高中数学基本知识必背清单手册

高中数学
知识必背手册


目录

复数 ........................................... .................................................. ................................................ - 1 -
集合与逻辑..................................... .................................................. ........................................... - 2 -
三角学部分......................................... .................................................. ....................................... - 4 -
数列部分.............................................. .................................................. ...................................... - 8 -
立体几何部分 ....................................... .................................................. ................................... - 11 -
统计与 概率................................................ .................................................. .............................. - 24 -
解析几何必背公式 .................................................. .................................................. ................ - 26 -
导数必背知识清单 ............. .................................................. .................................................. ... - 29 -
平面向量............................... .................................................. .................................................. . - 30 -

复数
虚数定义：
同理：




,i叫做虚数，不同于实数.





复数：
实数和虚数是两种不同的数，放在一起构成复数，用Z指代
其中a,b是实数，这样任何一种实数和虚数的组合都可以拆解为
实数部分，加虚数部分，a叫做实部，b叫做虚部.
a=0时，叫做纯虚数，b=0时，加做实数.

复平面：
Z对应实部，虚部，如果把实数轴当成x轴，虚部轴当成y轴
Z就形成了一个平面，叫做复平面，Z的坐标为（a,b）

复数的模：
Z到原点（0,0）的距离记为
注意：

共轭复数：
，

分式化整式的方法：

此时分母分子同时乘以共轭复数，（仿照分母有理化方法）
可化为整式

称为Z的共轭复数.


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集合与逻辑
集合部分
表示方法：列举法，描述法，维恩图法，区间法
特征：确定性，无序性，互异性
元素：a,b,c小写字母指代 集合：A，B，C大写字母指代
集合与元素的关系：属于或
集合与集合的关系：包含
空集：
并集 补集
或
集合间的运算：交集
逻辑部分
必要条件与充分条件：
p为q的充分条件，q为p的必要条件
推出去的是充分，被推的是必要

从集合观点看：子集是母集的充分条件，例如：正方形是长方形的充分条件

四种命题形式：
原命题
否命题：








逆否命题：
逆命题：

互为逆否命题真假性等价.——可从集合的观点证明

逻辑连词：
或：
且：
非：

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一真则全真 类比于并集
一假则全假 类比于交集
进行否定

量词：
存在：——特称命题 证明时举例就行，否定得证明所有情况
任意：——全称命题 证明时需要证明所有情况，否定举反例就行
命题的否定：——与原命题真假性相反
只否定结论，不否定条件
全称否定为特称，特称否定为全称
或否定变为且，且否定变成或


推理部分：
合情推理（猜）：归纳推理与类比推理
演绎推理（假设正确时，只要推理不犯错，结论必然正确）



- 3 -

三角学部分
角度弧度制部分
为弧度，为角度
弧度制转换公式：
角度制转换公式：


扇形部分
弧长公式：
扇形面积公式：
（为弧度制）
，为弧长
三角函数定义
锐角三角函数定义：
a,b,c分别指直角三角形，角x的对边，邻直角边，和斜边
，，
三角函数单位圆定义：
，，
正余弦诱导公式
唯一需要变名的公式：

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抽加要变号：

正弦为奇函数，余弦为偶函数

周期为

正切为奇函数








正切诱导公式
同角基本关系
- 5 -

两角和差公式


二倍角公式

降幂公式

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解三角形公式
正弦定理


余弦定理
第一式：
第二式：
三角形面积公式



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数列部分
一、等差数列
定义：从第2项起，每一项与前一项的差值为一个常数，
即：

通项公式：
等差中项：若a,b,c成等差数列


,这个数列就为等差数列.
前n项和求和公式：
单调性：等差，公差为.
单调递增
单调递减
为常数列


二、等比数列
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比为同一个常数，
即：，那么这个数列就叫等比数列.
通项公式：
等比中项：若a,b,c成等比数列

，反之不成立.
前n项和求和公式：
单调性：

- 8 -

为摆动数列
为常数列





递减数列：
或
递增数列：
或
三、S
n
与a
n
递推关系
S
n
通常代表 一个数列
当然也可以用,
的前n项和，
表示，大写字母都可以.

a
n
与其前n项和S
n
的关系式为：


四、求和符号与公式
求和符号：
求和符号性质1：
求和符号性质2：（c为常数）=
特殊的两个求和公式：


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五、关于对数的知识补充








六、S
n
与a
n
递推关系处理方法
法一：两式做差法，消去S
n
，得到a
n
的递推关系
法二：运用

消去a
n
，得到S
n
的递推关系
七、数列求和的方法
法一：裂项抵消法
法二：错位相减法
法三：分组求和法

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立体几何部分
一、平行证明部分
（一）平面几何补充包
知识点1：两直线平行的判定
两直线平行的判定方法

1.同位角相等，两直线平行
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补，两直线平行


中位线定理：
在三角形ABC中，若D、E分别为AB、AC中点，则：
数量关系上： 位置关系上：
如果想一起说明，可以写作：


推广：等分线定理
在三角形ABC中，若,,则：
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数量关系上： 位置关系上：


如果想一起说明，可以写作：


知识点2：平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定
空间中平行四边形的判定方法：
1.两组对边平行 的四边形
2.一组对边平行且相等 的四边形
3.对角线相互平分 的四边形



平行四边形成为矩形的判定方法：
1.对角线相等的平行四边形
2.一个角是90°的平行四边形（邻边垂直）




平行四边形成为菱形的判定方法：
1.对角线垂直的平行四边形
2.邻边相等的平行四边形


- 12 -

正方形的判定方法：
1.对角线垂直的矩形
2.邻边相等的矩形
3.对角线相等的菱形
4.邻边垂直的菱形
【总结】即是菱形又是矩形的四边形是正方形







知识点3：等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一性质：
在三角形ABC中，如果AB=AC，为腰，则：
（1）如果AD为中线，那么AD就是角平分线，还是垂线（高线）.
（2）如果AD为角平分线，那么AD就是中线，还是垂线（高线）.
（3）如果AD为高线，那么AD就是中线，还是角平分线.

格式如何写：
假如我们知道D为中点，想说明AD垂直于BC就这么表述就可以了.
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中线即为垂线
同理如果我们知道AD垂直于BC，想说明BD=CD，可以这样表述.


（二）空间中的位置关系
知识点1：四点共面的证明
如何证明四点共面：
方法一：这四个点在两条平行直线上，所以可以确定一个平面.
方法二：这四个点在两条相交直线上，所以可以确定一个平面.

知识点2：空间中的位置关系
空间中的位置关系：
线线关系：平行（重合自动剔除），相交，异面
线面关系：平行，相交，线在面内
面面关系：平行（重合自动剔除），相交

（三）平行的判定和性质定理
知识点1：线面平行判定定理
线面平行判定定理：
如果不在一个面内的一条直线平行于平面内的另一条直线，则这条直线平行于那个平面.
符号表示：


- 14 -

知识点2：线面平行性质定理
线面平行的性质定理：
如果一条直线平行于一个平面，则过该条直线的平面与平行的平面产生的交线平行.

符号表示：





知识点3：面面平行判定定理
面面平行的判定定理：
如果两条相交直线分别平行于一个平面，那么这两条相交直线所在的平面平行于那个平
面.
符号表示：





知识点4：面面平行性质定理
面面平行的性质定理：
如果两个平面平行，那么第三个平面和这两个平面产生的交线互相平行.



- 15 -

符号表示：



（四）棱柱，棱台几何体性质
知识点1：棱柱
棱柱的定义：
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

棱柱的性质：（考试中可以直接使用的）
（1）侧棱互相平行，且相等.
（2）上下两个底面的棱对应平行，且相等.
（3）由（1）（2）可以推知各侧面是平行四边形.

知识点2：棱台
棱台的定义：
用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.
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棱台的性质：
（1）侧面是梯形.
（2）上下两个底面相似.
（3）上下两个底面的棱比例相等.

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二、垂直证明部分
（一）线线垂直
线线垂直分为共面垂直和异面垂直：















共面垂直 异面垂直

（二）平面几何补充包
知识点1：圆中的垂直:
1.直径所对的圆周角是90°




2.垂径定理：
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圆心和弦的中点的连线垂直于弦；
过圆心作垂直于弦的垂线段平分弦.

3.圆的切线垂直于圆心和切点的连线.

知识点2：三角形中的垂直
1.一边中线=一边一半的三角形是直角三角形





2.等腰三角形三线合一：角平分线即为垂线，中线即为垂线.
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知识点3：四边形中的垂直



1.菱形的对角线垂直
2.正方形中的对角线垂直
知识点4：全等三角形中的垂直
两个具有一个公共边的全等三角形，对顶点连线与公共边垂直.

知识点5：勾股定理
一边的平方和等于另外两边的平方和三角形，这个边对应的角是直角.
若


，则C为直角.
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知识点6：余弦定理:






（三）空间中的垂直
知识点1：直棱柱的垂直
定义：侧棱垂直于底面的棱柱.
性质：直棱柱的侧棱垂直于上下底面所有的直线.

（四）垂直中的判定与性质定理

知识点1：线面垂直定义
直线垂直于一条面内所有直线，则称这条直线垂直于这个平面.





考试用法：线垂直于这个平面，自然这个线就垂直于面内任意一条直线.



符号表示为：



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知识点2：线面垂直判定定理



如果一条直线垂直于面内两条相交直线，那么这个直线就垂直于这个平面.
符号表示为：


知识点3：面面垂直判定定理



符号表示：



如果一条直线垂直于一个平面，那么过这个直线的任意一个平面都和这个平面垂直.
知识点4：面面垂直性质定理
如果两个平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于两个平面 的交线，则这条直线
垂直于另一个平面.

符号表示为 ：

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表面积与体积公式
常见几何图形和几何体的表面积公式如下：
1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2。
2、正方形的周长=边长×4 C=4a。
3、长方形的面积=长×宽 S=ab。
4、正方形的面积=边长×边长 S=a^2。
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2。
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah。
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2。
8、圆的面积=圆周率×半径×半径=πr^2。
9、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2。
11、正方体的表面积=棱长×棱长×6=6a^2。
12、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高=2πrh。
13、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积。
S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch

体积公式学习
正方体体积=a? a为棱长
长方体体积=长×宽×高
圆柱体体积=πr?h 即底面积×高
圆锥体体积=13πr?h 即13×底面积×高
球体体积=43πR?



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统计与概率
统计学：

分层抽样：按总体比例抽取

系统抽样：等距离抽取

随机数表注意事项：
（1）列是什么 （2）数据范围溢出

茎叶图：中间是十位，两边是个位数

频率分布直方图：横坐标是数据，纵坐标是

中位数：总高往低数，最中间那个数

平均数：
，面积是频率，所以各矩形面积之和为1.
（3）重复的要剔除
众数：频数最多的那个数
标准差

线性回归：







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独立性检验：
n(ad?bc)
2
K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

2





有95%以上的把握判定相关
有99%以上的把握判定相关
有99.9%以上的把握判定相关
概率
独立事件概率公式

左边指的是A事件和B事件同时发生的概率

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解析几何必背公式
斜率公式：
两点距离公式：

点到直线距离公式：

平行线间距离公式：

直线的方程：
点斜式：
斜截式：
一般式：
圆的方程：
标准式：
圆心: 半径：
一般式：
椭圆第一定义：

椭圆第二定义：

椭圆的标准方程：
（焦点在x轴）
（焦点在y轴）
总结：谁大在谁上

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以
长轴：2a
准线：
通径=
为例
短轴：2b
焦点：
离心率
焦距：2c




双曲线第一定义：

双曲线第二定义：

双曲线的标准方程：
（焦点在x轴）
（焦点在y轴）
总结：谁正在谁上
以
实轴：2a
准线：
通径=
为例
虚轴：2b
焦点：
离心率
焦距：2c



渐近线：将方程中的1改为0

抛物线定义：

抛物线标准方程：
（焦点在x轴正半轴）
（焦点在y轴正半轴）
以
准线：
通径：


为例
焦点：
（焦点在x轴负半轴）
（焦点在y轴负半轴）
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极坐标与参数方程
极坐标系
点：
指的是极径（该点到极点的距离）
指的极角（范围是）

极坐标系与直角坐标系的转化：
（1）点的转化：极坐标化直角坐标；直角坐标化极坐标
（2）曲线方程的转化：极坐标化直角坐标；直角坐标化极坐标


参数方程
直线标准的参数方程：


圆的参数方程：


椭圆的参数方程：


参数方程是直角坐标系的东西，和极坐标没有直接关系
参数方程的作用就是把方程转化成点

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导数必背知识清单
导数的运算
基本初等函数求导公式：












特别有：

运算法则：
加减：
乘除：


复合：从里向外逐层求导，乘法相连

导数的用途：
用法一：求切线斜率
在处切线的斜率为
用法二：判定原函数单调性
x∈[a,b],f′(x)>0?f(x)在[a,b]单调递增
x∈[a,b],f′(x)<0?f(x)在[a,b]单调递减


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平面向量
几何角度：
从A指向B的一个有向线段

读作向量AB的模，表示向量AB的长度.

相等向量：模相等，方向相同

零向量：模长为0的向量.

向量的夹角范围：

向量的平行与共线：


向量的运算：
（一）加法：
平行四边形法则（共用起点）
（AD为以AB，AC为邻边构成平行四边形的对角线）
三角形法则（首尾相接）

（二）减法：
三角形法则（共用起点）

（三）乘法：



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坐标角度：



向量的运算：







向量的投影计算
=
一般表示单位向量

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