高一数学期中期末考试 压轴题 (包括全国各地期末考

（泰州实验中学）
13．设
a
是大于0的正常数，函数
f( x)?
则
a
的值等于．
14．若钝角
?ABC
的三边a,b,c
满足
a?b?c
，三内角的度数成等差数列，则
范围是． < br>18．(15分)已知数列
{a
n
}
的前
n
项和S
n
和通项
a
n
满足
S
n
??
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式； (2)试证明
S
n
?
1a
的最小值是9，
?
si n
2
xcos
2
x
ac
的取值
2
b
1
(a
n
?1)

2
1
；
2
111
????
的值。
b
1
b
2b
99
(3)设函数
f(x)?log
1
x
，
b
n
?f(a
1
)?f(a
2
)?L?f(a
n< br>)
，求
3


?
20．(15分)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?a
n
?n(n?N)
，数列
?
b
n
?
满足
b
1
?1
，
(n?2)b
n?1
?nb
n
(n?N
?
)
，数列
?
c
n
?
满足
c
1
?1,
cc
n?1
c
1
c2
(n?N
?
)

?
2
???
n?
2
1
2
n?1
n
(1)求数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的通项公式； (2) 求数列
?
c
n
?
的通项公式；
(3) 是否存在正整数
k
使得
k(a
n
?)?
求
k
的最小值；若不存在请说明理由。

?13.
4
14.
?
0,
?
7
2
3
b
n?1
?c
n< br>?6n?15
对一切
n?N
?
恒成立，若存在
?
?< br>2
?
3
?

18．(15分)已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
和通项
a
n
满足
S
n
??
(1)求数列
{a
n
}的通项公式； (2)试证明
S
n
?
1
(a
n
?1)

2
1
；
2
111
????
的值。
b< br>1
b
2
b
99
(3)设函数
f(x)?log
1
x
，
b
n
?f(a
1
)?f(a
2< br>)?L?f(a
n
)
，求
3
解：(1)
n?1,a< br>1
??
11
(a
1
?1)?a
1
?

23
11
n?2
a
n
?S
n
?S
n?1
??(a
n
?1)?(a
n?1
?1)

2 2

11
?a
n
?a
n?1
?a
n< br>?()
n

33
1
?a
n
?()
n
(n?N
?
)
--------------------------5分
3
11
(1?
n
)
11
2
1
n< br>3
3
?
1
(1?
1
)?
1
------------------10分 (2)
S
n
??()???()?< br>1
33322
3
n
1?
3
(3)
?f(x )?log
1
x
?f(a
n
)?log
1
()?n
-------------------12分
3
3
1
3
n
b
n
?f(a
1
)?f(a
2
)?L?f(a
n
)
=
1?2???n?
n(n?1)
--------- --13分
2
?
111222
?????????

b< br>1
b
2
b
99
1?22?399?100
?2(1?
1198
)??1.98
-------------------15分
100100
?
20．(15分)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?a
n
?n(n?N)
，数列
?
b
n
?
满足
b
1
?1< br>，
(n?2)b
n?1
?nb
n
(n?N
?
)
，数列
?
c
n
?
满足
c
1
?1 ,
cc
n?1
c
1
c
2
(n?N
?
)

?
2
???
n
?
2
1
2< br>n?1
n
(1)求数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的通项公式； (2) 求数列
?
c
n
?
的通项公式；
(3)是否存在 正整数
k
使得
k(a
n
?)?
求
k
的最小 值；若不存在请说明理由。
?
解：(1)
?a
1
?1,a
n?1
?a
n
?n(n?N)

7
2
3
b
n?1
?c
n
?6n?15
对一切
n?N
?恒成立，若存在
?n?2,a
n
?(a
n
?a
n?1< br>)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a1
)?a
1

?(n?1)?(n?2)???1?1?
?
n(n?1)
?1

2
1
2
1
n?n?1

22
11
?a
n
?n
2
?n?1
(n?N
?
)
-- ----------------------3分
22
(n?2)b
n?1?nb
n
(n?N
?
)
?
b
n?1
n
?

b
n
n?2

?n?2,b
n< br>?
b
n
b
n?1
b
2
n?1n?21
???b
1
????1

b
n?1
b
n?2b
1
n?1n3
?


2

n(n?1)
（河北统考）
22．（本小题满分14分）
?
?< br>已知向量
a?
?
2cos(?
?
),2sin(?
?
)
?
,b?cos(90
?
?
?
),sin(90
?
?
?
)

??
?
?
（I）求证：
a?b
；
?
?? ??
?
??
2
（II）若存在不等于
0
的实数
k< br>和
t
，使
x?a?(t?3)b,y??ka?tb
满足
x? y
。
k?t
2
试求此时的最小值。
t

?22．（本小题满分14分）
?
?
解：由诱导公式得：
a?< br>?
2cos
?
,?2sin
?
?
,b?
?< br>sin
?
,cos
?
)
?
-------2分
?
a?2
?
b?1
-------------------------3分
?
?
?
?（I）
a?b?2cos
?
?sin
?
?(?2sin
?
)?cos
?
?0
则
a?b
---------5分
?
????
?
2
（II）
x?a?(t?3)b,y??ka?tb

??
??
?x?y
?x?y?0
-------------------------6分
?
??
?
2< br>即：
[a?(t?3)b]?[?ka?tb]?0

?
2
?
2
?
?
22
?ka?[t?(t?3)(?k)]a?b?(t?3 )tb?0

(t
2
?3)t
∴
?4k?(t?3)t?0
-----------------------9分
k?
4
k?t
2< br>t
2
?4t?3117
∴
f(t)???[(t?2)
2?7]?(t?2)
2
?
------12分
t4444
2
k?t
2
7
即当
t??2
时，的最小值为
?< br>. ---------------14分
t
4

（合肥一中）
12、已知函数
f(x)?mx?(m?3 )x?1
的图象与
x
轴的交点至少有一个在原点右侧，则实
数
m的取值范围是
A．
(0,1]
B．
(0,1)
C．
(??,1)
D．
(??,1]


?12.D


2
（蚌埠二中）
22
11．已知实数
a?0，b?0
且< br>a?b?1
，则的取值范围为 ( )
（a?1）?（b?1）
999
A．
[，
； C．
[0，]
； D．
[0，5]
。
5]
； B．
[，+?）
222
3
?
1
???
12. 设数 集
M?
?
x|m?x?m?
?
，N?
?
x|n?? x?n
?
且集合M，N都是集合
4
?
3
???
，那 么，集合
?
x|0?x?1
?
的子集，如果把
b?a
叫做集 合
?
x|a?x?b
?
的“长度”
M?N
的“长度”的最小 值是 （ ）
1215
A. B. C. D.
3
31212

22. （本小题满分14分）
已知函数
f(x)
是定义在
?
?1,1
?
上的函数,若对于任意
x, y?
?
?1,1
?
,都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，且
x
＞0时,有
f(x)
＞0
⑴判断函数的奇偶性；
⑵判断函数
f(x)
在
?
?1，1
?
上是增函数，还是减 函数，并证明你的结论；
⑶设
f(1)?1
,若
f(x)
＜
m?2am?1
,对所有
x?
?
?1,1
?
,
a?
?
?1 ,1
?
恒成立,求实
2
数
m
的取值范围.

?11.A 12.C

22. 22. （1）奇，证明略； …………4分
（2）单调增，证明略； ………………9分
（3）
m?(??,?2)∪(2,??)
………………14分


（八县（市）一中）
2
12．已知函数
y?1?(x?1),x?[1,2 ]
对于满足
1?x
1
?x
2
?2
的任意
x
1
,
x
2
,给出下列
结论：
①
f(x< br>2
)?f(x
1
)?x
2
?x
1
； ②
x
2
f(x
1
)?x
1
f(x
2
)
；
③
(x
2
?x
1
)[f(x
2< br>)?f(x
1
)]?0
． ④
(x
2
?x
1
)[f(x
2
)?f(x
1
)]?0

其中正确结论的个数有( )
A． 1 B．2 C．3 D．4
16．一个圆锥的底面半径为1
，它的正视图是顶角为
45
的等腰三角形，则该圆锥的外接球
的体积是 .

?12.B 16.3分之8倍根号2乘以π


0
（长泰一中）
12．已知函数
f(x)?x
2
?2x? 8
的定义域为
M
，
g(x)?
1
1?|x?a|
的 定
义域为
P
，若
M?P?
?
，则实数
a
的取值范围是（ ）
（A）（-2，4） （B） （-1，3） （C）[-2，4] （D）[-1，3]
16．函数
f
(
x)=
a
(
a
>0且
a
≠1)在区间［1，2］上的最大 值比最小值大

?12.D 16.
或


x
a
，则
a
的值为______
2
1
2
3
2

（福州高级中学）
17． 函数
f(x)?
x
2
?3|x|?k
有两个零点，则
k的取值范围是
（A）
[?
9
9
,??)
（B）
(0,??)
?{?}

4
4
9
（C）
[0,??)
（D）
(??,?)?{0}

4
?17.B


（南安一中）
12．侧棱长为a的正三棱锥P- ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为 （ ）
A．
2
?
a
2
B．
2
?
a
C．
2
3
?a
2
D．
3
?
a
2

16. 已知平面上一点
M(5,0)
, 若直线上存在点P , 使
|PM|?4
, 则称该直线为“点M相
关直线”, 下列直线中是“点M相关直线”的是 .(只填序号)
①
y?x?1
②
y? 2
③
4x?3y?0
④
2x?y?1?0

22．已知圆< br>C:(x?3)?(y?4)?4
和直线
l:x?2y?2?0
，直线
m
，
n
都经过圆C
22
外定点A(1，0)．
（Ⅰ）若直线
m
与圆C相切，求直线
m
的方程；
（Ⅱ）若 直线
n
与圆C相交于P，Q两点，与
l
交于N点，且线段PQ的中点为M，
求证:
AM?AN
为定值．

?12.D 16 ．②③
22. 解：（Ⅰ）①若直线
m
的斜率不存在，即直线是
x?1
，符 合题意．……………1分
②若直线
m
斜率存在，设直线
m
为
y?k(x?1)
，即
kx?y?k?0
．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线
l
1
的距离等于半径2，
即：
3k?4?k
k
2
?1
?2
,解之得
k?
3
．…………………………5分
4
所求直线方程是
x ?1
，
3x?4y?3?0
．………………………………… 6分
（Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,
可设直线方程为
kx?y?k?0

由
?
?
x?2y?2?0
2k?23k
得
N(,?)
．………………………8分
2k?12k?1
kx?y?k? 0
?
?
y?kx?k
?
(x?3)?(y?4)?4
222
再由
?
22

得
(1?k)x?(2k?8k?6)x?k?8k?21?0
．
2
2k
2
?8k?6k
2
?4k?34k
2
?2k
,)
．…………12分 ∴
x
1
?x
2
?
得
M(
222
1?k1?k1?k
k
2
?4k?34k
2
?2k
2
2k?23k
222
∴
AM?AN?(?1) ?()?(?1)?(?)

1?k
2
1?k
2
2k?12 k?1

2
2|2k?1|
2
31?k
?1?k??6
为定值．……………14分
2
1?k|2k?1|
解法二：直线与圆相交， 斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
kx?y?k?0

?
x?2y?2?0
2k?23k
由
?
得
N(,?)
． ……………………8分
2k?12k?1
kx?y?k?0
?
又直线CM与
l
1
垂直，
?
y?kx?k
k
2< br>?4k?34k
2
?2k
?
,)
．………………10分 由
?
得
M(
1
22
1?k1?k
y?4??(x ?3)
?
k
?
11k
2
?1
∴
AM?AN ?|y
M
?0|1?
2
?|y
N
?0|1?
2?|y
M
?y
N
|

kkk
2
4k< br>2
?2k3kk
2
?1
?|?(?)|
2
?6
，为定值．…………14分
2
1?k2k?1k
解法三：用几何法，如图所示，△ AMC∽△ABN，则
可得
AM?AN?AC?AB?25?

AMAC
，
?
ABAN
3
?6
，是定值．
5

（泉州七中）
??
C
?
D
?
中被截去一部分，
??
，1、如图，长方体
ABCD?AB
其中EH∥AD
剩下的几何体是（ ）

H
D
?

E

A
?
B
?


F
D


B
A
第1题




12、点
P
?
x,y
?
在直线4x + 3y = 0上，且满足
?14?x?y?7
，则点P到坐标原点距离的
取值范围是（ ）
A、
?
0,5
?
B、
?
0,10
?
C、
?
5,10
?
D、
?
5,15
?

C
?
G
C

16、已知
eO
的方程是
x
2
?y
2
?2?0
，
eO
?
的方程是
x
2
?y
2
?8x?10?0
，由动点< br>P
向
eO
和
eO
?
所引的切线长相等，则动点
P
的轨迹方程是__________________

?1.直五棱柱 12.B 16.X=32


（福建师大附中）
25、附加题（本小题满分10分）
如图,已知点
A(0,?3)
,动点< br>P
满足
PA?2PO
，其中
O
为坐标原点，动点
P< br>的轨迹为曲
线
C
. 过原点
O
作两条直线
l
1
:y=k
1
x,l
2
:y=k
2
x
分别 交曲线
C

y
于点
E(x
1
,y
1)
、
F(x
2
,y
2
)
、
G(x3
,y
3
)
、
H(x
4
,y
4
)
(其中
y
2
>0,y
4
>0
).
k xx
k
1
x
1
x
2
=
234
；
x
1
+
x
2
x
3
+
x
4
(2)对于（I）中的
E
、
F
、
G
、
H< br>,设
EH
交
x
轴于点
Q
，
GF
交
x
轴于点
R
. 求证:
|OQ|=|OR|
.
（证明过程不考虑
EH
或
GF
垂直于
x
轴的情形）
(1)求证：


?25、（附加题）
解:(1)设点
P
(x,y)
,依题意可得
P
1
O
1
x
-3
A
，整理得
x
2
+(y+3)
2
=2x
2
+y
2
22
x
2
+y
2
-2y-3=0
< br>故动点
P
的轨迹方程为
x+y-2y-3=0
.将直线
EF< br>的方程
y=k
1
x
代入圆
C
方程
22
整理得
(k
1
+1)x-2k
1
x-3=0

根据 根与系数的关系得
x
1
+
x
2
=
2k
1< br>3
xx
=-
,……①
12
22
k
1
+
1k
1
+
1
将直线
GH
的方程
y =k
2
x
代入圆
C
方程,

y
H
F
2k
2
3
xx
=-
,……②
34< br>k
2
2
+
1k
2
2
+
1
k xx
3
k
2
x
3
x
4
=
由①、②可得
112
=-
,所以结论成立.
x
1
+
x
2
2x
3
+
x
4
(2)设点
Q( q,0)
,点
R(r,0)
,由
E
、
Q
、
H
三点共线
x
-
qx
4
-
q(k
-k
2
)x
1
x
4
=
得
1
,解得
q
=
1

k
1
x1
k
2
x
4
k
1
x
1
-k
2
x
4
由
F
、
R
、
G
三点共线
(k
-
k
2
)x
2
x
3
同理可得
r
=
1

k
1
x
2
-< br>k
2
x
3
kxx
kxx
由
112
=
234

x
1
+
x
2
x
3
+
x
4
同理可得
x
3
+x
4
=
1
Q
O
E
R
G
x

?k
1
x
1
x
2
x< br>3
?k
1
x
1
x
2
x
4
? k
2
x
1
x
3
x
4
?k
2
x
2
x
3
x
4
?x
2
x
3(k
1
x
2
?k
2
x
4
)??x1
x
4
(k
1
x
2
?k
2
x
3
)
x
2
x
3
-
x
1
x
4
=

?
k
1
x
2
-
k
2
x
3
k
1
x
1
-
k
2
x
4
(k
-
k
2
)x
2
x
3
(k
1
-
k
2
)x
1
x
4< br>+=
0
,
?r?q?0?r?q?
|OQ|=|OR|
即
1
k
1
x
2
-
k
2
x
3
k
1
x
1
-
k
2
x
4




（同安一中）
3
12．
f(x)??x? x,x
1
,x
2
,x
3
?R,且x
1
?x
2
?0,x
2
?x
3
?0,x
3
?x1
?0,
则f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
3
)
的值
（ ）A．一定大于零B．一定小于零C．小于等于零D．正负均有可能

?12.B


（执信中学）
14．函数
f(x)?sinx?2|sinx|,x?< br>?
0,2
?
?
的图象与直线
y?k
有且仅有两个不同 的交
点，则
k
的取值范围是__________．

?14.
1?k?3



（曾宪梓中学）
20． 如图，四棱锥
P?ABCD
的底面为菱形 且∠ABC＝120°，
PA⊥底面ABCD，AB＝2，PA＝
3
，
E
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥P--BDC的体积。
（ Ⅲ）在线段
PC
上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如
果存在，求出EC的 长；如果不存在，请说明理由。

?20. 略证:通过证BD⊥AC,BD⊥PA,得出B D⊥平面PAC,又BD在平面PBD内,所以平面PBD
⊥平面PAD
(2)
V?
A B
D C
P
1113
S
?BDC
?PA??(?2?2?)?3?1

3322

(3)假设存在，设
AC?BD?O
，则
EO?PC
，Δ
COE
∽ΔCPA ,
CE?

25
.
5
（三台中学）
15．已知函数
f(x)?4cos(x?
??< br>52
)
，若对任意
x?R
都有
f(x
1
)? f(x)?f(x
2
)
成立，
则
x
1
?x
2
的最小值为

?15．2


（练习卷）
10.函数
y??xcosx
的部分图像是

20.△
ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
a,b,c
成等比数列，
cosB?
（Ⅰ）求
3
.

4
11
的值；
?
tanAtanC
uuuruuur3
（Ⅱ）设
BA?BC?
，求
a?c
的值．
2
233

*
22.求证：（1）设
x?R
，
(1?x)(1?x)(1?x)?8x
；
（2） 若
x?R
，不 等式
(1?x)(1?x)(1?x)?8x
是否仍成立，若仍成立，请给
出证明；若 不成立，请举出一个使它不成立的
x
的值．


?10.D
20．解：（Ⅰ）由
cosB?
233
3
3
2
7< br>,
，得
sinB?1?()?
44
4
2
由
b?ac
及正弦定理得
sin
2
B?sinAsinC.
于是
11cosAcosC
sinCcosA?cosCsinA
???
?

tanAtanCsinAsinC
sinAsinC

?
sinB14
sin(A?C)
???7.

sin
2B
sin
2
B
sinB7
uuuruuur
3
33
2
（Ⅱ）由
BA?BC?
，得
ca?cosB?
，由
cosB?
，可得
ca?2
，即
b?2
．
2
24
由余弦定理
b?a?c?2accosB
，得
a?c?b?2accosB?5
， 222222
(a?c)
2
?a
2
?c
2
?2 ac?5?4?9,
22．证明：（1）∵
x?0
，
?a?c?3
．
2
∴
1?x?2x?0
，
1?x ?2x?0
，
1?x?2xx?0
，
3
三式相乘，则有
(1?x)(1?x)(1?x)?8x
；
（2 ）当
x?0
时，
(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)(1?x)(1?x) (1?x?x)

2322
233
13
?(1?x)
2(1?x
2
)[(x?)
2
?]?0?8x
3
， 24
∴
x?R
，不等式
(1?x)(1?x)(1?x)?8x
仍成立。


233
（杭州期末）
19．（本小题满分10分）
已知函数
f
?
x
?
?m?log
2
x?t
的图像经过点
A
?
4,1
?
、点
B
?16,3
?
及点
C
?
S
n
,n
?,其中
S
n
为数列
?
a
n
?
的前n
项和，
n?N
*
。
（1）求
S
n
和
a
n
；
*
（2 ）设数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，
b
n
?f
?
a
n
?
?1< br>，不等式
T
n
?b
n
的解集，
n?N


?19. (本小题满分10分)
（1） 由
?
?
2m ?t?1
?
m?1,
?
?
.

?
4m?t?3
?
t??1
1分
所以f(x)= log
2
x – 1 .由条件得: n = log
2
S
n
– 1 .
n?1
得:
S
n
?2(n?N
?
)
, 1分
当n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1
?2< br>n?1
?2
n
?2
n
,
当n?1时,a
n
?S
1
?4
,

?
2
n
当n?2,n?N时
所以
a
n
?
?
. 2分
当n?1时
?
4
（2）
当n?1时,b
1
?T
1
?0
, 不等式成立. 1分
当n?2时,
b
n
= f(a
n
) – 1= n – 2 ,
(0?n?2)(n?1)n
2
?3n?2
T
n
?0? ?.

22
n
2
?3n?2n
2
?5n?6(n? 2)(n?3)
?T
n
?b
n
??(n?2)???0
,
2
解得:
2?n?3.
3分
?n?N
?
,?n?
2,3
所求不等式的解集为{1, 2，3 }.
2


2
1分
1分
鲁迅中学（柯桥校区） 高一（2）班
学生 灵火 编