2020高考数学压轴题及答案(理)

2020年江西省高考压轴卷
数学理
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
i
2011
1．复数（
i
为虚数单位）的虚部是（ ）
2i?1
1
A．
i

5

1
B．
5

1
C．
?i

5

1
D．
?

5
2．设
tan
?
?
A．
??
1
2
33
?
,?
?
?
?,则sin
?
?cos
?
的值（ ）
32
3

2
B．
??
1
2
3

2
C．
?
1
2
3

2
D．
?
1
2
3

2
3．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若
x
2< br>?1
，则
x?1
”的否命题为：“若
x
2
?1
，则
x?1
”．
B．“
x??1
”是“
x
2< br>?5x?6?0
”的必要不充分条件．
C．命题“存在
x?R
，使得
x
2
?x?1?0
”的否定是：“对任意
x?R
，均有x
2
?x?1?0
”．
D．命题“若
?
?
?
，则
sin
?
?sin
?
”的逆否命题为真命题．
4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若
该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视 图是圆（如右
图），则它的侧视图是（ ）

5．右面是“二分法”求方程
x
3
?3x?1?0
在区间
(0,1)
上的
近似解
的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（ ）
A．
f(a)f(m)?0;a?m
；是；否
B．
f(b)f(m)?0;m?b
；是；否
C．
f(b)f(m)?0;b?m
；是；否
D．
f(b)f(m)?0;b?m
；否；是
6．已知数列
?a
n
?
的通项公式是
a
n
??n
2
? 12n?32
，其前
n
项
和是
S
n
，对任意的m,n?N
?
且
m?n
，则
S
n
?S
m
的最
大值是（ ）

A．
?21
B．
4
C．
8
D．
10

7．已知双曲线
mx
2
?ny
2
?1(m?0,n?0)
的离心率为2，则椭圆
mx
2< br>?ny
2
?1
的离心率为
（ ）
A．
1
3
B．
1
x
3623
C． D．
3
33
8．函数
y??cosx
在坐标原点附近的图象可能是（ ）







uuuruuur< br>9．如右图，给定两个平面向量
OA
和
OB
，它们的夹角为
1 20
?
，点
C
uuuruuuruuur
在以
O
为 圆心的圆弧
AB
上，且
OC?xOA?yOB
（其中
x,y?R），则满
足
x?y?2
的概率为（ ）
A．
2?1
B．
3
4
C．
?
4
D．
?

3
11
c?(log
2
)f(log
2
)
，则
a,b,c
44
10．已知函数
y?f(x)
是定义在实数集R 上的奇函数，且当
x?(??,0)
时，
xf
?
(x)?f(?x)
成
立（其中
f
?
(x)是f(x)
的导函数），若
a?3f(3)
，
b?(lg3)f(lg3),
的大小关系是（ ）
A．
c?a?b
B．
c?b?a
C．
a?b?c
D．
a?c?b

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上
a
1
)
6
的展开式中的常数项为
?160
,则
?
(x? )dx
= .
1
x
x
?
12．如果函数
f(x)?sin(
??
x?)(
?
?0)
在区间
(?1, 0)
上有且仅有一条平行于
y
轴的对称
4
11.若二项式
( ax?
1
轴，则
?
的取值范围是 ．
13．已知实数< br>x,y
满足
a(x
2
?y
2
)?(x?y)
2
?
x?y
?
0
?
?
x?y?5
…
0
?
y?3
?
0
?
，若不等式
A
恒成立，则实数
a
的最大值是
M
O
________________．
14．已知三棱锥
O?ABC
，OA、OB、OC
两两垂直且长度均为
6，长为2的线段
MN
的一个端点
M
在棱
OA
上运动，另一个
P
?
N
C
B
端点
N
在
?OBC
内运动（含边界），则
MN
的中点
P
的轨迹与三棱锥的面
OAB、OBC、OAC
围成的几何体的体积为 ．
选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做 ，则按所做的第①题给分，

共5分）
15．①（极坐标与参数方程选讲选做题 ）已知点
P(1?cos
?
,sin
?
)
，参数
?
?[0,
?
]
，点Q
在曲线C：
?
?
9< br>2sin(
?
?)
4
?
上，则点
P
与点Q
之间距离的最小值为 ．
②（不等式选讲选做题）若存在实数
x
满足
|x?3|?|x?m|?5
,则实数
m
的取值范围是___．


2020年江西省高考压轴卷 数学理答题卡
一、选择题
题 1 2 3 4 5 6
答
7

8

9

10

二、非选择题
11、 12、 13、 14、
15、① ②
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。 16．（12分）已知函数
f(x)?3sinxcosx?cos
2
x?
，
x?R.

（1）求函数
f(x)
的最大值和最小正周期； < br>（2）设
?ABC
的内角
A,B,C
的对边分别
a,b,c,
且
c?3
,
f(C)?0
，若
sin(A?C)?2sin A
，
求
a,b
的值．












17．（12分）目前南 昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压
力，计划将该路段实施“交通限行”．在该 路段随机抽查了50人，了解公众对“该
路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：
1
2

（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图； （2）若从年龄在
?
15,25
?
,
?
25,35?
的被调查者中各随
机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞
成“交通限行 ”的人数为
?
，求随机变量
?
的分
布列和数学期望．









18．（12 分）如图，在边长为4的菱
形
ABCD
中，
?DAB?60
?
．点
E、F
分
别在边
CD、CB
上，点
E
与点< br>C、D
不
重合，沿
EF
将
EF?AC,EFIAC?O
．
?CEF
翻折到
?PEF
的位置，使平面
PEF?
平面
ABFED
．
（1）求证：
BD?
平面
POA
；
uuuruuur
（2）设点
Q
满足
AQ?
?
QP (
?
?0)
，试探究：当
PB
取得最小值时，直线
OQ与平面
PBD
所成角的大小是否一定大于













?
？并说明理由．
4

< br>19．（12分）设数列
{a
n
}
的前
n
项和为S
n
，且满足
2a
n
?S
n
?1,n?N*
.

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）在数列
{a
n
}
的每两项之间都按照如下规则插入一些数后， 构成新数列
{b
n
}
，在
a
n
和a
n?1
两项之间插入
n
个数，使这
n?2
个数构成等差数列，求
b
2012
的值；
（3）对于（2）中的数列
{b
n
}，若
b
m
?a
n
，并求
b
1
?b2
?b
3
?L?b
m
（用
n
表示）．















x
2
y
2
2 0.（13分）设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左 、右焦点分别为
F
1
、F
2
，上顶点为
A
，
ab
uuuuruuur
1
离心率为，在
x
轴负半轴上有一点B
，且
BF
2
?2BF
1
.

2（1）若过
A、B、F
2
三点的圆恰好与直线
x?3y?3?0
相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点
F
2
作斜率为
k
的直线
l
与椭圆C交于
M、N
两点，
在
x
轴上是否存在点
P(m,0)
，使得以
PM,PN
为邻边的平行四 边形是菱形，如果存在，
求出
m
的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（本题满分14分）

2020年江西省高考压轴卷
数学理试卷参考答案
1—5 BADDC 6—10 DCABA
42?2
25
?
?
15
?
?ln2
12．
?
,
?
13．14． 15．①4
2
-1 ②
(?2,8)
11．
3
136
?
44
?
31?cos2x1
?
sin2x???sin(2x?)?1
……………．3分
2226
2
?
则
f(x)
的最大值为0， 最小正周期是
T??
?
……6分
2
16．解析：（1）
f (x)?
（2）
f(C)?sin(2C?)?1?0
则
sin(2C?)? 1

66
??
11
???
?0?C?
?
? 0?2C?2
?
???2C??
?

?2C???C?

666623
a1
Qsin(A?C)?2si nA
由正弦定理得
?
①………………………………9分
b2
由余弦 定理得
c
2
?a
2
?b
2
?2abcos
即
a
2
?b
2
?ab?9
②
3
由①②解得
a?3

b?23
………………………………………12分
17．解：（1）




?
?
?

（2）
?< br>所有可能取值有0，1，2，3，
2
C
8
2
62884
C
4
，
P (
?
?0)?
2
?
2
???
C
5
C
10
1045225
11
12
C
8
2
C
4
C
8
C
C
4
428616104
P(< br>?
?1)?
2
?
2
?
2
?
2
2
?????
C
5
C
10
C
5
C
10
1
11
122
C
8
C
2
C
4
C
4
C
2
4166135

P(
??2)?
2
?
2
?
2
?
2
?????
C
5
C
10
C
5
C
10
1
12
C
4
C
2
412
………………………………………… ……10分
P(
?
?3)?
2
?
2
???
C
5
C
10
1045225
所以
?
的分布列是
?

0 1 2 3
35
841042
P

[
224
225225
1047064
所以
?的期值是
E
?
?0????
……………………………………12分
2252252255
18．解：（1）证明：∵ 菱形
ABCD
的对角线互 相垂直，∴
BD?AC
，∴
BD?AO
，
225
∵
EF?AC
，∴
PO?EF
． ∵ 平面
PEF
⊥平面ABFED
，平面
PEFI
平面
ABFED?EF
，且
PO?
平面
PEF
， ∴
PO?
平面
ABFED
, ∵
BD?
平面
ABFED
，
∴
PO?BD
． ∵
AOIPO?O
，∴
BD?
平面
POA
．……………………………… 4分
（2）如图 ，以
O
为原点，建立空间直角坐标系
O?xyz
．设
AOIBD?H .
因为
?DAB?60?
，所以
?BDC
为等边三角形，故
BD?4
，
HB?2,HC?23
．又设
PO?x
，则
O H?23?x
，
OA?43?x
．所以
O(0,0,0)
，
P(0,0,x)
，
uuuruuuruuur
B(23?x,2,0)
，故
PB?OB?OP?(23?x,2,?x)
，
uuur
所以
PB ?(23?x)
2
?2
2
?x
2
?2(x?3)
2
?10
，
当
x?3
时，
PB
min
?1 0
．此时
PO?3
，……6分
设点
Q
的坐标为
?
a,0,c
?
，由（1）知，
OP?3
，则
A(33,0, 0)
，
B(3,2,0)
，
D(3,?2,0)
，
P(0, 0,3)
．所以
uuur
AQ?a?33,0,c
??
uuur，
QP??a,0,3?c
??
uuuruuur
AQ=
?QP
，∵，
∴
?
?
?
a?33??
?
a,
?
?
c?3
?
?
?
c
?
∴
Q(
uuur
333
?
333
?
,0,)
，∴
OQ?(,0,)
．
?
?1
?
?1
??1
?
?1
10
分
ruuurruuur
r
设平面
PBD
的法向量为
n?(x,y,z)
，则
n?PB?0,n ?BD?0
．
∵
PB?
?
3,2,?3
?
，BD?
?
0,?4,0
?
，∴
?
uuur
uu ur
r
取
x?1
，解得：
y?0,
z?1
， 所以
n?(1,0,1)
．……………………………… 8分
?
?
3x?2y?3z?0,

?
?
?4y?0

设直线
OQ
与平面
PBD
所成的角
?
，
uuurr
OQ
uuurr
∴
sin
?
?c os?OQ,n??
uuur
?n
r
?
OQ?n
333?
?
?
?1
?
?1
2?(
33
23
?
2
)?()
?
?1
?
?1
?3?
?
2?9?
?
2

1
?
2
9?6
?
?
?
2
16
?
2
?
?
?1?
．又∵∴． ∵，∴．
sin
?
?
?
?0
?
?
?
?[0,]
2
9?
?
2
9 ?
?
2
4
2
2
因此直线
OQ
与平面
PBD
所成的角大于
?
，即结论成立．……………………………12
4分
19．解：（1）当
n?1
时，由
2a
1
?S1
?1?a
1
?1
.又
2a
n?1
?S
n?1
?1
与
2a
n
?S
n
?1
相减< br>得：
a
n?1
?2a
n
，故数列
?
an
?
是首项为1，公比为2的等比数列，所以
a
n
?2
n?1
；…………4
分（2）设
a
n
和
a
n?1< br>两项之间插入
n
个数后，这
n?2
个数构成的等差数列的公差为
d
n
，
则
a
n?1
?a
n
2
n?1
d
n
??
，又
(1?2?3?L?61)?61?1952, 2012?1952?60
，故
n?1n?1
2
61
61
6 261
b
2012
?a
62
?(60?1)?d
62
?2?59???2.
……………………………… 8分
6363
（3）依题意，
b
1
?b
2
?b
3
?L?b
m

(n?1)(a
n?1
?a
n
)
3(a
1
?a
2
)
4(a
2
?a
3
)5(a
3?a
4
)
????L??(a
2
?a
3
?L? a
n?1
)

2222
11
?
?
3a1
?5a
2
?7a
3
?L?(2n?1)a
n
?
?na
n
，考虑到
a
n?1
?2a
n
，
22
令
M?3a
1
?5a
2
?7a
3?L?(2n?1)a
n
，则
2M?3a
2
?5a
3< br>?7a
4
?L?(2n?1)a
n?1

2M?M??2(a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n
)?a
1
?(2n?1)a
n?1
?M?(2n?1)2
n
?1
，
111
所以
b
1
?b
2
?b
3
?L?b
m
?M?na
n
?(3n?2)?2
n?2
?.
………………………… 12
222
分
c11
20．解：（1）由 题意
?
，得
c?a
，所以
F
1
F
2
?a
又
AF
1
?AF
2
?a

a2 2
uuuuruuur
由于
BF
2
?2BF
1
，所 以
F
1
为
BF
2
的中点，所以
AF
1?AF
2
?F
1
F
2
?a

a
所以
?ABF
2
的外接圆圆心为
F
1
(?,0)
，半径
r?F
1
A?a
…………………3分
2
又过
A、B、F
2
三点的圆与直线
g:x?3y?3?0
相切，所以
2 22
1
?a?3
2
?a

2
x
2
y
2
?1
6分 解得
a?2
，
c?1,b?a?c?3.
所求椭圆方程为
?< br>43
（2）有（1）知
F
2
(1,0)
,设
l
的方程为：
y?k(x?1)

?
y?k(x?1)
?
将直线方程与椭圆方程联立
?
x
2
y
2
,整理 得
（3?4k
2
）x
2
?8k
2
x?4k
2
?12?0

?1
?
?
?
43
设交点为
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2)
，因为
3?4k
2
?0

8k
2
, y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
?2)……………………………………8分 则
x
1
?x
2
?
2
3?4k
若存在点
P(m,0)
，使得以
PM,PN
为邻 边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以
(PM?PN).MN?0
< br>uuuuruuur
又
PM?PN?(x
1
?m,y
1
)?(x
2
?m,y
2
)?(x
1
?x
2
?2m,y
1
?y
2
)

又
MN
的方向 向量是
(1,k)
，故
k(y
1
?y
2
)?x1
?x
2
?2m?0
，则
8k
2
8k
2
k(x
1
?x
2
?2)?x
1
?x
2
?2m?0
，即
k(?2)??2m?0

3?4k
23?4k
2
由已知条件知
k?0且k?R,
………………………11分
k
2
1
2
2
?m?
3?4k
2
?
3
?4
k
2
?0?m?
1
，故存在满足题意的点< br>P
且
m
4
的取值范围是
(0,
1
)
………………13分
4





















21.