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高考数学压轴题精选(一)(老师用)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:25
tags:高中数学压轴题

安徽省人教版高中数学书上所有定理-高中数学小题考点

2020年10月6日发(作者:常惠)


.
高考数学压轴题精选(一)
1.(本小题满分12分)设函数
f (x)?
1?x
?lnx

[1,??)
上是增函数。求正实数a
的取值范围;
ax

b?0,a?1
,求证:
1a?ba?b
?ln?.

a ?bbb
解:(1)
f(x)?
'
ax?1
?0

x?[1,??)
恒成立,
2
ax
?a?


1

x?[1,??)
恒成立
x
1
?1
?a?1
为所求。
x
a?ba?b
?1
, ,
?a?1,b?0,?
bb1?x
?lnx

[1,??)
上是增函数,
ax
(2)取
x?
一方面,由(1)知
f(x)?
?f(

a?b
)?f(1)?0

b


a?b
b
?ln
a?b
?0

?
a?b< br>b
a?
b
1?

ln
a?b1
?

ba?b
另一方面,设函数
G(x)?x?lnx(x?1)

G
'
(x)?1?



1x?1
??0(?x?1)

xx

G(x)

(1,??)
上是增函数且在
x?x
0
处连续,又
G(1) ?1?0

∴当
x?1
时,
G(x)?G(1)?0


x?lnx

a?ba?b
?ln

bb
;.


.
综上所述,
1a?ba?b
?ln?.

a?bbb
2.已知椭圆C 的一个顶点为
A(0,?1)
,焦点在x轴上,右焦点到直线
x?y?1?0

的距离为
2

(1)求椭圆C的方程;
uuuruuur
(2)过点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,设
FA?
?
FB, T(2,0)
,若
?
?[?2,?1],求|TA?TB|
的取值范围。 < br>解:(1)由题意得:
|c?1|
2
?2
?c?1
…………… ……1分
由题意
b?1,?a?2

2
所以椭圆方程为
x
2
?y
2
?1
………………………3分
(2)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
x?ky?1,

x
2
代入
2
?y
2
?1
中,得
(k
2
?2)y
2< br>?2ky?1?0.


A(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
),


y?y
k1
12
??
2
k
2
?2
y
1
y
2
??
k
2
?2
.
……………………………5分

FA?
?
FB,
∴有
y
1
y
?
?
,且
?
?0.

2
?
(y
2< br>1
?y
2
)
4k
2
14
y
????
k
2
2
?
?
??2
2
1
y
2
k?2
?
k?2
?
?[?2,?1]??
5
?
?
?
1
2
?
??2??
1
2
?< br>?
?
1
?
?2?0
??
1
2
??< br>4k
2
22
k
2
?2
?0?k
2
?
7
?0?k
2
?
7.
…………7分

T A?(x
1
?2,y
1
),TB?(x
2
?2,y
2
),?TA?TB?(x
1
?x
2
?4,y
1
? y
2
).


y
2k4
1
?y
2
??
k
2
?2
,?xx)?2??
(k
2
?1)
1
?
2
?4?k(y
1
?y
2
k< br>2
?2
.

;.


.

|TA?TB|
2
?(x
1
?x
2
?4)
2
?(y
1
?y
2
)
2

16(k
2
?1)
2
4k
2
16(k
2
?2)
2
?28(k
2
?2)?8

??
2
?
22 222
(k?2)(k?2)(k?2)
?16?

t?
288?
……………………………………………………8分
222
k?2(k?2)< br>1271171
2
∴,即
.?0?k???t?[,].

2 2
716
k?2
2162
k?2
717

|TA? TB|
2
?f(t)?8t
2
?28t?16?8(t?)
2
?.

42
71169

t?[,]
,∴
f(t )?[4,]

16232

|TA?TB|?[2,
132
].
………………………………………………………10分
8

3.设函数
f(x)?x?ax?ax?m
(a?0)

(1)若< br>a?1
时函数
f(x)
有三个互不相同的零点,求
m
的范围;
(2)若函数
f(x)

?
?1,1
?
内没有极值 点,求
a
的范围;
(3)若对任意的
a?
?
3,6
?
,不等式
f(x)?1

x?
?
?2,2
?< br>上恒成立,求实数
m
的取值范围.
解:(1)当
a?1

f(x)?x?x?x?m

因为
f(x)
有三个互不相同的零点,所以
f(x)?x?x?x?m?0
, < br>即
m??x
3
?x
2
?x
有三个互不相同的实数根。

g(x)??x?x?x
,则
g(x)??3x?2x?1??(3x?1 )(x?1)

因为
g(x)

(??,?1)

(
1
为增函数,
,
1
3
,??)
均为减函数, 在
?1
3
5
m
的取值范围
?
?1,
27< br>?

32'2
32
32
322
??
(2)由 题可知,方程
f(x)?3x?2ax?a?0

?
?1,1
?上没有实数根,
'22
?
f
'
(1)?3?2a?a
2
?0
?
'2
因为
?
f(?1)?3?2a?a?0
,所以
a?3

?
a?0
?
;.


.
'22
(3)∵
f(x)?3x?2ax?a?3(x?
a
3
)(x?a)
,且
a?0

a
∴函 数
f(x)
的递减区间为
(?a,
a
3
)
,递增区 间为
(??,?a)

(
3
,??)


a?
?
3,6
?
时,
a
3
?
?
1,2
?
,?a??3,

x?
?
?2,2
?

f(x)
max
?max
?
f(?2),f(2 )
?

f(2)?f(?2)?16?4a?0

2
2
f(x)
max
?f(?2)??8?4a?2a?m

又 ∵
f(x)?1

x?
?
?2,2
?
上恒成立,

f(x)
max
?1
,即
?8?4a?2a
2< br>?m?1
,即
m?9?4a?2a
2

a?
?
3,6
?
恒成立。


9?4a?2a
2
的最小值为
?87


x
2
y
2
2
4.(本题满分14分)已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为,直线
l:y?x?22
2
ab
与以原点为圆心、以椭圆
C
1
的短 半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆
C
1
的方程;
(Ⅱ)设椭 圆
C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
l
2

l
1
于点P,线段PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭 圆C
1
的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F
2
,求四边形ABCD的面积的 最小
值.

2c
2
a
2
?b
2
1
222
,?e?
2
??,?a?2b
解:(Ⅰ)
Qe?< br>
2
2aa2
22
?直线l:x?y?2?0与圆x
2
?y
2
?b
2
相切
??b,?b?2,b
2
?4 ,?a
2
?8,

2
x
2
y
2
??1.
∴椭圆C
1
的方程是 …………3分
84
(Ⅱ)∵MP=MF
2< br>,∴动点M到定直线
l
1
:x??2
的距离等于它到定点F
2
(2,0)的距离,∴动点
M的轨迹C是以
l
1
为准线,F
2
为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C
2
的方程为
y?8x
…………6分
(Ⅲ)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,
A(x< br>1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
, 则直线AC的方程为
y?k(x?2).

2
x
2
y
2
??1及y?k(x?2)得(1?2k
2
)x
2
?8k
2
x?8k
2
?8?0.
联立
84
8k
28k
2
?8
,x
1
x
2
?.
所以< br>x
1
?x
2
?
22
1?2k1?2k
;.


.
32(k
2
?1)
|AC|?(1?k)(x< br>1
?x
2
)?(1?k)[(x
1
?x
2
) ?4x
1
x
2
]?
….9分
2
1?2k
32(1?k
2
)
11
由于直线BD的斜率为
?,用?
代换 上式中的k可得
|BD|?

2
k?2
kk
2222

AC?BD

116(1?k
2
)
2
∴四边形ABCD的面积为
S?|AC|?| BD|?
2
……..12分
2(k?2)(1?2k
2
)
(1?2k
2
)?(k
2
?2)
2
3(k
2
?1)
2
]?[]

(1?2k)(k?2)?[
22
64
所以
S?,当1?2k
2
?k
2
?2时,即k??1< br>时取等号.
9
22
…………13分
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积
S?8

x
2
y
2
2
5.(本小题满分14分)已知椭圆
2

2
=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F
1
.F
2
,离心率e=,右
ab2
准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
226
→→
(2)过点F
1
的直线l与该椭圆相交于M.N两点,且|F2
M+F
2
N|=,求直线l的方程.
3
2
=,?
c
a2
解析:(1)由条件有
?
a
?
c=2
2

解得a=2,c=1.
∴b=a
2
-c
2
=1.
x
2
所以,所求椭圆的方程为+y
2
=1.
2
(2)由(1)知F
1
(-1,0).F
2
(1,0).
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,
2
将x=-1代入椭圆方程得y=±.
2
22
不妨设M
?
-1,
?
.N
?
-1,-
?

2
?
2
???
22
→→
∴F
2
M+F
2< br>N=
?
-2,
?

?
-2,-
?
= (-4,0).
2
??
2
??
→→
∴|F
2M+F
2
N|=4,与题设矛盾.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).
x
2
2
?
?
+y=1,
设M(x
1
,y
1
).N(x< br>2
,y
2
),联立
?
2

?
y=k(x+1)
?

消y得(1+2k
2
)x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0.
-4k
2
2k
由根与系数的关系知x
1
+x
2
=.
2
,从而y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2+2)=
1+2k1+2k
2
→→
又∵F
2
M=(x< br>1
-1,y
1
),F
2
N=(x
2
-1,y
2
),
→→
∴F
2
M+F
2
N=(x< br>1
+x
2
-2,y
1
+y
2
).
→→
∴|F
2
M+F
2
N|
2
=(x
1< br>+x
2
-2)
2
+(y
1
+y
2

2

8k
2
+2
?
2
?
2k?
2
4(16k
4
+9k
2
+1)
?
=+=.
4k
4
+4k
2
+1
?
1+2k
2
?
?
1+2k
2
?
4(16k
4
+9 k
2
+1)
?
226
?
2
∴=
4k
4
+4k
2
+1
?
3
?

;.


.
化简得40k
4
-23k
2
-17=0,
17
解得k
2
=1或k
2
=-(舍).∴k=±1.
40
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.

6.
( 本小题满分12分)已知
a?R
,函数
f(x)??lnx?1

g (x)?
?
lnx?1
?
e
x
?x
(其中
e
为自然对
数的底数).

(1)判断函数
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的单调性;
(2)是否存在实数
x
0
?
?
0,e
?
,使曲线
y?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直? 若存在,求出
x
0

值;若不存在,请说明理由.

a< br>x
a1x?a
a
?lnx?1
,∴
f
?
(x )??
2
??
2

xxx
x

f
?
(x)?0
,得
x?a

解(1):∵
f(x)?< br>①若
a?
0
,则
f
?
(x)?0

f
?
x
?
在区间
?
0,e
上单调递增.
②若
0?a?e
,当
x?
?
0,a
?
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?
在区间
?
0,a
?
上单调递减,

x?
?
a, e
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x?
在区间
?
a,e
上单调递增,
③若
a?e
,则
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?在区间
?
0,e
上单调递减. ……6分
(2)解:
g(x)?
?
lnx?1
?
e?x

x?
?< br>0,e

x
?
??
?
?
e
x?
1
?
xx
?
?
g
?
(x)?
?
lnx?1
?
e?
?
lnx?1
?
?
e
?
?1
??
?
lnx?1
?
e
x
?1?
?
?lnx?1
?
e
x
?1
由(1)可知 ,
x
?
x
?
1

a?1
时,
f( x)??lnx?1

x
1
此时
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的最小值为
ln1?0
,即
?lnx?1?0

x
?
1
?
1
x
?lnx
0< br>?1?0
,∴
g
?
(x
0
)?
?
? lnx
0
?1
?
e
x
0
?1?1?0
. 当
x
0
?
?
0,e
?

e
0?0

x
0
?
x
0
?
曲线
y ?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直等价于方程< br>g
?
(x
0
)?0
有实数解.

g
?
?
x
0
?
?0
,即方程
g
?
(x
0
)?0
无实数解.
故不存在
x
0
?
?
0,e
,使曲线
y?g(x)

?
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直……12分


7.(本小题满分12分)已知线段
CD?23

CD
的 中点为
O
,动点
A
满足
AC?AD?2a

a为正
常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点
A
所在的曲线方程;
(2)若
a?2
,动点
B
满足
BC?BD?4
,且
OA?OB,试求
?AOB
面积的最大值和最小值.

解(1)以
O为圆心,
CD
所在直线为轴建立平面直角坐标系.若
AC?AD?2a?23,即
0?a?3

动点
A
所在的曲线不存在;若
AC? AD?2a?23
,即
a?3
,动点
A
所在的曲线方程为
; .


.
y?0(?3?x?3)
;若
AC?AD?2a?2 3
,即
a?3
,动点
A
所在的曲线方程为
x
2y
2
?
2
?1
.……4分
2
aa?3
x
2
x
2
2
(2)当
a?2
时,其曲线方程为椭 圆
?y?1
.由条件知
A,B
两点均在椭圆
?y
2
?1
上,且
44
OA?OB

1

A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

OA
的斜率为
k
(k?0)
,则
OA
的 方程为
y?kx

OB
的方程为
y??x
k
?y?kx
?
解方程组
?
x
2

2
?< br>?y?1
?
4
4
4k
2
2
2
x
1
?

y
1
?

1?4k
2
1?4k
2
4
4k
2
2
2
同理可求得< br>x
2
?
2

y
2

?
2
k?4
k?4
11
(1?k
2
)
2
21?kx
1
1?
2
x
2
=
2
………… ……8分
?AOB
面积
S?
22
2k
(1?4k)(k? 4)

1?k
2
?t(t?1)

t
2
1
S?2?2

2
99
4t?9t? 9
?
2
??4
tt
991125254

g(t) ??
2
??4??9(?)
2
?(t?1)
所以
4?g(t )?
,即
?S?1

ttt2445
4

k?0< br>时,可求得
S?1
,故
?S?1

5
4

S
的最小值为,最大值为1. ……12分
5

y
2
x
2
8.(本小题满分12分)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) 是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点,已知向量
ab
3
xyxy
m?(
1
,
1
),n?(
2< br>,
2
)
,若
m?n?0
且椭圆的离心率e=,短轴长为
2

O
为坐标原点.
2
baba
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
< br>[来源:]
ca
2
?b
2
3
y
2
? ?a?2,c?3
椭圆的方程为
?x
2
?1
4分 解:
2b?2.b?1,e??
aa2
4
(2) ①当直线AB斜率不存在时 ,即
x
1
?x
2
,y
1
??y
2
,由
m?n?0

y
1
2
x??0?y
1
2
?4x
1
2
…………5分
4
4x
1
2
2
2
?1?x
1
?,y
1
?2

A(x
1
,y
1
)
在椭圆上,所以
x
1
?
42
2
1
;.


.
s?
11< br>x
1
y
1
?y
2
?x
1
2y
1
?1

22
所以三角形的面积为定值.……6分
②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b

?
y?kx?b
?2kb
?
2
222

? (k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
2< br>k?4
?
?x?1
?
4
b
2
?4
2 22
x
1
x
2
?
2
,?=(2kb)?4(k+4)(b?4)>0……………8分而
m?n?0
,
k ?4
yy(kx?b)(kx
2
?b)
x
1
x
2< br>?
12
?0?x
1
x
2
?
1
?0代 入整理得:
44

22
2b?k?4
……………10分
1|b|1|b|4k
2
?4b
2
+164b
2
2
S=
2
|AB|=
2
|b|(x
1
+x
2
)?4x
1
x
2
==
2|b|
=1
2( k
2
+4)
1+k
2
综上三角形的面积为定值1.…………………… …12分

9.已知函数
f(x)
的导数
f'(x)?3x
2
?3ax,
f(0)?b

a

b
为实数,< br>1?a?2

(1) 若
f(x)
在区间
[?1,1]上的最小值、最大值分别为
?2
、1,求
a

b
的值;
(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点
P
(2,1)处的切线方程;
(3) 设函数
F(x)?[f'(x)?6x?1]ge
2x
,试判断函数
F(x)
的极值点个数.

解:(1) 由已知得,
f(x)?x
3
?ax
2
?b
, 由
f
?
(x)?0
,得
x
1
?0

x
2
?a


x?[?1, 1]

1?a?2

∴ 当
x?[?1, 0)
时,
f
?
(x)?0

f(x)
递增;当
x?(0, 1]
时,
f
?
(x)?0

f(x)
递减.

f(x)
在区间
[?1, 1]
上的最大值为
f(0)?b
,∴
b?1

33

f(1)?1?a?1?2?a

22
33
f(?1)??1?a?1??a

22

f(?1)?f(1)

44
3
由题意得
f(?1)?? 2
,即
?a??2
,得
a?
. 故
a?

b?1
为所求.
33
2
(2) 由 (1) 得
f(x)?x?2x?1

f
?
(x)?3x?4x,点
P(2, 1)
在曲线
f(x)
上.
当切点为
P(2, 1)
时,切线
l
的斜率
k?f
?
(x)|
x?2
?4


l
的方程为
y?1?4(x?2)


4x?y?7?0

(3
;.
322
3
2


.
22x
?

F(x)?(3x
2
?3ax?6x?1)?e
2x
?
?
3x?3(a?2)x?1?e
??
22x
?
F
?
(x)?
?
6x?3(a?2)
?
?e
2x
?2
?
3x?3(a?2)x?1?e
??
22x

?[6x?6(a?3)x?8?3a]?e
2

二次函数
y?6x?6(a?3)x?8?3a
的判别式为
2
?? 36(a?3)
2
?24(8?3a)?12(3a
2
?12a?11)?1 2
?
3(a?2)?1
?
??

??0
,得: < br>13333
(a?2)
2
?,2??a?2?.

??0
,或a?2?.

e
2x
?0
,得
a?2?

1?a?2

33333
3
?a?2
时,
F
?
(x)?0,函数
F(x)
为单调递增,极值点个数为0; ∴当
2-
3
3

1?a?2?
时,此时方程
F
?
(x)?0
有两 个不相等的实数根,
3
根据极值点的定义,可知函数
F(x)
有两个极值点.

a?x
2
?lnx
10.
已知函数f(x)=
x
1
??
a?R,x?[,2]
??

2
??
(1)当
a?[?2,)
时, 求
f(x)
的最大值;
(2) 设
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
,
k

g(x )
图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数
a
,使得
k?1
恒成立 ?若存在,求
a
的取值范围;若不存在,请说明理由.























1
4
(2)存在
a?(??,]
符合条件
;.
7
4


.
解: 因为
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
=
ax?x
3

不妨设任意不同两点
p
1
(x
1
,y
1
) ,p
2
(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2

3
y
1
?y
2
a(x
1
?x
2
)?(x
2
?x
1
3
)
k??
x?xx
1
?x
2

12
2?a?(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2< br>)
2
)

k?1
知:
a?
1+
(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
2< br>又
?x
2
?4

a?

1
4
7
4
故存在
a?(??,)
符合条件.…12分
解法二:据题意 在
y?g(x)
图象上总可以在找一点
P(x
0
,y
0)
使以P为切点的切线平行图象
上任意两点的连线,即存在
k?
2
?a?1?3x
0
?
7
4
g(x
1
)?g(x< br>2
)
2
?g'(x
0
)?a?3x
0
?1< br>
x
1
?x
2
77
故存在
a?(??,)< br>符合条件.

44


11.A﹑B﹑C是直线
l< br>上的三点,向量
OA

OB

OC
满足:
O A
-[y+2
f
?
(1)

OB
+ln(x+1 )·
OC
=
0

(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若x>0, 证明f(x)>
(Ⅲ)当
2x

x?2
1
2

x?f(x
2
)?m
2?2bm?3
时,x
?
?
?1,1
?
及b
?< br>?
?1,1
?
都恒成立,求实数m的取值范围。
2

解I)由三点共线知识,
??

OA?[y?2f(1)]OB?ln(x ?1)]?OC?0
,∴
OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC
, ∵A﹑B﹑C三
点共线,
?

[y?2f(1)]?[?ln(x?1)]?1

?

y?f(x)?ln(x?1)?1?2f(1)
.
11??
f(x)?f(1)?

x?1

2

∴f(x)=ln(x+1)………………4分
2x
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-
x?2
,
;.


.
x
2
?

g(x)?
(x?1 )(x?2)
2

?
∵x>0∴
g(x)?0

2x
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
x?2
;………8分
1
222
x?f(x)?m?2bm?3
,令 (III)原不等式等价于< br>2
x
3
?x
1
2
1
222
?
h(x)=
2
x?f(x)
=
2
x?ln(1?x),

h(x)?
1?x
2
,

当x∈[-1,1]时,[h(x)]
max
=0, ∴m-2bm-3≥0,令Q(b)= m-2bm-3,则由Q(1)≥0及Q(-1)≥0解得
m≤-3或m≥3. …………12分

22

12.已知
M
经过点
G(0,?1),且与圆
Q:x?(y?1)?8
内切.
(Ⅰ)求动圆
M
的圆心的轨迹
E
的方程.
(Ⅱ)以
m?(1,2)
为方向向量的直线
l
交曲线
E
于不同的两点
A、
B
,在曲线
E
上是否存在点
P
使四边形
OA PB
为平行四边形(
O
为坐标原点).若存在,求出所有的
P
点的坐 标与直线
l
的方程;
若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)依题意 ,动圆与定圆相内切,得|
MG|?|MQ|?22
,可知
M
到两个定点G

Q
的距
离和为常数,并且常数大于
|GQ|
,所以
P
点的轨迹为椭圆,可以求得
a?
22
2

c?1

b?1

y
2
?1
.……………………5分 所以曲线
E
的方程为
x?
2
2
(Ⅱ)假设
E
上存在点
P
,使四边形
OAPB
为平行四边形.
y
2
?1
. 由(Ⅰ)可知曲线E的方程为
x?
2
2
设直线
l
的方程为
y?2x?m

A(x
1,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
.
?
y?2x?m;
?

?
,得
y
2
2
?1.
?
x?
2
?
4x
2
? 22mx?m
2
?2?0

m
2
?2
2m

??0

m?4
,且
x
1
?x
2??

x
1
x
2
?
,………7分
2
4
2
;.


.
m
2
? 2

y
1
y
2
?(2x
1
?m)(2x< br>2
?m)?

2
y
1
?y
2
?< br>(2x
1
?m)?(2x
2
?m)?m

E
上的点
P
使四边形
OAPB
为平行四边形的充要条件是
OP?OA?OB


P点的坐标为(x
1
?x
2,y
1
?y
2


(y
1
?y
2
)
2
?1
, 且
( x
1
?x
2
)?
2
2
yy
2
又< br>x
1
?
1
?1

x
2
?
2
?1
,所以可得
2x
1
x
2
?y
1
y
2
?1?0
,…………9分
22
2
22
可得
m
2
?1
,即
m?1

m??1

m?1
时,
P(?
2
,1)
,直线
l
方程为
y?2x?1

2
2
,?1)
,直线
l
方程为
2
m??1
时,
P(
y?2x?1
.……………………12分


13.已知函数
f
?
x
?

g
?
x
?
的图象关于原点对称,且
f
?
x
?
?x
2
?2x

(Ⅰ)求函数
g
?
x
?
的解析式;
(Ⅱ)解不等 式
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1

(Ⅲ)若
h
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?1

?
?1,1
?
上是增函数,求实数
?
的取值范围.
解:(Ⅰ)设函数
y?f
?
x
?
的图象上任意一点
Q< br>?
x
0
,y
0
?
关于原点的对称点为
P?
x,y
?
,则
?
x
0
?x
?0,< br>?
?
x
0
??x,
?
2


??
y?yy??y.
?
0
?0,
?
0
?
?
2
∵点
Q
?
x
0
,y
0
?< br>在函数
y?f
?
x
?
的图象上

?y?x
2
?2x,即y??x
2
?2x, 故g
?
x
?
??x
2
?2x

;.


.
(Ⅱ)由
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1, 可得2x
2
?x?1?0


x?1
时,
2x?x?1?0
,此时不等式无解。
当< br>x?1
时,
2x?x?1?0
,解得
?1?x?
因此,原不等 式的解集为
?
?1,
?

2
2
2
1

2
?
(Ⅲ)
h?
x
?
??
?
1?
?
?
x
2
?2
?
1?
?
?
x?1


当< br>?
??1时,h
?
x
?
?4x?1在
?
?1 ,1
?
上是增函数,
?
?
??1



?
??1时,对称轴的方程为x?
?
?
1
?
1?
?
.

1?
?
1?
?
ⅰ)
?
??1时,??1,解得
?
??1.

1?
?
1?
?
ⅱ)

?
??1时,??1,解得?1?
?
?0.
综上,
?
?0.

1?
?

14 .已知函数
f(x)?lnx?
1
2
ax?2x(a?0).
2
(1)若函数
f(x)
在定义域内单调递增,求
a
的取值范围 ;
(2)若
a??
11
且关于x的方程
f(x)??x?b

?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根,求实数
b
的< br>2
2
取值范围;
n
*
(3)设各项为正的数列
{a
n
}
满足:
a
1
?1,a
n?1
?lna
n
?a
n
?2,n?N.
求证:
a
n
?2 ?1

ax
2
?2x?1
(x?0).
解:(1)
f
?
(x)??
x
依题意
f
?
(x)?0

x?0
时恒成立,即
ax?2x?1?0

x?0
恒成 立.

a?
2
1?2x11
2
?(?1)?1a?((? 1)
2
?1)
min
(x?0)
在恒成立,即
x?02
xxx
1
x
2

x?1
时,
(?1 )?1
取最小值
?1


a
的取值范围是
(??, ?1]
……
4
?

(2)
a??,f(x)??
1 13
x?b?x
2
?x?lnx?b?0.

242
13( x?2)(x?1)

g(x)?x
2
?x?lnx?b(x?0).

g
?
(x)?.
列表:
422x
x

1
2
(0,1)

?

1

(1,2)

2

(2,4)

?

g
?
(x)

;.
0

?

0


.
g(x)

?

极大值
?

极小值
?


g(x)< br>极小值
?g(2)?ln2?b?2

g(x)
极大值
?g( 1)??b?
5
,又
g(4)?2ln2?b?2
……
6
?

4
Q
方程
g(x)?0
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
?
g(1)?0
5
?

?
g(2)?0
, 得
ln2?2?b??
…………
8
?

4
?
g(4)?0
?
(3)设
h(x)?lnx?x?1,x?
?
1, ??
?
,则
h
?
(x)?
1
?1?0
< br>x
?h(x)

?
1,??
?
为减函数,且
h(x)
max
?h(1)?0,
故当
x?1
时有
lnx? x?1
.
Qa
1
?1.
假设
a
k
?1( k?N
*
),

a
k?1
?lna
k
?a
k
?2?1
,故
a
n
?1(n?N
*
).

n
从而
a
n?1
?lna
n
?a
n
?2?2a
n
?1.
?1?a
n?1
?2(1?an
)?LL?2(1?a
1
).

nn

1? a
n
?2
,∴
a
n
?2?1
…………

15.(本小题满分14分)
2
C:y?x
如图,设抛物线的焦点为F,动 点P在直线
l:x?y?2?0
上运动,过P作抛物线C
的两条切线PA、PB,且与 抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
22
解:(1)设切点A、B坐标分别为
(x,x
0
)和(x
1
,x
1
)((x
1
?x
0
)

2
∴切线AP的方程为:
2x
0x?y?x
0
?0;

切线BP的方程为:
2x
1
x?y?x
1
?0;

2
x
0
?x
1
,y
P
?x
0
x< br>1
解得P点的坐标为:
x
P
?
2
所以△APB的重心G的坐标为 x
G
?
x
0
?x
1
?x
P
? x
P

3
2
2
y
0
?y
1?y
P
x
0
?x
1
2
?x
0
x
1
(x
0
?x
1
)
2
?x
0< br>x
1
4x
P
?y
p
y
G
????,

3333
;.


.
所以
y
p< br>??3y
G
?4x
G
,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹 方程为:
2
1
x?(?3y?4x
2
)?2?0,即y?(4x< br>2
?x?2).

3
(2)方法1:因为
FA?(x< br>0
,x
0
?),FP?(
由于P点在抛物线外,则
|FP|? 0.

2
1
4
x
0
?x
1
11< br>2
,x
0
x
1
?),FB?(x
1
,x1
?).

244
x
0
?x
1
111
2
?x
0
?(x
0
x
1
?)(x
0
?)x
0
x
1
?
FP?FA
44
?4
,

cos?AFP??
2
1
|FP||FA|| FP|
22
|FP|x
0
?(x
0
?)
2
4
x
0
?x
1
111
2
?x
1
? (x
0
x
1
?)(x
1
?)x
0
x
1
?
FP?FB
244
?
4
,

?同理有
cos?BFP?
1
|FP||FB||FP|
22
|F P|x
1
?(x
1
?)
2
4
∴∠AFP=∠PFB .
方法2:①当
x
1
x
0
?0时,由于x
1?x
0
,不妨设x
0
?0,则y
0
?0,
所以 P点坐标为
(
x
1
,0)
,则P
2
点到直线AF的 距离为:
d
1
?

(x
1
2
?)x?x< br>1
y?
|x
1
|
1
;而直线BF的方程:y??24
x
1
2
?
x
1
1
4
x,

1
4
1
x
1
?0.

4
x
1
x
1
|x|
|(x
1
2
?)
1
?
1
|(x
1
2
?)
1
424
?
42
?
|x
1
|
所以P点到直线BF的距离为:d
2
?
1
2
2
1
222
x?
(x
1
?)?(x
1
)
1
4
4
所以d1
=d
2
,即得∠AFP=∠PFB.
1
1
4
(x?0),即(x
2
?
1
)x?xy?
1
x?0, ②当
x
1
x
0
?0
时,直线AF的方程:
y ??
000
4x
0
?044
2
x
0
?1
1
4
(x?0),即(x
2
?
1
)x?xy ?
1
x?0,
直线BF的方程:
y??
111
4x
1
?044
x
1
2
?
所以P点到直线AF的距离为:
;.


.
x?x
1
1
x?x
1< br>11
22
2
|(x
0
?)(
0
)?x
0
x
1
?x
0
||
0
)(x
0
?)
42424
?
|x
0
?x
1
|
,同理 可得到P
d
1
??
1
2
2
1
2
2
2
x?
(x
0
?)?x
0
0
4
4
点到直线BF的距离
d
2
?

16.已知
y?f(x)?xlnx

(1)求函数
y?f(x)
的图像在
x?e
处的切线方程;
|x
1
?x
0
|
,因此由d
1
=d
2< br>,可得到∠AFP=∠PFB.
2
(2)设实数
a?0
,求函数F(x)?
f(x)

?
a,2a
?
上的最小值;
a
12
?
成立.
x
ex
e
(3)证明对 一切
x?(0,??)
,都有
lnx?
解:(1)
?f(x)
定义域为
?
0,??
?
f
?
(x)?lnx?1
Qf(e)?e

Qk?f

(e)?2

?
函数< br>y?f(x)
的在
x?e
处的切线方程为:
y?2(x?e)?e,即
y?2x?e
……3分
(2)
F(x)?
'
1< br>1
(lnx?1)

F
'
(x)?0

x?

x?0,
1

F
'
(x)?0

F(x)
单调递减,当
e
a
e
?
?
x?
1
,??

F
'
(x)?0

F(x)
单 调递增. …………5分
e
(i)当
a?
?
?
1
时,
F(x)

?
a,2a
?
单调递增,
[F(x )]
min
?F(a)?lna
,…………6分
e
11111?2a

?a?
时,
[F(x)]
min
?F()??
…………7分
e2eeee
11

0?a?
时,
F(x)

?
a,2a
?
单调递减,
e
2e
(ii)当
a?
(iii)当
2a?
[F(x)]
min
?F(2a)?2ln(2a)
………………8分
(3)问题等价于证明
xlnx?
x
x
?
2
(x?(0,??))

e
e
由(2)可知
f(x)?xlnx(x?(0,??))
的最小值是
?
1
,当且仅当
x?
1
时取得最小值……10分
e
e
m(x)?
x
x
?
2
(x?(0,??))
,则
m'(x)?
1?
x
x

e
e
e< br>当
x?(0,1)

m
?
(x)?0

m( x)
单调递增;当
x?(1,??)

m
?
(x)?0,m (x)
单调递减。故
;.


.
,当且仅当
x?1
时取得最大值…………12分
?
m(x)
?
max
?m(1)??
1
e
所以
[f(x)]
min
??
1
?[m(x)]
max
且等号不同时成立,即
xlnx?
x
x
?
2
(x?(0,??))

e< br>e
e
e
ex
从而对一切
x?(0,??)
,都有lnx?
1
?
2
成立.…………13分
x

17.(本小题满分14分)已知函数
f(x)?ln(x?a)?x?x在x?0
处取得极值 .
(I)求实数
a
的值;
(II)若关于x的方程
f(x)??
范围;
(III)证明:对任意正整 数n,不等式
ln
2
5
x?b
在区间[0,2]上恰有两个不同的实 数根,求实数b的取值
2
n?1n?1
?
2
都成立.
n< br>n
解:(I)
f
?
(x)?
1
?2x?1,
……………………………………………2分
x?a
?x?0
时,
f(x)
取得极值,
?f
?
(0)?0,
…………………………………………………………………3分

1
?2?0?1?0
,解得a=1,
0?a
经检验a=1符合题意.……………………………………………………………4分 (II)由a=1知
f(x)?ln(x?1)?x?x,由f(x)??
2
5< br>x?b,

2

ln(x?1)?x?
2
33
x?b?0,

?
(x)?ln(x?1)?x
2
?x?b,
22

f(x)??
5
x?b在[0,2]
上恰有两 个不同的实数根等价于
2
?
(x)?0
在[0,2]上恰有两个不同的实数 根.…………………5分
?
?
(x)?
13?(4x?5)(x?1)
?2x??,
……………6分
x?122(x?1)

x?(0,1)时 ,
?
?
(x)?0,于是
?
(x)在(0,1)
上单调递增
;.


.

x?(1,2)时,
?
?(x)?0,于是
?
(x)在(1,2)
上单调递减.
?
?< br>(0)??b?0,
?
3
?
依题意有
?
?
( 1)?ln(1?1)?1??b?0,

2
?
?
?
?(2)?ln(1?2)?4?3?b?0,
1
?ln3?1?b?ln2?.
… ………………9分
2
(III)
f(x)?ln(x?1)?x?x
的定义 域为
{x|x??1},
……………10分

由(1)知
f
?
(x)?
2
?x(2x?3)
,
…………………………………… …11分
x?1
3
(舍去),
?当?1?x?0时,f
?
(x)?0,f(x)
单调递增;
2

f
?
(x)?0得 ,x?0或x??
当x>0时,
f
?
(x)?0,f(x)
单调递减 .
?f(0)为f(x)在(?1,??)
上的最大值.(12分)
?f(x)?f (0),故ln(x?1)?x
2
?x?0
(当且仅当x=0时,等号成立)………1 3分
对任意正整数n,取
x?
1111n?1n?1
?0
得,ln(?1)??
2
,故ln?
2
.
14分
nnn
n
n
n

x
2
y
2
18. (本小题满分12分) 已知椭圆
C:< br>2
?
2
?1

a?b?0
)的左、右焦点分别为F
1
,F
2

A

ab
椭圆短轴的一 个顶点,且
?AF
1
F
2
是直角三角形,椭圆上任一点
P< br>到左焦点
F
1
的距离的最大值为
2?1

(1)求椭圆
C
的方程;
(2)与两坐标轴都不垂直的直线
l
y?kx?m(m?0)
交椭圆
C

E,F
两点,且 以线段
EF
为直径
的圆恒过坐标原点,当
?OEF
面积的最大值时, 求直线
l
的方程.

解:(1)由题意得
c2
?

a?c?2?1
————————2分
a2
;.


.
a?2,c?1
,则
b?1
——————3分
x
2
所以椭圆的方程为
?y
2
?1
————————————4分
2
?
x
2
?
?y
2
?1
(2)设
E (x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
)
?
2
,联立得
(1?2k
2
)x
2
?4mkx?2m
2
?2?0

?
y?kx?m
?
?4mk
?
x?x?
12
?
1?2k
2
?
22
??8(2k?1?m)?0

?
,———————————————— ——5分

2
2m?2
?
xx?
12
?
1 ?2k
2
?

以线段
EF
为直径的圆恒过坐标原点,所以< br>OE?OF?0


x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
,代入得
m
2
?
2
2
(k?1)
————————————7分
3
(2?2k
2
)(1?4k
2
)
-----9分
(1?2k
2
)
2
1
8(1?2k
2
?m
2
)
12
2
S?d|EF|
=
1?k?
2
33
(1?2k
2
)
2
2

t?1?2k ?1
,则
S?
21121192
?
2
??2??(?)2
??

3t3t242
t

t?2
,即t?1?2k?2,k??
2
22
时,面积
S
取得最大值,—— ————————11分
22
2
x?1
——————————————-12分
2

m?1
,所以直线方程为
y??

19.(本小题满分12分) 已知函数
f(x)?x
2
ln(ax)(a?0)

(1)若
f'(x)?x
2
对任意的
x?0
恒成立,求实数
a
的取 值范围;
(2)当
a?1
时,设函数
g(x)?
f(x)
1
,若
x
1
,x
2
?(,1),x
1
?x
2
?1
,求证
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
4

xe

解:(1)
f'(x)?2xln(ax)?x
————————1分
f' (x)?2xln(ax)?x?x
2
,即
2lnax?1?x

x ?0
上恒成立

u(x)?2lnax?1?x

u'(x)?
3分
2
?1?0,x?2

x?2
时,单调减,
x?2
单调增,所以
x?2
时,
u(x)
有最 大值
u(2)
————
x
;.


.
u(2 )?0,2ln2a?1?2
,所以
0?a?
(2)当
a?1
时,< br>g(x)?
e
——————————5分
2
f(x)
?xlnx
,
x
111
g(x)?1 ?lnx?0,x?
,所以在
(,??)

g(x)
是增函数,(0,)
上是减函数——————————6
eee
1
?x
1< br>?x
1
?x
2
?1
,所以
g(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)ln(x
1
? x
2
)?g(x
1
)?x
1
lnx
1
< br>e
x
1
?x
2
ln(x
1
?x
2< br>)

x
1
x
1
?x
2
ln(x1
?x
2
)
——————————————————————————8 分
x
2
x
1
?x
2
x
1
?x< br>2
xx
?)ln(x
1
?x
2
)?(2?
1
?
2
)ln(x
1
?x
2
)

x
2
x
1
x
2
x
1

因为

lnx
1
?
同理
lnx
2
?
所以
lnx
1
?lnx
2
?(
又因为
2?
x
1
x
2
??4,
当且仅当“
x
1
?x
2
”时,取等号————————————————10分
x
2
x
1

x
1
,x
2
?(,1),x
1
?x
2
?1

ln(x
1
?x
2
)?0
——————————11分
所以
(2?
1
e
x
1
x
2
?)ln(x
1
?x
2
)?4ln(x1
?x
2
)

x
2
x
1
所以
lnx
1
?lnx
2
?4ln(x
1
?x
2
)

4
所以:
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
————————————12分

?ABC
的内切圆与三边
AB,BC,CA
的切点分别为
D,E,F
,已知
B(?2,0),C(2,0)
,内切圆圆心
I(1,t),t?0
, 设点
A
的轨迹为
L
.
(1)求
L
的方程; 20.本小题满分12分
(2)过点
C
的动直线
m
交曲线
L
于不同的两点
M,N
(点
M

x
轴的上方), 问在
x
轴上是否存
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCQN?Q C
在一定点
Q

Q
不与
C
重合),使
uu uur
?
uuur
恒成立,若存在,试求出
Q
点的坐标;若
QMQN
不存在,说明理由.




;.
y
A
D

.
I
B O
E
F
x
C


.

【解】(1)设点
A(x, y)
,由题知
AB?AC?BD?CE?BE?CE

?BO?OE?
?
OC?OE
?
?2OE?2
,根据双曲线定义知,点
A
的轨迹是以
B,C
为焦点,实
轴长为
2
的双曲线的右支(除去点E
),故
L
的方程为
x?y?1(x?1)
. …4分
(2)设点
Q(x
0
,0),M(x
1
,y
1
) ,N(x
2
,y
2
)
.
22
uuuuruuur uuuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCcos?QM,QC?QNQCcos?QN,QC?
QM?QCQN?QC
uuu uruuur

Q

???
uuuuruuur
|QM|| QN|
QMQN
?cos?MQC?cos?NQC

??MQC??NQC
……………………… 6分
①当直线
MN?x
轴时,点
Q(x
0
,0)

x
轴上任何一点处都能使得
?MQC??NQC

立. ………………………7分

22
?
?
x?y?1
②当直线
MN
不与
x
轴垂直时,设直线
MN:y?k(x?2)
,由
?

?
?
y?k(x?2)
(1?k
2
) x
2
?22k
2
x?(2k
2
?1)?0


22k
2
2k
2
?1
?x
1
? x
2
?
2
,x
1
x
2
?
2
…………… 9分
k?1k?1
?y
1
?y
2
?k(x
1
?2)?k(x
2
?2)?k(x
1
?x
2
)?22k?
Q
tan?MQC?k
QM
?
22k

k
2
?1


y
1y
2
,tan?NQC??k
QN
??
,使
?MQC? ?NQC
,只需
x
1
?x
0
x
2
?x0
tan?MQC?tan?NQC
成立,即

y
1
y
2
,即
x
2
y
1
?x
0
y
1
?x
1
y
2
?x
0
y
2
?0

??
x
1
?x
0
x
2
?x< br>0
?(y
1
?y
2
)x
0
?x
2< br>?k(x
1
?2)?x
1
?k(x
2
?2)?2kx
1
x
2
?2x(x
1
?x
2
)
, 即
uuuuruuuruuuruuur
QM?QCQN?QC
22k2k2
2
(,0)
x?x?
,故,故所求的点的坐标为时,
Q
uuuur
?
uuur

00
2
2
k
2
?1 k
2
?1
QMQN
成立. ………………………12分

;.

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