高中数学基础知识手册(理科)

第一章 集合与简易逻辑
一、集合知识
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4. 集合运算：交、并、补.
5. 主要性质: ①
A?B?AB?A?AB?B?CB?U

U
A
②C
U
(A∩B)= (C
U
A)∪(C
U
B) C
U
(A∪B)= (C
U
A)∩(C
U
B)
6. 设集合A中有n个元素,则①A的 子集个数为
2
n
；②A的真子集个数为
2
n
?1
；

③A的非空子集个数为
2?1
；④A的非空真子集个数为
2?2
.
7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集
nn
二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法
1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式
ax?b的解集
（
分a?0或a?0)

②一元二次 不等式
ax?bx?c?0(a?0)的解集
：（大于取两边，小于取中间）
③一元 高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x的系数全化为正，从右到左、从上到
下，奇（次幂）穿， 偶（次幂）穿而不过）
2.分式不等式的解法
2
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
（移项通分，不能去分母） ?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g( x)g(x)
3.含绝对值不等式的解法
ax?b?c
,与
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法.
（将x的系数化为正,大于取两边，小于取中间）
三．简易逻辑
1．构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )(一真则真)；
p且q(记作“p∧q” )（一假则假）；非p(记作“┑q” )（真假相反） 。
2．四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
原命题
(原命题
?
逆否命题)
若p则q
3、充要条件：
互
否< br>互
逆
互
为
为
互
逆
否
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
逆
否
否命题< br>若┐p则┐q
互
逆

4、反证法：从命题结论的反面出发（假设） ，引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定
假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
第二章 函 数
一、函数与映射
1．
映射的性质：从A到B的映射：①A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素，
②允许多对一，不允许一对多。③若A有3个元素，B有4个元素，则有
4
3
个映射。
2．
函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
二、函数的性质
（1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）
奇函数：
f(?x)??f(x)
、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性；
偶函数：
f(?x)?f(x)
、图象关于
y
轴对称，在两个对称区 间具有相反的单调性；
常用的结论：若
f(x)
是奇函数，且
0?定义域< br>，则
f(0)?0或f(?1)??f(1)
；
若
f(x)
是偶函数，则
f(?1)?f(1)
；反之不然。
常见的奇函数：①
y?lg(x?x
2
?1)
②
y?lg
1?x
x?x
③
y?e?e

1 ?x
e
x
?1
1?x
2
11
④
y??x
⑤
y?
x
⑥
y?

x?2?2
e?1
2
2?1
非奇非偶函数：f（x）=
1?cosx?sinx
.
1?cosx?sinx
（2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义法 步骤：a.设
x
1
,x
2
?A且x
1
? x
2
；b.作差
f(x
1
)?f(x
2
)
；c.判断正负号。
②掌握函数
y?
函
数
ax?bb?aca
?a?(b?ac?0);y?x?(a?0)
的图象和性质；
x?cx?cx
ax?bb?aca
y??a?
y?x?(a?0
）
x?cx?c

x
(b – ac≠0)

图



象

单

调

性


Y=a
y

y
o
X=-c
o
当b-ac>0时:
在
(??,?c)和(c,??)
上单调递减；
当b-ac<0时:
在
(??,?c)和(c,??)
上单调递增。
X
在
(??,?a]和[a,??)
上单调递增；
在
[?a,0)和(0,a]
上单
调递增。
x
③一些有用的结论： .在公共定义域内
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
（3）函数的周期性：
f(x?T)?f(x)

①y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) (a>0)恒成立,则y=f(x)的周期为2a；
②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2︱a︱；
③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x) 的周期为4︱a︱；
④y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=
?
1
，则y=f(x) 的周期为2
a
；
f(x)

三、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、
（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成y=f(x)
：
左加右减，上加下减。）
（2）对称变换：函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于
y
轴对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(x)
的图象关于
x
轴 对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(?x)
的图象关于坐标 原点对称；
②如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线
x?a
对称。
如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线
x?
a?b
对称。
2

③
y?f(x)
?
y?f(x)
（把
x
轴下方的图象翻折到上方）
④
y?f(x)
?
y?f(x)
（擦掉
y
轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧）
⑤
y?f
?1
(x)
与
y?f(x)
关于直线
y?x
对称。性质：
f(a)?b?f
?1
(b)?a

（3）伸缩变换： ②
y?f (x)
?
y?f(ax),(a?0)
系数变小伸长；系数变大缩短。
四、函数的反函数
求反函数的步骤：①求原函数
y?f(x)
，
(x?A)
的值域B ②把
y?f(x)
看作方程，解
出
x??(y)
；x，y互换的y?f(x)
的反函数为
y?f
?1
(x)
，
(x?B )
。
五、求函数的值域的常用解题方法：
① 配方法。如函数
y?x?x?1
的值域，特点是可化为二次函数的形式；
x
②换元法：如y=
1?2x?x
③单调性：如函数
y?2?log
2
x
x∈[1,2]
42
x
2
?2x?3
④判别式法（△法）如函数y=
2

x?2x?3
⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x－2| ⑥利用反函数：如函数y=
⑦利用基本不等式：如函数y=
2?sinx

2?sinx
2
⑧.方程k=f(x)有解
?
k∈D(D为f(x)的值域)；
x
2
?3
⑨.a≥f(x)
?
a≥［f(x)］
max,
; a≤f(x)
?
a≤［f(x)］
min
;
六、指数、对数的性质：
?
1
1
n
n
m
n
a?a(a?0)，a?(a?0 )
数运算：a?1(a?0)，a?(a?0)
1.
指
,
p
m
n
a
a
0?p
mm
log
a
(M·N )?log
a
M?log
a
N
?
M?0，N?0
?
2.
对数运算：
n
M1
n
n
logb?log< br>a
b

log
a
?log
a
M? log
a
N，log
a
M?log
a
M
，
a
m
m
Nn

对数恒等式：a
log
a
x
?x(x?0)
，
log
a
a
k
?k(k?R)


对数换底公式：log
a
b?
log
cb
,

log
c
a
3.
log
a
b
的符号由口诀“同正异负”记忆; 如：
log
2
3?0.....log
1
2
5?0
。

七、复合函数单调性：
y?f
?
g
?
x
?
?，
f(x)与g(x)
：
同增同减为增，一增一减为减
。
第三章 数 列
一．数列及数列的通项公式
1.数列的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
2.数列的通项公式：
a
n
?
?
?
a< br>1
?S
1
(n?1)

S?S(n?2)
n?1?
n
3.递推公式：已知数列
?
a
n
?
的第一 项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或 前几项）
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
二．等差数列
1.定义： 即：
a
n
?a
n?1
?d(n?2,a
n
?0,q?0)?{a
n
}成等差数列

2.判定方法：①定义法：
a
n?1
?a
n
?d
(常数)； ②等差中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
。
3.通 项公式：若首项是
a
1
，公差是
d
，则通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。是关于n的一次函数。
4.等差数列的前n项和： ①
S
n
?
n(a
1
? a
n
)
n(n?1)
d
②
S
n< br>?na
1
?
2
2
对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二 次函数（充要条件）。
5.等差中项：如果
a
，
A
，
b< br>成等差数列，则有
A?
a?b
或
2A?a?b

2
6.等差数列的性质： ①．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，且
m?n
，公差为d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

②.若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?ap
?a
q
。
*
③.
S
n
是其前n项 的和，
k?N
，那么
S
k
，
S
2k
?S< br>k
，
S
3k
?S
2k
成等差数列。
④.< br>S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和，
结论：(i)
若有偶数项2n项，则S
奇
?a
1
?a
2n?1
a?a
2n
?n?n?a
n
；
S
偶
?
2
?n?n?a
n?1

22
a
1
?a
2n?1
?(n?1)?a
n?1
?(n?1)

2
所以有
S
偶
?S
奇
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
4
?a
3
?
???
?
a
2n
? a
2n?1
?
?nd

（ii）
若有奇数项2n?1项，则S
奇
?

S< br>偶
?
?
S
奇
?S
偶
?a
n?1?(2n?1)?(2n?1)a
中
?
a
2
?a
2n< br>
?n?a
n?1
?n
?
S
奇
?S偶
?a
n?1
?a
中
2

?
S< br>奇
S
偶
S
奇
?S
偶
S
n
n ?1
；
???2n?1

nS
奇
?S
偶
S
奇
?S
偶
⑤．若等差数列
?
a
n
?< br>的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，等差数列
?b
n
?
的前
2n?1
项的和为
T
2n?1，

则
a
n
S
2n?1
aSaS
?
。(比如：
9
?
17
；
10
?
19< br>)
b
n
T
2n?1
b
9
T
17< br>b
10
T
19
三．等比数列
a
1．定义：
n
?q(n?2,a
n
?0,q?0)?{a
n
}成等比数列

a
n?1
2.等比中项：如果
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
3.等比数列的判定方法：
⑴定义法：对于数列
?< br>a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0)
，则数 列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb< br>2
?
，即
G
aG
?ab
。
2
⑵等 比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a< br>n?2
?a
n?1
(a
n
?0)
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
n?1
4.等比数列的通项公式：< br>a
n
?a
1
q
。
na
1
(q?1 )
?
?
n
5.等比数列的前n项和：
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q
?
1?q
6.等比数列的性质：
⑴．等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
⑵.对于等比数列?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q

⑶．若数列?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
? S
k
，
S
3k
?S
2k

成等比数列。
四．数列的通项求法： (1)等差，等比数列的通项公式；
(2)
已知S
n
求a
n
,则有a
n
?
?
且
m?n，公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q
n? m

a
1
,(n?1)
a
（3）累乘法：
形如
n
?g(n)

a
n?1
?< br>S
n
?S
n?1
,(n?2)
?
；
(5)构造法：
形如a
n?1
?pa
n
?q.
(4)累 加法：
形如a
n
?a
n?1
?f(n),(n?2)
五．数 列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；
(2)裂项相消法： 如：
a
n?1
?
111
??

n(n?1)nn?1
?
c
n
?
为等比数列
为等差数列，
(3)错位相减法：
a
n
?b
n
?cn
,
?
b
n
?
n
⑷倒序相加法：如an
=
nC
100
; ⑸分组求和法：
a
n
?b
n
?c
n
如：a
n
=2n+3
n

六．其他结论：
1、
?
a
n
?
成等差数列?a< br>n
?An?B?S
n
?An?Bn

2

(1)
?
a
n
?
成等差数列?b
(2)
?a
n
?
成等比数列?
??
成等比数列

an
k
a
n
a
n
?0
nb
??
成等比数列
；
?
a
?
成等比数列
?
?
lo ga
n
?
成等差数列

2、在等差数列
?
a
n
?
中,(1)当
a
1
?0
,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
S
m
取最大值.
a?0
?
m?1
?
a
m
?0
(2)当
a
1
?0
,d>0时， 满足
?
的项数m使得
S
m
取最小值。
a?0
?
m?1
3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a- d,,a+d,a+3d
4、三个数成等比的设法：aq,a,aq；
第四章 三角函数
一、基本概念和知识要点
1．三角函数定义：sin
?
=
xr
yxyr
，cos
?
=，tan
?
=，cot
?
=，sec
?
=，csc
?
=。

yy
rx
rx
22
2．同角三角函数的关系中，平方关系是：
sin
?
?cos
?
?1
；
cos
?
?
倒数关系是 ：
tan
?
?cot
?
?1
，商数关系是：
tan
?
?
2
1
；
2
1?tan
?
s in
?
cos
?
，
cot
?
?
。
cos
?
sin
?
3． 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变， 符号看象限（
如：
sin(
?
的奇、偶数倍）。
2
3?
15
?
?
?
)?
?cos
?
，cot(?
?
)
=
tan
?
，
tan(3?
?
?
)?
?tan
?
。
22
4、
三角函数的图象：

y＝sinx

y＝cosx

y?tanx
（略）
（其中A?0，
?
?0）
5． 函数
y?Asin(
?x?
?
)?B
的最大值是
A?B
，最小值为
B?A，周期

是
T?
2
?
?
，频率是
f?
?
，相位是
?
x?
?
，初相是
?
；其 图象的对称轴是直线
2
?
?
x?
?
?k
?
?
?
2

(k?Z)
，对称中心为（
x
0
，0），其中横坐标满足
?
x
0
?
?
?k
?
(k?Z)
。
6． 三角函数的单调区间：
y?sinx
的递增区间是?
2k
?
?
?
?
?
2
，2k
?
?
?
?
(k?Z)
递减区间是
?
2
?< br>?
3
?
??
2k
?
?，2k
?
?< br>2k
?
?
(k?Z)
，递减区间
(k?Z)
；
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
，??
22
??
2k
?
?
?
?
(k?Z )
，
y?tanx
的递增区间是
?
k
?
?
是
?
2k
?
，
7．y＝Asin(ωx＋ψ)五点法作图：依次取ω x＋ψ＝
0,
?
?
?
2
，k
?
?
?
?
?
，
2
?
?
2
,
?
,
3
?
,2
?
.

2
8．三角变换： (A>0，ω>0) ①先平移变换，再伸缩变化
②先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）
如将 函数
y?2sin(3x?
?
3
)?3
的图象按
a
平移后得函数
y?2sin3x
的图象，则
a
＝
9．两角和与差公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

< br>cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?

1< br>?
tan
?
?tan
?
10、二倍角公式是：sin2
?
=
2sin
?
?cos
?

cos2
?
=
cos
?
?sin
?
=
2cos
?< br>?1
=
1?2sin
?

2222
ta n
2
?
=
2tan
?
?
1?cos
?sin
?
。 tan==。
2
sin
?
1?c os
?
2
1?tan
?
2
11、升幂公式是：
1? cos
?
?2cos
12、降幂公式是：
sin
?
?
2
?
2

1?cos
?
?2sin
2
?
2
。
1?cos2
?
1?cos2
?
2

cos
?
?
。
2
2

2tan13、万能公式：sin
?
=
?
2
cos
?=
1?tan
2
1?tan
2
?
?
2
tan
?
=
2
2tan
?
2

1?tan
2
?
2
1?tan
2
?
2
14、特殊角的 三角函数值：（自己总结）
15、正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）：
abc
???2R

sinAsinBsinC
a
2
?c
2
?b
216、余弦定理第一形式：
b
=
a?c?2accosB
；第二形式：c osB=
2ac
2
22
17、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表 示，内切圆半径用r表示，则：
1
1
a?h
a
??
； ②
S?bcsinA??
；④
S?2R
2
sinAsinBsinC
；
2
2
1
abc
③
S?
； ⑤
S?pr
（
p
为△ABC的周长）
2
4R
①
S?
18、在△ABC 中，①
b?a?cosC ?c?cosA
，…②
A?B?sinA?sinB
（充要条件）
③
sin(A+B)=sinC
④
sin
cos(A+B) ?-cosCtan(A+B) ?-tanC

A?BCA?BCA?BC
?cos

cos?sin

tan?cot

222222
⑤
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC

19．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求c边；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，
（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
20.弧度制：
|
?
|?
l11
2
，弧长公式：
l?r
?
； 扇形面积公式：
s?lr?
?
r
；
r
22
b
）这一公式应用广泛。
a
21．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升幂公式；
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
22．函数y = sin (ωx＋φ)：奇函数
?< br>?
?k
?
?
k?Z
?
．偶函数
?
?
?k
?
?
函数y =cos (ωx＋φ)：奇函数
?
?< br>?k
?
?
?
2
?
k?Z
?

?
2
?
k?Z
?
．偶函数
?
?
?k?
?
k?Z
?
．
第五章 平面向量

1.向量的概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
（2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
向量的 坐标表示：
AB
=(x
2
-x
1
,y
2
- y
1
)，其中A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
（3）向量的运算 ①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

②坐标运算：
a+b=(x< br>1
+x
2
,y
1
+y
2
),a-b=(x< br>1
-x
2
,y
1
-y
2
)。其中a=(x< br>1
，y
1
),b=(x
2
,y
2
)。
2.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
①向量的夹角： （
0?
?
?180
） ②两个向量的数量积：
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
．
其中︱
b
︱cos
?
称为向量
b
在
a
方 向上的投影．
③向量的数量积的性质： 若
a
=（
x
1
,y
1
）,
b
=（
x
2
,y
2
）
则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

a
⊥
b
?a
·
b
=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

00
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
?
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
?0
a
与
b
夹角为锐角
?
?
;
a
与
b
夹角为钝角< br>?
?

(x,y)?
?
(x,y)(x,y)?
?< br>(x,y)
2222
?
12
?
12
3.定理与公式
① 共线定理：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是有且只有一个 实数λ，使得
b
=λ
a
。

?
??
结论：
a
∥
b
(
b
?< br>0
)的充要条件是
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0

②平面向量基本定理：如果
e
1
，e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
,λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

③两向量垂直的充要条件(i)

a
⊥
b
?
a
·
b
=0 (ii)

a
⊥
b
?
x
1
·x
2
+y
1
·y
2
=0
④三点共线定理： 平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,
使
OA
=α
O B
+β
OC
，其中α+β=1，O为平面内异于A、B、C的任一点。
⑤两 点间的距离公式：|
P
1
P
2
|=
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
，其中[P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
, y
2
)]
22

?
x'?x?h,
⑥点的平 移公式：若点P
0
(x,y)按向量
a
=(h,k)平移至P(x′,y′) ，则
?

y'?y?k.
?
⑦定比分点公式：若
P
；
1
,P,P
2
的坐标分别为（
x
1
,y
1
）,（
x,y
）,（
x
2
,y
2
）1
P
=
?
PP
2
；
P
x
1< br>?x
2
?x
3
x
1
?x
2
x
1
?λx
2
?
?
?
x?
x?
x?
?
?
?
??
?
3
2
1?λ
则：
?
中点坐标公式：
?
重心公式：
?

y?yy?y? y
y?λy
223
2
?
y?
1
?
y?1
?
y?
1
?
?
?
2
?
3< br>?
1?λ
?
第六章 不等式
一、不等式的性质
(3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法单调性)(5)a＋b＞c?a＞c－b(移项法则)

(6)
a＞b
?
?
?a＋c＞b＋d(同向不等式可加)
c ＞d
?
a＞b＞0
?
(8)
?
?ac＞bd(同向正数不等 式可乘)
c＞d＞0
?

11
(12)a＞b＞0?＜(正数不等式两边取倒数)
ab

二、常用的基本不等式和重要的不等式：
?”
（1）
a,b?R,则a?b ?2ab
，当且仅当
a?b时取“
号；
?
?”
（2）a,b?R
，则
a?b?2ab
；当且仅当
a?b时取“
号；
22
注：
a?b
??算术平均数，ab??几何平均数

2
a
2
?b
2
a?b
2
2ab
?()
；（3）
?
22
a?b
三、最值定理（均值不等式）
a?ba< br>2
?b
2
ab??(a,b?R
?
)
；
2 2
a?mab?mb
+
（4）若a、b、m∈R，且a?
或
?
；
b?mba?ma
（1）如积
xy?P(定值），则和x?y有最小值2P

2
（2）如和
x?y?S(定值），则积

xy有最大值（）
S
2
即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相 等”

四、恒成立问题
如：关于x的不等式
(a?2)x?2(a? 2)x?4?0
对
x?R
恒成立，则
a
的取值范围 。
五、不等式的同解性
(1)当a＞1时，a
f(x)
＞a
g(x )
与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)< br>与f(x)＜g(x)同解．
2
?
g（x）
?
f（x）(2)当a
?
1时，log
a
f（x）
?
log
a
g（x）与
?
同解.

g（x）
?
0
?
?
f(x)＜g(x)
?
当0＜a＜1时，log
a
f( x)＞log
a
g(x)与
?
f(x)＞0同解．
?
?
g(x)＞0

第七章 直线和圆的方程
一、
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2

C
1
?C
2
A?B
22
2、 平行线间距离: 若
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By ?C
2
?0
则
d?

3、 点到直 线的距离：若
P(x
?
,y
?
),l:Ax?By?C?0
， 则
d?
Ax
?
?By
?
?C
A?B
2 2

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
?
若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则：
AB?
?
y?kx?m
2
消y：
ax?bx?c?0
，注意
??0.

?
F(x,y )?0
(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2< br>?x?x
?
?
1?k
?
?
?
?
2< br>12
2
?4x
1
x
2
?

?
5、 若直线l
1
的斜率为k
1
，直线l
2的斜率为k
2
，k
1
，k
2
都存在且k
1k
2
?
－1
则l
1
到l
2
的角为< br>?,??(0,?)
，
tan??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为
?
，则
tan??
k
1
?k
2
?
，
??(0,]

1?k
1
k
2
2
?
。
2
注意： （1）l
1
?
l
2
时，夹角、到角=
（2）当l
1
与l
2
中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。