高考数学压轴题汇编

高考数学压轴题练习1
1．（本小题满分12分）设函数
f(x)?
值范围；


设
b?0,a?1
，求证：
1?x
?lnx
在
[1,?? )
上是增函数。求正实数
a
的取
ax
1a?ba?b
?ln ?.

a?bbb
高考数学压轴题练习2
2．已知椭圆C的一个顶点为A(0,?1)
，焦点在x轴上，右焦点到直线
x?y?1?0

的距离为
2

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F（1，0）作 直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设
FA?
?
FB,T(2,0)
，若
uuuruuur
?
?[?2,?1],求|TA?TB|
的取值范围。

高考数学压轴题练习2
2．已知椭圆C的一个顶点为
A(0,?1)，焦点在x轴上，右焦点到直线
x?y?1?0

的距离为
2

（1）求椭圆C的方程；
uuuruuur
FA?
?
FB,T(2 ,0)
，若（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设
?
? [?2,?1],求|TA?TB|
的取值范围。

高考数学压轴题练习4
4．设函数
f(x)?x?ax?ax?m
(a?0)

（1）若< br>a?1
时函数
f(x)
有三个互不相同的零点，求
m
的范围；
（2）若函数
f(x)
在
?
?1,1
?
内没有极值 点，求
a
的范围；
322
1 13

（3）若对 任意的
a?
?
3,6
?
，不等式
f(x)?1
在< br>x?
?
?2,2
?
上恒成立，求实数
m
的取值
范围．

高考数学压轴题练习5
5．（本题满分14分）
x
2
y
2
2
已知椭圆
C
1
:
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的离心率为，直线
l:y?x?22
与以
2
ab
原点为圆心、以椭圆
C
1
的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆
C
1
的方程；
（Ⅱ）设椭圆
C
1< br>的左焦点为F
1
，右焦点为F
2
，直线
l
1
过点F
1
，且垂直于椭圆的长轴，动直
线
l
2
垂直
l
1
于点P，线段PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点 M，求点M的轨迹C
2
的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C
1
的 两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F
2
，求四边形ABCD的面积
的最小值．

高考数学压轴题练习6
6．（本小题满分14分）
x
2
y
2
2
已知椭圆
2
＋
2
＝1（a>b>0）的左 ．右焦点分别为F
1
．F
2
，离心率e＝，右准线
ab2
方 程为x＝2．
（1）求椭圆的标准方程；
→→
226
（2）过点F
1
的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|F
2
M＋F
2
N|＝ ，求直线l的方程．
3

高考数学压轴题练习7
7.
（本小题满分12分）

a
x
．
?lnx? 1
，
g(x)?
?
lnx?1
?
e?x
（其中e
为自然对数的底数）
x
（1）判断函数
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的单调性；
已知
a?R
，函数
f (x)?
（2）是否存在实数
x
0
?
?
0,e
?< br>，使曲线
y?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y< br>轴垂直? 若存在，求
出
x
0
的值；若不存在，请说明理由．



高考数学压轴题练习8

15．（本小题满分12分）
已知线段
CD?23
，
CD
的中点为
O
，动点
A
满足
AC?AD?2a
（
a< br>为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点
A
所在的曲线方程； < br>（2）若
a?2
，动点
B
满足
BC?BD?4
，且< br>OA?OB
，试求
?AOB
面积的最大值和最小值．

2 13

高考数学压轴题练习9

18（本小题满分12分）
y
2
x
2
xyxy
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点，已知向量
m?(
1
,
1
),n?(
2
,
2
),若
ab
baba
m?n?0
且椭圆的离心率e=
3
, 短轴长为
2
，
O
为坐标原点.
2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由


高考数学压轴题练习10

10.已知函数
f(x)
的 导数
f'(x)?3x
2
?3ax，

f(0)?b
．a
，
b
为实数，
1?a?2
．
(1) 若
f(x)
在区间
[?1，1]
上的最小值、
最大值分别为
?2
、1，求
a
、
b
的值；
(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点
P
（2，1）
处的切线方程；
(3) 设函数
F(x)?[f'(x)?6x?1]ge
2x
，试判
断函数
F(x)
的极值点个数．




高考数学压轴题练习11
a?x
2
?lnx
12
已知函数 f(x)=
x
1
??
?
a?R,x?[,2]
?

2
??
(1)当
a?[?2,)
时, 求
f(x)
的最大值;
1
4
3 13

(2) 设
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
, k
是
g(x)
图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数
a
，使
得
k?1
恒成立?若存在,求
a
的取值范围;若不存在,请说明理由 ．


高考数学压轴题练习12
14．A﹑B﹑C是直线
l上的三点，向量
OA
﹑
OB
﹑
OC
满足：
OA
-[y+2
f
?
(1)
]·
OB
+ln(x+1) ·
OC
=
0
；
（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞
（Ⅲ）当
2x
；
x?2
12
x?f(x
2
)?m
2
?2bm?3
时,x
?
?
?1,1
?
及b
?
?
?1,1
?都恒成立，求实数m的取
2
值范围。



高考数学压轴题练习13

13已知
M
经过点
G(0,? 1)
，且与圆
Q:x?(y?1)?8
内切.
（Ⅰ）求动圆
M
的圆心的轨迹
E
的方程.
（Ⅱ）以
m?(1,2)
为方向向量的直线
l
交曲线
E
于不同的两点
A、
B
，在曲线
E
上是否存
在点
P
使四边形OAPB
为平行四边形（
O
为坐标原点）.若存在，求出所有的
P
点的坐标与
直线
l
的方程；若不存在，请说明理由.

22

高考数学压轴题练习14
16.已知函数
f
?x
?
和
g
?
x
?
的图象关于原点对称，且f
?
x
?
?x
2
?2x
．
(Ⅰ)求函数
g
?
x
?
的解析式；
(Ⅱ)解不等 式
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1
；
(Ⅲ)若
h
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?1
在
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
?
的取值范围．


4 13

高考数学压轴题练习15
17.已知函数< br>f(x)?lnx?
1
2
ax?2x(a?0).

2
（1）若函数
f(x)
在定义域内单调递增，求
a
的取值范围；
（2）若
a??
1
1
且关于x的方程
f(x)??x?b
在
?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根，求实
2
2
数
b
的取值范围；
n
*
（3）设各项为正的数列
{an
}
满足：
a
1
?1,a
n?1
?lnan
?a
n
?2,n?N.
求证：
a
n
?2?1


高考数学压轴题练习16
18.已知
y?f(x)?xlnx
．
（1）求函数
y?f(x)
的图像在
x?e
处的切线方程；
（2）设实数
a?0
，求函数
F(x)?
f(x)
在
?< br>a,2a
?
上的最小值；
a
（3）证明对一切
x?(0,? ?)
，都有
lnx?
12
?
成立．
x
ex
e

高考数学压轴题练习17
19．（本小题满分 14分）已知函数
f(x)?ln(x?a)?x?x在x?0
处取得极值．
（I）求实数
a
的值；
（II）若关于x的方程
f(x)??
的取值范围；
（III）证明：对任 意正整数n，不等式
ln
2
5
x?b
在区间[0，2]上恰有两个不 同的实数根，求实数b
2
n?1n?1
?
2
都成立．
n
n



5 13

高考数学压轴题练习18

6 13

7 13

高考数学压轴题练习19
x
2
y
2
21. (本小题满分12分) 已知椭圆
C:
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，
ab
A
为椭圆短轴的一个顶点，且
?AF
1
F
2
是 直角三角形，椭圆上任一点
P
到左焦点
F
1
的距离的
最大值 为
2?1

（1）求椭圆
C
的方程；
（2）与两坐标轴都 不垂直的直线
l
：
y?kx?m(m?0)
交椭圆
C
于E,F
两点，且以线段
EF
为直径的圆恒过坐标原点，当
?OEF
面积的最大值时，求直线
l
的方程.



2
当
t?2
，即
t?1?2k?2,k??
2
2
时，面积S
取得最大值，——————————11分
2
2
又
m?1
，所以直线方程为
y??


2
x?1
——————————————-12分
2
高考数学压轴题练习20
22.(本小题满分12分) 已知函数
f(x)?x
2
ln(ax)(a?0)

（1）若
f'(x)?x
2
对任意的
x?0
恒成立，求实数
a
的取 值范围；
（2）当
a?1
时，设函数
g(x)?



f(x)
1
，若
x
1
,x
2
? (,1),x
1
?x
2
?1
，求证
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
4

e
x
高考数学压轴题练习21
23．本小题满分12分

?ABC
的内切圆与三边
AB,BC,CA
的切点分别为
D,E,F
，已知
B(?2,0),C(2,0)
，内
切圆圆心
I(1,t),t?0
，设点
A
的轨迹为
L
.
（1）求
L
的方程；
8 13

（2）过点C
的动直线
m
交曲线
L
于不同的两点
M,N
（ 点
M
在
x
轴的上方），问在
x
轴上
uuuuruu uruuuruuur
QM?QCQN?QC
是否存在一定点
Q
（
Q
不与
C
重合），使
uuuur
?
uuur
恒成立， 若存在，试求出
Q
QMQN
点的坐标；若不存在，说明理由.




B



O
E C
x
y
A
D

.
I
F
高考数学压轴题练习22

24.（本小题满分12分）设函数
f(x)?(2x?1)ln(2x?1)
.
（Ⅰ）求函数f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）求f (x)的极小值；
（Ⅲ）若对所有的
x?0
，都有
f(x)?2ax
成立，求实数a的取值范围.

高考数学压轴题练习23
25.已知函数
f(x)?
1?a?lnx
,a?R.

x
（I）求
f(x)
的极值；
（II）若
lnx?kx?0在(0,??)上恒成立,求k
的取值范围；
（III）已知
x
1
?0,x
2
?0,且x
1
?x
2
?e,求证:x
1
?x
2
?x
1
x2
.


高考数学压轴题练习24
设函数
f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0)

（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
9 13

（Ⅱ ）当
a?1
时，若方程
f(x)?t
在
[?,1]
上有两个 实数解，求实数t
的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m>n>0时，
(1
?m< br>)
n
?
(1
?n
)
m
。


1
2
高考数学压轴题练习25
x
2
y
2
2
??1(a?2)的离心率为
【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的
aa 2
焦点，其两条渐近线与以点
(0,2)
为圆心，1为半径的圆相切。
（I）求双曲线C的方程；
（II）设直线
y?mx?1
与双曲线C的左支 交于两点A、B，另一直线l经过点
M(?2,0)
及
AB的中点，求直线l在y轴上 的截距b的取值范围。



高考数学压轴题练习26
椭圆x
2
2
y
2
右焦点分别为F
1
、F
2
，过F
1
的直线
?
2
?1(a?b?0)
的左、< br>ab
l与椭圆交于A、
B两点.
（1）如果点A在圆
x
2< br>?y
2
?c
2
（c为椭圆的半焦距）上，且|F
1
A |=c，求椭圆的离
心率；
（2）若函数
y?2?log
m
x(m ?0
且
m?1)
的图象，无论m为何值时恒过定点（b，
a），
求
F
2
A
?
F
2
B
的取值范围。


高考数学压轴题练习27
10 13