2020高三数学专题复习 压轴题突破练(1)文

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2020高三数学专题复习 压轴题突破练（1）文

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【最新】20xx年高三数学专题复习 压轴题突破练（1）文



1．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．

(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn 3＝(Sn)3成
立，求数列{an}的通项公式；

(2)对任意正整数n，从集合 {a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个
数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不 相同的正整
数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数
组成的集 合．

(ⅰ)求a1，a2的值；

(ⅱ)求数列{an}的通项公式．

2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
< br>(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范
围；

(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；

(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2，4]时的最小值．

压轴题突破练(一)

1．解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn 3＝(Sn)3对任意
正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：

?
1
，
?
a1＝a3
?

?
?< br>8a1＋28d＝（2a1＋d）3.
因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.


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可得a1＝1，d＝0或d＝2.

当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；

当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n
－1.

(2)(ⅰ)记An＝{1，2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.

对于S2＝a 1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1，2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，
|1－a2|}＝{1 ，2，3，4}，

故1＋a2＝4，所以a2＝3.

(ⅱ)由题意可知， 集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正
整数．而集合{a1，a2，…，an，a n＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正
整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1 ，an＋1＋i，
|an＋1－i|(i＝1，2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．

所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.

又Sn＋1＋＝3，

所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝·3n－－＝3n－1.

而a1＝1也满足an＝3n－1.

所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.

2．解 (1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，

又因为－2≤x≤－1，

所以a≥在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，

所以a≥.

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(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，

所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，

则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.

①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；

②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，

所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；

③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．

(3)因 为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝
?
f′（x），f（ x）≥f′（x），
?

?
f（x），f（x）＜f′（x），
①若 a≥－，则x∈[2，4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x
＋2a，从而 g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；

②若 a＜－，则x∈[2，4]时，f(x)＜ f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2
＋2ax＋1，

当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，

当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，

当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.

③若－≤a＜－，则x∈[2，4]时，

?
x2＋2ax＋1，x∈[2，1－2a）
g(x)＝
?

2x＋2a， x∈[1－2a，4]
?
当x∈[2，1－2a)时，g(x)最小 值为g(2)＝4a＋5；

当x∈[1－2a，4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.

因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，

所以g(x)最小值为4a＋5，

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?
1－a2，－4＜a＜－2，?
1
综上所述，[g(x)]min＝
?
4a＋5，－2≤a＜－，
2
?
2a＋4，a≥－
1
.
?
2
8 a＋17，a≤－4，
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