高三数学专题复习 压轴题突破练(2)文

古之学者必有师。师者，所以传道受业解惑也。人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑 也，终不解矣。生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道 也，夫庸知其年之先后生于吾乎？

高三数学专题复习 压轴题突破练（2）文



1．已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，a∈R.

(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立 ，求a的
取值范围；

(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任 意一点，在曲线y
＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

2．设数列{bn}满足bn＋2＝－bn＋1－bn(n∈N*)，b2＝2b1.

(1)若b3＝3，求b1的值；

(2)求证数列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差数列；

(3)设数列{Tn} 满足：Tn＋1＝Tnbn＋1(n∈N*)，且T1＝b1＝－，若存
在实数p，q，对任意n∈N* 都有p≤T1＋T2＋T3＋…＋Tn＜q成立，试
求q－p的最小值．

压轴题突破练(二)

1．解 (1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.

由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x＜x，
x－ln x＞0.

从而a≤恒成立，a≤.

设t(x)＝，x∈[1，e]．

求导，得t′(x)＝.

x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，从而t′(x)≥0，
句读之不知，惑之不解，或师焉，或不焉，小学而大遗，吾未见其明也。巫医乐师百工之人，不耻相师。士大夫 之族，曰师曰弟子云者，则群聚而笑之。问之，则曰：彼与彼年相若也，道相似也。位卑则足羞，官盛则近谀。< br>
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古之学者必有师。师者，所以传道受业解惑也。人非生而知 之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其 闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？

t(x)在[1，e]上为增函数．

所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．

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－x3＋x2，x＜1，
(2)F(x)＝
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aln x，x≥1.
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设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．

假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，
则·＜0.

①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，·＝－t2＋
aln (－t)·(－t3＋t2)．

由于·＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.

当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．

当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.

②若－1＜t＜1，且t≠0 ，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则·＝
－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t 2)＜0，

即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．

③当t≥1时，同①可得a≤0.

综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．

2．(1)解 ∵bn＋2＝－bn＋1－bn，

∴b3＝－b2－b1＝－3b1＝3，

∴b1＝－1.

(2)证明 ∵bn＋2＝－bn＋1－bn①，

∴bn＋3＝－bn＋2－bn＋1②，

②－①得bn＋3＝bn，
∴(bn＋1bn＋2bn＋3＋n＋1)－(bnbn＋1bn＋2＋n)＝bn＋1bn＋2·(bn< br>句读之不知，惑之不解，或师焉，或不焉，小学而大遗，吾未见其明也。巫医乐师百工之人，不耻相师。士 大夫之族，曰师曰弟子云者，则群聚而笑之。问之，则曰：彼与彼年相若也，道相似也。位卑则足羞，官盛则近谀 。

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