高考理科数学选择、填空压轴题高效突破

高考数学选择题、填空题压轴题高效突破
第一部分
1.(201 8
届高三湖北省
2
月七校联考理数试题第
12
题
)
对
n?N
*
，设
x
n
是关于
x
的方程nx
3
?2x?n?0
的实数根，
a
n
?[(n?1) x
n
],(n?2,3,???)
（符号
[x]
表示不超过
x
的最大整数）．则
（

）

A．1010 B．1012 C．2018
解：A．
2.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第12题)已知函数
D．2020
a
2
?a
3
?????a
2018
?
2017
f(x)?2e
2x
?2ax?a?2e?1
，其中a∈R，e
为自然对数的底数，若函数
f(x)
在区间(0，1)内有两个
零点，则
a
的取值范围是（ ）
2e?1)

C.
(2e
2
?2e?1，2e
2
)

D.
(2，2e
2
)

A
．
(2e?1，2e
2
?2e?1)

B
．
(2，
解：
f(x)?2e
∵
4?4e
2x< br>2x
?2ax?a?2e-1
，则
f
?
(x)?4e
2x
?2a，x∈(0，1)
，
?4e
2
，所以
2(1)若
a?2e
时，则
f
?
(x)?0
,函数
f(x)
在(O，1)内单调递减，故在(O，1)内至多有一个零点，故舍
去；
(2)若
a?2
时，则
f
?
(x)?0
，函数
f( x)
在(0，1)内单调递增，故在(O，1)内至多有一个零点；故舍
去；
(3) 若
2?a?2e
时，函数
f(x)
在
?
0，ln
2
?
?
1
2
a
??
1a
?
1
?
上递增， 上递减，在
??
ln，
2
?
22
? ?
所以
f(x)
min
?g
?
a
?
1a< br>?
ln
?
?2a?aln?2e?1
．
2
?
22
?
令
h(x)?2x?xln
x
?2e?1=2x?xlnx ?xln2?2e?1
(2?x?e
2
)
，则
h
?
(x)??lnx?1?ln2
，当
2
h(x)
为增函数；当
x∈( 2e，2e
2
)
，
h
?
(x)?0
，
h( x)
为减函数，所以
x∈(2，2e)
时，
h
?
(x)?0 ，

1 15

h(x)
max
?h (2e)??1?0
，即
f(x)
min
?0
恒成立，所以函数g(x)
在(O，1)内有两个零点，则
?
f(0)?0
2e
2
?2e?1)
．故选A．
，解得
a∈(2e?1，
?
?< br>f(1)?0
3.(陕西省2018届高三教学质量检测数学（理）第12题)若函数
f (x)?ax?x
2
?lnx
存在极值，且这些极
值的和不小于
4? ln2
，则
a
的取值范围为 （ ）
A．
[2,??)
B．
[22,??)
C.
[23,??)
D．
[4,??)

解：C．
4 .(数学理卷·2018届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末质量检测第12题)已知函数
1f(x)?(kx?)e
x
?2x
，若
f(x)?0
的解集中有 且只有一个正整数，则实数
k
的取值范围为（ ）
2
A．
?
?
2121
?
?
2121
??
2121
?
?
2121
?
?,??,?
?< br>
?,??,?
B． C. D．
?
?< br>2
?
23
32
?
??
4e2
?
?< br>e
?
e6e2
?
?
e4e2
??
e6e4< br>?
解：A．
5.(河南省2018届高三中学生标准学术能力诊断性测试2月数学（理 ）第12题)已知函数
f(x)?(
lnx
2
lnx
)?(a?1) ?1?a
有三个不同的零点
x
1
，
x
2
，
x
3
（其中
x
1
＜
x
2
＜
x3
），则
xx
(1?
lnx
3
lnx
1
lnx
2
)(1?)(1?)
的值为（ ）
x
1
x
2
x
3
B. a-1 C. -1 D. 1-a A. 1
解：A．
6.(湖北 省武汉市2018届高三2月高中毕业生调研测试数学（理）试题第11题)已知函数
f(x)?x2
lnx?a(x
2
?1)(a?R)
,若
f(x)?0
在
0?x?1
上恒成立，则实数
a
的取值范围为（ ）
A．
a?2
B．
a?1
C．
a?
解：C．
7.(数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试第12题)
设
a?
2
1
D．
a?

4
2
x
2
?xy?y
2
,b?pxy,c?x?y
，若对任意的正实数
x,y
，都存在以
a,b,c
为三边长的三角< br> 2 15

形，则实数
p
的取值范围是（ ）
3
?
B．
?
1，2
?
C.
?
，
?
D．以上均不正确 A．
?
1，
解：A．
8.(数学理卷·2018届福建省闽侯第一中学高三 上学期模拟考试（期末）第11题)已知函数
?
17
?
?
22
?
f(x)?
x
(x?0)
，设f（x）在点
(n,f(n))( n?
N*）处的切线在y轴上的截距为
b
n
，数列
?
an
?
满足：
1?x
a
1
?
?
b
?
?
b
n
?
1
?
，
a
n?1< br>?f(a
n
)(n?N*)
，在数列
?
n
中，仅当n =5时，
?
取最小值，则λ的取值范
?
2
2
2
a< br>n
a
n
?
a
n
a
n
?
围是 （ ）
A.
(?11,?9)
B.
(?5.5,?4.5)
C.
(4.5,5.5)
D.
(9,11)

解：A．
9.(2018年2月甘肃省河西五市部分 普通高中高三第一次联合考试数学试题第16题)设函数
f
?
x
?
?
3
2
x?2ax(a?0)
与
g
?
x
?< br>?a
2
lnx?b
有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数
b
的最
2
大值为 ．
解：
1
2e
2

10.(衡水金卷2018高校招生全国统 考理科数学三第16题)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
2
b?
a
n
?a
n?1
?2a
n?1
?
n?2
?
，若
n
11
?n ?N
*
?
，则数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
?
．
?
an?1
a
n
?2
解：
1?
1
2?1
2
n

11.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第16 题)函数
f(x)?
1
si
?
nx?1
2
?
x
?cos
，且
?
?
，
x∈R
，若
f( x)
的图像在
x∈(3π，4π)
内与
x
轴无交点，
22< br>2
则
?
的取值范围是 ．

3 15

解：
f(x)?
T
11
1
2π
??
sin
?
x?cos
?
x
，
f( x)?sin
?
?
x?
?
,显然
?π
，故
?
?
?1
．由对称中心知
22
2
2
24
? ?
?
x?
π1
?
1
?
4π)
内存在交点， 可知
?k
π
?x?
?
k
π
?
π
?
，k∈Z
．假设在区间
(3π，
4
?
?
4
?
k1k
??
?
??
．当
k?2，3，4
时，?
?
?
,
?
?
?
,
?
??
，现不属于区间
4
412
16
1
?
711< br>??
1115
?
(3π，4π)
，所以以上的并集在全集
?< br>?
?1
中作补集，得
?
∈
?
，
?
∪
?
，
?
．
2
?
1216
??
1 216
?
12.(四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理数试题第16题)在
?ABC
中，
?C?
?
4
，
?ABC
的面
积为3，
M
为边
BC
的中点，
AM?
25

5
5
，且
AC?BC
，则
sin?BAC?
．
解：
13.(河南省周口市2018届高三上学期期末抽测调研数学（理）试题第16题) 在△ABC中，
2
2sin
A
?
2
3siAn,sBin? (C?)
，则
2BcosCsin
AC
?
．
AB
解：
1+13

2
14.(湖北荆州中学2018届高 三3月周考数学（理）第16题)在半径为
R
的圆形铁皮上割去一个圆心角为
?
的扇形，使剩下的部分围成一个圆锥，则当
?
?__________
（用弧度制表 示）时圆锥的容积最大．
解：
2
?
(1?
6
)

3
15.(湖北省武汉市2018届高三2月高中毕业生调研测试数学（理）试题第16题)已 知正四面体
P?ABC
中，
D,E,F
分别在棱
PA,PB,PC< br>上，若
PE?PF
，
DE?DF?
的体积为 ．
7
，
EF?2
，则四面体
P?DEF
解：
17
8
16.(云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考数学（理）试题第16题) 已知函数

4 15

?
99
?101
?
?
?1
f(x)?2e
x
sin(x?)，
x?[?,]
，过点
P(,0)
作函数
f(x)
图像 的切线，切点坐标为
4222
(x
1
,y
1
)
，< br>(x
2
,y
2
)
，
?
，
(x
n
,y
n
)
，则
?
x
i
?
．
i?1
x
0
x
)
，则切线解：由题意得，
f( x)?(sinx?cosx)e
，则
f
?
(x)?2e
x
cosx
；设切点为
Q(x
0
,(sinx
0
?cosx< br>0
)e
n
斜率为
k?f
?
(x
0
) ?2e
x
0
cosx
0
，所以切线方程为
y?(sinx< br>0
?cosx
0
)e
x
0
?2e
x
0
cosx
0
?(x?x
0
)
，将点
P(
?
?1
2
,0)
代入切线方程得
?(sinx
0
? cosx
0
)e
x
0
?2e
x
0
cosx
0
(
?
?1
?x
0
)
，即
tan x
0
?2(x
0
?)
；令曲线
22
?
C: y?tanx
，直线
l:y?2(x?)
，则直线
l
与曲线
C
交点的横坐标即为切点横坐标；又因为直线
l
与曲线
2
?
?
?
99
?
101
?
?
内共有
50
对，每对之和为
,
C
均关于点
(,0)
对称，则它们的交点横坐标 成对出现，在区间
?
?
2
?
2
?
2
??
?
99
?
101
?
?
?
；所以过点
P
作函数
f(x)?2sin(x?)e
x
，
x?
?
?
的切线共有
100
条，即切点共有
100
,
?
2
?
4
?
2
个，所以
?
x
i?
?
x
i
?50
?
．
i?1i?1
n100
17.(数学理卷·2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考第16题)已知数列?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?na
n
?2(n?1)(n?N
?
)
，则
|a
2017
|?|2016a
2016
|?
．
解：
?4034

18.(数学理卷·2018届北京市朝阳区高三第一 学期期末质量检测第13题)伟大的数学家高斯说过：几何学
唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基 本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，
按以下步骤给出了不等式：
(ac ?bd)?(a?b)(c?d)
的一种“图形证明”.

22222
a< br>d
a
D
d
c
C
b





b
b
A
c
d
B
a
c

5 15

证明思路：

（
1
）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；左图中阴影区域的面积为
ac?bd，右图中，设
；

?BAD?
?
，右图阴影区域的面积可表示为
_________
（用含
a,b,c,d
，
?
的式子表示 ）
（
2
）由图中阴影面积相等，即可导出不等式
(ac?bd)?(a?b) (c?d)
.
当且仅当
a,b,c,d
满足条
件
____ ______________
时，等号成立
.
解：（1）
a
2< br>?b
2
?
c
2
?d
2
?
sin?
; （2）
ad?bc

19.(数学理卷·2018届福建 省福州市高三上学期期末考试第16题)如图，已知一块半径为1的残缺的半圆
形材料
MNQ< br>，
O
为半圆的圆心，
MN?
8
.现要在这块材料上裁出一个直 角三角形.若该三角形一条边在
5
22222
MN
上，则裁出三角形面积的最 大值为 ．

解：

第二部分
33

8
x
3
?e,x?0
1.(数学理卷·2018届河北省馆陶县第一 中学高二下学期期末考试第12题)若函数
f
?
x
?
?{
e
x
x
e
3
则方程
f
?
f
?
x
?
?
?
的根的个数为（ ）
3
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
解：当
x?0
时，
f'
?
x
?
?< br>,x?0
，
e
x
?
x?1
?
x
，据 此可得函数在区间
?
0,1
?
上单调递减，在区间
?
1,? ?
?
单调递
e
3
增，且
f
?
1
?
?e
，绘制函数图象如图所示，由
f
?
f
?
x< br>?
?
?
可得
f
?
x
?
?3
或
f
?
x
?
?t?
?
0,1
?
， 当
3

6 15

f
?
x< br>?
?3?e
时，函数有两个根，当
f
?
x
?
为区间
?
0,1
?
上的某一个定值时，
f
?
x< br>?
?t
有唯一的实数
e
3
根，综上可得：方程
f?
f
?
x
?
?
?
的根的个数为3.本题选择B 选项.
3

2.(数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估第12 题)已知定义在
R
上函数
f(x)
是可导
的，
f(1)?2
,且
f(x)?f'(x)?1
，则不等式
f(x)?1?e
1?x
的解集是（ ）
A.
(1,??)
B.
(??,0)?(0,1)
C.
(0,1)
D.
(??,1)

解：设
F(x)?e(f(x)?1)
，则F'(x)?e[f(x)?f'(x)?1]
，因为
e
x
?0
，由已知可得，
F'(x)?0
，
即函数
F'(x)
是单调减函数，
F(1)?e
，故
f(x)?1?e
1?x
xx
，即
F(x)?F(1)
，则有
x?1
,选A.
3.(数学理卷·2018届 湖北省黄冈市高二下学期期末考试第10题)2013年8月,考古学家在湖北省随州市
叶家山发现了大 量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右
的西周时期 ,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可
知， 所测生物体内碳14的含量应最接近于（ ）
A．25﹪ B．50﹪ C．70﹪ D．75﹪
t
1
5730
解：依题意知，生物 体内碳14含量P与死亡年数t的关系为：
P?()
，而生物体距发掘时有约
2
2863
1
5730
?0.7
,选C 2863年，故可得
P?( )
2
4.(湖南岳阳一中2018届新高三7月考数学（理）第12题) 若
?x?R
，函数
f
?
x
?
?2mx
2
?2
?
4?m
?
x?1
与
g
?
x
?
? mx
的值至少有一个为正数，则实数
m
的取值范围为（ ）
A. （0,4] B. （0,8） C. （2,5） D.
(??,0)


7 15

解析： 当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，若
?
立；若
?
b4?m
=< br>≥0，即0＜m≤4时结论显然成
2a2m
b4?m
=
＜0，只要4（ 4-m）
2
-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m＜8则0
2a2m< br>＜m＜8，选B.
5.(惠州市2018届高三第一次调研考试数学（理科）试题第8题) 一 个四面体的顶点在空间直角坐标系
1
O?xyz
中的坐标分别是
(0,0,0 ),(1,0,1）,(0,1,1),(,1,0)
，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向
2
画正视图，则得到左视图可以为（ ）


x
z
o
正（主）视方向
y
A
BC
D

解析：满足条件的四面体如左图，依题意投影到
yOz
平面为正投影，所以左（侧 ）视方向如图所示，所
以得到左视图效果如右图，故答案选B．



6.(惠州市2018届高三第一次调研考试数学（理科）试题第12题) 三国时代吴国数学家赵爽所 注《周髀算
经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边 的正方
形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色， 其面
积称为朱实、黄实，利用
2?
勾
?
股
?
?股—勾
?
?4?
朱实
?
黄实
?
弦实，化简得勾
?
股
?
弦．设
2
勾股形中勾股比为
1:3
，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图
钉数大约为（ ）
?
3?1.732

8 15
?

A．866 B．500 C．300 D．134
解析：设勾为
a
，则股为
3a
， ∴ 弦为
2a
，小正方形的边长为
3a?a
．所以图中大正方形的面积
为
4a
， 小正方形面积为
2
?
3?1a
2
，所以小正方形与大正方形的面积比 为
?
2
?
3?13
∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约
?1?
42
?
?
?
3
?
?
?10 00?134
．故答案选D．
2
?
?
2
?
2
为
?
1?
2
7.(广东中山七校2018届高三第一次联考数学理第12题)已知函数
y?x
的图象在点
x
0
,x
0
处的切线为
??
l
，若
l
也与函数
y?lnx
，
x?(0,1)
的图象相切， 则
x
0
必满足（ ）
A．
0?x
0
?
11
B．
?x
0
??

22
C．
2
?x
0
?2
D．
2?x
0
?3

2
2
解析：画出图像，显然可 以排除A、B选项.由题
f
?
(x)?2x
，
f(x
0)?x
0
，所以
l
的方程为
2
y?2x
0(x?x
0
)?x
0
?2x
0
x?x
0
，因为
l
也与函数
y?lnx
的图象相切，令切点坐标为
(x< br>1
,lnx
1
)
，所
2
1
?
1?
2x
0
?
2
x?lnx
1
?1
，这 样有
?
以
l
的方程为
y
?
x
1
， 所以
1?ln2x
0
?x
0
，
x
0
??
1,??
?
,令
x
1
?
1?lnx?x2
10
?
1
2x
2
?1
g(x)?x?ln2 x?1
，
x?
?
1,??
?
，又因为
g
?
(x)?2x?
?
，所以
g(x)
在
?
1,??< br>?
上单调
x
x
2
增，又
g(1)??ln2?0，
g(2)?1?ln22?0
，
g(3)?2?ln23?0
，从而< br>2?x
0
?3
，选D.
10.( 2018届七校第一次联考理科数学第12题) 已知函数
y?x
2
的图象在点
x
0
,x
0
2
处的切线为
l
，若
l也与函数
y?lnx,x?(0,1)
的图象相切，则
x
0
必满 足（ ）
??
2
11
?x
0
?2
D．
2?x
0
?3
B．
?x
0
??
C．
2
22
2
解析 ：画出图象，显然可以排除A
、
B选项.由题
f
?
(x)?2x，
f(x
0
)?x
0
，所以
l
的方程为
A．
0?x
0
?
y?2x
0
(x?x
0
)?x
0
2
?2x
0
x?x
0
2
，因为< br>l
也与函数
y?lnx
的图象相切，令切点坐标为
(x
1< br>,lnx
1
)
，

9 15

1
?
2x?
1
?
0
x
1
，所以< br>1?ln2x
0
?x
0
2
,x
0
?
?
1,??
?
，令
x?lnx
1
?1
，这样有?
所以
l
的方程为
y?
x
1
?
1?l nx?x
2
10
?
12x
2
?1
g(x)?x?l n2x?1,x?
?
1,??
?
，又因为
g
?
(x )?2x??
，所以
g(x)
在
?
1,??
?
上单 调增，
xx
2
又
g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln22?0,g (3)?2?ln23?0
，从而
2?x
0
?3
，选D.
11.(
浙江省“七彩阳光”联盟
2018
届高三上学期期初联考数学试题第
9
题
)
若
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.
,设
D.
，则
< br>均为增函数.欲使
，
时，不等式
解析：原式有意义所以
时，
解 得
同号，只需两函数图像和横坐标轴（n为自变量）交点间的距离不超过1，即
，检验两个端点 符合题意，所以.选B.
12.(数学理卷·2018届江西省会昌中学高三上学期第一次半月考第11题) 已知函数
f
?
x
?
?kx

?
1
?
?
1
2
?
gx?
?x?e
，与函数
??
??
，若
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的图象上分别存在点
M,N
，使得
MN
关于直线??
e
??
?
e
?
x
2
y?x
对称，则实数
k
的取值范围是（ ）
A.
?
?,e
?
B.
?
?,2e
?
C.
?
?,2e
?
D.
?
?,3e
?

ee
ee
解：问题可化为函数y?g
?
x
?
的反函数
y?log
?
1
?
?
?
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?
3
?
?
?
?
1
2
?
,e
?
上有解的问题。的图像与在区间
x
fx?kx
??
1
?
?
e
?
e
即方程
kx? log
1
x
在区间
?
,e
?
上有解，由此可得?4?kx?2
，即
??k?
，所以
e
xx
??
e
?
1
2
?
42
?
2
?k?2e
．选B．
e
13.(湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中2018届高三上学期第 二次月考数学（理）试题第11题)
用
min{a,b}
表示
a,b
两数中的较小值.若函数
f(x)?min{x,x?t}
的图像关于直线
x??1< br>对称,则
t
的
10 15

值为（ ）A.
?2
B.
2
C.
?1
D.
1

解：作图可知,当t?0
时,函数
f(x)
的图像关于直线
x??
tt
对 称.所以
???1,
解得
t?2.

22
14.(安徽省合 肥市高三教学质量检测数学理试题第11题)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签
法决定演讲 顺序，在“学生
A
和
B
都不是第一个出场，
B
不是最后一个 出场”的前提下，学生
C
第一个
出场的概率为（ ）A．
1113
B． C． D．
35920
解：法一：由于学生 A和B出场有要求而且互相有影响，所以优先考虑，分为两类：1.学生A最后一个
13
出场， 学生B不能是第一个，其他人任意排，所以有
A
3
A
3
?18
种不同的安排方法；2.学生A不是最后一
23
个出场，当然也不能是第一个，所以有
A
3
A
3
?36
种不同的安排方法；所以满足“学生
A< br>和
B
都不是第
一个出场，
B
不是最后一个出场”的所有不同安 排方法共有18+36=54种，其中，学生C第一个出场的结
13
果有
A
3
A
3
?18
种，则所求概率为
181
?
，选项A正 确.
543
法二：由题，在“学生
A
和
B
都不是第一个出 场，
B
不是最后一个出场”这个前提下，当A与B的
顺序确定之后，剩下的3个人中任 何一个都可能第一个出场，所以学生C第一个出场的概率是
1
.
3
15.( 安徽省合肥市高三教学质量检测数学理试题第12题)定义在
R
上的偶函数
fx
的导函数为
f
?
x
，
(
)
2
(
)
若对任意的实数
x
，都有
2fx+xf
?
x<2
恒成立，则使
xfx-f1成立的实数
x
的取值
(
)
(
)
2
(
)
(
)
范围为（ ）A．
xx贡1
B．
-?,1
{}
(
)
(
1,+?
)
C．
(
-1,1
)
D．
(
-1,0
)
(
0,1
)

2
解：法一：由题中的条件
2fx+xf
?
x<2
恒成立，以及要解的不等式
xfx-f1，联想
(
)
(
)
(
)
(
)
2
到构造函数
gx=xfx-x
，则
g?
x=x?
轾
2fx+xf
?
x-2
，不等式化成了< br>gx，
臌
(
)
2
(
)
2(
)
(
)
(
)
(
)
(
)由题可知，当
x?0
时，
g
?
x<0
，即函数
gx
在
0,+?
(
)
(
)
(
)
上 单调递减，因为函数
f
(
x
)
为偶函数，
则
gx< br>也是偶函数，所以解
gx，只需
x>1
，即
x??1< br>或
x?1
，选B.
法二：由题可知，所有满足题中条件的函数
fx
，解不等式
xfx-f1所得的结果都
11 15
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
2

是一样的，所以如果 构造函数困难时可以尝试寻找满足题意的某个函数，在本题中，
fx=0
满足题
意，不 等式化为
0，很容易得到B答案.
16.(数学理卷·2018届河北省景 县梁集中学高三上学期第一次调研考试第12题)设函数
f
?
x
?
的 导函数为
2
(
)
e
x
（ ）
f
?< br>?
x
?
，且满足
xf
?
?
x
??f
?
x
?
?,f
?
1
?
?e
，则当
x?0
时，
x
A.
f
?
x
?
既无极大值也无极小值 B.
f
?
x
?
有极小值，无极大值
C.
f
?
x
?
有极大值，无极小值 D.
f
?
x
?
既有极大值又有极小值
x
e
x
f
?
x
?
e?xf
?
x
?
x?
解：∵
f'
?
x
?
?
2
?
，令
gx?e?xf
?
x
?
，
??
2
x xx
1
?
xx
?
?
xf'x?fx?e1?
∴g'
?
x
?
?e?
?
????
??
， 若
x?1
，则
g'
?
x
?
?0
，
g
?
x
?
?g
?
1
?
?0
，
f
?
x
?
递
??
?
x
?
增，若
0?x?1
，则
g'
?
x
?
?0
，
g
?
x
?
?g
?
1
?
?0
，
f
?
x
?
递增，∴函数
f
?
x?
既无极大值又无极小值.
17.(数学理卷·2018届河北省临漳县第一中学高三上 学期第二次月考第12题)若存在两个正实数
x,y
，使
得等式
3x?a?
2y?4ex
??
lny?lnx
?
?0
成立，其中
e
为自然对数的底数，则实数
a
的取值范围是( )
A.
?
??,0
?
B.
?
0,
?
?
3
??
3
??
3
?
,????,0?, ??
C. D.
??
??

???
2e
??
2e
??
2e
?
解：由3x+a( 2y?4ex)(lny?lnx)=0得3x+2a(y?2ex)ln
t>0，则条件等价为3+2 a(t?2e)lnt=0，即(t?2e)lnt=?
函数，∵
g'
?
e< br>?
?lne?1?
yy
?
y
?
y
=0，即< br>3?2a
?
?2e
?
ln?0
，即设
t?
， 则
xx
?
x
?
x
32e
有解，设g(t)=(t? 2e)lnt，
g'
?
t
?
?lnt?1?
为增
2 at
2e
?1?1?2?0
，∴当t>e时,g′(t)>0，当0e
33
有解，则
?…?e
,即2a2a
g(t)取得极小值为：g(e)=(e?2e)lne=?e，即g(t)?g(e)= ?e，若
?
t?2e
?
lnt??
33
?
3
?
?
e
，则a<0或
a
…
，实数
a
的取 值范围是
?
??,0
?
?
?
,??
?
，选 D.
2a2e
?
2e
?
18.(数学理卷·2018届江西省崇义 中学高三上学期第二次月考第12题)已知实数
a
，
b
，
c
，
d
满足
a?2e
a
1?c
22??1
，其中
e
是自然对数的底数，则
?
a?c
??
?
b?d
?
的最小值为（ ）
bd?1
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
12 15

解：点
?
a,b
?
看作曲线
y?x?2e
上点P，点
?
c,d
?
看作直线
y??x?2
上点Q，则
?
a?c
?
?
?
b?d
?
x
22
?
?
?
?2
?
?2
x
2
2
为
|PQ|
,由
y
?
?1?2e??1?x?0,y??2，所以
|PQ|?
?
?
2
?
?
?
?8
，选A.
?
?
2
19.(数学理卷·2018届山东省师大附中、 莱芜一中等齐鲁名校教科研协作体高三上学期第一次联考第12
题)已知曲线
y?e
x ?a
与y?x
2
恰好存在两条公切线，则实数
a
的取值范围是（ ）
D.
?
??,2ln2?2
?

A．
?
2ln2?2,??
?

B.
?
2ln2,??
?
C.
?
??,2ln2?2
?

解：设直线
y?kx?b(k? 0)
为它们的公切线，联立
?
?
y?kx?b
?
y?x2
可得
k
2
?4b?0
①

y?e
x ?a
求导可得
y?e
x?a
，令
e
x?a
?k可得
x?lnk?a
，所以切点坐标为
(lnk?a,klnk?ak?b)，
代入
y?e
x?a
可得
k?klnk?ak?b
②. 联立①②可得
k
2
?4k?4ak?4klnk?0
，化简得
4?4 a?4lnk?k
。令
g(k)?4lnk?k
，
g
?
( k)?
4
?1
，
g
?
(k)?0,k?0;g
?< br>(k)?0,0?k?4;g
?
(k)?0,k?4

k
?g (k)
在
(0,4)
内单调递增，在
(4,??)
内单调递减，g(k)
max
?g(4)?4ln4?4
，

?
有两 条公切线，
?
4?4a?4lnk?k
方程有两解，
?4?4a?4ln4? 4

?a?2ln2?2
，所以答案为D
20.(浙江省温州市2018届 高三上学期期中考试数学试卷第10题)设
f(x)
，
g(x)
都是定义在实 数集上的
?
x , x?0,
任意x?R
函数，定义函数
(f?g)(x)
：，

(f?g)(x)?f(g(x))
．若
f(x)?
?
2
，
x, x?0.
?
?
e
x
, x?0,
g(x)?
?
，则 ( )
?
lnx, x?0.
A．
(f?f)(x)?f(x)

B．
(f?g)(x)?f(x)
C．
(g?f)(x)?g(x)

D．
(g?g)(x)?g(x)


13 15

解：从A开始判断，
(f
?
f(x),f(x)? 0
f)(x)?f(f(x))?
?
2
，当
x?0
时，f(x)?x?0
，
?
f(x),f(x)?0
f)(x)?f(x)? x
2
，当
x?0
时
f)(x)?f(x)
，选A
(ff)(x)?f(x)?x
，当
x?0
时，
f(x)?x
2?0
，
(f
(ff)(x)?f
2
(x)?0?0
2< br>，因此对任意的
x?R
，有
(f
21.(五市十校教研教改共同体20 18届高三联考卷第7题)图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形
分别以它的每一边向外作正方 形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代
“勾股树”，以此类推，已 知最大的正方形面积为1，则第
n
代“勾股树”所有正方形的面积的和为
（ ）A．
n
B．
n?1
C．1 D．2

解：最大的正方形面积为1，当
n?1
时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面
积的和为
n?1，故选B．
22.(数学理卷·2018届黑龙江省绥滨县第一中学高三上学期第二次月考第10 题)《九章算术》“少广”算法
中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最 下面的分母遍乘各分子和“全步”，
各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最 下面的分母去遍乘诸（未通者）分
子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：
n?2
及
n?3
时，如图：

14 15

记
S
n
为每个序列中最后一列数之和，则
S
7
为（ ）A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520
解：当
n?7
时，序列如图：

故
S
7
?420?210?140?105?84?70?60?1089
，故选A．
23.(数学 理卷·2018届吉林省新大陆学校高三10月月考第12题)设函数
f
?
x
?
?e?2x?a
（
a?R
），
e
x
为自然对数的 底数，若曲线
y?sinx
上存在点
?
x
0
,y
0
?
，使得
f
?
f
?
y
?
?
?y
，则
a
的取值范围是（ ）
00
?1
A.
?
?
?1?e,1?e
?
?
B.
1,1?e
C.
e,e?1
D.
1,e

??
????
解：曲线y=sinx上存在点（x< br>0
，y
0
），∴y
0
=sinx
0
∈[﹣1 ，1]．函数f（x）=e
x
+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递
增．下面证明f（y
0
）=y
0
．假设f（y
0
）=c＞y
0
，则f（f（y
0
））=f（c）＞f（y
0
）=c＞y
0
，不满足f（f
（y
0
））=y
0
．同理假设f（y
0）=c＜y
0
，则不满足f（f（y
0
））=y
0
．综 上可得：f（y
0
）=y
0
．令函数f（x）
=e
x
+2x﹣a=x，化为a=e
x
+x．令g（x）=e
x
+x（x∈[﹣1 ，1]）．g′（x）=e
x
+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣
?1
1， 1]单调递增．∴e
1
﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是
?
?1? e,1?e
?
??
,故选A．
﹣



15 15