安徽省人教版高中数学书上所有定理-高中数学小题考点
.
高考数学压轴题精选(一)
1.(本小题满分12分)设函数
f
(x)?
1?x
?lnx
在
[1,??)
上是增函数。求正实数a
的取值范围;
ax
设
b?0,a?1
,求证:
1a?ba?b
?ln?.
a
?bbb
解:(1)
f(x)?
'
ax?1
?0
对
x?[1,??)
恒成立,
2
ax
?a?
又
1
对
x?[1,??)
恒成立
x
1
?1
?a?1
为所求。
x
a?ba?b
?1
, ,
?a?1,b?0,?
bb1?x
?lnx
在
[1,??)
上是增函数,
ax
(2)取
x?
一方面,由(1)知
f(x)?
?f(
a?b
)?f(1)?0
b
a?b
b
?ln
a?b
?0
?
a?b<
br>b
a?
b
1?
即
ln
a?b1
?
ba?b
另一方面,设函数
G(x)?x?lnx(x?1)
G
'
(x)?1?
1x?1
??0(?x?1)
xx
∴
G(x)
在
(1,??)
上是增函数且在
x?x
0
处连续,又
G(1)
?1?0
∴当
x?1
时,
G(x)?G(1)?0
∴
x?lnx
即
a?ba?b
?ln
bb
;.
.
综上所述,
1a?ba?b
?ln?.
a?bbb
2.已知椭圆C
的一个顶点为
A(0,?1)
,焦点在x轴上,右焦点到直线
x?y?1?0
的距离为
2
(1)求椭圆C的方程;
uuuruuur
(2)过点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,设
FA?
?
FB,
T(2,0)
,若
?
?[?2,?1],求|TA?TB|
的取值范围。 <
br>解:(1)由题意得:
|c?1|
2
?2
?c?1
……………
……1分
由题意
b?1,?a?2
2
所以椭圆方程为
x
2
?y
2
?1
………………………3分
(2)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
x?ky?1,
x
2
代入
2
?y
2
?1
中,得
(k
2
?2)y
2<
br>?2ky?1?0.
设
A(x
1
,y
1
)
,B(x
2
,y
2
),
则
y?y
k1
12
??
2
k
2
?2
y
1
y
2
??
k
2
?2
.
……………………………5分
∵
FA?
?
FB,
∴有
y
1
y
?
?
,且
?
?0.
2
?
(y
2<
br>1
?y
2
)
4k
2
14
y
????
k
2
2
?
?
??2
2
1
y
2
k?2
?
k?2
?
?[?2,?1]??
5
?
?
?
1
2
?
??2??
1
2
?<
br>?
?
1
?
?2?0
??
1
2
??<
br>4k
2
22
k
2
?2
?0?k
2
?
7
?0?k
2
?
7.
…………7分
∵
T
A?(x
1
?2,y
1
),TB?(x
2
?2,y
2
),?TA?TB?(x
1
?x
2
?4,y
1
?
y
2
).
又
y
2k4
1
?y
2
??
k
2
?2
,?xx)?2??
(k
2
?1)
1
?
2
?4?k(y
1
?y
2
k<
br>2
?2
.
;.
由
.
故
|TA?TB|
2
?(x
1
?x
2
?4)
2
?(y
1
?y
2
)
2
16(k
2
?1)
2
4k
2
16(k
2
?2)
2
?28(k
2
?2)?8
??
2
?
22
222
(k?2)(k?2)(k?2)
?16?
令
t?
288?
……………………………………………………8分
222
k?2(k?2)<
br>1271171
2
∴,即
.?0?k???t?[,].
2
2
716
k?2
2162
k?2
717
∴
|TA?
TB|
2
?f(t)?8t
2
?28t?16?8(t?)
2
?.
42
71169
而
t?[,]
,∴
f(t
)?[4,]
16232
∴
|TA?TB|?[2,
132
].
………………………………………………………10分
8
3.设函数
f(x)?x?ax?ax?m
(a?0)
(1)若<
br>a?1
时函数
f(x)
有三个互不相同的零点,求
m
的范围;
(2)若函数
f(x)
在
?
?1,1
?
内没有极值
点,求
a
的范围;
(3)若对任意的
a?
?
3,6
?
,不等式
f(x)?1
在
x?
?
?2,2
?<
br>上恒成立,求实数
m
的取值范围.
解:(1)当
a?1
时
f(x)?x?x?x?m
,
因为
f(x)
有三个互不相同的零点,所以
f(x)?x?x?x?m?0
, <
br>即
m??x
3
?x
2
?x
有三个互不相同的实数根。
令
g(x)??x?x?x
,则
g(x)??3x?2x?1??(3x?1
)(x?1)
。
因为
g(x)
在
(??,?1)
和
(
1
为增函数,
,
1
3
,??)
均为减函数,
在
?1
3
5
m
的取值范围
?
?1,
27<
br>?
32'2
32
32
322
??
(2)由
题可知,方程
f(x)?3x?2ax?a?0
在
?
?1,1
?上没有实数根,
'22
?
f
'
(1)?3?2a?a
2
?0
?
'2
因为
?
f(?1)?3?2a?a?0
,所以
a?3
?
a?0
?
;.
.
'22
(3)∵
f(x)?3x?2ax?a?3(x?
a
3
)(x?a)
,且
a?0
,
a
∴函
数
f(x)
的递减区间为
(?a,
a
3
)
,递增区
间为
(??,?a)
和
(
3
,??)
;
当
a?
?
3,6
?
时,
a
3
?
?
1,2
?
,?a??3,
又
x?
?
?2,2
?,
∴
f(x)
max
?max
?
f(?2),f(2
)
?
而
f(2)?f(?2)?16?4a?0
2
2∴
f(x)
max
?f(?2)??8?4a?2a?m
,
又
∵
f(x)?1
在
x?
?
?2,2
?
上恒成立,
∴
f(x)
max
?1
,即
?8?4a?2a
2<
br>?m?1
,即
m?9?4a?2a
2
在
a?
?
3,6
?
恒成立。
∵
9?4a?2a
2
的最小值为
?87
x
2
y
2
2
4.(本题满分14分)已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为,直线
l:y?x?22
2
ab
与以原点为圆心、以椭圆
C
1
的短
半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆
C
1
的方程;
(Ⅱ)设椭
圆
C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
l
2垂
直
l
1
于点P,线段PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭
圆C
1
的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F
2
,求四边形ABCD的面积的
最小
值.
2c
2
a
2
?b
2
1
222
,?e?
2
??,?a?2b
解:(Ⅰ)
Qe?<
br>
2
2aa2
22
?直线l:x?y?2?0与圆x
2
?y
2
?b
2
相切
??b,?b?2,b
2
?4
,?a
2
?8,
2
x
2
y
2
??1.
∴椭圆C
1
的方程是 …………3分
84
(Ⅱ)∵MP=MF
2<
br>,∴动点M到定直线
l
1
:x??2
的距离等于它到定点F
2
(2,0)的距离,∴动点
M的轨迹C是以
l
1
为准线,F
2
为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C
2
的方程为
y?8x
…………6分
(Ⅲ)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,
A(x<
br>1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
,
则直线AC的方程为
y?k(x?2).
2
x
2
y
2
??1及y?k(x?2)得(1?2k
2
)x
2
?8k
2
x?8k
2
?8?0.
联立
84
8k
28k
2
?8
,x
1
x
2
?.
所以<
br>x
1
?x
2
?
22
1?2k1?2k
;.
.
32(k
2
?1)
|AC|?(1?k)(x<
br>1
?x
2
)?(1?k)[(x
1
?x
2
)
?4x
1
x
2
]?
….9分
2
1?2k
32(1?k
2
)
11
由于直线BD的斜率为
?,用?
代换
上式中的k可得
|BD|?
2
k?2
kk
2222
∵
AC?BD
,
116(1?k
2
)
2
∴四边形ABCD的面积为
S?|AC|?|
BD|?
2
……..12分
2(k?2)(1?2k
2
)
(1?2k
2
)?(k
2
?2)
2
3(k
2
?1)
2
]?[]
由
(1?2k)(k?2)?[
22
64
所以
S?,当1?2k
2
?k
2
?2时,即k??1<
br>时取等号.
9
22
…………13分
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积
S?8
x
2
y
2
2
5.(本小题满分14分)已知椭圆
2
+
2
=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F
1
.F
2
,离心率e=,右
ab2
准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
226
→→
(2)过点F
1
的直线l与该椭圆相交于M.N两点,且|F2
M+F
2
N|=,求直线l的方程.
3
2
=,?
c
a2
解析:(1)由条件有
?
a
?
c=2
2
解得a=2,c=1.
∴b=a
2
-c
2
=1.
x
2
所以,所求椭圆的方程为+y
2
=1.
2
(2)由(1)知F
1
(-1,0).F
2
(1,0).
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,
2
将x=-1代入椭圆方程得y=±.
2
22
不妨设M
?
-1,
?
.N
?
-1,-
?
,
2
?
2
???
22
→→
∴F
2
M+F
2<
br>N=
?
-2,
?
+
?
-2,-
?
=
(-4,0).
2
??
2
??
→→
∴|F
2M+F
2
N|=4,与题设矛盾.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).
x
2
2
?
?
+y=1,
设M(x
1
,y
1
).N(x<
br>2
,y
2
),联立
?
2
?
y=k(x+1)
?
消y得(1+2k
2
)x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0.
-4k
2
2k
由根与系数的关系知x
1
+x
2
=.
2
,从而y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2+2)=
1+2k1+2k
2
→→
又∵F
2
M=(x<
br>1
-1,y
1
),F
2
N=(x
2
-1,y
2
),
→→
∴F
2
M+F
2
N=(x<
br>1
+x
2
-2,y
1
+y
2
).
→→
∴|F
2
M+F
2
N|
2
=(x
1<
br>+x
2
-2)
2
+(y
1
+y
2
)
2
8k
2
+2
?
2
?
2k?
2
4(16k
4
+9k
2
+1)
?
=+=.
4k
4
+4k
2
+1
?
1+2k
2
?
?
1+2k
2
?
4(16k
4
+9
k
2
+1)
?
226
?
2
∴=
4k
4
+4k
2
+1
?
3
?
.
;.
.
化简得40k
4
-23k
2
-17=0,
17
解得k
2
=1或k
2
=-(舍).∴k=±1.
40
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.
6.
(
本小题满分12分)已知
a?R
,函数
f(x)??lnx?1
,
g
(x)?
?
lnx?1
?
e
x
?x
(其中
e
为自然对
数的底数).
(1)判断函数
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的单调性;
(2)是否存在实数
x
0
?
?
0,e
?
,使曲线
y?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直?
若存在,求出
x
0
的
值;若不存在,请说明理由.
a<
br>x
a1x?a
a
?lnx?1
,∴
f
?
(x
)??
2
??
2
.
xxx
x
令
f
?
(x)?0
,得
x?a
.
解(1):∵
f(x)?<
br>①若
a?
0
,则
f
?
(x)?0
,
f
?
x
?
在区间
?
0,e
上单调递增.
②若
0?a?e
,当
x?
?
0,a
?
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?
在区间
?
0,a
?
上单调递减,
当
x?
?
a,
e
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x?
在区间
?
a,e
上单调递增,
③若
a?e
,则
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?在区间
?
0,e
上单调递减. ……6分
(2)解:
∵g(x)?
?
lnx?1
?
e?x
,
x?
?<
br>0,e
,
x
?
??
?
?
e
x?
1
?
xx
?
?
g
?
(x)?
?
lnx?1
?
e?
?
lnx?1
?
?
e
?
?1
??
?
lnx?1
?
e
x
?1?
?
?lnx?1
?
e
x
?1
由(1)可知
,
x
?
x
?
1
当
a?1
时,
f(
x)??lnx?1
.
x
1
此时
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的最小值为
ln1?0
,即
?lnx?1?0
.
x
?
1
?
1
x
?lnx
0<
br>?1?0
,∴
g
?
(x
0
)?
?
?
lnx
0
?1
?
e
x
0
?1?1?0
.
当
x
0
?
?
0,e
?
,
e
0?0
,
x
0
?
x
0
?
曲线
y
?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直等价于方程<
br>g
?
(x
0
)?0
有实数解.
而
g
?
?
x
0
?
?0
,即方程
g
?
(x
0
)?0
无实数解.
故不存在
x
0
?
?
0,e
,使曲线
y?g(x)
在
?
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直……12分
7.(本小题满分12分)已知线段
CD?23
,
CD
的
中点为
O
,动点
A
满足
AC?AD?2a
(
a为正
常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点
A
所在的曲线方程;
(2)若
a?2
,动点
B
满足
BC?BD?4
,且
OA?OB,试求
?AOB
面积的最大值和最小值.
解(1)以
O为圆心,
CD
所在直线为轴建立平面直角坐标系.若
AC?AD?2a?23,即
0?a?3
,
动点
A
所在的曲线不存在;若
AC?
AD?2a?23
,即
a?3
,动点
A
所在的曲线方程为
;
.
.
y?0(?3?x?3)
;若
AC?AD?2a?2
3
,即
a?3
,动点
A
所在的曲线方程为
x
2y
2
?
2
?1
.……4分
2
aa?3
x
2
x
2
2
(2)当
a?2
时,其曲线方程为椭
圆
?y?1
.由条件知
A,B
两点均在椭圆
?y
2
?1
上,且
44
OA?OB
1
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
OA
的斜率为
k
(k?0)
,则
OA
的
方程为
y?kx
,
OB
的方程为
y??x
k
?y?kx
?
解方程组
?
x
2
2
?<
br>?y?1
?
4
4
4k
2
2
2
得x
1
?
,
y
1
?
1?4k
2
1?4k
2
4
4k
2
2
2
同理可求得<
br>x
2
?
2
,
y
2
?
2
k?4
k?4
11
(1?k
2
)
2
21?kx
1
1?
2
x
2
=
2
…………
……8分
?AOB
面积
S?
22
2k
(1?4k)(k?
4)
令
1?k
2
?t(t?1)
则
t
2
1
S?2?2
2
99
4t?9t?
9
?
2
??4
tt
991125254
令
g(t)
??
2
??4??9(?)
2
?(t?1)
所以
4?g(t
)?
,即
?S?1
ttt2445
4
当
k?0<
br>时,可求得
S?1
,故
?S?1
,
5
4
故
S
的最小值为,最大值为1. ……12分
5
y
2
x
2
8.(本小题满分12分)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点,已知向量
ab
3
xyxy
m?(
1
,
1
),n?(
2<
br>,
2
)
,若
m?n?0
且椭圆的离心率e=,短轴长为
2
,
O
为坐标原点.
2
baba
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
<
br>[来源:]
ca
2
?b
2
3
y
2
?
?a?2,c?3
椭圆的方程为
?x
2
?1
4分
解:
2b?2.b?1,e??
aa2
4
(2) ①当直线AB斜率不存在时
,即
x
1
?x
2
,y
1
??y
2
,由
m?n?0
y
1
2
x??0?y
1
2
?4x
1
2
…………5分
4
4x
1
2
2
2
?1?x
1
?,y
1
?2
又
A(x
1
,y
1
)
在椭圆上,所以
x
1
?
42
2
1
;.
.
s?
11<
br>x
1
y
1
?y
2
?x
1
2y
1
?1
22
所以三角形的面积为定值.……6分
②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
?
y?kx?b
?2kb
?
2
222
?
(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
2<
br>k?4
?
?x?1
?
4
b
2
?4
2
22
x
1
x
2
?
2
,?=(2kb)?4(k+4)(b?4)>0……………8分而
m?n?0
,
k
?4
yy(kx?b)(kx
2
?b)
x
1
x
2<
br>?
12
?0?x
1
x
2
?
1
?0代
入整理得:
44
22
2b?k?4
……………10分
1|b|1|b|4k
2
?4b
2
+164b
2
2
S=
2
|AB|=
2
|b|(x
1
+x
2
)?4x
1
x
2
==
2|b|
=1
2(
k
2
+4)
1+k
2
综上三角形的面积为定值1.……………………
…12分
9.已知函数
f(x)
的导数
f'(x)?3x
2
?3ax,
f(0)?b
.
a
,
b
为实数,<
br>1?a?2
.
(1) 若
f(x)
在区间
[?1,1]上的最小值、最大值分别为
?2
、1,求
a
、
b
的值;
(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点
P
(2,1)处的切线方程;
(3) 设函数
F(x)?[f'(x)?6x?1]ge
2x
,试判断函数
F(x)
的极值点个数.
解:(1)
由已知得,
f(x)?x
3
?ax
2
?b
, 由
f
?
(x)?0
,得
x
1
?0
,
x
2
?a
.
∵
x?[?1, 1]
,
1?a?2
,
∴ 当
x?[?1, 0)
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
递增;当
x?(0,
1]
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
递减.
∴
f(x)
在区间
[?1,
1]
上的最大值为
f(0)?b
,∴
b?1
.
33
又
f(1)?1?a?1?2?a
,
22
33
f(?1)??1?a?1??a
,
22
∴
f(?1)?f(1)
.
44
3
由题意得
f(?1)??
2
,即
?a??2
,得
a?
.
故
a?
,
b?1
为所求.
33
2
(2) 由
(1) 得
f(x)?x?2x?1
,
f
?
(x)?3x?4x,点
P(2, 1)
在曲线
f(x)
上.
当切点为
P(2, 1)
时,切线
l
的斜率
k?f
?
(x)|
x?2
?4
,
∴
l
的方程为
y?1?4(x?2)
,
即
4x?y?7?0
.
(3
;.
322
3
2
.
22x
?
F(x)?(3x
2
?3ax?6x?1)?e
2x
?
?
3x?3(a?2)x?1?e
??
22x
?
F
?
(x)?
?
6x?3(a?2)
?
?e
2x
?2
?
3x?3(a?2)x?1?e
??
22x
?[6x?6(a?3)x?8?3a]?e
2
二次函数
y?6x?6(a?3)x?8?3a
的判别式为
2
??
36(a?3)
2
?24(8?3a)?12(3a
2
?12a?11)?1
2
?
3(a?2)?1
?
??
令
??0
,得: <
br>13333
(a?2)
2
?,2??a?2?.
令
??0,
,或a?2?.
∵
e
2x
?0
,得
a?2?
1?a?2
,
33333
3
?a?2
时,
F
?
(x)?0,函数
F(x)
为单调递增,极值点个数为0; ∴当
2-
3
3
当
1?a?2?
时,此时方程
F
?
(x)?0
有两
个不相等的实数根,
3
根据极值点的定义,可知函数
F(x)
有两个极值点.
a?x
2
?lnx
10.
已知函数f(x)=
x
1
??
a?R,x?[,2]
??
2
??
(1)当
a?[?2,)
时,
求
f(x)
的最大值;
(2)
设
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
,
k
是
g(x
)
图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数
a
,使得
k?1
恒成立
?若存在,求
a
的取值范围;若不存在,请说明理由.
1
4
(2)存在
a?(??,]
符合条件
;.
7
4
.
解:
因为
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
=
ax?x
3
不妨设任意不同两点
p
1
(x
1
,y
1
)
,p
2
(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2
3
y
1
?y
2
a(x
1
?x
2
)?(x
2
?x
1
3
)
k??
x?xx
1
?x
2
则
12
2?a?(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2<
br>)
2
)
由
k?1
知:
a?
1+
(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
2<
br>又
?x
2
?4
故
a?
1
4
7
4
故存在
a?(??,)
符合条件.…12分
解法二:据题意
在
y?g(x)
图象上总可以在找一点
P(x
0
,y
0)
使以P为切点的切线平行图象
上任意两点的连线,即存在
k?
2
?a?1?3x
0
?
7
4
g(x
1
)?g(x<
br>2
)
2
?g'(x
0
)?a?3x
0
?1<
br>
x
1
?x
2
77
故存在
a?(??,)<
br>符合条件.
44
11.A﹑B﹑C是直线
l<
br>上的三点,向量
OA
﹑
OB
﹑
OC
满足:
O
A
-[y+2
f
?
(1)
]·
OB
+ln(x+1
)·
OC
=
0
;
(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若x>0, 证明f(x)>
(Ⅲ)当
2x
;
x?2
1
2
x?f(x
2
)?m
2?2bm?3
时,x
?
?
?1,1
?
及b
?<
br>?
?1,1
?
都恒成立,求实数m的取值范围。
2
解I)由三点共线知识,
??
∵
OA?[y?2f(1)]OB?ln(x
?1)]?OC?0
,∴
OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC
,
∵A﹑B﹑C三
点共线,
?
∴
[y?2f(1)]?[?ln(x?1)]?1
?
∴
y?f(x)?ln(x?1)?1?2f(1)
.
11??
f(x)?f(1)?
∴
x?1
∴
2
,
∴f(x)=ln(x+1)………………4分
2x
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-
x?2
,
;.
.
x
2
?
由
g(x)?
(x?1
)(x?2)
2
,
?
∵x>0∴
g(x)?0
2x
∴g(x)在
(0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
x?2
;………8分
1
222
x?f(x)?m?2bm?3
,令 (III)原不等式等价于<
br>2
x
3
?x
1
2
1
222
?
h(x)=
2
x?f(x)
=
2
x?ln(1?x),
由
h(x)?
1?x
2
,
当x∈[-1,1]时,[h(x)]
max
=0,
∴m-2bm-3≥0,令Q(b)=
m-2bm-3,则由Q(1)≥0及Q(-1)≥0解得
m≤-3或m≥3. …………12分
22
12.已知
M
经过点
G(0,?1),且与圆
Q:x?(y?1)?8
内切.
(Ⅰ)求动圆
M
的圆心的轨迹
E
的方程.
(Ⅱ)以
m?(1,2)
为方向向量的直线
l
交曲线
E
于不同的两点
A、
B
,在曲线
E
上是否存在点
P
使四边形
OA
PB
为平行四边形(
O
为坐标原点).若存在,求出所有的
P
点的坐
标与直线
l
的方程;
若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)依题意
,动圆与定圆相内切,得|
MG|?|MQ|?22
,可知
M
到两个定点G
、
Q
的距
离和为常数,并且常数大于
|GQ|
,所以
P
点的轨迹为椭圆,可以求得
a?
22
2
,
c?1
,
b?1
,
y
2
?1
.……………………5分
所以曲线
E
的方程为
x?
2
2
(Ⅱ)假设
E
上存在点
P
,使四边形
OAPB
为平行四边形.
y
2
?1
. 由(Ⅰ)可知曲线E的方程为
x?
2
2
设直线
l
的方程为
y?2x?m
,
A(x
1,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
.
?
y?2x?m;
?
由
?
,得
y
2
2
?1.
?
x?
2
?
4x
2
?
22mx?m
2
?2?0
,
m
2
?2
2m
由
??0
得
m?4
,且
x
1
?x
2??
,
x
1
x
2
?
,………7分
2
4
2
;.
.
m
2
?
2
则
y
1
y
2
?(2x
1
?m)(2x<
br>2
?m)?
,
2
y
1
?y
2
?<
br>(2x
1
?m)?(2x
2
?m)?m
,
E
上的点
P
使四边形
OAPB
为平行四边形的充要条件是
OP?OA?OB
,
即
P点的坐标为(x
1
?x
2,y
1
?y
2
)
(y
1
?y
2
)
2
?1
, 且
(
x
1
?x
2
)?
2
2
yy
2
又<
br>x
1
?
1
?1
,
x
2
?
2
?1
,所以可得
2x
1
x
2
?y
1
y
2
?1?0
,…………9分
22
2
22
可得
m
2
?1
,即
m?1
或
m??1
. 当
m?1
时,
P(?
2
,1)
,直线
l
方程为
y?2x?1
;
2
2
,?1)
,直线
l
方程为
2
当m??1
时,
P(
y?2x?1
.……………………12分
13.已知函数
f
?
x
?
和
g
?
x
?
的图象关于原点对称,且
f
?
x
?
?x
2
?2x
.
(Ⅰ)求函数
g
?
x
?
的解析式;
(Ⅱ)解不等
式
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1
;
(Ⅲ)若
h
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?1
在
?
?1,1
?
上是增函数,求实数
?
的取值范围.
解:(Ⅰ)设函数
y?f
?
x
?
的图象上任意一点
Q<
br>?
x
0
,y
0
?
关于原点的对称点为
P?
x,y
?
,则
?
x
0
?x
?0,<
br>?
?
x
0
??x,
?
2
即
??
y?yy??y.
?
0
?0,
?
0
?
?
2
∵点
Q
?
x
0
,y
0
?<
br>在函数
y?f
?
x
?
的图象上
∴
?y?x
2
?2x,即y??x
2
?2x,
故g
?
x
?
??x
2
?2x
;.
.
(Ⅱ)由
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1, 可得2x
2
?x?1?0
当
x?1
时,
2x?x?1?0
,此时不等式无解。
当<
br>x?1
时,
2x?x?1?0
,解得
?1?x?
因此,原不等
式的解集为
?
?1,
?
。
2
2
2
1
。
2
?
(Ⅲ)
h?
x
?
??
?
1?
?
?
x
2
?2
?
1?
?
?
x?1
①
当<
br>?
??1时,h
?
x
?
?4x?1在
?
?1
,1
?
上是增函数,
?
?
??1
②
当
?
??1时,对称轴的方程为x?
?
?
1
?
1?
?
.
1?
?
1?
?
ⅰ)
当?
??1时,??1,解得
?
??1.
1?
?
1?
?
ⅱ)
当
?
??1时,??1,解得?1?
?
?0.
综上,
?
?0.
1?
?
14
.已知函数
f(x)?lnx?
1
2
ax?2x(a?0).
2
(1)若函数
f(x)
在定义域内单调递增,求
a
的取值范围
;
(2)若
a??
11
且关于x的方程
f(x)??x?b
在
?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根,求实数
b
的<
br>2
2
取值范围;
n
*
(3)设各项为正的数列
{a
n
}
满足:
a
1
?1,a
n?1
?lna
n
?a
n
?2,n?N.
求证:
a
n
?2
?1
ax
2
?2x?1
(x?0).
解:(1)
f
?
(x)??
x
依题意
f
?
(x)?0
在
x?0
时恒成立,即
ax?2x?1?0
在
x?0
恒成
立.
则
a?
2
1?2x11
2
?(?1)?1a?((?
1)
2
?1)
min
(x?0)
在恒成立,即
x?02
xxx
1
x
2
当
x?1
时,
(?1
)?1
取最小值
?1
∴
a
的取值范围是
(??,
?1]
……
4
?
(2)
a??,f(x)??
1
13
x?b?x
2
?x?lnx?b?0.
242
13(
x?2)(x?1)
设
g(x)?x
2
?x?lnx?b(x?0).
则
g
?
(x)?.
列表:
422x
x
1
2
(0,1)
?
1
(1,2)
2
(2,4)
?
g
?
(x)
;.
0
?
0
.
g(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴
g(x)<
br>极小值
?g(2)?ln2?b?2
,
g(x)
极大值
?g(
1)??b?
5
,又
g(4)?2ln2?b?2
……
6
?
4
Q
方程
g(x)?0
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
?
g(1)?0
5
?
则
?
g(2)?0
,
得
ln2?2?b??
…………
8
?
4
?
g(4)?0
?
(3)设
h(x)?lnx?x?1,x?
?
1,
??
?
,则
h
?
(x)?
1
?1?0
<
br>x
?h(x)
在
?
1,??
?
为减函数,且
h(x)
max
?h(1)?0,
故当
x?1
时有
lnx?
x?1
.
Qa
1
?1.
假设
a
k
?1(
k?N
*
),
则
a
k?1
?lna
k
?a
k
?2?1
,故
a
n
?1(n?N
*
).
n
从而
a
n?1
?lna
n
?a
n
?2?2a
n
?1.
?1?a
n?1
?2(1?an
)?LL?2(1?a
1
).
nn
即
1?
a
n
?2
,∴
a
n
?2?1
…………
15.(本小题满分14分)
2
C:y?x
如图,设抛物线的焦点为F,动
点P在直线
l:x?y?2?0
上运动,过P作抛物线C
的两条切线PA、PB,且与
抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
22
解:(1)设切点A、B坐标分别为
(x,x
0
)和(x
1
,x
1
)((x
1
?x
0
)
,
2
∴切线AP的方程为:
2x
0x?y?x
0
?0;
切线BP的方程为:
2x
1
x?y?x
1
?0;
2
x
0
?x
1
,y
P
?x
0
x<
br>1
解得P点的坐标为:
x
P
?
2
所以△APB的重心G的坐标为 x
G
?
x
0
?x
1
?x
P
?
x
P
,
3
2
2
y
0
?y
1?y
P
x
0
?x
1
2
?x
0
x
1
(x
0
?x
1
)
2
?x
0<
br>x
1
4x
P
?y
p
y
G
????,
3333
;.
.
所以
y
p<
br>??3y
G
?4x
G
,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹
方程为:
2
1
x?(?3y?4x
2
)?2?0,即y?(4x<
br>2
?x?2).
3
(2)方法1:因为
FA?(x<
br>0
,x
0
?),FP?(
由于P点在抛物线外,则
|FP|?
0.
2
1
4
x
0
?x
1
11<
br>2
,x
0
x
1
?),FB?(x
1
,x1
?).
244
x
0
?x
1
111
2
?x
0
?(x
0
x
1
?)(x
0
?)x
0
x
1
?
FP?FA
44
?4
,
∴
cos?AFP??
2
1
|FP||FA||
FP|
22
|FP|x
0
?(x
0
?)
2
4
x
0
?x
1
111
2
?x
1
?
(x
0
x
1
?)(x
1
?)x
0
x
1
?
FP?FB
244
?
4
,
?同理有
cos?BFP?
1
|FP||FB||FP|
22
|F
P|x
1
?(x
1
?)
2
4
∴∠AFP=∠PFB
.
方法2:①当
x
1
x
0
?0时,由于x
1?x
0
,不妨设x
0
?0,则y
0
?0,
所以
P点坐标为
(
x
1
,0)
,则P
2
点到直线AF的
距离为:
d
1
?
即
(x
1
2
?)x?x<
br>1
y?
|x
1
|
1
;而直线BF的方程:y??24
x
1
2
?
x
1
1
4
x,
1
4
1
x
1
?0.
4
x
1
x
1
|x|
|(x
1
2
?)
1
?
1
|(x
1
2
?)
1
424
?
42
?
|x
1
|
所以P点到直线BF的距离为:d
2
?
1
2
2
1
222
x?
(x
1
?)?(x
1
)
1
4
4
所以d1
=d
2
,即得∠AFP=∠PFB.
1
1
4
(x?0),即(x
2
?
1
)x?xy?
1
x?0, ②当
x
1
x
0
?0
时,直线AF的方程:
y
??
000
4x
0
?044
2
x
0
?1
1
4
(x?0),即(x
2
?
1
)x?xy
?
1
x?0,
直线BF的方程:
y??
111
4x
1
?044
x
1
2
?
所以P点到直线AF的距离为:
;.
.
x?x
1
1
x?x
1<
br>11
22
2
|(x
0
?)(
0
)?x
0
x
1
?x
0
||
0
)(x
0
?)
42424
?
|x
0
?x
1
|
,同理
可得到P
d
1
??
1
2
2
1
2
2
2
x?
(x
0
?)?x
0
0
4
4
点到直线BF的距离
d
2
?
16.已知
y?f(x)?xlnx
.
(1)求函数
y?f(x)
的图像在
x?e
处的切线方程;
|x
1
?x
0
|
,因此由d
1
=d
2<
br>,可得到∠AFP=∠PFB.
2
(2)设实数
a?0
,求函数F(x)?
f(x)
在
?
a,2a
?
上的最小值;
a
12
?
成立.
x
ex
e
(3)证明对
一切
x?(0,??)
,都有
lnx?
解:(1)
?f(x)
定义域为
?
0,??
?
f
?
(x)?lnx?1
Qf(e)?e
又
Qk?f
(e)?2
?
函数<
br>y?f(x)
的在
x?e
处的切线方程为:
y?2(x?e)?e,即
y?2x?e
……3分
(2)
F(x)?
'
1<
br>1
(lnx?1)
令
F
'
(x)?0
得
x?
当
x?0,
1
,
F
'
(x)?0
,
F(x)
单调递减,当
e
a
e
?
?
x?
1
,??
,
F
'
(x)?0
,
F(x)
单
调递增. …………5分
e
(i)当
a?
?
?
1
时,
F(x)
在
?
a,2a
?
单调递增,
[F(x
)]
min
?F(a)?lna
,…………6分
e
11111?2a
即
?a?
时,
[F(x)]
min
?F()??
…………7分
e2eeee
11
即
0?a?
时,
F(x)
在
?
a,2a
?
单调递减,
e
2e
(ii)当
a?
(iii)当
2a?
[F(x)]
min
?F(2a)?2ln(2a)
………………8分
(3)问题等价于证明
xlnx?
x
x
?
2
(x?(0,??))
,
e
e
由(2)可知
f(x)?xlnx(x?(0,??))
的最小值是
?
1
,当且仅当
x?
1
时取得最小值……10分
e
e设
m(x)?
x
x
?
2
(x?(0,??))
,则
m'(x)?
1?
x
x
,
e
e
e<
br>当
x?(0,1)
时
m
?
(x)?0
,
m(
x)
单调递增;当
x?(1,??)
时
m
?
(x)?0,m
(x)
单调递减。故
;.
.
,当且仅当
x?1
时取得最大值…………12分
?
m(x)
?
max
?m(1)??
1
e
所以
[f(x)]
min
??
1
?[m(x)]
max
且等号不同时成立,即
xlnx?
x
x
?
2
(x?(0,??))
e<
br>e
e
e
ex
从而对一切
x?(0,??)
,都有lnx?
1
?
2
成立.…………13分
x
17.(本小题满分14分)已知函数
f(x)?ln(x?a)?x?x在x?0
处取得极值
.
(I)求实数
a
的值;
(II)若关于x的方程
f(x)??
范围;
(III)证明:对任意正整
数n,不等式
ln
2
5
x?b
在区间[0,2]上恰有两个不同的实
数根,求实数b的取值
2
n?1n?1
?
2
都成立.
n<
br>n
解:(I)
f
?
(x)?
1
?2x?1,
……………………………………………2分
x?a
?x?0
时,
f(x)
取得极值,
?f
?
(0)?0,
…………………………………………………………………3分
故
1
?2?0?1?0
,解得a=1,
0?a
经检验a=1符合题意.……………………………………………………………4分 (II)由a=1知
f(x)?ln(x?1)?x?x,由f(x)??
2
5<
br>x?b,
2
得
ln(x?1)?x?
2
33
x?b?0,
令
?
(x)?ln(x?1)?x
2
?x?b,
22
则
f(x)??
5
x?b在[0,2]
上恰有两
个不同的实数根等价于
2
?
(x)?0
在[0,2]上恰有两个不同的实数
根.…………………5分
?
?
(x)?
13?(4x?5)(x?1)
?2x??,
……………6分
x?122(x?1)
当
x?(0,1)时
,
?
?
(x)?0,于是
?
(x)在(0,1)
上单调递增
;.
.
当
x?(1,2)时,
?
?(x)?0,于是
?
(x)在(1,2)
上单调递减.
?
?<
br>(0)??b?0,
?
3
?
依题意有
?
?
(
1)?ln(1?1)?1??b?0,
2
?
?
?
?(2)?ln(1?2)?4?3?b?0,
1
?ln3?1?b?ln2?.
…
………………9分
2
(III)
f(x)?ln(x?1)?x?x
的定义
域为
{x|x??1},
……………10分
由(1)知
f
?
(x)?
2
?x(2x?3)
,
……………………………………
…11分
x?1
3
(舍去),
?当?1?x?0时,f
?
(x)?0,f(x)
单调递增;
2
令
f
?
(x)?0得
,x?0或x??
当x>0时,
f
?
(x)?0,f(x)
单调递减
.
?f(0)为f(x)在(?1,??)
上的最大值.(12分)
?f(x)?f
(0),故ln(x?1)?x
2
?x?0
(当且仅当x=0时,等号成立)………1
3分
对任意正整数n,取
x?
1111n?1n?1
?0
得,ln(?1)??
2
,故ln?
2
.
14分
nnn
n
n
n
x
2
y
2
18. (本小题满分12分) 已知椭圆
C:<
br>2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,
A
为
ab
椭圆短轴的一
个顶点,且
?AF
1
F
2
是直角三角形,椭圆上任一点
P<
br>到左焦点
F
1
的距离的最大值为
2?1
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)与两坐标轴都不垂直的直线
l:
y?kx?m(m?0)
交椭圆
C
于
E,F
两点,且
以线段
EF
为直径
的圆恒过坐标原点,当
?OEF
面积的最大值时,
求直线
l
的方程.
解:(1)由题意得
c2
?
,
a?c?2?1
————————2分
a2
;.
.
a?2,c?1
,则
b?1
——————3分
x
2
所以椭圆的方程为
?y
2
?1
————————————4分
2
?
x
2
?
?y
2
?1
(2)设
E
(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),
?
2
,联立得
(1?2k
2
)x
2
?4mkx?2m
2
?2?0
?
y?kx?m
?
?4mk
?
x?x?
12
?
1?2k
2
?
22
??8(2k?1?m)?0
,
?
,————————————————
——5分
2
2m?2
?
xx?
12
?
1
?2k
2
?
又
以线段
EF
为直径的圆恒过坐标原点,所以<
br>OE?OF?0
即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
,代入得
m
2
?
2
2
(k?1)
————————————7分
3
(2?2k
2
)(1?4k
2
)
-----9分
(1?2k
2
)
2
1
8(1?2k
2
?m
2
)
12
2
S?d|EF|
=
1?k?
2
33
(1?2k
2
)
2
2
设
t?1?2k
?1
,则
S?
21121192
?
2
??2??(?)2
??
3t3t242
t
当
t?2
,即t?1?2k?2,k??
2
22
时,面积
S
取得最大值,——
————————11分
22
2
x?1
——————————————-12分
2
又
m?1
,所以直线方程为
y??
19.(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?x
2
ln(ax)(a?0)
(1)若
f'(x)?x
2
对任意的
x?0
恒成立,求实数
a
的取
值范围;
(2)当
a?1
时,设函数
g(x)?
f(x)
1
,若
x
1
,x
2
?(,1),x
1
?x
2
?1
,求证
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
4
xe
解:(1)
f'(x)?2xln(ax)?x
————————1分
f'
(x)?2xln(ax)?x?x
2
,即
2lnax?1?x
在
x
?0
上恒成立
设
u(x)?2lnax?1?x
u'(x)?
3分
2
?1?0,x?2
,
x?2
时,单调减,
x?2
单调增,所以
x?2
时,
u(x)
有最
大值
u(2)
————
x
;.
.
u(2
)?0,2ln2a?1?2
,所以
0?a?
(2)当
a?1
时,<
br>g(x)?
e
——————————5分
2
f(x)
?xlnx
,
x
111
g(x)?1
?lnx?0,x?
,所以在
(,??)
上
g(x)
是增函数,(0,)
上是减函数——————————6
eee
1
?x
1<
br>?x
1
?x
2
?1
,所以
g(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)ln(x
1
?
x
2
)?g(x
1
)?x
1
lnx
1
<
br>e
x
1
?x
2
ln(x
1
?x
2<
br>)
x
1
x
1
?x
2
ln(x1
?x
2
)
——————————————————————————8
分
x
2
x
1
?x
2
x
1
?x<
br>2
xx
?)ln(x
1
?x
2
)?(2?
1
?
2
)ln(x
1
?x
2
)
x
2
x
1
x
2
x
1
分
因为
即
lnx
1
?
同理
lnx
2
?
所以
lnx
1
?lnx
2
?(
又因为
2?
x
1
x
2
??4,
当且仅当“
x
1
?x
2
”时,取等号————————————————10分
x
2
x
1
又
x
1
,x
2
?(,1),x
1
?x
2
?1
,
ln(x
1
?x
2
)?0
——————————11分
所以
(2?
1
e
x
1
x
2
?)ln(x
1
?x
2
)?4ln(x1
?x
2
)
x
2
x
1
所以
lnx
1
?lnx
2
?4ln(x
1
?x
2
)
4
所以:
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
————————————12分
?ABC
的内切圆与三边
AB,BC,CA
的切点分别为
D,E,F
,已知
B(?2,0),C(2,0)
,内切圆圆心
I(1,t),t?0
,
设点
A
的轨迹为
L
.
(1)求
L
的方程; 20.本小题满分12分
(2)过点
C
的动直线
m
交曲线
L
于不同的两点
M,N
(点
M
在
x
轴的上方),
问在
x
轴上是否存
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCQN?Q
C
在一定点
Q
(
Q
不与
C
重合),使
uu
uur
?
uuur
恒成立,若存在,试求出
Q
点的坐标;若
QMQN
不存在,说明理由.
;.
y
A
D
.
I
B O
E
F
x
C
.
【解】(1)设点
A(x,
y)
,由题知
AB?AC?BD?CE?BE?CE
?BO?OE?
?
OC?OE
?
?2OE?2
,根据双曲线定义知,点
A
的轨迹是以
B,C
为焦点,实
轴长为
2
的双曲线的右支(除去点E
),故
L
的方程为
x?y?1(x?1)
. …4分
(2)设点
Q(x
0
,0),M(x
1
,y
1
)
,N(x
2
,y
2
)
.
22
uuuuruuur
uuuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCcos?QM,QC?QNQCcos?QN,QC?
QM?QCQN?QC
uuu
uruuur
Q
???
uuuuruuur
|QM||
QN|
QMQN
?cos?MQC?cos?NQC
,
??MQC??NQC
……………………… 6分
①当直线
MN?x
轴时,点
Q(x
0
,0)
在
x
轴上任何一点处都能使得
?MQC??NQC
成
立.
………………………7分
22
?
?
x?y?1
②当直线
MN
不与
x
轴垂直时,设直线
MN:y?k(x?2)
,由
?
得
?
?
y?k(x?2)
(1?k
2
)
x
2
?22k
2
x?(2k
2
?1)?0
22k
2
2k
2
?1
?x
1
?
x
2
?
2
,x
1
x
2
?
2
…………… 9分
k?1k?1
?y
1
?y
2
?k(x
1
?2)?k(x
2
?2)?k(x
1
?x
2
)?22k?
Q
tan?MQC?k
QM
?
22k
k
2
?1
y
1y
2
,tan?NQC??k
QN
??
,使
?MQC?
?NQC
,只需
x
1
?x
0
x
2
?x0
tan?MQC?tan?NQC
成立,即
y
1
y
2
,即
x
2
y
1
?x
0
y
1
?x
1
y
2
?x
0
y
2
?0
,
??
x
1
?x
0
x
2
?x<
br>0
?(y
1
?y
2
)x
0
?x
2<
br>?k(x
1
?2)?x
1
?k(x
2
?2)?2kx
1
x
2
?2x(x
1
?x
2
)
,
即
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCQN?QC
22k2k2
2
(,0)
x?x?
,故,故所求的点的坐标为时,
Q
uuuur
?
uuur
恒
00
2
2
k
2
?1
k
2
?1
QMQN
成立.
………………………12分
;.