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2019年高考数学压轴题小题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:39
tags:高中数学压轴题

高中数学国培反思-统筹方法是高中数学哪个章节

2020年10月6日发(作者:萧嵩)


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2018年高考数学压轴题小题

一.选择题(共6小题)

1.(2018?新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣ ∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f(1)+f(2)+f (3)+…+f(50)=( )

A.﹣50 B.0 C.2 D.50
=1 (a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,2.(2018?新课标Ⅱ)已知F
1
,F< br>2
是椭圆C:
点P在过A且斜率为的直线上,△PF
1
F
2< br>为等腰三角形,∠F
1
F
2
P=120°,则C的离心率为( )


A. B. C. D.
3.(2018?上海)设D是函数1的有限 实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点
逆时针旋转
A. B.
后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )

C. D.0
,向量满4.(2018?浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为< br>足
A.
﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是( )

﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣

5.(2018?浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方 形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含
端点).设SE与BC所成的角为θ
1
,SE与平面ABCD所成的角为θ
2
,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3

则( )

A.θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B.θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C.θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D.θ
2
≤θ
3
≤θ
1
6.(2018?浙江)函数y= 2
|
x
|
sin2x的图象可能是( )

A. B. C.

D.
7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线
到一条渐近线的距离为
=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)
c,则其离心率的值为 .


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8.(2018?江苏)若函数 f(x)=2x
3
﹣ax
2
+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零 点,则f(x)在[﹣
1,1]上的最大值与最小值的和为 .
9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=
互异的实数解,则a的取值范围是 .
10.(2018?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的 两条
.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点 恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率
为 ;双曲线N的离心率为 .
11.(2018?上海)已知实数x
1
、x
2
、y
1
、 y
2
满足:x
1
2
+y
1
2
=1,x2
2
+y
2
2
=1,x
1
x
2
+y
1
y
2
=
+的最大值为 .
,则
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数(fx)=
则a= .
13.(2018?浙江)已知λ∈R,函数f(x)=
的图象经过点P(p,),Q(q,) .若2
p
+
q
=36pq,
,当λ=2时,不等式f(x)<0的解 集
是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆
点B横坐标的绝对值最大.
1 5.(2018?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组
成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

三.解答题(共2小题)

16.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)= asin2x+2cos
2
x.

(1)若f(x)为偶函数,求a的值;

(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
+y
2
=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,
17 .(2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣
,﹣).

(Ⅰ)求sin(α+π)的值;

(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.


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2018年高考数学压轴题小题

参考答案与试题解析

一.选择题(共6小题)

1.(2018? 新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )

A.﹣50 B.0 C.2 D.50

【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),

∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,

则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的周期函数,

∵f(1)=2,

∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,

f(4)=f(0)=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,

则f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f( 50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,

故选:C.
2.(2018?新课标Ⅱ)已知F
1
,F
2
是椭圆C:
点P在 过A且斜率为
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,
的直线上,△PF
1
F
2
为等腰三角形,∠F
1
F
2
P=120°, 则C的离心率为( )

A. B. C. D.

【解答】解:由题意可 知:A(﹣a,0),F
1
(﹣c,0),F
2
(c,0),

直线AP的方程为:y=(x+a),

c),

由∠F
1
F
2
P=120°,|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c,则P(2c,
代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,

∴题意的离心率e==.

故选:D.

3.(2018?上海)设 D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点
逆时针旋转后与原图 象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )


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A. B. C. D.0

个单位后与【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转
下一 个点会重合.

我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为, ,0,然而
此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能 对应一个y,
因此只有当x=
故选:B.

4.(2018?浙江)已知,, 是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为

A.
﹣4?+3=0,则|﹣|的 最小值是( )

﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣

,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.

,向量满
【解答】解:由
∴()⊥(
﹣4?+3=0,得
),





如图,不妨设
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,

又非零向量与的夹角为
不妨以y=

故选:A.

5.(2 018?浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含
端 点).设SE与BC所成的角为θ
1
,SE与平面ABCD所成的角为θ
2
, 二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ
3

则( )

A.θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B.θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C.θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D.θ
2
≤θ
3
≤θ
1

【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.

过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,

连接SN,

取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,
则θ
1
=∠SEN,θ
2
=∠SEO,θ
3
=∠SMO .

,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.

为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线


的距离减1.


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显然,θ
1
,θ
2
,θ
3
均为锐角.

∵tanθ
1
=
∴θ
1
≥θ
3


又sinθ
3
=
∴θ
3
≥θ
2


故选:D.

6.(2018?浙江)函数y=2
|
x
|< br>sin2x的图象可能是( )

,sinθ
2
=,SE≥SM,

=,tanθ
3
=,SN≥SO,

A. B. C. D.

【解答】解:根据函数的解析式y=2
|
x
|
sin 2x,得到:函数的图象为奇函数,

故排除A和B.

当x=时,函数的值也为0,

故排除C.

故选:D.

二.填空题(共9小题)

7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双 曲线
到一条渐近线的距离为
【解答】解:双曲线
c,则其离心率的值为 2 .

=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,

﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)
可得:=b=,

可得,即c=2a,



所以双曲线的离心率为:e=
故答案为:2.


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8.(2018?江苏)若函数f(x)=2 x
3
﹣ax
2
+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x )在[﹣
1,1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 .

【解答】解:∵函数f(x )=2x
3
﹣ax
2
+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,< br>
∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),

①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,

函数f(x)在(0,+∞) 上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;

②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,

∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,

又f(x)只有一个零点,

∴f()=﹣+1=0,解得a=3,

f(x)=2x
3
﹣3x
2
+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣ 1,1],

f′(x)>0的解集为(﹣1,0),

f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减,

f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,

∴f(x)
min=f(﹣1)=﹣4,f(x)
max
=f(0)=1,

∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:

f(x)
max
+f(x)
min
=﹣4+1=﹣3.

9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=
互异的实数解,则a的取值范围是 (4,8) .

【解答】解:当x≤0时,由f(x)=ax得x
2
+2ax+a=ax,

得x
2
+ax+a=0,

得a(x+1)=﹣x
2


得a=﹣,

,则g′(x)=﹣=﹣,

.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个
设g (x)=﹣
由g′(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,

由g′ (x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,

当x>0时,由f(x)=ax得﹣x
2
+2ax﹣2a=ax,

得x
2
﹣ax+2a=0,


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得a(x﹣2)=x
2
,当x=2时,方程不成立,

当x≠2时,a=
设h(x)=

,则h′(x)==,

由h′(x)>0得x>4,此时递增,

由h′(x)<0得0<x<2或2<x< 4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,

要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解,

则由图象知4<a<8,

故答案为:(4,8)

10.(2018?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0 ),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六 边形的顶点,则椭圆M的离心率为
;双曲线N的离心率为 2 .

【解答】解: 椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与
椭圆M的四个交点及椭 圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,

可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个 顶点(,
,可得e
4
﹣8e
2
+4=0,e∈(0,1),

),可得:,可得
解得e=.

,即,

同时,双曲线的渐近线的斜率为
可得:,即,

可得双曲线的离心率为e=
故答案为:;2.

=2.

1 1.(2018?上海)已知实数x
1
、x
2
、y
1
、y< br>2
满足:x
1
2
+y
1
2
=1,x
2
2
+y
2
2
=1,x
1
x
2
+ y
1
y
2
=
+的最大值为 + .

,则


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【解答】解:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
=(x
1
,y
1
),=(x
2
,y
2
),

由x
1
2
+y
1
2
=1,x
2
2
+y
2
2
=1,x
1
x
2
+y
1
y
2
=,

可得A,B两点在圆x
2
+y
2
=1上,

且?=1×1×cos∠AOB=,

即有∠AOB=60°,

即三角形OAB为等边三角形,

AB=1,

+的几何意义为点A,B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和,

显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,

可设AB:x+y+t=0,(t>0),

由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1,解得t=,



即有两平行线的距离为

故答案为:
+
+.

=,

+,

的最大值为
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数(fx)=
则a= 6 .

【解答】解:函数f(x)=
的图象经过点P(p,),Q(q,).若2
p
+
q
=36pq,
的图象经过点P(p,),Q(q,).

则:,

整理得:=1,


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解得:2
p
+
q
=a
2
pq,

由于:2
p
+
q
=36pq,

所以:a
2
=36,

由于a>0,

故:a=6.

故答案为:6

13.(2018?浙江)已知λ∈ R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集
是 {x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 (1,3]∪(4,+∞) .

【解答 】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2
≤x<4};x <2时,不等式f(x)<0化为:x
2
﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解 集为:
{x|1<x<4}.

函数f(x)恰有2个零点,

函数f(x)=的草图如图:

函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.

故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).

14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆
时,点B横坐标的绝对值最大.

【解答】解:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),

由P(0,1),=2,

+y
2
=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5
可得﹣x1
=2x
2
,1﹣y
1
=2(y
2
﹣1),< br>
即有x
1
=﹣2x
2
,y
1
+2y
2
=3,

又x
1
2
+4y
1
2
=4m,

即为x
2
2
+y
1
2
=m,①

x
2
2
+4y
2
2
=4m,②

①﹣②得(y
1
﹣2y
2
)(y
1
+2y
2
)=﹣3m,

可得y
1
﹣2y
2
=﹣m,

解得y
1
=,y
2
=,


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则m=x
2
2
+(
即有x
2
2
=m﹣(

2



2
==,

即有m=5时,x
2
2
有最大值4,

即点B横坐标的绝对值最大.

故答案为:5.

15.(2018 ?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组
成 1260 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【解答】解:从1,3,5,7,9中 任取2个数字有
从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有
可以组成
种方法,
种方法,

=720个没有重复数字的四位数;

=540,

含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有
故一共可以 组成1260个没有重复数字的四位数.

故答案为:1260.

三.解答题(共2小题)

16.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)= asin2x+2cos
2
x.

(1)若f(x)为偶函数,求a的值;

(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.

【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos
2
x,

∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos
2
x,

∵f(x)为偶函数,

∴f(﹣x)=f(x),

∴﹣asin 2x+2cos
2
x=asin2x+2cos
2
x,

∴2asin2x=0,

∴a=0;

(2)∵f(
∴asin
∴a=
)=+1,

)=a+1=+1,

+2cos
2



∴f(x)=sin2x+2cos
2
x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1,


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∵f(x)=1﹣
∴2sin(2x+
∴sin(2x+
∴2x+
∴x=﹣
=﹣
,< br>
)+1=1﹣
)=﹣,

=π+2kπ,k∈Z,



+2kπ,或2x+
π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,

∵x∈[﹣π,π],

∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

17.( 2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣
,﹣ ).

(Ⅰ)求sin(α+π)的值;

(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.

【解答】解:(Ⅰ)∵角 α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).

∴x=﹣,y=,r=|OP|=


,r=|OP|=1,





=,







∴sin(α+π)=﹣sinα=
(Ⅱ)由x=﹣,y=
得,
又由sin(α+β)=

则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β )cosα+sin(α+β)sinα=
或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β) cosα+sin(α+β)sinα=
∴cosβ的值为

或.

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