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2016全国2卷理科数学压轴题

作者:高考题库网
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2020-10-06 02:37
tags:高中数学压轴题

高中数学必修四第二章知识点总结思维导图-高中数学西城学探诊上册答案

2020年10月6日发(作者:沈嘉)


2016全国2卷理科数学压轴题

第(1)问按照传统教辅书的答案格式:过程略,呵呵
呵.
你们没问题的.
重点说第(2)问.
求函数最值的方法就是求函数的极值和端点值,然后从中挑
出最大的和最小的.
注意到函数的定义域为开区间,我们估计此函数为单峰函数
(只有一个极值的函数).
下面求导数研究极值点和极值.
到了这一步,我们发现,咦,这个函数的样子与第1问有点
相似哟.
这当然不是巧合,而是命题者的设计意图----- 帮你搭梯子解
题,即用前面的结论帮助你解后面的难题.
为利用第1问的结论,我们把导数进一步变形.
显然,乘号左边的部分为正号,我们只需要研 究右边的部分.
为便于研究,我们把这部分构造成新函数.
我们预测原函数为单峰函数,那么F(x)在定义域上应该有
唯一零点.
如何说明呢?
显然,解方程是不现实的.超越方程,还有参数,怎么可能解


出来呢?
画图象也比较困难.
思来想去,我们决定采用“零点存在定理+单调性”的方法来证
明.
用零点存在定理说明存在零点,用单调性说明唯一.
用零点存在定理时,首先要选一个区间,如何选取呢?
标准就是,怎么有利于判断符号就怎么来.
有了负值,还需要找一个正的函数值,通过观察和试探发现,
x=2时的函数值符合要求.
所以,函数F(x)在区间(0,2)上有零点.
由第1问可知,F(x)为单调函数,故此零点为唯一零点.
到此,我们虽然不知道零点的值 为多少,但是我们能确定零
点是有的,而且只有一个,所以原函数为单峰函数.因为函数
只有一 个极小值,所以这个极小值也是函数的最小值.
我们虽然求不出最小值的具体大小,但是我们可以对最小值
的形式进行化简.
化简的 条件就是:现在,我们面临的问题是:到底用哪个变
量表示另外一个变量?题目给了我们一个暗示,什么 暗示
呢?
题目说:g(x)的最小值为h(a),暗示我们要把最小值用含a
的代数式来表示.
我们能办到吗?


操作起来非常困难,因为用a来表示x很难实现.
反过来,倒是用x表示a比较容易.
所以,要灵活一些,a与x是有相互依赖关系的,用x表 示
的最小值和用a表示的最小值是等价的.
当然,a与x的取值范围要换算过来.为符合大家的认知习惯,
我们还是构造关于x的函数.

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