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高考数学压轴题精选(一)(老师用)word版本

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:30
tags:高中数学压轴题

高中数学角度cos30-高中数学监测选修2-2答案

2020年10月6日发(作者:薛扯镐)






高考数学压轴题精选
(一)(老师用)


高考数学压轴题精选(一)
1.(本小题满分12分)设函数
f(x)?
取值范围;

b? 0,a?1
,求证:
1?x
?lnx

[1,??)
上是增 函数。求正实数
a

ax
1a?ba?b
?ln?.
a?bbb
解:(1)
f
'
(x)?
ax?1
?
0

x?[1,??)
恒成立,
ax
2


?a?
1

x?[1,??)
恒成立
x

1
?1
?a?1
为所求。
x
a?ba?b
?1
, ,
?a?1,b?0,?
bb1?x
?lnx

[1,??)
上是增函数,
ax
(2)取
x?
一方面,由(1)知
f(x)?

?f(
1?
a?b
)?f(1)?0

b



a?b
b
?ln
a?b
?0

?
a?b
b
a?
b

ln
a?b1
?< br>
ba?b
另一方面,设函数
G(x)?x?lnx(x?1)





G
'
(x)?1?
1x?1
??0(?x?1)

xx

G(x)

(1,??)
上是增函数且在
x?x0
处连续,又
G(1)?1?0

∴当
x?1
时,
G(x)?G(1)?0


x?lnx

a?ba?b
?ln

bb


综上所述,
1a?ba?b
?ln?.
a?bbb
2.已知椭圆C的一个顶点为
A(0,?1)
,焦点在x轴上,右焦点 到直线
x?y?1?0

的距离为
2

(1)求椭圆C的方程;
uuuruuur
(2)过点F(1,0)作直线l与椭圆 C交于不同的两点A、B,设
FA?
?
FB,T(2,0)

?
?[?2,?1],求|TA?TB|
的取值范围。
解:(1)由题意得:


|c?1|
?2
?c?1
…………………1分
2
由题意
b?1,?a?2

x
2
所以椭圆方程为
?y
2
?1
………………………3分
2
(2)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
x?ky?1,

x
2
代入?y2
?1
中,得
(k
2
?2)y
2
?2ky?1 ?0.

2

A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),


y
1
?y2
??
2
2k
k?2
y
1
y
2
??
1
.
……………………………5分
2
k?2
FA?
?
FB,
∴有
y
1
?
?
,且< br>?
?0.

y
2
(y
1
?y
2)
2
4k
2
14k
2

???
2?
?
??2??
2
y
1
y
2
k?2< br>?
k?2
?
?[?2,?1]???
?
?
5
2
1
?
??2??
11
?
?
??2?0
2
?
14k
2
22
????
2
?0?k
2< br>??0?k
2
?
…………7分
277.
k?2
∵< br>TA?
(
x
1
?
2,
y
1
),TB?
(
x
2
?
2,
y
2
),
?TA?TB?
(
x
1
?x
2
?
4,
y
1
?y
2
).

2k4(k
2
?1),?x
1
?x
2
?4?k(y
1
?y
2
)?2??
2
.


y
1
?y
2
??
2
k?2k?2



|TA?TB|
2
?(x
1
?x
2
?4)
2
?(y
1
?y< br>2
)
2

16(k
2
?1)
2
4k
2
16(k
2
?2)
2
?28(k
2
?2 )?8

??
2
?
(k
2
?2)
2
(k?2)
2
(k
2
?2)
2
?16?
288< br>?
……………………………………………………8分
k
2
?2(k< br>2
?2)
2
1271171
2

,即
.?0 ?k???t?[,
].

22
716
k?2
2162k?2
717

|TA?TB|
2
?f(t)?8t
2
?28t?16?8(t?)
2
?
.

42
711 69

t?[,
]
,∴
f(t)?[4,]

16 232

t?

|TA?TB|?[2,
132
].
………………………………………………………10分
8

3.设函数
f (x)?x
3
?ax
2
?a
2
x?m
(a?0)< br>
(1)若
a?1
时函数
f(x)
有三个互不相同的零点,求
m
的范围;
(2)若函数
f(x)

?
?1,1
?
内没有极值点,求
a
的范围;
(3)若对任意的
a?< br>?
3,6
?
,不等式
f(x)?1

x?
?
?2,2
?
上恒成立,求实数
m
的取
值范围.
解 :(1)当
a?1

f(x)?x
3
?x
2
?x? m

因为
f(x)
有三个互不相同的零点,所以
f(x)?x3
?x
2
?x?m?0


m??x
3?x
2
?x
有三个互不相同的实数根。

g(x)??x3
?x
2
?x
,则
g
'
(x)??3x
2
?2x?1??(3x?1)(x?1)

因为
g(x)
在< br>(??,?1)

(
1
为增函数,
,
1
3
,??)
均为减函数,在
?
?1
3
?
5
m
的取值范围
?
?1,
27
?

(2)由题可知,方 程
f
'
(x)?3x
2
?2ax?a
2
?0

?
?1,1
?
上没有实数根,
?
f
'
(1)?3?2a?a
2
?0
?
因为
?
f
'(?1)?3?2a?a
2
?0
,所以
a?3

?a?0
?


(3)∵
f
'
(x)?3x
2
?2ax?a
2
?3(x?
a
3
)(x?a)
,且
a?0

a
∴函数
f(x)
的递减区间为
(?a ,
a
3
)
,递增区间为
(??,?a)

(
3
,??)


a?
?
3,6
?
时,
a
3
?
?
1,2
?
,?a??3,
x?
?
?2,2
?


f(x)
max?max
?
f(?2),f(2)
?

f(2)?f(?2)? 16?4a
2
?0


f(x)
max
?f(?2 )??8?4a?2a
2
?m

又∵
f(x)?1
x?
?
?2,2
?
上恒成立,

f(x)
m ax
?1
,即
?8?4a?2a
2
?m?1
,即
m ?9?4a?2a
2

a?
?
3,6
?
恒成立。


9?4a?2a
2
的最小值为
?87


x
2
y
2
2
4.(本题满分14分)已知椭圆< br>C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率 为
,直线
2
ab
l:y?x?22
与以原点为圆心、以椭圆
C
1
的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆
C
1
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
C
1< br>的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线
l
1
过点F
1
,且垂直于椭圆的长轴,
动直线
l
2
垂直
l
1
于点P,线段PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点 M,求点M的轨迹
C
2
的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C
1< br>的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F
2
,求四边形
ABCD的面积的最小值.

2c
2
a
2
?b
2
1
222< br>,?e?
2
??,?a?2b
解:(Ⅰ)
Qe?

2 aa
2
2
22
?直线l:x?y?2?0与圆x
2
?y2
?b
2
相切
??b,?b?2,b
2
?4,?a2
?8,

2
x
2
y
2
?1.

∴椭圆C
1
的方程是
?
…………3分
84
(Ⅱ )∵MP=MF
2
,∴动点M到定直线
l
1
:x??2
的距 离等于它到定点F
2
(2,0)的距
离,∴动点M的轨迹C是以
l
1
为准线,F
2
为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C
2
的方程为
y
2
?8x
…………6分
(Ⅲ)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,
A(x< br>1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
, 则直线AC的方程为
y?k(x?2).

x
2
y
2
?1及y?k(x?2)得(1?2k
2
)x
2
?8k
2
x?8k
2
?8?0.

联立
?
84
8k
2
8k
2
?8
,x
1
x
2
?.

所以
x
1
?x
2
?
22
1?2k1?2k
32(k
2
?1)
2222
|AC|?(1?k)(x
1< br>?x
2
)?(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x1
x
2
]?
….9分
1?2k
2

32(1?k
2
)
11
由于直线BD的斜率为
?,用?
代换上式中的k可得
|BD|?

2
k?2
kk

AC?BD

116(1?k< br>2
)
2
∴四边形ABCD的面积为
S?|AC|?|BD|?
2
……..12分
2(k?2)(1?2k
2
)
(1?2k
2
)?(k
2
?2)
2
3(k
2
?1)
2
]?[]


(1?2k)(k?2)?[
22
64所以
S?,当1?2k
2
?k
2
?2时,即k??1
时 取等号. …………13分
9
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD 的面积
S?8

22
x
2
y
2
2
5.(本小题满分14分)已知椭圆
2

2
=1(a>b>0)的左.右焦点 分别为F
1
.F
2
,离心率e=,右
ab2
准线方程为x= 2.
(1)求椭圆的标准方程;
226
→→
(2)过点F
1的直线l与该椭圆相交于M.N两点,且|F
2
M+F
2
N|=,求直线 l的方程.
3
?
解析:(1)由条件有
?
a
?
c
=2
2
c2
=,
a2

解得a=2,c=1.
∴b=a
2
-c
2
=1.
x
2
所以,所求椭圆的方程为+y
2
=1.
2
(2)由(1)知F
1
(-1,0).F
2
(1,0).
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,
2
将x=-1代入椭圆方程得y=±.
2
22
不妨设M
?
-1,
?
.N
?
-1,-
?

2
?
2
???
22
→→
∴F
2
M+F
2< br>N=
?
-2,
?

?
-2,-
?
= (-4,0).
2
??
2
??
→→
∴|F
2M+F
2
N|=4,与题设矛盾.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).
x
2
2
?
?
+y=1,
设M(x
1
,y
1
).N(x< br>2
,y
2
),联立
?
2

?
?
y=k(x+1)

消y得(1+2k
2
)x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0.
-4k
2
2k
由根与系数的关系知x
1
+x
2
=.
2
,从而y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2+2)=
1+2k1+2k
2
→→
又∵F
2
M=(x< br>1
-1,y
1
),F
2
N=(x
2
-1,y
2
),
→→
∴F
2
M+F
2
N=(x< br>1
+x
2
-2,y
1
+y
2
).
→→
∴|F
2
M+F
2
N|
2
=(x
1< br>+x
2
-2)
2
+(y
1
+y
2

2

8k
2
+2
?
2
?
2k?
2
4(16k
4
+9k
2
+1)
?
=+=.
4k
4
+4k
2
+1
?
1+2k
2
?
?
1+2k
2
?
4(16k
4
+9 k
2
+1)
?
226
?
2
∴=
4k
4
+4k
2
+1
?
3
?

化简得40k
4
-23k
2
-17=0,
17
解得k
2
=1或k
2
=-(舍).∴k=±1.
40
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.



6.(本小题满分12分)已知
a?R
,函数
f(x)??lnx?1
g(x)?
?
lnx?1
?
e
x
?x
(其中< br>e
为自然对数的底数).
(1)判断函数
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的单调性;
(2)是否存在实数
x
0
?
?
0,e
?
,使曲线
y?g(x)
在点
x?x< br>0
处的切线与
y
轴垂直? 若存在,
求出
x
0
的值;若不存在,请说明理由.

aa 1x?a
解(1):∵
f
(
x
)
??
ln
x?
1
,∴
f
?
(x)??
2
??
2
xxx
x

f
?
(x)?0
,得
x?a

①若
a?
0
,则
f
?
(x)? 0

f
?
x
?
在区间
?
0,e
?
上单调递增.
②若
0?a?e
,当
x?
?
0, a
?
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?x
?
在区间
?
0,a
?
上单调递减,
x?
?
a,e
?
时,
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?
在区间
?
a,e
?
上单调递增,
③若
a?e
,则
f
?
(x)?0
,函数
f
?
x
?
在区间
?
0,e
?
上单调递减. ……6分
(2)解:

g
(
x
)?
?
ln
x?
1
?
e
x
?x

x?
?
0,e
?

e
x
?
1
?
xx
?
?
g
?
(x)?
?
ln x?1
?
e?
?
lnx?1
?
?
e
??1
??
?
lnx?1
?
e
x
?1?
?
?lnx?1
?
e
x
?1
由(1)可
x
?
x
?
1
知,当
a?1
时,
f(x)??lnx? 1

x
1
此时
f(x)
在区间
?
0,e
?
上的最小值为
ln1?0
,即
?lnx?1?0
x
?
1
?
1

x
0
?
?0,e
?

e
x
0
?0

?lnx< br>0
?1?0
,∴
g
?
(x
0
)?
?
?lnx
0
?1
?
e
x
0
?1?1?0< br>.
x
0
?
x
0
?
a
x
曲 线
y?g(x)
在点
x?x
0
处的切线与
y
轴垂直 等价于方程
g
?
(x
0
)?0
有实数解.
g
?
?
x
0
?
?0
,即方程
g
?
(x
0
)?0
无实数解.
故不存在
x
0?
?
0,e
?
,使曲线
y?g(x)

x?x
0
处的切线与
y
轴垂直……12分

< br>7.(本小题满分12分)已知线段
CD?23

CD
的中点为
O
,动点
A
满足
AC?AD?2a

a
为正常数 ).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点
A
所在的曲线方程;
(2)若
a?2
,动点
B
满足
BC?BD?4
,且
OA?O B
,试求
?AOB
面积的最大值和最小
值.

解(1)以
O
为圆心,
CD
所在直线为轴建立平面直角坐标系.若
AC?AD? 2a?23
,即
0?a?3
,动点
A
所在的曲线不存在;若
AC?AD?2a?23
,即
a?3
,动点
A
所在

< br>的曲线方程为
y?0(?3?x?3)
;若
AC?AD?2a?23
, 即
a?3
,动点
A
所在的曲
x
2
y
2线方程为
2
?
2
?1
.……4分
aa?3
x
2
x
2
2
(2)当
a?2
时,其曲线方程为椭圆< br>?y?1
.由条件知
A,B
两点均在椭圆
?y
2
?1
上,
44

OA?OB


A(x
1,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

OA
的斜率为
k
(k?0)
,则
OA
的方程为
y?kx

OB
的方程为
?
y?kx
1
?

y??x
解方程组
?
x
2
2
k
?y?1
?
?
4
4
4k
2
2
2

x
1
?

y
1
?

1?4k2
1?4k
2
4
4k
2
2
2
同理可求 得
x
2
?
2

y
2

?
2
k?4
k?4

11
(1?k
2)
2
2
1?kx
1
1?
2
x
2
=
2
………………8分
?AOB
面积
S?
2k
(1?4k
2
)(k
2
?4)

1?k
2
?t(t?1)

t
2
1
S?2?2

994t
2
?9t?9
?
2
??4
tt
99112 5254

g(t)??
2
??4??9(?)
2
?(t? 1)
所以
4?g(t)?
,即
?S?1

ttt2445< br>4

k?0
时,可求得
S?1
,故
?S?1

5
4

S
的最小值为,最大值为1. ……12分
5

y
2
x
2
8.(本小题满分12分)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) 是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点,已知向量
ab
3
x
1
y
1
x
2
y
2
m ?n?0
且椭圆的离心率e=,短轴长为
2

O
为坐标原点.
m?(,),n?(,)
,若
2
baba
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理


ca
2
?b
2
3
y
2
??a? 2,c?3
椭圆的方程为
?x
2
?1
4分
解:
2b?2.b?1,e??
aa2
4
(2) ①当直线AB斜率 不存在时,即
x
1
?x
2
,y
1
??y
2
,由
m?n?0

y
1
2
x??0?y
1
2
?4x
1
2
…………5分
4
4x
1< br>2
2
2
?1?x
1
?,y
1
?2


A(x
1
,y
1
)
在椭圆上,所以
x< br>1
?
42
2
1


11
x
1y
1
?y
2
?x
1
2y
1
?1

22
所以三角形的面积为定值.……6分
②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
s?

?
y?kx?b
?2kb
?
2
222

? (k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
2< br>k?4
?
?x?1
?
4
b
2
?4
x
1
x
2
?
2
,?=(2kb)
2
?4( k
2
+4)(b
2
?4)>0……………8分而
m?n?0
,
k?4
yy(kx?b)(kx
2
?b)
x
1
x
2
?
12
?0?x
1
x
2
?
1
?0代入整理得:
44

22
2b?k?4
……………10分
222
1|b|1|b|4k?4b+164b
2S=
2
=
2|b|
=1
2
|AB|=
2|b|(x
1
+x
2
)?4x
1
x
2
=
2(k
2
+4)
1+k
综上三角形的面积为定值1.……………… ………12分

9.已知函数
f(x)
的导数
f'(x)?3x< br>2
?3ax,
f(0)?b

a

b
为实数 ,
1?a?2

(1)若
f(x)
在区间
[?1,1]< br>上的最小值、最大值分别为
?2
、1,求
a

b
的值 ;
(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点
P
(2,1)处的切线方程;
(3) 设函数
F(x)?[f'(x)?6x?1]ge
2x
,试判断函数
F(x)
的极值点个数.

解:(1) 由已知得,
f(x)?x
3
?ax
2
?b
, 由
f
?
(x)?0
,得
x
1
?0

x
2
?a


x?[?1, 1]

1?a?2

∴ 当
x?[?1, 0)
时,
f
?
(x)?0

f(x)
递增;当
x?(0, 1]
时,
f
?
(x)?0

f(x)
递减.

f(x)
在区间
[?1, 1]
上的最大值为
f(0)?b
,∴
b?1


f(1)?1?
3
a?1?2?
3
a

22
33
f(?1)??1?a?1??a

22

f(?1)?f(1)

3
2
由题意得
f(?1)??2
,即
?
3
a??2
,得
a?
. 故
a?

b?1
为所求.
2
4
3
4
3
(2) 由 (1) 得
f(x)?x
3
?2x
2
?1

f
?
(x)?3x2
?4x
,点
P(2, 1)
在曲线
f(x)
上.
当切点为
P(2, 1)
时,切线
l
的斜率
k?f
?
(x)|
x?2
?4


l
的方程为
y?1?4(x?2)


4x?y?7?0


(3
F(x)?(3x< br>2
?3ax?6x?1)?e
2x
?
?
?
3x
2
?3(a?2)x?1
?
?
?e
2x

F?
(x)?
?
6x?3(a?2)
?
?e
2x
?2
?
?
3x
2
?3(a?2)x?1
?
?
?e
2x
?[6x
2
?6(a?3)x?8?3a]?e
2x
2

二次函数
y?6x?6(a?3)x?8?3a
的判别式为
??36(a? 3)
2
?24(8?3a)?12(3a
2
?12a?11)?12
?
?
3(a?2)
2
?1
?
?

??0< br>,得:
(a?2)
2
?
1
,2?
3
?a? 2?
3
.

??0
,得
a?2?
3
,或a ?2?
3
.

e
2x
?0

1?a?2

3

3333
∴当
2-
3
3
?a?2
时,
F
?
(x)?0
,函数
F(x)
为单调递增,极值点个数为0;
当< br>1?a?2?
3
3
时,此时方程
F
?
(x)?0有两个不相等的实数根,
根据极值点的定义,可知函数
F(x)
有两个极值点.

10.已知函数f(x)=
a?x
2
?lnx
?
?
?
a?R,x?[
1
?
x2
,2]
?
?

(1)当
a?[?2,
1
4
)
时, 求
f(x)
的最大值;
(2) 设
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
,
k

g(x )
图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数
a
,使

k?1
恒成立?若存在,求
a
的取值范围;若不存在,请说明理由.























(2)存在
a?(??,]
符合条件
解: 因为
g(x)?[f(x)?lnx]?x
2
=
ax?x
3

不妨设任意不同两点
p
1
(x
1
,y
1
) ,p
2
(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2

3
y
1
?y
2
a(x
1
?x
2
)?(x
2
?x
1
3
)
k??
x
1
?x
2
x
1
?x
2< br>则

2
?a?(x
1
2
?x
1
x< br>2
?x
2
)
2
)


k?1
知:
a?
1+
(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
7
4
2
又< br>?x
2
?4

a?

1
4
7
4
故存在
a?(??,)
符合条件.…12分
解法二:据题意在
y?g(x)
图象上总可以在找一点
P(x
0
,y
0
)使以P为切点的切线平行图
象上任意两点的连线,即存在
k?
2
?a?1 ?3x
0
?
7
4
g(x
1
)?g(x
2< br>)
2
?g'(x
0
)?a?3x
0
?1
< br>x
1
?x
2
77
故存在
a?(??,)
符合 条件.

44


11.A﹑B﹑C是直线
l
上的 三点,向量
OA

OB

OC
满足:
OA
-
[y+2
f
?
(1)

OB
+ln(x+1) ·
OC
=
0

(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若x>0, 证明f(x)>
2x

x?2
1
(Ⅲ)当x
2
?f
(
x
2
)
?m
2
?
2
bm?
3
时,x
?
?
?1,1
?
及b
?
?
?1,1
?
都恒成立,求实数m的取
2
值范围。

解I)由三点共线知识,

OA?[y?2f
?(1)]OB?ln(x?1)]?OC?0
,∴
OA?[y?2f
?
( 1)]OB?ln(x?1)]?OC
,∵A﹑B﹑C
三点共线,

[y?2f
?
(1)]?[?ln(x?1)]?1


y?f(x)?ln(x?1)?1?2f
?
(1)
.


11
??
f(x)?f(1)?

x?1

2

∴f(x)=ln(x+1)………………4分
2x
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-
x?2
,
x
2

g
?
(x)?
(x?1)(x?2)
2

∵x>0∴
g
?
(x)?0

2x
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
x?2
;………8分
1
222
x?f(x)?m?2bm?3
,令
(III)原不等式 等价于
2
3
x?x
1
2
1
222
?
h(x)?,
x?f(x)x?ln(1?x),
2
h(x)=
2
=
2

1?x
当x∈[-1,1]时,[h(x)]
max
=0, ∴m
2
-2bm-3≥0,令Q(b)= m
2
-2bm-3,则由Q(1)≥0及Q
(-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分


12.已知
M
经过点
G(0,?1)
,且与圆
Q:x
2
?(y?1)
2
?8
内切.
(Ⅰ)求动圆
M
的圆心的轨迹
E
的方程.
(Ⅱ)以
m?(1,2)
为方向向量的直线
l
交曲线
E
于不同的两点
A、
B
,在曲线
E
上是
否存在点
P
使四边形OAPB
为平行四边形(
O
为坐标原点).若存在,求出所有的
P

的坐标与直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ )依题意,动圆与定圆相内切,得|
MG|?|MQ|?22
,可知
M
到两个 定点
G

Q
的距离和为常数,并且常数大于
|GQ|
,所以
P
点的轨迹为椭圆,可以求得
a?2

c?1

b ?1

y
2
?
1
.……………………5分
所以 曲线
E
的方程为
x?
2
2
(Ⅱ)假设
E
上 存在点
P
,使四边形
OAPB
为平行四边形.

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