2016全国2卷理科数学压轴题

2016全国2卷理科数学压轴题

第（1）问按照传统教辅书的答案格式：过程略，呵呵
呵.
你们没问题的.
重点说第（2）问.
求函数最值的方法就是求函数的极值和端点值，然后从中挑
出最大的和最小的.
注意到函数的定义域为开区间，我们估计此函数为单峰函数
（只有一个极值的函数）.
下面求导数研究极值点和极值.
到了这一步，我们发现，咦，这个函数的样子与第1问有点
相似哟.
这当然不是巧合，而是命题者的设计意图----- 帮你搭梯子解
题，即用前面的结论帮助你解后面的难题.
为利用第1问的结论，我们把导数进一步变形.
显然，乘号左边的部分为正号，我们只需要研 究右边的部分.
为便于研究，我们把这部分构造成新函数.
我们预测原函数为单峰函数，那么F（x)在定义域上应该有
唯一零点.
如何说明呢？
显然，解方程是不现实的.超越方程，还有参数，怎么可能解

出来呢？
画图象也比较困难.
思来想去，我们决定采用“零点存在定理+单调性”的方法来证
明.
用零点存在定理说明存在零点，用单调性说明唯一.
用零点存在定理时，首先要选一个区间，如何选取呢？
标准就是，怎么有利于判断符号就怎么来.
有了负值，还需要找一个正的函数值，通过观察和试探发现，
x=2时的函数值符合要求.
所以，函数F(x)在区间（0,2）上有零点.
由第1问可知，F(x)为单调函数，故此零点为唯一零点.
到此，我们虽然不知道零点的值 为多少，但是我们能确定零
点是有的，而且只有一个，所以原函数为单峰函数.因为函数
只有一 个极小值，所以这个极小值也是函数的最小值.
我们虽然求不出最小值的具体大小，但是我们可以对最小值
的形式进行化简.
化简的 条件就是：现在，我们面临的问题是：到底用哪个变
量表示另外一个变量？题目给了我们一个暗示，什么 暗示
呢？
题目说：g(x)的最小值为h(a)，暗示我们要把最小值用含a
的代数式来表示.
我们能办到吗？

操作起来非常困难，因为用a来表示x很难实现.
反过来，倒是用x表示a比较容易.
所以，要灵活一些，a与x是有相互依赖关系的，用x表 示
的最小值和用a表示的最小值是等价的.
当然，a与x的取值范围要换算过来.为符合大家的认知习惯，
我们还是构造关于x的函数.