浙江省高三数学专题复习 压轴题突破练 理

压轴题突破练
1．已知等比数列{
a
n
}满足：|
a
2
－
a
3
|＝10，
a
1
a
2
a
3
＝125.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
111
(2)是否存 在正整数
m
，使得＋＋…＋≥1？若存在，求
m
的最小值；若不存在，说明理
a
1
a
2
a
m
由．





4
2．(2015·浙江校级模拟)设
f
(
x
)＝|
x
－
a
|－＋
a
，
x< br>∈[1，6]，
a
∈(1，6)．
x
(1)若
a
∈ (1，2]，求
f
(
x
)的单调区间；
(2)求
f
(
x
)的最小值．








x
2
y
2
3
3．(2015·潍坊模拟)已知焦点在
x
轴上的椭圆
D
：＋＝1(
m
>0)的离心率为，
F
1
，
F
2
分3
m
3
别为左，右焦点，过点
P
(3，0)作直线交椭圆
D
于
A
，
B
(
B
在
P
，
A
两点之间)两点，且
F
1
A
∥
F
2
B
，
A
关于原点
O
的对称点为
C
.
(1)求椭圆
D
的方程；
(2)求直线
PA
的方程； < br>(3)过
F
2
任作一直线交过
A
，
F
1，
C
三点的圆于
E
，
F
两点，求△
OEF面积的取值范围．


1

压轴题突破练
1．解 (1)设等比数列{
a
n
}的公比为
q
，
?
?< br>a
33
则由已知可得
?
1
q
＝125，
?< br>?
|
a
－
a
2

1
q
1< br>q
|＝10，
?
解得
?
?
a
＝
5< br>1
3
，
或
?
?
?
a
1
＝－ 5，

?
?
q
＝3
?
?
q
＝－1 .
故
a
5
n
－1
n
－1
n
＝3
·3或
a
n
＝－5·(－1).
(2)若
a
＝
513
?
1
?
n
－1
n
－
3
·3
1
n
，则
a
＝
n
5
?
?
3
?
?
，
故数列
?
?
1
?
?
a
?
是首项为
3
，公比为
1
n
?
53
的等比数列．
3
?
m
从而
?
< br>1
＝
5
?
?
1－
?
?
1
?
3
?
m
?
?
?
?
?
＝
9
·
?
?
1－
?
n
＝1
a
n
1－
110
?
1
?
m
?
?
?
<
9
<1.
3
?
?
3
?
?
10< br>若
a
n
－1
n
＝－5·(－1)，则
1
a< br>＝－
1
(－1)
n
－1
，
n
5
故 数列
?
?
1
?
?
a
?
是首项为－
1
，公比为－1的等比数列，
n
?
5
m
?
从而
?

1
?
－
1
，
m
＝2
k
－1（
k
∈N
*
），
n
＝1
a
＝
n
?
5

?
?
0，
m
＝2
k
（
k
∈N
*
）.
m
故
?

1
<1.
n< br>＝1
a
n
m
综上，对任何正整数
m
，总有
?

1
a
<1.
n
＝1
n
故不存在正整数
m
，使得
1
a
＋
1
＋…＋
1
≥1 成立．
1
a
2
a
m

2

?
4
?
2
a
－
?
x
＋
?
，1≤
x
≤
a
，
?
?
?
x
?< br>2．解 (1)首先
f
(
x
)＝
?

4?
?
x
－
x
，
a
<
x
≤6，
因为当1<
a
≤2时，
f
(
x
)在[1，
a
]上是增函数，在[
a
，6]上也是增函数．
所以当1<
a≤2时，
y
＝
f
(
x
)在[1，6]上是增函数； < br>(2)①当1<
a
≤2时，由(1)知，
f
(
x
)< br>min
＝
f
(1)＝2
a
－5，
②当2<
a
<6时，
f
(
x
)在[1，2]上是增函数，在[2，
a
]上是减函数，在[
a
，6]上是增函数．
44
又
f(1)＝2
a
－5，
f
(
a
)＝
a
－ ，且
f
(1)－
f
(
a
)＝
a
＋－5>0 ，解得4<
a
<6，
aa
所以当2<
a
<4时，
f
(
x
)
min
＝
f
(1)＝2
a
－5，
4
当4≤
a
<6时，
f
(
x
)
min
＝
f
(
a
)＝
a
－，
a
2
a
－5，1<
a
<4，
?
?
综上可知，
f
(
x
)
min
＝
?
4

a
－，4≤
a
<6.
?
?
a
x
2
y
2
3
3．解 (1)∵椭圆＋＝1的离心率
e
＝，
3
m
3
∴
3－
m
3
＝，∴
m
＝2.
3
3
所以椭圆的方程为：＋＝1.
32
(2)设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x2
，
y
2
)，则
A
，
B
的坐标满足方 程组
x
2
y
2
xy
?
?
＋＝1， ①

?
32
?
?
y
＝
k
（
x
－3）， ②
把②式代入①式化简得：(2＋3
k
)
x
－18
kx
＋27
k
－6＝0，
18
k
27< br>k
－6
所以
x
1
＋
x
2
＝
2
，
x
1
x
2
＝
2
，
2＋3< br>k
2＋3
k
→
|
PB
||
PF
2< br>|1
→
又因为
F
1
A
∥
F
2
B
，所以＝＝，
PA
＝2
PB
，所以(
x
1－3，
y
1
)＝2(
x
2
－3，
y
2
)，即
x
1
－
|
PA
||
PF
1
|2
22
2222
22
2
x
2
＝－3，
9
k
－2
18
k
x
＝
1
2
，
?
2＋3
k
?
x
1
＋
x
2< br>＝
2
，
2＋3
k
得解
?
③
29
k
＋2
?
x
2
＝
?
x
1< br>－2
x
2
＝－3.
2
.
2＋3
k
2
?
?
?
?
?
2
27
k
－622< br>2
把③式代入
x
1
x
2
＝.
2
， 解之得
k
＝，即
k
＝±
2＋3
k
93
2< br>
3

所以直线
PA
的方程为
y
＝±
2
(
x
－3)．
3
(3)由(2)知
x
1
＝0，即
A
(0，2)(或
A
(0，－2))，
因A
与
C
关于原点对称，所以
C
(0，－2)(或
C(0，2))，
设过
A
，
F
1
，
C
三点的圆为
x
＋
y
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0，
22
E
＝0，
?
?
2
E＋
F
＋2＝0，
?
则
?
－2
E
＋F
＋2＝0，
解之得
?
F
＝－2，

?
?
D
＝－1，
?
－
D
＋
F
＋1＝0，< br>所以圆的方程为
x
＋
y
－
x
－2＝0，
设 过
F
2
的直线
EF
为：
x
＝
ny
＋1，则|
EF
|＝2
原点
O
到直线
EF
的距离为
d
＝
11
所以
S
△
OEF
＝
d< br>|
EF
|＝
22
2
22
91
－＝
2
44（1＋
n
）
9
n
＋8
2
，
1＋
n
2
1
1＋
n
2
，
9
n
＋8
22
，
（1＋
n
）
1
2
令1＋
n
＝
t
，则
t
≥1，所以0＜≤ 1，
t
所以
S
△
OEF
11
＝
d
|
EF
|＝
22
9
n
＋81
22
＝（1＋
n
）2
2
911
－
2
＝
tt< br>2
1
?
19
?
81
－
?
－
?
＋≤
42
?
t
2
?
2
?
9?
5
－
?
1－
?
＋＝2，
?
2?
4
因此△
OEF
面积的取值范围是(0，2]．

2

4