【压轴题】高一数学下期末试卷(带答案)

所以
|a|?1< br>，
|b|?3
.

r
r
rr
2
rr
2
r
2
rrr
2
r
2
rr
?r
2
又
a?b?(a?b)?a?2a?b?b?|a|?2|a||b|cos ?|b|

6
?1?23?
3
?3?7
，

2
rr
所以
a?b?7
，故选
B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题
.

2．B
解析：
B

【解析】

试题分析：由题
，所以
．

试题解析：由已知，
，

?
?a
?
?0.76,a
?

?
?bx< br>?
，
b
?
?y?bx
又因为
y
所以
考点：线性回归与变量间的关系．

，即该家庭支出为万元．

3
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．

【详解】

对于
A
选项，若
m
?
，
n
?
，则
m
与
n
平行、相交、异面都可以，位置关系不确 定；

对于
B
选项，若
?
I
?
?l
，且
ml
，
m?
?
，
m?
?
，根据直线 与平面平行的判定定理
知，
m
?
，
m
?
，但
?
与
?
不平行；

对于
C
选项，若
mn
，
n?
?
，在平面
?
内可找到两条相交直线
a、
b
使得
n?a
，
n?b
，于是可得出
m?a
，
m?b
，根据直线与平面垂直的判定定理可得
m?
?
；< br>
对于
D
选项，若
?
?
?
，在平面
?
内可找到一条直线
a
与两平面的交线垂直，根据平面与
平面垂直的性质定理 得知
a?
?
，只有当
ma
时，
m
才与平面
?
垂直．

故选
C
．

【点睛】

本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断 时要根据空间线面、面面平行
与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．

4．D
解析：
D

【解析】

【分析】

【详解】

求解一元二次方程，得

A ?x|x
2
?3x?2?0,x?R?
?
x|
?
x?1??
x?2
?
?0,x?R
?

??
?
?
1,2
?
，易知
B?
?
x|0?x?5,x?N
?
?
?
1,2,3,4
?
.

因为
A?C?B
，所以根据子集的定义，

集合
C
必须含有元素
1,2
，且可能含有元素
3,4
，

原题即求 集合
?
3,4
?
的子集个数，即有
2
2
?4
个，故选
D.

【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元 二次方程
.
本题在求集合个数时，也可采用列举法
.
列
出集合
C
的所有可能情况，再数个数即可
.
来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

5．B
解析：
B

【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合
A
表示以
?
0,0
?
为圆心，
1
为半径的单
位圆上所有点组成的集合，集合
B
表示直线
y?x
上所有的点组成的集合，又圆
?
22
??
22
?
,?,?
x
2
?y
2
?1
与直线< br>y?x
相交于两点
?
，，则
AIB
中有2个元
??
22
?
?
?
?
2
?
2
?? ??
素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性
(
是点集、数集或其他情形
)
和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先 决条件
.
集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合， 在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否
满足互异性
.

6．D
解析：
D

【解析】

【分析】

利用正 弦定理化简
sinA5c
?
，再利用三角形面积公式，即可得到
a,c
，由
sinB2b

sinB?
7
，求得
cosB< br>，最后利用余弦定理即可得到答案．

4
【详解】

由于
sinA5c
a5c5
?
，有正弦定理可得：

?
，即
a?c

b2b2
sinB2b
757157
，
S
△ABC
?
，所以
S
V
A BC
?acsinB?
，

24
44
由于在
VAB C
中，
sinB?
5
?
a?c
?
2
?57
?
1

，解得：
a?5
，
c?2

联立
?
acsinB?
24
?
?
7
?sinB?
4
?
由于
B
为锐角，且
sinB?
3
7
2
，所以
cosB?1?sinB?

4
4< br>所以在
VABC
中，由余弦定理可得：
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB?14
，故
b?14
（负数
舍去）

故答案选
D

【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

7．B
解析：
B

【解析】

【分析】

计算函数
y?f(x)
的表达式，对比图像得到答案
.

【详解】

根据题意知：

OM?OPcosx?cosx

M
到直线
OP
的距离为：
OMsinx?cosxsinx


f(x)?cosxsinx?
对应图像为
B

故答案选
B

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力
.

1
sin2x

2
8．B
解析：
B

【解析】

【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果
.

【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：


可知三棱锥高：
h?4
；底面面积：
S?
115
?5?3?

22
1115
?
三棱锥体积：
V?Sh???4?10

332
本题正确选项：
B

【点睛】

本题考查棱 锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的
高和底面面积
.< br>
9．C
解析：
C

【解析】

选取两支 彩笔的方法有
C
5
种，含有红色彩笔的选法为
C
4
种，
1
C
4
42
?
.

由古典概型公式 ，满足题意的概率值为
p?
2
?
C
5
105
21
本题选择C选项.

考点：古典概型

名师点睛：对于古典概 型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件
的种数要注意区别是排列问题还是组合 问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔
中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问 题建议采取列举法更直观一些.

10．C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出函数图像，根据图像得到
?2? a≤0
，
bc?1
，得到答案
.

【详解】

?
1
?
x?1,x?0
f
?
x
?
?
?
2
，画出函数图像，如图所示：

?
log
2019
x,x?0
?
根据图像知：
?2?a≤0
，
?log
2019
b?log
2019
c
，故
bc?1< br>，故
?2?abc?0
.

故选：
C
.


【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键
.

11
．
C
解析：
C

【解析】

圆
x?y?2x?2y?0
的圆心坐标为
?
?1,1
?
， 半径为
2
，过圆心
?
?1,1
?
与直线
22
x?y?4?0
垂直的直线方程为
x?y?0
，所求圆的圆心在此直线上，又圆心< br>?
?1,1
?
到直
线
x?y?4?0
的距离为
6
?32
，则所求圆的半径为
2
，设所求圆的圆心为
2
?
a,b
?
，且圆心在直线
x?y?4?0
的左上方，则
?< br>x?1
?
?
?
y?1
?
故选
C
．< br>
22
a?b?4
2
?2
，且
a?b?0
， 解得
a?1,b??1
（
a?3,b??3
不符合题意，舍去

），故所求圆的方程为
?2
.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆 的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能
力，属于中档题．

12．A
解析：
A

【解析】

由
log
0.6
0.5?1,ln0.5?0,0?0.6
所以
a?c?b
，故选A
.

0.5
?1
，所以
a?1,b?0,0?c?1
，

二、填空题


13
．【解析】【分析】由题意将代 入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式
求出它的最小值根据不等式恒成立求出
m
的 范围【详解】由题意知两个正数
xy
满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点 睛】本题考查

解析：
m?
【解析】

【分析】

由题意将
x?y?4
代入
9

4
14
?< br>进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小
xy
值，根据不等式恒成立求出
m
的范围．

【详解】

由题意知两个正数
x，
y
满足
x?y?4
，

则
14x?yx?y 5yx59
yx
????????1?
，当
?
时取等号；

xy4xy44xy44
4xy
14
9
??
的最小值是，< br>
xy
4
Q
不等式
14
9
??m
恒 成立，
?m?
．

xy
4
9
．

4
故答案为
m?
【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最 值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用
基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证 ．

14．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得
再 结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以
即又则即又因为所以则当即时 取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数
解析：
3

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简可得
f
?
x
??2sin(2x?
?
?
?
6
)
,
再根据图象 关于
y
轴对称可求得
f(x)??2cos2x
,
再结合余弦函数的 图像求出最值即可
.

【详解】

因为函数
f
?< br>x
?
?3sin
?
2x?
?
?
?cos?
2x?
?
?
?2sin(2x?
?
?)
的图 象关于
y
轴对称,
6
?

所以
?
?< br>?
又
?
?
ππ
2π
??k
π
,即< br>?
???k
π,
?
k?Z
?
.

6 23
,则
?
?
?
2
π
?
,即
f( x)?2sin(2x?)??2cos2x
.

23
又因为
?5π
π5ππ5π
5π
?x?
,所以
??2x?
,则当
2x?
,即
x?
时,
f(x)
取得最大值
6123 66
12
?2cos
5π
?3
.

6
故答案为：
3
.

【点睛】

判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：

若
y?sin< br>?
?
x?
?
?
为奇函数,则
?
?kπ,k? Z
；

π
,
k?
Z
；

2
π
,
k?
Z
.

2
若
y?sin
?
?
x?
?
?
为偶函数,则
?
?k
π+
若
y?cos
?
?
x?
?
?为偶函数,则
?
?kπ,k?Z
；

若
y?cos?
?
x?
?
?
为奇函数,则
?
?k
π +
15．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几
何体为一个棱 柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点
睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查 基本分析求解能力属基础题
解析：
3

2
【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解

【详解】

空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为
1,3
的直 角三角形，高为
3
的棱柱，所以
体积为
13
?1?3?3?

22

【点睛】

本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题

16．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线
垂直垂足为则
解析：4

【解析】

【分析】

【详解】

由题意得交点
F(0,?1)

，设
A(1,?3)

，作
AN
与准线垂直，垂足为
N
，作
MH
与准线垂
直，垂足为
H
，

则
MA?MF?MA?MH?AN?3?1?4

17．【解析】【分析】由 题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详
解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得 ：此时两直线方程分别
为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件
3
解析：
?

2
【解析】

【分析】

由题意得到关于
m
的方程，解方程即可求得最终结果
.

【详解】

由题意结合直线平行的充分必要条件可得：
1?m?
?< br>?1
?
?
?
m?3
?
?0
，
解得：
m??
333
，此时两直线方程分别为：
x?y?1
，< br>x?y?8?0
，

222
3
.

2
两直线不重合，据此可知：
m??
【点睛】

本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.

18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为
解析：
?
??,0
?

【解析】

由1?2
x
?0
，得
2
x
?1
，所以
x ?0
，所以原函数定义域为
?
??,0
?
，故答案为
???,0
?
.

19
．【解析】由题意可得所得到的几何体是由 一个圆柱挖去两个半球而成；其
中圆柱的底面半径为
1
母线长为
2
； 体积为；两个半球的半径都为
1
则两个半
球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋 转体的组合体

解析：
【解析】

由题意，可得所得到的几何体是由 一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为
1
，母线长为
2
；体积 为；两个半球的半径都为
1
，则两个半球的体积为

；则所求几何体的体积为

.

考点：旋转体的组合体
.

20
．【解析】【分析】【详解】由题意 在上单调递减又是偶函数则不等式可化
为则解得

13
解析：
(,)

22
【解析】

【分析】

【详解】

由题意
f(x)
在
(0,??)
上单调递减，又
f(x)
是偶函数，

则不等式
f(2
a?1
)?f(?2)
可化为
f(2
a?1
)?f (2)
，则
2
a?1
?2
，
a?1?
1
， 解得
2
13
?a?
．

22
三、解答题

21．（
1
）
a
n
＝－
2n
＋
5 .
（
2
）
4

【解析】

（Ⅰ）设
{a
n
}
的公差为
d
，由已知条件，，解出
a
1
＝
3
，
d
＝－
2
．

所以
a
n
＝
a
1
＋
(n
－
1)d
＝ －
2n
＋
5
．

（Ⅱ）
S
n
＝< br>na
1
＋
d
＝－
n
2
＋
4n
＝－
(n
－
2)
2
＋
4
，所以
n
＝
2
时，
S
n
取到最大值
4
．

22．（
1
）
k?
【解析】

【分析】

（
1
）根据关于
x
的不等式
2kx?kx?
21
；（
2
）
(?3,0)

8
3
3< br>?
3
?
?0
的解集为
?
?,1
?
， 得到
?
和
1
是方程
2
8
?
2
?< br>3
2kx
2
?kx??0
的两个实数根，再利用韦达定理求解
.

8
3
2
（
2
）根据关于
x
的 不等式
2kx?kx??0
的解集为
R
．又因为
k?0

，利用判别式法求
8
解
.

【详解】

（
1
）因为关于
x
的不等式
2kx?kx?
2
3?
3
?
?0
的解集为
?
?,1
?
，< br>
8
?
2
?

所以
?
3
3
2
和
1
是方程
2kx?kx??0
的两个实数根，
2
8
?
3
1
k?
由韦达定理可得
3
，得．

??1?
8
8
22k
3
2
（
2
）因为关于
x
的不等式
2kx?kx??0
的解集为
R
．

8
因为
k?0


?2k?0,
所以
?
，解得
?3?k?0
，

2
V
?k?3k?0
?
故
k
的取值范围为
(?3,0 )
．

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题 ，还考查了运算求解的能力，属于中档
题
.

23．（
1
）对称轴方程为
x?
【解析】

【分析】

（
1
）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得
f
?
x
?
?sin(2x?
k
??
7?
?
?(k?Z)
（
2
）单调递增区间为
[0
，
]
和
[,
?
]

12
12
21 2
?
3
)
，令
2x?
?
3
?k
?
?
?
2
(k?Z)
即可求出对称轴
.

?
2
?2k
?
剟2x?
（
2
）由（
1
）知，令
?
?
3
2k
?
?
?
2
(k?Z)
，即可求出函数的单调递增区间，
令
k?0
和
1
可求得函数在
[0
，
?
]
上的单调递增区间.

【详解】

解：（
1
）已知
f(x)?sinxcosx? 3cos
2
x?
3
133
，

?sin2x?(1 ?cos2x)?
2
222
?(k?Z)
，

?sin(2 x?)
，令
2x??k
?
?(k?Z)
，解得：
x?
3
32
212
所以函数
f(x)
的对称轴方程为
x?（
2
）由（
1
）得：令：
?
整理得：
?
?
??
k
??
k
??
?(k?Z)
.

212
?
3
2k
?
?
?
2
?2k
?
剟2x?
?
2
(k?Z)
，

5
??
?k
?
剟xk
?
?(k?Z)
，当
k?0< br>和
1
时，

1212
函数在
[0
，
?
]
上的单调递增区间为
[0
，
【点睛】

?12
]
和
[
7
?
,
?
]
.< br>
12
本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查 了三角

函数单调区间的求解
.
本题的关键是对函数解析式的化简
.
本题的易错点是在求单调区间时，
解不等式求错
.

24．（Ⅰ ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱
PD
上存在点
M
，使
CM
∥平面
PAB
，且
M
是
PD
的中点.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意可得
CD
⊥平 面
PAD
，
从而易得
CD
⊥
PD
；
（Ⅱ）要证
BD
⊥平面
PAB
，
关键是证明
BD?AB
；

（Ⅲ）在棱
PD
上存在点
M
，使
CM
∥平面
PAB
，且
M
是
PD
的中点.

【详解】

（Ⅰ）证明：因为
PA
⊥平面
ABCD
，
CD?
平面
ABCD
，

所以
CD
⊥
PA
.

因为
CD
⊥
AD
，
PA?AD?A
，

所以
CD
⊥平面
PAD
.

因为
PD?
平面
PAD
，

所以
CD
⊥
PD
.

(
II
)因 为
PA
⊥平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD，

所以
BD
⊥
PA
.

在直角梯形
ABCD
中，
BC?CD?
由题意可得
AB?BD?
所以< br>BD?AB
.

因为
PAIAB?A
，

所以
BD?
平面
PAB
.

（Ⅲ）解：在棱
PD
上存在点
M
，使
CM
∥平面
PAB
，且M
是
PD
的中点.

证明：取
PA
的中点N
，连接
MN
，
BN
，

1
AD
，

2
2BC
，

所以
AD
2
?AB
2
?BD
2
，


因为
M
是
PD
的中点，所以
MNP
因为
BCP
1
AD
.

2
1
AD
，所以
MNPBC
.

2

所以
MNBC
是平行四边形，

所以
CM
∥
BN
.

因为
CM?
平面
PAB
,
BN?
平面
PAB
.

所以
CM
平面
PAB
.

【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想
象能力， 属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个
定理的关键是设法在平面 内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理
利用中位线定理、线面平行的性质或者构 造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利
用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的 直线平行于另一平面
.

25．（
1
）
{x|?1?x?
【解析】

【详解】

试题分析：（1）分
x??1
，
?1?x?1< br>，
x?1
三种情况解不等式
f(x)?g(x)
；（2）
?1 ?17
}
；（
2
）
[?1,1]
．

2< br>f(x)?g(x)
的解集包含
[?1,1]
，等价于当
x?[?1, 1]
时
f(x)?2
，所以
f(?1)?2
且
f(1)?2
，从而可得
?1?a?1
．

试题解析：（1）当
a?1< br>时，不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>等价于
x?x?x?1?x?1?4?0
.①

2
当
x??1
时，①式化为
x
2
?3x?4?0
，无解；
当
?1?x?1
时，①式化为
x
2
?x?2?0
，从而
?1?x?1
；

当
x?1
时，①式化为
x
2
?x?4?0
，从而
1?x?
所以
f
?
x?
?g
?
x
?
的解集为
{x|?1?x?
（2 ）当
x?
?
?1,1
?
时，
g
?
x
?
?2
.

所以
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解集包含
?
?1,1
?
，等价于 当
x?
?
?1,1
?
时
f
?
x
?
?2
.

又
f
?
x
?
在
?
?1,1
?
的最小值必为
f
?
?1
?
与
f
?
1
?
之一，所以
f
?
?1
?
?2
且
f
?
1
?
?2
，得
?1? 17
.

2
?1?17
}
.

2
?1?a?1
.

所以
a
的取值范围为
?
?1,1
?
.
< br>点睛
:
形如
|x?a|?|x?b|?c
(
或
?c< br>)
型的不等式主要有两种解法：

(1)
分段讨论法：利用绝对值号内 式子对应方程的根，将数轴分为
(??,a]
，
(a,b]
，
(b, ??)
(
此处设
a?b
)
三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别 列出对应的不等式求解，
然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数< br>y
1
?|x?a|?|x?b|
和
y
2
?c
的图像，结合图像求解．

26．(1)14;(2)
C?45?
.

【解析】

试题分析：（< br>1
）先求出
ac
的值，再由同角三角函数基本关系式求出
sinB，从而求出三角
形的面积即可；（
2
）根据余弦定理即正弦定理计算即可．

试题解析：（1）∵
AB?BC??21
，
BA?BC?21
，
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuvuuuvuuuv
BA?BC ?BA?BC?cosB?arccosB?21


∴
ac?35
，∵
cosB?
34114
，∴
sinB?
，∴
S
V
ABC
?acsinB??35??14


55225
（2）
ac?35
，
a?7
，∴
c?5


由余弦定理得，
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?32


∴
b?42
，由正弦定理：
cb
c542
?
，∴
sinC?sinB?


??
sinCsinB
b2
42
5
∵
c?b
且
B
为锐角，∴
C
一定是锐角，

∴
C?45?