2020高考满分秘籍之高考数学压轴题

备战2020高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练
第一题
【四川省内江市2019届高三第三次模拟（文)】在三棱锥中，和是有公共斜边的等腰直
角三角形，若 三棱锥的外接球的半径为2，球心为，且三棱锥的体积为，则直线与
平面所成角的正弦值是（ ）
A．
【答案】
D
【解析】

B． C． D．

∵
∴线段
和是有公共斜边的等腰直角三角形，
的中点为球心O，
连接
OA
，
OB
，

易得
∴∠
AOC
为二面角
A-BD-C
的平面角，

且∠AOC为直线与平面所成角或其补角，
三棱锥的体积为，
∴
故选：
D
，

第二题
【四川省内江市2019届高三第三次模拟（文)】若函数
值范围是（ ）
A．
【答案】
B
【解析】

解：f′（x）ax+
∴f′（x）＞0在x∈
即ax+0，在x∈
，
上成立，
上成立，
B． C． D．
存在单调递增区间，则的取
即a在x∈上成立．
令g（x），则g′（x），
∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（e）=
∴a＞．
故选：
B
．

第三题
【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测（文)】已知函数
.给出下列命题:
①当
②函数
时
有三个零点；
；
是定义在上的奇函数，且时，

③
④
A
．
1
个

的解集为
都有
B
．
2
个

；
.其中正确的命题有( )
C
．
3
个
D
．
4
个

【答案】
D
【解析】

因为函数
所以当
是定义在上的奇函数，且
时，，故
时，.
，故①正确.
所以，当时，即函数有三个零点，故②正确.
不等式等价于或， < br>解不等式组可以得
当
当
当
所以当
故
时，
时，
时，
时
或
，
，所以
，所以
的取值范围为
， 故
在
，所以解集为，故③正确.
，
在上为增函数；
上为减函数；
，因为为上的奇函数，
，故④正确. 的值域为都有
综上，选D.
第四题
【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟（理) 】在直角坐标平面内，已知
的三个顶点，且
，以及动点是
，则动点的轨迹曲线的离心率 是（ ）
A．
【答案】
A
【解析】

B． C． D．
∵
sinAsinB-2cosC=0
，∴
sinAsinB= 2cosC=-2cos
（
A+B
）
=-2(cosAcosB- sinAsinB)
，

∴sinAsinB=2cosA cosB，即tanAtanB=2，∴
设
C
（
x
，
y），又
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
2
，
0
），

所以有，
，
整理得
故选A．
，∴离心率是
第五题
【四川省内江市2019 届高三第三次模拟（理)】设椭圆的左右焦点分别为、，上
下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点. 若，则直线的斜率为（ ）
A．
【答案】
B
【解析】

由题意，椭圆
B． C． D．
，且满足，如图所示，
则在中，，且，所以，
不妨设，则，所以，则椭圆的方程为，
又由，所以，所以直线的方程为，
联立方程组 ，整理得，解得或，
把代入直线，解得，即
又由点，所以的斜率为，故选B。

第六题
【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟（理)】已知函数，其中，，为< br>的零点：且
A
．
11
【答案】
C
【解析】

由题意知函数
恒成立，
B
．
13
在区间
C
．
15
上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）
D
．
17

为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的
零点，∴?，n∈Z，∴ω＝2n+1．
f（x）在区间上有最小值无最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈（，），此时f（x）在时取得最小值，∴ω=15满足题意．
则
ω
的最大值为
15
，

故选：
C
．

第七题

【贵州省贵阳市2019届高三5月适应（二)文】不等式，恒成立，则的最小值为（ ）
A．
【答案】
A
【解析】

令，则
B． C． D．
，
很明显函数的周期为，
上具有如下单调性： 由导函数的符号可得函数在区间
在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
绘制函数图像如图所示，


考查临界条件，满足题意时，直线
临界条件为直线与曲线相切的情况，

此时
故选：
A.

，即的最小值为.
恒在函数的图像的上方，
第八题
【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟（理)】 已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若

【答案】
11
【解析】

由可得
，，则使不等式成立的的最小值是________.
，则（）（）=0，
又数列
即
的各项均为正数，∴
，可得数列{a
n
}是首项为
，
公比为q＝2的等比数列，
∴
故答案为11.
,则n>10，又，∴n的最小值是11，
第九题
【贵州省贵阳市2019届高三 5月适应性（二)文】的内角，，的对边分别为，，，且
，则__________．
【答案】
【解析】


由题意结合正弦定理有：

，
即
整理变形可得：
，
，
，即

.
第十题
【四川省内江市2019届高三第三次模拟（文)】设椭圆的左右焦点分别为、，上< /p>

下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为_____．
【答案】
【解析】

∵，
∴，即椭圆方程为：
设，A，且，即
，又，
∴，
故答案为：
第十一题
【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模（理)】已知数列满足，且点
在直线
围为_ _____．
【答案】
【解析】

将点

上．若对任意的，恒成立，则实数的取值范
代入直线可得：.
所以数列
所以
是以为首项，公差为的等差数列.

所以
当且仅当时，等号成立
要使得恒成立，
则
所以
第十二题

【贵州省贵阳市2019届高三5月适应（二)文】过椭圆 的左焦点到直线过的上
端点，且与椭圆相交于另一个点，若，则的离心率为______．
【答案】
【解析】

由题意可得，由可得，
点A在椭圆上，则：，
整理可得：.
第十三题
【贵州省贵阳市2019 届高三5月适应（二)文】直线
两点，为坐标原点，则
【答案】
【解析】

设，AB的中点为，

_____．
与圆相交于，

联立直线方程与圆的方程：，
整理可得：
故
据此可得：
，
，
，
，
，
结合平面向量的运算法则有：

.
故答案为：．
第十四题 【四川省内江市2019届高三第三次模拟（理)】如图所示，在
边上任取一点，并将
为_ _________．
沿直线折起，使平面平面
中，，，，在
，则折叠后、两点间距离的最小值

【答案】
【解析】


如图所示，设，则,
过点C作于E，过B作交AD的延长线于点F，
所以，
所以
所以
，

，
当时，。

第十五题
【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟（理)】如图，已知椭圆 的长轴，长为
4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.
【答案】（1）
【解析】

（1）设，
；（2）证明见解析.
，因点在椭圆上，所以，
故.又，，

所以，即，又，所以
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去并整理得，
，则，.
直线的方程为，令得，
同理，；
所以，
代入化简得，即点，又，
所以



，所以.
第十六题
【四川省内江市2019届高三第三次模拟（理)】已知函数，.
（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；
（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意，可得，
，
令，得.
①当时，在上单调递减，
∴.
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴.
综上，当时，，当时，.
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，∴，
∴，代入
得.
∴问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
∵，当时，，∴.
∴问题转化为：的最小值小于或等于0.

，
设
当
∴在
时，
，则
，当时，.
上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为.
由知，故.
设，
则，故在上单调递增，
∵
∴
，∴当
的最小值
时，
等价于
，
.
又∵函数

在上单调递增，∴.
第十七题
【安徽省芜湖市201 9届高三5月模拟理】已知函数
（1）若
（2）若
在上单调递减，求的取值范围；
，求证：
；（2）证明见解析.
.
.
【答案】（1）
【解析】

（1）因
令
在上单调递减，所以
，则
恒成立.

因，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（2）由（1）知当
即
即
从而
即
令
即




时，
，则
时，
，又
，
在R上单调递减，当x>0时，则
时，，则，
，
，
，也即
，
.

第十八题
【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测文】已知函数
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若函数
,求函数的单调区间；
.
上单调递减；（Ⅱ）详见解析.
有两个极值点，求征：
上单调递增，在【答案】（Ⅰ）在
【解析】

（Ⅰ）当时，，

，
当
在
时，，当时，
上单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ） ，有两个极值点得
,，
，
令,则,
在上单调递增,
.



第十九题
【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模（理)】已知函数，，
．
（1）求函数
（2）若
的极值；
在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1），无极大值；（2）；（3）.

【解析】

（1）因为.由得:，
当时，，当时，
所以为函数的极小值点 .
（2），.
因为
所以
在
或
上为单调函数，
在上恒成立，
等价于在恒成立，
又．当且仅当时，等号成立

等价于，
即在恒成立，而．
综上，m的取值范围是．
（3）构造函数，
当时，，
所以在不存在，使得
.当时，
因为，所以在恒成立，

故在单调递增，
所以，又
所以只需，解之得，
故m的取值范围是 .
第二十题
【浙江省三校20 19年5月份第二次联考】已知函数
（
1
）求函数的单调区间；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：
.
【答案】（
1
）见解析（
2
）见解析

【解析】

（1） .
当时，，函数
的单调增区间为
在
.
上单调递增，
所以函数
当时，由得；由得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）因为
则
两式相减得
是方程的两个不等实根，所以
，
.不妨设< br>，
,
，
即.

又，当时，；当时，.
故只要证明即可，即证，
即证,即证.
设，令，则,
则在为增函数，又,
所以时，总成立，得证.
第二十一题
【四川省内江 市2019届高三第三次模拟（理)】已知椭圆：的离心率为，直线
被圆
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
点的坐标和
截得的弦长为.
的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得
的值；若不存在，请说明理由.
为定值？若存在，求出
【答案】（1）
【解析】

；（2），.
（1）∵椭圆的离心率为，∴,
∵圆的圆心到直线的距离为,
∴直线被圆截得的弦长为
.

解得，故，∴椭圆的方程为.
（2）设，，，
. 当直线与轴不重合时，设的方程：
由得，，
∴，，

，
当，即时，的值与无关，此时.
当直线与轴重合且时， .
∴存在点，使得为定值.
第二十二题
【福建省泉州市2019届高三第二次（5月 )理】已知函数
（1）若
（2）若
，
，

，求实数的值．
，．
，求正实数的取值范围．
【答案】（1）0（2）
【解析】

（1）由题意，得
由，
，
…①，得
，
，
令，则，

因为，所以在单调递增，
又
当
所以
，所以当
时，，
时，
单调递减；
，单调递增；
，当且仅当时等号成立．
故方程①有且仅有唯一解
（2 ）解法一：令
则
所以当
当
故
，
时，
时，

，实数的值为0．
（），
，
，
单调递增;
单调递减;

．
令
则
（i）若
所以
（ii）若
（iii）若
所以
综上述：．
，
时，
时，
时，，
．
在
（），
单调递增，
，满足题意．
，满足题意．
，在单调递减，
．不满足题意．
解法二：先证明不等式，
令
则当时，
，
，
，…（*）．
单调递增，

当
所以
时，
，即
，所以
时，.
，单调递减，
．
变形得，
所以当
时，，
又由上式得，当时，，，.
因此不等式（
*
）均成立．

令
则
（i）若
当
故
时，当
时，

．
（ii）若
所以
因此，①当时，此时
时，

，
，在
．
，，
单调递增，
，
时，
，
，
单调递减;

单调递增;
（），
则需
由（*）知，
②当
则当
时，此时
时，
，，（当且仅当
，
时等号成立），所以．

（由（*）知）；

当时，（由（*）知）．故对于任意，．

综上述：


．