2017届高中数学一轮复习基础知识手册

第一编 集合与常用逻辑用语
集合
1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
常用逻辑用语
(1)理解命题的概念．
(2)了解“若
p
，则
q
”形式 的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相
互关系．
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(5)理解全称量词与存在量词的意义．
(6)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

第一讲 集合
知识能力解读
知能解读 (一)集合的基本概念及表示方法
1．集合的概念 < br>一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．通常
用大写字母
A
，
B
，
C
，…表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元 素．通常用小写字
母
a
，
b
，
c
，…表示．
2．集合中元素的三个特征
(1)确定性
设
A
是一个给定的集合 ，
a
是某一具体的对象，则
a
是
A
的元素，或者不是
A
的元素，
两种情况必有一种且只有一种成立．这个特性常用来判断涉及的总体能否构成集合 ．
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两 个元素都是
不同的．即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同元素都认为是一个元素，在用列举< br>法表示时也只能写一个．例如方程
x?2x?1?0
的解组成的集合
A
，必须写成
2
A?
?
?1
?
．这个特性常被用来判断集合的 表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
(3)无序性
集合中的元素不考虑顺序，对于 元素相同而排列次序不同的集合认为是相同的集合．例
如集合
?
1,2,3,4
?
与集合
?
4,3,2,1
?
是相同的集合．这个特性常用来判断 两个集合的关系．
3．集合的分类
(1)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有 有限个元素的集合叫做有限集，
含有无限个元素的集合叫做无限集．
(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作
?
．
注意：①空集中没有任何元 素．要区分
?
和
?
0
?
，集合
?
0
?
中有1个元素0，而
?
中没
有任何元素，两者有着本质的不同．
②空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程
x?1?0
的解集和不等
式
x?1?0
的解集都是空集．
4．集合的表示方法
2
1

(1)列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法．
使用列举法时，需注意以下几点：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序； ④对于含较多元素的集合，
如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显 示清楚后才能
用省略号．
如：从1到100的所有整数组成的集合可以表示为
?1,2,3,???,100
?
．
(2)描述法
用集合所含元素的共 同特征表示集合的方法称为描述法，即
x?Ap
?
x
?
．其中竖线< br>“｜”左边表示集合中的代表元素，右边表示集合中元素满足的条件．
如：所有的直角三角形的集合可以表示为{
xx
是直角三角形}．
(3)图示法
为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合 ．如
图所示，表示集合
?
1,3,5,8
?
．
1,3,5,8
??
5．常用数集的符号
为了书写方便，我们规定常见的数 集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集的表示
方法，请牢记．
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号

N

N
?
或
N
?

Z

Q

符号语言
R

C

知能解读 (二)集合间的基本关系
表示 文字语言
关系
相等
子集
集合A与集合B中的所有元素都相同
A?B
，
B?A?A?B

集合A中任意一个元素都是集合B中
A?B
或
B?A

的元素
真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中
AB
或
BA

的元素，且集合B中至少有一个元素
不是集合A中的元素
空集 空集是任何集合的子 集，是任何非空
??A
，
?B
?
B??
?

集合的真子集
提示：①“
?
”是表示集合中的元素与集合关系的符号，而“
?
”与“”是表示两
个集合间包含和真包含关系的符号，在书写时应注意区分．
②
A?B
有两种情况：
A?B
和
AB
．
若
AB
，则
B
中至少存在一个元素不属于
A
．
符号表示 Venn图表示
B
A
B
A
B
A
知能解读 (三)集合与集合间的运算
集合运算 自然语言描述
并集
一般地，由所有属于集 合
A
或属
于集合
B
的元素组成的集合，称
为集合
A
与
B
的并集，记作
AB
，读作“
A
并
B< br>”．
AB?
{
xx?A
，
或
x?B
}

交集
一般地，由属于集合
A
且属于集
A B?
{
xx?A
，
合
B
的所有元素组成的集合，称
且
x?B
}
为
A
与
B
的交集，记作
AB
，
读作“
A
交
B
”．
(1)一般地，如果一个集 合含有
且
U
A?
{
xx?U
，
我们所研究问题中涉 及的所有
x?A
}
元素，那么就称这个集合为全
集，通常记作
U
．
(2)对于一个集 合
A
，由全集
U
中不属于
A
的所有元素组成的
集合 称为集合
A
相对于全集
U
的补集，简称为集合
A
的补集，< br>记作
U
B
A
BA
B
A
全集与补
集

U
A
A
U

A
．
2．集合中常用的运算性质
(1)若
A?B
，
B?A
，则
A?B
；若
A?B
，
B?C
，则
A?C
．
(2)
??A
；若
A??
，则
?
(3)
A
(4)
A
(5)
A
(6)
?
A
(7)U
A
．
A?A
，
AB?B
A?A
，
AB?B
A
，
A???
．
A
，
A??A
．
U
?
?
A
U< br>A
?
??
，
A
B
?
?
?
A
?
?
?
A
?
?U
．
B
?
，
B
?
?A?
?
AB
?
．
UUU?
AB
?
?
?
U
A
??
U
B
?
．
(8)若
A?B
，则
AB?A
，
A B?B
，反之变成立．
知能解读 (四)有限集的子集个数公式
设有限集
A
中有
n
个元素，则
A
的子集有
2
个，其中真子 集的个数为
2?1
，非空子
集的个数为
2?1
，非空真子集的个数为
2?2
．
解题方法荟萃
Ⅰ．数学思想方法
思想方法 (一)分类讨论思想
它是根据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，进行分类，然后对每 一类
分别求解，并综合得出答案的一种数学思想．在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应
该是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原则．
(二)数形结合思想
数形结合 的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来进行探索分析
的思维方法．其实质就是将 抽象的数学语言与直观图形结合起来，抽象思维和形象思维结合
起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单 化，通过“数”和“形”的联系与转化，化难为易，
增强直观性，从而使问题得到解决．数形结合包含两 重意义：(1)以形助数；(2)以数解形．所
谓“以形助数”就是将待研究的代数问题转化为研究其对 应的几何图形，通过几何图形的直
观性寻找原问题的解题思路，从而获解；所谓“以数解形”就是借助代 数计算等确定几何图
形的某些属性．
(三)补集思想
(四)分析法
(五)列举法
(六)Venn图法
Ⅱ．解题规律技巧
(一)集合语言与集合思想在解题中的应用
n
nn
n

(二)利用数轴解决集合间的关系问题
(三)集合中元素的“三性”及应用
(四)点集运算转化处理
Ⅲ．易混易错辨析
(一)因没有弄清集合的代表元素而导致错误
(二)勿忘空集防“陷阱”
高考命题研究
纵观近几年高考试题，集合部分以考查基 础知识为主，涉及集合的概念、集合间的基本
关系、集合的基本运算等．核心考点是集合的交集、并集和 补集运算，既有列举法表示的集
合，又有描述法表示的集合，有时还会与不等式、函数、方程等知识结合 ，题型为选择题或
填空题，难度不大．
高考热点 (一)集合的基本概念
(二)集合间的基本关系的判定与应用
(三)集合的基本运算
(四)集合中的新定义题
附录 常用公式定理
1．常用符号
?
——属于
?
——不属于
——真包含于
?
——包含于
?
——包含





















——真包含
——不包含
＝——集合相等符号
——并集符号
——补集符号
Z
——整数集
——不包含于
?
——空集符号
——交集符号

U
——全集符号

N
——自然数集
N
?
?
N
?
?
——正整数集
Q
——有理数集
R
R
——实数集
C
——复数集
2．常用公式
AA?A

AA?A





Q
——无理数集
?
xx?2n?1,n?Z
?
——奇数集





?
xx?2n,n?Z
?
——偶数集





A???

A??A

A
U
AU?A

AU?U

U
A
U
?
?
A
U
A
?
??

?
U
A
?
?U


U
?
U
A
?
?A

B
?
?
?
U
A
??
B
?

?
AB
?
?
?
U
A
??
U
B
?

C
，则
AC
．
3．常用定理
传递性：若集合
A?B
，
B?C
，则
A?C
；若集合
A

B
，
B
第二讲 常用逻辑用语
知识能力解读
知能解读 (一)四种命题及其关系
1．命题的定义
用语言、符号或式子表达的 ，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句叫
做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
例如：“3是12的约数”“
0.5
是整数”都是命题．
说明：(1)并不 是任何语句都是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命

一题．(2)一个 命题，一般可以用小写英文子母表示，如
p
，
q
，
r
，…．
2．四种命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件， 那么我
们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆
命题．
一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题
叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的否命题．
一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题
叫做互为逆否命题．把其中的一个命 题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆否命
题．
3．表示形式
一般地， 用
p
和
q
分别表示原命题的条件和结论，用
?p
和
?q
分别表示
p
和
q
的否定，
于是四种命题的形式就是：
原命题：若
p
，则
q
；逆命题：若
q
，则
p
；否命题：若
?p
，则
?q
；逆否命题：若
?q
，则
?p
．
4．四种命题的关系
四种命题的关系如图所示：
原 命题(若p,则q)
互
否
否命题
(若﹁p,则﹁q)
互
互逆
否
互
为
逆
为
逆
逆命题(若p,则q)
互< br>否
逆否命题
(若﹁p,则﹁q)
否
互逆

点拨：互为逆否的两个命题的真假性相同，互逆或互否的两个命题的真假性没有关系．
(二)充分条件、必要条件、充要条件
定义 从集合观点看
若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充分条件
若
q?p
，则
p
是
q
的必要条件
若p?q
且
q?p
，则
p
是
q
的充分
不 必要条件
若集合
Q?P
，则
P
是
Q
的必要条件
若集合
PQ
，则
P
是
Q
的充分不必要条件
若
q?p
且
p?q
，则
p
是
q
的必要< br>若集合
PQ
，则
P
是
Q
的必要不充分条件
不充分条件
若
p?q
，则
p
是
q
的充分必要条件
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充分必要条件
则
P
是
Q
的既不充
若
p?q
，
q?p< br>，则
p
是
q
的既不
若集合
PQ
且
Q P
，
分也不必要条件
充分也不必要条件
说明：由上表可知，判断充分条件 、必要条件、充要条件时应采用以下方法：(1)确定
条件
p
是什么，结论
q
是什么；(2)尝试从条件推结论，如果
p?q
，则充分性成立，
p
是
q
的充分条件；(3)再考虑从结论推条件，如果
q?p
，则
p< br>是
q
的必要条件，必要性成立；
(4)证明命题的条件是充要的，则既要证明充 分性又要证明必要性．
(三)逻辑联结词：“或”“且”“非”
(1)或：联结两个命题< br>p
，
q
，得到新命题
p
或
q
．记作
p?q
．
(2)且：联结两个命题
p
，
q
，得到新命题< br>p
且
q
．记作
p?q
．
(3)非：对一个命题
p
全盘否定，得到新命题非p．记作
?p
．
(四)真值表
表示命题真假的表叫做真值表．利用真值表可判断含逻辑联结词的命题的真假．
p

q

非
p

p
且
q

p
或
q

真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
提示：“
p?q
”有假则假，全真才真；“
p ?q
”有真就真，全假才假，“
?p
”与“
p
”
真假相反．
(五)命题的否定与否命题
(1)命题的否定只否定命题的结论，它和原命题真假相反；而否 命题是既否定条件，又
否定结论，它和原命题的真假性无关．
(2)写“非
p
”或否命题时，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．因此掌握
常见的正面叙述词语以及它们 的否定同语卜分必要，具体列表如下：
正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 能 是 都(全)是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不能 不是 不都(全)是
p
或
q

p
且
q

正面词语 至多一个 至少有一个 至多
n
个
否定词语 至少两个 一个也没有
至少
n?1
个
(3)命题“
p?q
”与“
p?q
”的否定
①
?
?
p?q
?
?
?
?p
?
?
??q
?
；
非
p
且非
q
非
p
或非
q

②
?
?
p?q
?< br>?
?
?p
?
?
?
?q
?
．
(六)量词与命题
1．全称量词
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑 中通常叫做全称量词，并用符号“
?
”
表示．
2．全称命题
含有 全称量同的命题，叫做全称命题．全称命题就是形如“对
M
中的所有
x
，有< br>p
?
x
?
成立”的命题，用符号简记为
?x?M,p
?
x
?
．
3．存在量词
短语“有一个”或“有些”或“至少有一 个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻
辑中通常叫做存在量词，并用符号“
?
” 表示．
4．特称命题(存在性命题)
含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)， 用符号简记为
?x
0
?M,p
?
x
0
?
．
5．全称命题与特称命题的否定
命题 命题的否定
?x?M,p
?
x
?

?x?M,q
?
x
?

?x?M,?p
?
x
?

?x?M,?q
?
x
?

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
解题方法荟萃
Ⅰ．数学思想方法
思想方法 (一)转化与化归思想
在处理问题时，把待解决或 难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或
较易解决的问题，最终解决问题，这就是转化 与化归思想．转化后的新问题与原问题实质一
样时，这样的转化我们叫它等价转化．
(二)数形结合思想
(三)分类讨论思想
(四)反证法
(1)反证法是 常用的间接证法之一．它的实质是当证明“若
p
，则
q
”感到困难时，改证命题“若
p
，则
?q
”不成立．
(2)反证法证题的步骤： 第一步，假设结论的反面成立；第二步，从这个假设出发，推

理论证，得出矛盾；第三步 ，由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论正确．由于反证法是很
有用的方法，所以应当学会使用反证法来 证明用直接法证明感到困难的问题，在立体儿何中
经常使用这种方法．证明否定形式的命题也经常用反证 法．
Ⅱ．解题规律技巧
规律技巧 (一)应用互为逆否命题的等价性解题
由于 原命题与它的逆否命题等价，即具有相同的真假性，在直接证明原命题有困难时，
可以考虑证明与它等价 的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法．
(二)利用集合关系判断充要条件
设与p
相应的集合为
A?xp
?
x
?
，与
q
相应的集合为
B?xq
?
x
?
，则有如下结论：
(1) 若
A?B
，则
p
是
q
的充分条件，若
A
( 2)若
B?A
，则
p
是
q
的必要条件，若
B
(4)若
A
????
B
，则
p
是
q
的充 分不必要条件；
A
，则
p
是
q
的必要不充分条件； (3)若
A?B
，则
p
与
q
互为充要条件(也称等价条 件)；
B
且
BA
，则
p
既不是
q
的充分 条件，也不是
q
的必要条件．
(三)全称命题与特称命题的真假判定方法
要判定全称命题“
?x?M,p
?
x
?
”是真命题，必须对限定集合
M
中的每一个元素
x
验
证
p
?
x
?
成立；若要判定全称命题“
?x?M,p
?
x
?
是假命题 ，只要能找出某一个
x?x
0
?M
，使得
p
?
x< br>0
?
不成立即可(举反例法)．
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集 合
M
中，能找到一个
x?x
0
，使得
p
?
x
0
?
成立即可；如果在集合
M
中，使
p
?
x
?
成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．
Ⅱ．易混易错辨析
易混易错 (一)分不清条件的充分性与必要性而致误
在利用充分条件、必要条件解题时，常因弄反条件的充分性与必要性致错．
(二)对命题的否定与否命题区别不清而致误
命题的否定只否定命题的结论，不否定命题的条 件，而否命题既要否定命题的结论，又
要否定命题的条件．
高考命题研究
命题、逻 辑联结词与充要条件在高考中的考查，以命题的基本概念及充要条件为主，重
点考查命题真假的判定、充 要条件的判定，考题多为选择题．另外，高考中这部分知识也可
以和其他知识如函数、方程、不等式、数 列、解析几何等相结合在知识交汇点处命制综合性
大题，以考查学生分析问题和解决问题的能力．
全称命题、特称命题的否定及其真假判断也是高考的热点．
高考热点 (一)命题的四种形式与关系及其真假判断
结合其他章节内容来考查命题的概念及其真假判断是常考题，应加以重视．
(二)充要条件的判定
充要条件的判定，重在“从定义出发”，利用命题“若
p，则
q
”的真假进行区分，具
体解题时，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”， 防止南辕北辙．
(三)含有逻辑联结词的命题的真假判断
判断含有逻辑联结词的命题的真假 关键是理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，利
用真值表判断命题的真假．
(四)全称命题与特称命题(存在性命题)的真假判断
要判断全称命题“
?x?M, p
?
x
?
”是真命题，需要对集合
M
中每个元素
x
，证明
p
?
x
?
成立；如果在集合
M
中找 到一个元素
x
0
，使得
p
?
x
0
?
不成立，那么这个命题就是假命题．要
判断特称命题“
?x
0
?M,q?
x
0
?
”是真命题，只需在集合
M
中找到一个元素< br>x
，使
q
?
x
?
成
立即可；如果在集合M
中，使
q
?
x
?
成立的元素
x
不存 在，那么这个特称命题就是假命题．

(五)全称命题与特称命题(存在性命题)的否定
附录 常用公式定理
1．常用符号

p?q
——
p
或
q

p?q
——
p
且
q


?p
——非
p

?
——任意
?
——存在
A?B
——
A
是
B
成立的充分条件
B?A
——
A
是
B
成立的必要条件
A?B
——
A
是
B
成立的充要条件
A?B
，
B?A
——
A
是
B
成立的充分不必要条件
A ?B
，
B?A
——
A
是
B
成立的必要不充分条件
A?B
，
B?A
——
A
是
B
成立的充要条 件
2．常用结论
(1)原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题先进价．
(2)原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆．
(3)原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否．
(4)在
p
或
q
命题中，一真为真．
(5)在
p
且
q
命题中，一假为假．
(6)非
p
命题，与命题
p
的真假相反．
(7)全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．