函数.

?
5
?
??
?
?
,3
?
?
时，
3
?
?x?
?
0,
?
，故
f
?
3
?
?x
?
?1?cos< br>?
3
?
?x
?
?1?cosx

?
2
??
2
?
因为
f
?
x
?
是周期 为
?
的奇函数，所以
f
?
3
?
?x
??f
?
?x
?
??f
?
x
?

故
?f
?
x
?
?1?cosx
，即
f
?
x
?
??1?cosx
，
x?
?
故选C

【点睛】

本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性， 属于中档题
.

?
5
?
?
,3
?
?

?
2
?
5．A
解析：
A

【解析】

【分析】

构造函数
f
?
x< br>?
?log
x
【详解】

构造函数
f
?x
?
?log
x
x
，利用单调性比较大小即可
.

2
x1
?1?log
x
2?1?
，则
f
?
x
?
在
?
1,??
?
上是增函数，

2log
2
x
又
a?f
?
6
?
，
b?f
?
10
?
，
c?f
?
14
?
，故
a?b?c
.

故选A

【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题
.

6．A
解析：
A

【解析】

由选项可知，项均 不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，
即项的函数不存在零点，故选A.

考点：
1.
函数的奇偶性；
2.
函数零点的概念
.

7
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出
y?x,y?cosx
的图像判断出 两个函数图像只有一个交点，构造函数
f
?
x
?
?x?cosx，利用零点存在性定理，判断出
f
?
x
?
零点
x
0
所在的区间

【详解】

画出
y?x,y?cosx< br>的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函
数
f
?x
?
?x?cosx
，
f
?
3
?
?< br>?
?
???0.523?0.866??0.343?0
，
?
662
??
2
?
?
?
?
f
??
? ??0.785?0.707?0.078?0
，根据零点存在性定理可知，
f
?x
?
的唯一
?
4
?
42
零点
x
0
在区间
?
故选：
C

?
??
?
,
?
.

64
??

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零 点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数
形结合的数学思想方法，属于中档题
.
8
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除 法，即可求
解，得到答案
.

【详解】

由题意，若
又由函数
，则在上单调递减，

在轴左侧，排除C，D.

开口向下，其图象的对称轴

若函数
，则在上是增函数，

在轴右侧，

图象开口向上，且对称轴
因此B项不正确，只有选项A满足.

【点睛】

本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函 数和对数的函
数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能< br>力，属于基础题
.

9
．
D
解析：
D

【解析】

∵对于任意的
x
∈
R,
都有
f(x?2)=f(2+x),
∴函数
f(x)
是 一个周期函数，且
T=4.

x
?
1
?
?1,且函数
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，
又∵当
x∈
[?2,0]
时
,f(x)=


??
?< br>2
?
若在区间
(?2,6]
内关于
x
的方程
f
?
x
?
?log
a
?
x?2
?
?0
恰有
3
个不同的实数解，

则函数
y=f(x)
与
y=
log
a
?
x?2
?
在区间
(? 2,6]
上有三个不同的交点，如下图所示：


又
f(?2)=f(2)=3
，

则对于函数
y=
log
a
?
x?2
?
，由题意可得，当
x=2
时的 函数值小于
3
，当
x=6
时的函数值大
于
3
，
即
log
a
<3,
且
log
a
>3 ,
由此解得：
3
4
，

故答案为
(
3
4
,2).

点睛：方程根的问题转 化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制
关键点处的大小很容易得解

4
8
10．C
解析：
C

【解析】
< br>0]
，则
?x?[0，，2]
此时
（f?x）??x?1，Q（fx）
若
x?[?2，
是偶函

f?x）??x?1?（fx），fx ）??x?1，x?[?2，，0]
若
x?[2，4]
，则数，
?（
即
（
x?4?[?2，，0]
∵函数的周期是4，
?（fx）?（fx?4）??（x?4）?1?3?x，


?
?x?1，?2?x?0
?
fx）?
?
x?1，0?x? 2
，作出函数
（fx），3]
上图象如图，

即
（在
[?1
?
3?x，2?x?4
?
（x）＞0
等价为
（fx）＞0
，此时
1＜x＜3，
若
0＜x?3
，则不等式
xf


fx）＜0
，此时
?1
（x）＞0
等价为
（
若
?1≤x≤0
，则不等式
xf
＜x＜0
，

3]
上的解集为
（x）＞0
在
[?1，
综上不等式
xf
（，13）（??10，）.

故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的 解析式，利用
数形结合是解决本题的关键．

11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

x?ax?1?0
对于一切
x?
?
0,
2
?
?
1
?
?
成立，

2
?
1
?x
2
?1
则等价为
a
?对于一切
x
∈
(0,

)成立，

2
x
即
a
??
x
?
设
y=
?
x
?
∴?< br>x
?
11
对于一切
x
∈
(0,

)成立，

x2
11
,则函数在区间(0,

〕上是增函数

x2
11
5
<
??
2=
?
，

x2
2
5
.

2
故选C.

∴
a
?
?
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若
f(x )?0
就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
f(x)
min
?0
，若
f(x)?0
恒成立，转化为
f(x)
ma x
?0
;

（3）若
f(x)?g(x)
恒成立，可转化为
f(x
min
)?g(x)
max
.

12．A
解析：
A

【解析】

函数有意义，则：
x?1?0,?x??1
，

由函 数的解析式可得：
f
?
0
?
?
2
1
2?0?2ln
?
0?1
?
?0
，则选项
BD
错 误；

2
11
?
1
?
1
?
1??
1
?
1
且
f
?
?
?
??
?
?
?
?2?ln
?
??1
?
??ln? ?ln4?0
，则选项
C
错误；

48
?
2
?
2
?
2
??
2
?
8
本题选择
A
选项
.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)
从函数的定义域，判断图象的左右位置；从
函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)
从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)
从函数
的奇偶性，判断图象的对称性 ．
(4)
从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法
排除、筛选选项．
二、填空题

13．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元 法即可求解【详
解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）
（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函
解析：
f
?
x
?
??
【解析】

【分析】

1
3
1
(x??1)

x?1
?
x?1
??
x?1
?
?x
x
2f?f< br>用代换，可得
????
?1?x
，联立方程组，求得
?
x??
x
?
?
x?1
?
1
f
??
??x
，再结合换元法，即可求解
.

?
x
?
3
【详解】

由题意，用
?x代换解析式中的
x
，可得
2f
?
?
x?1
?< br>与已知方程
2f
??
?
?
x
?
?
x ?1
?
?
?
?
x
?
?
x?1
?< br>f
??
?1?x
，
…….
（
1
）

?
x
?
?
x?1
?
f
??
?1? x
，
……
（
2
）

?
x
?
联立（
1
）（
2
）的方程组，可得
f
?
令
t?
?
x?1
?
1
?
??x
，

?
x
?
3
1
x?111
,t?1
，则
x
=
，所以
f
?
t
?
??
，

t
-
1
x3t?1
11
(x??1)
.

所以
f
?
x
?
??
3x?1
11
(x??1)
.

故答案为：
f
?
x
?
? ?
3x?1
【点睛】

本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用
?x
代换
x
，联立方程组，求得

?
x?1
?
1
f
??
??x
是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换 元思想的应用，属
x
??
3
于中档试题
.

14． 3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的
符号负号就符合正号就不符合 【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当
时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题 意综上所述:故
解析：3

【解析】

【分析】

根据幂函数的概念列式解得
m?3
,
或
m?6
,
然后代入 解析式
,
看指数的符号
,
负号就符合
,
正
号就不符 合
.

【详解】

22m
因为函数
y?m?9m? 19x
??
2
?7m?9
是幂函数,

所以
m2
?9m?19?1
,即
m
2
?9m?18?0
,
所以
(m?3)(m?6)?0
,

所以
m?3
或
m??6
,

当
m?3时,
f(x)?x
?12
21
,其图象不过原点,符合题意;

当
m?5
时,
f(x)?x
,其图象经过原点,不合题意.

综上所述:
m?3
.

故答案为:3

【点睛】

本题考查了幂函数的概念和性质
,
属于基础题
.

15．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的
取值范围即可求解得到答 案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函
数的运算公式及性质可得且所以
abc从小到大的关系是故答案为：【点睛

解析：
b?c?a

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别 求得实数
a,b,c
的取值范围，即可求解，得
到答案
.

【详解】

由题意，根据指数函数的性质，可得
a?1.1
0.1< br>?1.1
0
?1
，

由对数函数的运算公式及性质，可得b?log
1
2
21
1
1
?log
1
()
2
?
，

22
2
2
c?ln2?ln e?
1
，且
c?ln2?lne?1
，

2

所以
a
，
b
，
c
从小到大的关系是
b?c ?a
.

故答案为：
b?c?a
.

【点睛】

本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记 指数函数与对
数函数的图象与性质，求得实数
a,b,c
的取值范围是解答的关键，着 重考查了推理与运算
能力，属于基础题
.

16．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用
解析：
24

【解析】

e
b
?192
481
11k
1
,?e
22k
??,e?
，所以
x?33
时，由题意得：< br>{
22k?b
19242
e?48
1
y?e
33k? b
?(e
11k
)
3
?e
b
??192?24.

8
考点：函数及其应用
.

17
．
4
【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与
最小值的和即可【 详解】
∵
函数
∴
设则
∴
是奇函数设的最大值根据奇函数图象
关于原点对称的性质
∴
的最小值为又
∴
故答案为：
4
【点睛】本题主要考

解析：4

【解析】

【分析】

x
?sinx
，则
g
?
x?
是奇函数，设出
g
?
x
?
的最大值
M
，则最小值为
?M
，
2
x?1
x
?sinx?2
的最大值与最小值的和即可
.

求出
y?
2
x?1
【详解】

设
g
?
x
?
?
∵函数
y?
x
?sinx?2
，

2
x?1
∴设
g
?
x
?
?< br>x?x
?sinxg?x??sinx??g
?
x
?
，

，则
??
22
x?1x?1
∴
g
?
x
?
是奇函数，

设
g
?
x
?
的最大值
M
，
根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴
g
?
x
?
的最小值为< br>?M
，

又
y
max
?2?g
?
x
?
max
?2?M
，
y
min
?2?g
?
x
?
min
?2?M
，

∴
y
m ax
?y
min
?2?M?2?M?4
，

故答案为：
4.

【点睛】

本题主要考查 了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出
g
?
x
?
?
最值是 解题的关键，属于中档题
.

x
?sinx
的奇偶性以及
x
2
?1
18．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出
：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在
区间上单调则 该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段
13
??
??,
解析：
?
?

8
??
【解析】

若对任意的实数
x
1
? x
2
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
?0< br>成立，

x
1
?x
2
则函数
f(x)
在
R
上为减函数，

?
(a?2)x,x?2
?
x
∵函数
f(x)?
?
?
1
?
，

?
??
?1,x?2
?
?
2
?
?
a?2 ?0
?
2
故
?
，

?
1
?
2(a?2)??1
??
?
?
2
?
?
计算得出：
a?
?
??,
?
?
13
?
?
．< br>
8
?
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若 函数在区间
[a,b]
上
单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2) 分段函数的单调性，除注意各段
的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要 注意内外函数单调
性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.

19．0 【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为
则所以【点睛】本题主要考查了 分段函数求值属于中档题
解析：0

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，代入求值即可求解
.

【详解】

?
sin
?
x
(x?0)
因为
f(x)?
?

(x?0)
f(x?1)
?
1111
??
1
) ?sin?
,

则
f(?)?sin(?
6662
1151
?
1
f()?f()?f(?)?sin(?)??
,

66662

1111
)?f()?0
.

66
【点睛】

所以
f(?
本题主要考查了分段函数求值，属于中档题
.

20
．
4
【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在
和两种情况下求得所有 零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点

解析：4

【解析】

【分析】

采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得
a,b
，代入
f
?
0
?
?0
求得
c
，从而得到
f
?
x
?
解析式，进而得到
g
?
x
?
,h
?
x
?
；设
x
0< br>为
g
?
x
?
的零点，得到
?
?
?< br>g
?
x
0
?
?0
，由此构造
hx?0
??
?
0
?
关于
m
的方程，求得
m
；分 别在
m?0
和
m??3
两种情况下求得
h
?
x?
所有零点，从而得
到结果
.

【详解】

设
f
?
x
?
?ax?bx?c

2
?f
?
x?2
?
?f
?
x
?
?a
?
x?2
?
?b
?
x?2
?
?c?ax
2
?bx?c?4ax?4a?2b??4x?4

?
4a??4
?
a??1
?
?
，解得：
?

4a?2b?4b?4
??
又
f
?
0
?
?0

?c?0

?f
?
x
?
??x?4x

2
2
?g
?
x
?
??x
2
?4x?m
，
h?
x
?
??
?
?x
2
?4x
?
?4
?
?x
2
?4x
?
?m

2
2
?
?x?4x
0
?m?0
?
gx?0
0
??
?
?
0
设
x
0
为
g
?x
?
的零点，则
?
，即
?

2
22< br>hx?0
??
??x?4x?4?x?4x?m?0
?
0
?< br>?
0000
?
????
即
?m
2
?4m?m ?0
，解得：
m?0
或
m??3

①当
m?0
时

h
?
x
?
??< br>?
?x
2
?4x
?
?4
?
?x
2< br>?4x
?
?
?
?x
2
?4x
??
x
2
?4x?4
?
??x
?
x?4
??
x? 2
?

2
2
?h
?
x
?
的所有零 点为
0,2,4

②当
m??3
时

h
?
x
?
??
?
?x
2
?4x
?
?4
?
?x
2
?4x
?
?3??
?
?x
2
?4x?3
??
?x
2
?4x?1
?

2
?h
?
x
?
的所有零点为
1,3,2?3

综上所述：
h
?
x
?
的最大零点为
4

故答案为：
4

【点睛】

本题考查函数零 点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的
应用等知识；解题关键是能够准 确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式
的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构 造方程求得未知量
.

三、解答题


21．（
1
）证明见详解；（
2
）函数
f(x)
在
R
上单调递 ，证明见详解；（
3
）
(?1,1)

【解析】

【分析】

（
1
）判断
f(x)
的定义域，用奇函 数的定义证明可得答案；

（
2
）判断
f(x)
在
R
上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；

2
2
3
x
?12
（
2
）由
f(x)?
x
，可得
3
x
＞0
，可得
x
及
?
x
的取值范围，可 得
?1?
x
3?13?1
3?13?1
f(x)
的值域.< br>
【详解】

证明：（
1
）易得函数
f(x)
的定义域为
R
,关于原点对称，

3
?x
?11?3x
且
f(?x)?
?x
?
x
??f(x)
，故
f(x)
为奇函数；

3?13?1
（2）函数
f(x)< br>在
R
上单调递增，理由如下：

在
R
中任取
x
1
＜x
2
，则
3
x
1
-3
x< br>2
＜0
，
3
x
1
?1＞0
，
3x
2
?1＞0
，

3
x
1
?13x
2
?1222(3
x
1
?3
x
2
)
?
x
2
?(1?
x
1
)?(1?
x
2
)?
x
1
＜0

可得
f(x
1
)?f(x
2
)?
x
1
x
2
3?13?13?1 3?1(3?1)(3?1)
故
f(x
1
)?f(x
2
)＜ 0
，函数
f(x)
在
R
上单调递增；

3
x
?12
（
3
）由
f(x)?
x
，易得
3
x
＞0
，
3
x
+1
?1?
x
＞1
，

3?13?1
222
＜2-2＜-＜0-1＜1?＜1
，

，，故
3
x
?13
x
?13
x
?1
故f(x)
的值域为
(?1,1)
.

故
0＜
【点睛】

本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及 求解函数的值域，综合性大，属于中档
题
.

22．（
1
）
(?1,3)

（
2
）
x
1
?x
2
?m

【解析】

【分析】

（
1
）根据对数真数大于零 列不等式组，解不等式组求得函数的定义域
.

（
2
）化简
f
?
x
?
表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求 得

x
1
?x
2
以及
m
的取值范围， 从而比较出
x
1
?x
2
与
m
的大小关系
.

【详解】

?
3?x?0
??1?x?3
，故该 函数的定义域为
(?1,3)
；

（
1
）依题意可知
?
?
x?1?0
22
（
2
）
f(x)?log< br>2
(?x?2x?3)?log
2
(?(x?1)?4)
，

故函数关于直线
x?1
成轴对称且最大值为
log
2
4?2
，

∴
x
1
?x
2
?2
，
m?2
，∴
x
1
?x
2
?m
．

【点睛】

本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题
.

23．（
1
）
0
；（
2
）证明见解析；（
3
）
x?
?
?1,0
?
U
?
2019,2 020
?

【解析】

【分析】

（
1< br>）取
x?y?1
，代入即可求得
f
?
1
?
；

（
2
）任取
x
2
?x
1
?0< br>，可确定
f
?
x
2
?
?f
?
x1
?
?f
?
?
x
2
?
?
?0
，根据单调性定义得到结论；

x
?
1
?
1
将所求不等式变为
f
2
域和函数单调性可构造不等式组求得结果
.

【详解】

（
3
）利用
f
?
2020?< br>?
?
x
2
?2019x?f
?
?
2020< br>，结合定义
?
（
1
）取
x?y?1
，则
f< br>?
1
?
?f
?
1
?
?f
?
1
?
，解得：
f
?
1
?
?0

（
2
）任取
x
2
?x
1
?0
< br>?
x
2
?
?
x
2
??
x
2
?
则
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
?x
1
?
?f
?< br>x
1
?
?
f
??
?f
?
x
1
?
?f
?
x
1
?
?f
??
< br>?
x
1
?
?
x
1
??
x
1
?
Qx
2
?x
1
?0

?
x
2
?1

?f
x
1
?
x
2
?
??
?0
，即
f
?
x2
?
?f
?
x
1
?
?0

?
x
1
?
?f
?
x
?
在定义域内单调递增< br>
（
3
）
Qf
?
2020
?
?f< br>?
2020?f
??
?
2020?1

?f
?
?
2020?
?
1

2
? f
?
x
2
?2019x?
?
1
?f
2?
2020

2
?
?
x?2019x?0
由（
2
）知
f
?
x
?
为增函数
?
?

2
?
?
x?2019x?2020
解得：
x?
?
?1,0
?
U
?
2019,2020
?

【点睛】

本题考查抽象函数单调性的证明、利 用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单
调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调 性将函数值的比较转化为自变量的比
较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误
.
24．（
1
）证明见解析（
2
）
?4?a?4

【解析】

【分析】

（
1
）先由函数
f (x)
为奇函数，可得
m?1
，再利用定义法证明函数的单调性即可；
（
2
）结合函数的性质可将问题转化为
sin
2
x?asinx ?3?0
在
R
上恒成立，再利用二次
不等式恒成立问题求解即可.

【详解】

解：（
1
）∵函数
f(x)?
3
x
?1
m?3
x
?1
是定义域为
R
的奇函数，< br>
?f(?x)??f(x)
?
3
?x
?13
x?13
x
?13
x
?1
m?3
?x
?1
??
m?3
x
?1
?
m?3
x
?
m?3
x
?1
，
?(a?1)
?
3
x
?1
?
?0
，

等式
(m?1)
?
3
x?1
?
?0
对于任意的
x?R
均恒成立，得
m?1，

则
f(x)?
3
x
?1
3
x?1
，

即
f(x)?1?
2
3
x
?1
，

设
x
1
,x
2
为任意两个实数，且
x
1
?x
2
，

f
?
x
2
?
2
?
2
?
3
x
1
?3
x
2
?1
?
?f
?
x
2
?
??
3
x
1
?1
?
?
?
?
3
x
2
?1
?
?
?
?
3
x
1
?1
??< br>3
x
2
?1
?
，

因为
x
1
?x
2
，则
3
x
1
?3
x
2< br>，

所以
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
，即
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
，

因此函数
f(x)
在
R
上是增函数;

（
2
）由不等式
f
?
cos
2
x?asinx?3
?
?
1
2
对任意的
x?R
恒成立，

则f
?
cos
2
x?asinx?3
?
?f(1)
.
由（
1
）知，函数
f(x)
在
R
上是增函数，

则
cos
2
x?asinx?3?1
，即
sin
2
x?asinx?3?0
在
R
上恒成立
.
令sinx?t
，
2
t?[?1,1]
，则
g(t)?t
2
?at?3?
?
?
?
t?
a
?
2
?
?
?3?
a
2
4
?0
在
[?1,1]
上恒成立
.

①当
?
a
2
?1
时 ，即
a??2
，可知
g(t)
min
?g(1)?4?a?0
，即
a??4
，

所以
?4?a??2
；

a
2
a
?
a
?
?0
.

②当
?1???1
时，即
?2?a?2
，可知
g(t)min
?g
?
?
?
?3?
4
2
?2
?
即
?23?a?23
，所以
?2?a?2
；

③当
?
a
??1
时，即
a?2
，可知
g(t)
min
?g(?1)?4?a?0
，即
a?4
，

2
所以
2?a?4
，

综上，当
?4?a?4时，不等式
fcosx?asinx?3?
【点睛】

本题考查了利用函 数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二
次不等式恒成立问题，属中档题< br>.

25．（
1
）
f
?
x
?
?x
（
2
）见解析

?4
?
2
?
1
对任意的
x?R
恒成立
.

2
【解析】

【分析】

(1)
由幂函数
f(x)
在
?
0,?
?
?
上单调递减
,
可 推出
m
2
?2m?3?0
(
m?Z
),
再结合f(x)
为偶
函数
,
即可确定
m
,
得出结论< br>;

(2)
将
f(x)
代入
,
即可得到F(x)
,
再依次讨论参数
a,b
是否为
0
的情况即可
.

【详解】

(1)
∵幂函数
f
?x
?
?x
m
2
?2m?3
?
m?Z
?
在区间
?
0,?
?
?
上是单调递减函数
,

∴
m
2
?2m?3?0
,
解得
?1?m?3
,

∵
m?Z
,
∴
m?0
或
m?1或
m?2
.

∵函数
f
?
x
?
?x
m
∴
m?1
,

∴
f
?
x
?
?x
;

?4
2
?2m?3
?
m?Z
?
为偶函数
,

(2)
F
?
x
?
?af
?
x
?
?
b
xf
?
x
?
?ax
?4
?
b< br>?23
,

?bx
?4
?ax
x?x
当a=b=0
时
,
F
?
x
?
既是奇函数又是偶函 数
;

当
a?0
,
b≠0
时
,
F
?
x
?
是奇函数
;

当
a?0
,
b?0
时
,
F
?
x
?
是偶函数
;

当
a?0
,
b≠0
时
,
F
?< br>x
?
是非偶非偶函数
.

【点睛】

本题主 要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用
,
学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用
.

26．（
1
）
?
?3,1
?
.
（
2
）
?1?3
（
3
）
【解析】

2

2

【分析】

（
1
） 根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示
出来；（
2
）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由
f
?
x
?
= 0
，即
?x
2
?2x?3=1
，求此方程的根并验证是否在函数的定 义域内；（
3
）把函数解析式化简
后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数 函数在定义域内递减，求出函数的最
小值
log
a
4
，得
l og
a
4??4
利用对数的定义求出
a
的值．

【详解】

（
1
）由已知得
?
?
1?x?0,
,
解 得
?3?x?1
所以函数
f
?
x
?
的定义域为?
?3,1
?
.

x?3?0,
?
（
2
）
f
?
x
?
?log
a
?
1? x
?
?log
a
?
x?3
?
?log
a< br>?
1?x
??
x?3
?
?log
a
?x?2 x?3
,
令
2
??
f
?
x
?
=0
,
得
?x
2
?2x?3=1
,
即
x
2
?2x?2=0
,
解得
x??1?3
,
∵
?1 ?3?(-3,1)
,
∴函
数
f
?
x
?
的 零点是
?1?3

2
2
（
3
）由
2
知
,
f
?
x
?
?log
a
?x?2x? 3?log
a
?
?
?
x?1
?
?4
?,

??
??
∵
?3?x?1
,
∴
0 ??
?
x?1
?
?4?4
.

2
∵
0?a?1
,
∴
log
a
?
?
?
x?1
?
?4
?
?log
a
4
,

2< br>??
∴
f
?
x
?
min
?log
a
4??4
,

∴
a?4
?
1
4
?
2
.

2
【点睛】

本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数 零点的定义和对数型的复
合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．< br>