高中数学必修1、必修4模块教学评价手册(交...

数 学
Ⅰ 学习水平及标准
一、知识水平及标准
知识是指《普 通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课
程及选修课程中的数学概念 、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想
方法，还包括按照一定程序与步骤进行运 算，处理数据、绘制图表等基本技能。
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能在相关情景中进行识别。
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。
掌握：要求较为系统 地掌握知识的内在联系及不同知识之间的区别，并能解决综合性较
强的问题。
二、能力水平及标准
能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能 力、数据处理能力
以及应用意识和创新意识。
(一)空间想像能力：能根据条件作出正确 的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地
分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、 组合；会运用图形与图表等手段
形象地揭示问题的本质。
(二)抽象概括能力：抽象概括 能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，
发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中 ，概括出一些结论，并能应用于解决问题或
作出新的判断。
(三)推理论证能力：中学数 学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命
题，论证某一数学命题真实性初步的推理能力 。
(四)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的
条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
(五)数据 处理能力：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问
题有用的信息，并作出判断 。数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整
理、分析，并解决给定的实际问题。 < br>(六)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、
生产、 生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、
整理和分类，将实 际问题抽象为数学问题；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能
用数学语言正确地表达和说明。 主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将
现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并 加以解决。
1 22

(七)创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵 活地应用所学的数学知识、思想方法，
选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究， 提出解决问题的思路，创
造性地解决问题。
三、学习内容水平及标准
学习内容水平 及标准是以中华人民共和国教育部制订的《普通高中数学课程标准》为依
据，结合普通高中课程标准实验 教科书（人教A版）和我市教学实际情况而制订的。学习内
容的水平及标准在表中用罗马数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 标出。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别对应知识水平标准的了
解、理解和掌握。学生的能力要求蕴含其中并与之大致对应 ，不再另外标出。


《数学1》
《数学1》是高中数学课程五个必修模块 的基础模块。本模块的学习内容是学生学习其
他模块的基础，因此它有着举足轻重的地位和作用。在本模 块中，学生将学习集合、函数概
念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。
集合 语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内
容。高中数学课程只将 集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有
关的数学对象，发展运用数学语言进 行交流的能力。
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依
赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
学 生将学习指数函数、对数函数、幂函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用
函数概念建立模 型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思
想理解和处理现实生活和社会 中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，
体会函数与方程的有机联系。
学习内容水平及标准
第一章 集合与函数概念
标题
集合的
含义与
表示
集合间
的基本
集合的含义
元素与集合的”属于”关系
列举法、描述法及三种语言表示集合
子集与真子集
集合之间包含与相等
具体内容
要
求
Ⅰ
Ⅰ
说明
能用自然语言、图形语言、集合语言（列举
Ⅱ
法或描述法）描述不同的具体问题.
Ⅰ
Ⅱ

2 22

关系
集合的
基本运
算

全集与空集概念
并集与交集运算
补集概念
利用Veen图进行运算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
运算.
能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及
提高 要求的知识点：（1）新课标大纲在本部分提高了数学语言（自然语言、图形语言、
集合语言）考查要求 ；（2）突出几何直观，提高了韦恩（Venn）图的考查要求.（3）将原
与传统
大纲比较
来“了解包含、相等关系的意义”提高为“理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定
集合的子集.”
降低要求的知识点：传统教材是先定义全集再定义补集，新教材要求理解在给定集合
中一个子集的补集的含义，考纲也降低了考查要求：“会求给定子集的补集.”
集合与对应语言刻画函数
构成函数的要素
函数的
有关概
念
Ⅱ
Ⅰ
通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量
之间的依赖关系的重要数学模型．
定义域和值域 Ⅱ
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的
定义域和值域.
图像法、列表法、解析法表示函数
简单的分段函数
函数的
表示法
映射概念
函数的单调性、最大（小）值及几何意
义
用定义证明简单函数的单调性
函数的奇偶性
Ⅰ
函数.
函数的
基本性
质
Ⅱ
会运用函数图象理解和研究函数的一些简
Ⅱ
Ⅱ
单性质.
会求简单二次函数在闭区间上的最大（小）
二次函数在闭区间上的最值 Ⅱ

值.
Ⅱ
Ⅱ
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当
的方法（ 如图像法、列表法、解析法）表示
二次函
数

第二章 基本初等函数（Ⅰ）

标题
指数函分数指数幂
具体内容
要
求
Ⅱ

3 22
说明

数
无理指数幂
幂的运算
指数函数的概念
指数函数的单调性
指数函数图像通过特殊点
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
的图像，探索指数函数的一些简单性质.
结合指数函数了解简单函数图象的平移变

能借助计算器或计算机画出具体指数函数
简单函数图象的平移变换 Ⅰ
换．
指数函数模型的实际背景
对数的概念及对数运算性质
Ⅰ

Ⅱ
通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对
简化运算的作用；了解对数在简化运算中的
作用.
用换底公式将一般对数转化成自然对
数或常用对数
Ⅰ
对数函
数
对数函数的概念
对数函数的单调性
对数函数图像通过特殊点
对数函数模型的实际背景
指数函数
y?a
x
Ⅱ
Ⅱ
能借助计算器或计算机画出具体对数函数
Ⅲ
Ⅰ
只须了解指数函数
y?a
与对数函数
Ⅰ
x
的图像，探索对数函数的一些简单性质.
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数
幂函数的概念（只涉及以下函数
y?log
a
x
互为反函数
(a?0,a?1)
.
结合函数
1
Ⅰ

y?x,y?x,
y?x,
y ?,y?x
2
的图像，
x
2
1
幂函数
y?x,y ?x,y?x,
y?,y?x
x
23
3
1
）
简单函数图象的翻折、对称变换

（
f(|x|),|f(x)|
）
Ⅰ
了解它们的变化情况.
只须了解简单函数图象的简单变换．
结合指数函数、对数函数等模型了解简单的
抽象函数 Ⅰ
抽象函数．

第三章 函数的应用

标题 具体内容
要
求
4 22
说明

求解一元二次不等式
一元二次方程根的存在性、根的个数以
及根的分布
Ⅱ
会求解简单的一元二次不等式．
Ⅱ
① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存
在性及根的个数.
简单二次不等式恒成立
函数与
方程
函数的零点与方程根的联系
Ⅰ
② 根据具体函数的图像，能够用二分法求
相应方程的近似解.
Ⅱ
根据具体函数的图像 ，能够借助计算器用二
分法求相应方程的近似解，了解这种方法是
求方程近似解的常用方法．
用二分法求方程的近似解 Ⅱ
指数函数、对数函数以及幂函数的增长
特征
直线上升、指数增长、对数增长等不同
函数类型增长的含义
Ⅰ
①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增
Ⅱ
长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长
等不同函数类型增长的含义.
函数模
型及其
应用
函数模型（如指数函数、对数函数、幂
函数、分 段函数等在社会生活中普遍使
用的函数模型）的广泛应用
②了解函数模型（如指数函数、对数函数、
Ⅰ
幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用
的函数模型）的广泛应用.
收集生活中的函数实例，小组合作写有关函
实习作业 Ⅰ
数概念的小论文，在班级中进行交流．
提高要求的知识点：（1）在实际情境中会选择恰当的 方法（如图像法、列表法、解析
法）表示函数；（2）了解简单的分段函数并能简单应用；（3）会运用 函数图像理解和研究
与传统
大纲比
较
函数的性质；（4）了解实数指数幂的 意义；（5）知道指数函数是一类重要的函数模型；（6）
知道对数函数是一类重要的函数模型；（7） 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数；（8）理解最大（小）值及其几何意义.
新增知识点：（1）幂函数；（2）函数与方程（函数的零点与方程根的联系；用二分
5 22

法求方程的近似解）；（3）函数模型及其应用（了解函数模型如指数函数、对数 函数、幂
函数、分段函数等在社会生活中的广泛应用.
降低要求的知识点：（1）反函数；（ 2）奇偶性由原来“掌握判断一些简单函数的奇偶
性的方法”


《数学4》
在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。
三角函 数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具
有重要的作用。在本模块 中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数
在解决具有周期变化规律问题中的作用 。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种
工具 ，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面
向量及其运算的意 义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算
能力和解决实际问题的能力。
三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在
本模块中 ，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角
恒等变换公式，并能运 用这些公式进行简单的恒等变换。

学习内容水平及标准
第一章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
标题
任意角的概念
任意角
和弧度
制
任意角
三角函
数
终边相同角的表示
弧度制的概念
弧度与角度的互化．
具体内容
要
求
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
说明
能进行弧度与角度的互化.
任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 Ⅱ

三角函数线
6 22
Ⅱ

同角三角函数的基本关系式 Ⅱ
能借助单位圆中的三角函数线推导出
三角函
数诱导
公式
诱导公式；能利用单位圆中的三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式 Ⅲ
线推导出< br>?
?
?
,
??
?
的正弦、余弦、
2
正切的诱导公式.
正弦函数、余弦函数的图象
周期函数
正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调
性、对称性和最大（小）值
Ⅱ
Ⅰ
会用五点法作正弦函数、余弦函数的图
Ⅲ
象；能画出
y?si nx,y?cosx,
y?tanx
的图
像；理解正弦函数、余弦函数在区间[0，< br>三角函
正切函数的图象及性质
数图象
与性质
Ⅱ
2π]的性质（如单调性、最大值和最小
值与 x 轴交点等）；理解正切函数在
区间
(?
?
,
?
)
的单调性.
22
函数y?Asin(
?
x?
?
)
的图象及物理意义
Ⅱ
能画出
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像．
Ⅰ
A、
?
、
?
对函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像变
化的影响
体会三角函数是描述周期变化的重要
三角函
数模型
简单应
用
函数模型；了解三角函数是描述周期变
三角函数解决一些简单实际问题 Ⅱ
化现象的重要函数模型，会用三角函数
解决一些简单实际问题.
提高要求的知识点： （1）强化了单位圆在三角函数中的工具性，要求能利用单位圆中
与传统
大纲比
较 < br>的三角函数线：①能推导出
?
?
?
,
??
?
的正弦、余弦、正切的诱导公式，②画出
2
y?sinx,y?cosx,y?tanx的图像，③认识三角函数的周期性；（2）了解三角函数是描
述周期变化现象的重要函数模型，会用 三角函数解决一些简单实际问题.
7 22

降低要求的知识点：（1）删 除了“了解余切、正割、余割的定义”.（2）将原来“掌握
同角三角函数的基本关系式”降低为“理解 同角三角函数的基本关系式：
sin
2
x?cos
2
x?1,
sinx
，删除了倒数关系tan
α
cot
α
=1；（3）将原来 “掌握正
?tanx
”
cosx
弦、余弦的诱导公式”从变为掌握
?
2
?
?
,
?
?
?
的正弦、余弦、正切的诱 导公式.（4）将原
来“了解周期函数与最小正周期的意义”降低为“了解三角函数的周期性”，对最小 正周期
的意义不作要求. (3) 将原来“会用五点法画函数
y?Asin(
?x?
?
)
的简图”变为“能画出
，将原来“理解
A，ω，φ的物理意义”拓展为“了解函数
y?Asin(
?
x?
?
)的图像”
y?Asin(
?
x?
?
)
的物理意义，了解 参数
A,
?
,
?
对函数图像变化的影响.”

第二章 平面向量

标题
平面向
量基本
概念
具体内容
向量的实际背景
平面向量的概念，单位向量、相等向量及共线
向量的含义
向量的几何表示
向量的加法、减法运算
要
求
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅲ

说明
平面向
向量的加法、减法运算的几何意义
量的线
向量数乘运算及其意义
性运算
向量线性运算的性质及其几何意义
平面向量的基本定理及其意义
平面向
量基本
定理及
坐标表
示
平面向量的正交分解及其坐标表示
掌握平面向量的正交分解及其坐标表
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 Ⅲ
示，会用坐标表示平面向量的加法、减
法与数乘运算，理解用坐标表示的平面
平面向量共线的 坐标表示 Ⅱ
向量共线的条件.
平面向量数量积的含义及其物理意义 Ⅱ
Ⅰ
能运用数量积表示两个向量的夹角，会
平面向
量数量
积
平面向量的数量积与向量投影的关系
平面向量数量积的坐标表达式及运算
向量夹角的数量积表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
Ⅲ
用数量积判断两个平面向量的垂直关
Ⅲ
Ⅲ
系.
8 22

①会用向量方法解决某些简单的平面
平面向
量应用
举例
几何问题.
平面向量简单应用 Ⅱ
②会用向量方法解决简单的力学问题
与其他一些实际问题.
提高要求的知识点：（1）将原来“掌握向量加法和减法的运算”拓展为“ 掌握向量
加法、减法的运算，并理解其几何意义.” （2）增加了“理解两个向量相等的含义.”（3 ）
对向量的线性运算的性质及其几何意义提出了“了解”层次的考查要求.（4）对平面向量的
数量积考查方向的界定更具体，如理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向
量的数量积与向 量投影的关系等.（5）将原来“了解用平面向量的数量积可以处理有关角度
与传统
大纲比较
和垂直的问题”提高为“能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向
量的垂直关系”.(6)提高了对向量的应用的考查：会用向量方法解决某些简单的平面几何问
题；会 用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
降低要求的知识点：（1）将原来“掌握线段的 定比分点公式，并且能熟练运用”以及
“掌握平移公式”降为不作要求；（2）将原来“掌握向量的几何 表示”降低为“理解向量
的几何表示”.（3）将“掌握平面两点间的距离公式”前置到《平面解析几何 初步》.

第三章 三角恒等变换

标题
两角和
与差的
正弦、
余弦、
正切公
式
简单的
三角恒
等式
具体内容
两角差的余弦公式
正余弦辅助角公式及应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
要
求
Ⅱ
Ⅱ
说明
经历用向量的数量积推导出两角差的
Ⅲ
余弦公式的过程，进一步体会向量方法
Ⅱ
的作用.
能运用上述公式进行简单的恒等变
简单的三角恒等式 Ⅱ
换（包括导出积化和差、和差化积、半
9 22

角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
提高要求的知识点：（1）改变了传 统的两角差的余弦公式推导方法，要求“会用向量
的数量积推导出两角差的余弦公式”.（2）提高了对 三角变换公式之间的逻辑关系的考查，
与传统
大纲比
较
要求“了解它们的内在联系”.
降低要求的知识点：删除了“会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx
arctanx表示”.
Ⅱ 命题要求
以考生的数学基础知识、基本技能及基本的 数学素养为测试重点，按照“考查基础知识
的同时，注重考查能力”的原则，考查考生理解基本的数学概 念、定理、法则及数学结论的
本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，学会运用所学知识分析和解决一 些实际问题。
Ⅲ 考试形式与试卷结构
一、答卷方式：闭卷、笔试
二、考试时间为120分钟。试卷满分为150分。
三、题型分数比例：
1．选择题（Ⅰ卷）：约40%
2．非选择题（Ⅱ卷）：约60%
四、难度值：0.65～0.70
五、试题难易比例：
容易题 约60%
中等难度题 约30%
难题 约10%

Ⅳ 题型示例
一、选择题
1．已知全集
U?{x|1?x?7,x?Z}
，< br>A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}
，则
?

U
(AUB)?
( )
（A）
{2,4}
（B）
{1,3,5,6,7}
（C）
{6}
（D）
{1,2,3,4,6,7}

命题立意：考查集合的基本运算．
10 22

解：
QU?{1,2,3,4,5,6,7}
，
AUB?{1,2,3,4,5,7}
，
??
U
(AUB)?{6 }
，选C．
2．已知向量
a?(2,1),a?b?(1,k)
，若
a?b
则实数k等于（ ）
（A）
1
（B）3 （C）
?7
（D）
?2

2
命题立意：考查向量垂直条件及数量积运算．
解：
Qa?b?(1,k)?b?(?1,k?1)
，
a?b??2?k?1?0?k?3
选B．
3．函数
f(x)?lnx?x?3
的零点所在的区间是（ ）
（A）(0,1) （B）(1,2) （C）(2,3) （D）(3,4)
命题立意：考查函数零点存在定理．
解：
f(1)??2?0,f(2)?ln2?1?0
，选B．
二、填空题
2
1．函数
f(x)?log
2
(1?x)
的定义域为
2
命题立意：考查对数函数定义域及简单二次不等式解法．
解：由
1?x? 0??1?x?1
得函数
f(x)
的定义域为
(?1,1)
． 2．函数
f(x)?sin(x?
2
1
2
?
)
的单调递减区间为：
3
命题立意：考查复合函数单调性，三角函数单调区间求法．
?1?3??7??x??2k????4k??x??4k?
，
k?Z
，得函数
f(x)
的单调递
223233
?7?
减区间为：
[?4k?,?4k?]( k?Z)
．
33
uuuur
uuuruuur
1
3．如图 ，四边形OADB为平行四边形，
OA?a,OB?b,
又
BM?BC
，试用
a,b
表示
OM?

3
解：由
2k ??
uuuur
1
uuur
1
uuur
1
解：Q
BM?BC?BA?(
a
?
b
),

366
uuuuruuuruuuur
115
?OM?OB?BM?b?(a?b)?a?b
．
666
三、解答题
命题立意：考查平面向量基本定理及平面向量的几何运算．
1．已知函数
f(x)? Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0,?
（1 ）求函数
f(x)
的表达式；
（2）若
f(
值．
??
?
?
?)
一个周期的图象如图所示．
22
?
?
?
7?1
?)?f(?)?
，且
?
为锐角，求< br>sin
?
?cos
?
的
26265
命题立意：考查三 角函数图像基本性质，三角函数诱导公式及同角
三角函数基本关系及应用．
解：（1）从图知，函(0数的最大值为
1
，则
A?1

11 22

函数
f(x)
的周期为
T?4?(< br>而
T?
??
?)??
,
126
??
?
，则
?
?2
,
??
时，
y?0
，∴
sin(2?(?)?
?
)?0
，
66
???
而
??
?
?
，则
?
?
，
223
?
∴函数
f(x)
的表达式为
f(x)?sin(2x?)
．
3?
?
?
7?3?1
（2）
Qf(?)?f(?)?sin
?
?sin(
?
?)?sin
?
?cos
?
?< br>．
2621225
24
平方得：
2sin
?
cos
?
?
．
25
49
．
?(sin
??cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?< br>?
25
Q
?
为锐角，
?sin
?
?cos< br>?
?0
．
7
∴
sin
?
?cos
?
?
．
5
又
x??
2．某企业今年拥有资产100万元，由于企业不断引进新技术，学习先进 的管理方法，更新经营理
念，多层次多模式等方式经营企业，从而提质增效，使资产年增长率达到12. 2%，回答下列问
题：
（1）写出该企业总资产
y
（万元）与年份
x
（年）的函数关系；
（2）求10年后该企业的资产总数（精确到0.1万元）；
（3）大约多少年后该企业拥有资产将超过150万元（精确到1年）．
10
（参考 数据：
1.122?3.162,log
1.122
1.5?3.52
）
命题立意：考查函数应用问题中的指对数函数模型．
解：（1）一年后该企业总资产为：y?100?100?12.2%?100(1?12.2%)
．
2年后该企业总资产为 ：
y?100(1?12.2%)?100(1?12.2%)?12.2%?100(1?12.2% )
．
如此下去，
x
年后该企业总资产为：
y?100(1?12. 2%)
．
（2）10年后该企业总资产为：
y?100(1?12.2%)?100 ?1.122?316.2
（万元）．
（3）设
x
年后该企业总资产达到1 50万，即
100(1?12.2%)?150
．
解得
x?log
1.122
x
1010
x
2
150
?log
1.1 22
1.5?
3.52．
100
故4年后该企业拥有资产将超过150万元．
2
x
1)时，
f(x)?
x
3．
定义在
[?1,1]
上的奇函数
f(x)
，在
x?(0，
，且
f(?1)?f(1)
．
4?1
12 22

（1）求
f(x)
的解析式；
（2）讨论函数
f(x)
的单调性；
（3）求
f(x)
的值域．
命题立意：综合考查函数的基本性质，利用函数 的奇偶性有分段函数的表达式，复合函数单调性的判
断方法，利用单调性求函数值域．
解：< br>f(x)
是
[?1,1]
上的奇函数，
?f(0)?0
．
又
f(1)?f(?1)??f(1)?f(1)?f(?1)?0
．
2< br>?x
2
x
2
x
?
x
?f(x)??
x
当
?1?x?0
时，
?x?(0,1)
，
f(?x)?? f(x)?
?x
．
4?14?14?1
?
2
x
x ?(0,1)
?
4
x
?1
?
?
?f(x)?
?
0x?{?1,0,1}
．
?
2
x
?
?x
x?(?1,0)
?
?
4?1
2
x
?
（2）当
x?(0，1)
时，
f(x)?
x
4?1
11
2
x
?
x
2
．
令
u?2
，则
u?(1,2)
，而
y?u?
x
1
在（1，2）上递增 ，
?f(x)
在
(0,1)
上递减．
u
又函数
f (x)
是奇函数，所以
f(x)
在
(?1,0)
上递减．
（3）
Q
函数
f(x)
在
(0,1)
均上递减，
?f(0)?f(x)?f(1)
，即
12
?f(x)?
．
25
21
?f(x)??
．
52
Q
函数
f(x)
在
(?1,0)
均上递减，
?f(?1)?f(x)?f(0),< br>即
?
x?{?1,0,1}
时，
f(x)?0
．
综上所述，函数
f(x)
的值域为
(?,?)U(,)U{0}
．
1
2
2
5
21
52
13 22

Ⅴ 样卷
高一上期数学样卷
（不含数学4第三章）
(全卷满分为15O分，完成时间为12O分钟)
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上 ，并用钢笔或圆珠
笔将密封线内的项目填写清楚。
2．每小题选出答案后，用铅笔把 答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，
再选涂其他答案，不能答在试题卷上 。
一、选择题（每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1,2,7
?
，则
AIB?
1. 已知集合
A?{1, 3,5,7}
，
B?
?
1,7
?
C.
?
2,3
?
D.
2,3
A.
?
1,2,3,5,7
?
B.
?
2．
sin(?
16?
)?

3
A.
33
11
B.
?
C. D.
?

22
22
3．已知角
?
为三角形的一个内角，且满足
sin
?
tan
?
?0
,则角
?
是
A、第一象限角 B、第二象限角 C、 第三象限角 D、第四象限角
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
4．化简
AC?
BD?
CD?
AB
得
uuur
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0

5．下列各等式中，正确的是
A.
a
=
?a
B.
(?2)?
6

4
4
2
3
?2
C.
10
(2?1)?(2?1)
D.
a
0
?1

5
1
2
6．已知
f( x)
是定义在R上的单调递减的函数，则满足
f(2x?1)?f()
的
x< br>的取值范围是
1
3
2
?
1
???
?1
??
2
?
A.
?
??,
?

B.
?
,??
?

C.
?
??,
?

D.
?
,??
?

3
?
3
??
3
??
3
?
??
7．要得到函数
y?3si n(2x?
?
)?2
的图象只需将函数
y?3sin2x
的图象
4
??
A．向左平移个单位，向下平移2个单位 B．向右平移个单位，向上平移2个单位
44
14 22

C．向左平移
??
个单位，向下平移2个单位 D．向右平移个单位，向上平移2个单位
88
8. 甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自 行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，
最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比 乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快.
若某人离开A地的距离s与所用时间t的函数 关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、
乙各人的图象只能是

A.甲是图①，乙是图② B.甲是图①，乙是图④
C.甲是图③，乙是图② D.甲是图③，乙是图④
?x?2
(x??1)
?
2
9．已知
f(x)?
?
x

(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
的值是
?
2x
(x?2)
?
3
3
A．1 B．1或 C．
?3,
D．
3

2
2
?
10． 已知向量
a
与
b
夹角为，
|a|
＝2，
|b|＝1，那么
|a?4b|
等于
3
A、
23
B、2 C、6 D、12
11．已知函数
f(x),g(x)
分别由下表给出：
x

4
7
5
6
6
4
7
5

x

3
7
4
6
5
5
6
4
f(x)


g(x)

满足
g[f(x)]?f[g(x)]
的
x
的值可以是
A．3 B．4 C．5 D．7
12．函数
f(x)?lg(sinx?a)
的定义域为
R
，且存在零点，则实数
a
的取值范围是
A、
?
1,2
?
B、
?
1,2
?
C、
?
2,3
?
D、
?
2,3
?












15 22

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（每小题4分，共计16分，把答案填在题后的横线上）
13．函数
f( x)?a
x?1
?2(a?0,a?1)
的图象经过一个定点Q，则Q点的坐标是 ．
14．用二分法求
f(x)?0
的近似解，
f(1)??2,f(1.5 )?0.625,f(1.25)??0.984,

f(1.375)??0.260
，下一个求
f(m)
，则
m
= ．
15．已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
则该函数图象的对称中 心为 ．
)(
?
?0)
的最小正周期为2
?
，
6
16．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f(x)
图象恰好经过
n
个格点，则
称此函数为
n
阶格 点函数．给出以下函数：
x?1
①
f(x)?x
；②
f(x)?l n|x|
；③
f(x)?()?3
；④
f(x)?
2
12
2x?3
．
x?2
其中所有满足二阶格点函数的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本题满分12分)
uuuruuuruuur
设
e
1< br>,e
2
是两个不共线的向量，
AB?2e
1
?ke
2
,CB?e
1
?3e
2
,CD?2e
1
?e
2
，若A
、
B
、
D三点共线，求
?
和
k
的值．










18. (本题满分12分)
设函数
f(x)?sin(2x ?
?
)(???
?
?0)
，
y?f(x)
图像的一 条对称轴是直线
x?
（Ⅰ）求
?
；
（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调递增区间．







16 22
?
．
8

19．（本小题满分12分）
已知函数
f(x )?log
a
(1?x),g(x)?log
a
(x?1)(a?0,且a? 1)
．
（Ⅰ）求函数
F(x)?f(x)?g(x)
的定义域；
（Ⅱ）若函数
G(x)?f(x)?g(x)
，
b,c?(?1,1)
，求证 ：
G(b)?G(c)?G
?
?
b?c
?
?
．
?
1?bc
?














20．（本小题满分12分）
季节性服装的销售当旺季即将来临时，价格呈上升趋势，设某服 装开始时定价为10元，并且每周（7
天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后 当季节即将过去时，平均每周减价2元，
直到16周末，该服装已不再销售．
（Ⅰ）试建立价格P与周次t之间的函数关系式；
?
（Ⅱ）若此服装每件进价Q与周 次t之间的关系为
Q??0.125(t?8)?12
，
t?
?
0, 16
?
，
t?N
，试
2
问该服装第几周每件销售利润最大？ 最大值是多少？
（注：每件销售利润=售价-进价）

















17 22

21. （本小题满分12分）
已知向量
a?(sinx,1),b?(1,cosx)
，函 数
f(x)?a?b
．
（Ⅰ）求
f()
的值；
（Ⅱ）当
a?b
时，求
g(x)?
?
4
sin(??x)?5cos (2??x)
的值；
3?
sin(?x)?4sin(?x)
2
2
，求
sin
?
的值．
2
（Ⅲ）设
?
∈( 0，
?
)，
f(
?
)?















22．（本小题满分14分）
2
x
已知定义在[－1，1]上的 奇函数
f(x)
，当
x?(0,1]
时，
f(x)?
x．
4?1
（Ⅰ）求函数
f(x)
在[－1，1]上的解析式；
（Ⅱ）试用函数单调性定义证明：
f(x)
在
(0,1]
上是减函数； < br>（Ⅲ）要使方程
f(x)?x?b
在[－1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．













18 22

参考答案
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1.B； 2. A； 3. B； 4.D； 5.C； 6.D； 7.C； 8.B； 9.D； 10.A； 11.C； 12.B.
二、填空题：（每小题4分，共计16分）
13.
(1,?1)
； 14. 1.4375 ； 15.
(k??
三 解答题（本大题共6小题，共计74分）
17．解：
Q
BD?CD?CB?2
e
1
?
e
2
?
?
e
1
?3
e
2
?
?
e
1
?4
e
2
. ……4分
?
,0)(k?Z)
； 16. ②④.
6
uuu ruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
若
A
，
B< br>，
D
三点共线，则
AB与BD
共线，
?设AB?
?< br>BD
，即
2e
1
?ke
2
?
?
e< br>1
?4
?
e
2
.
由于
e
1
与e
2
不共线
可得：
?
18.解：（Ⅰ）
Qx?
?
2e
1
?
?
e
1
故
?
?2,k??8
． ……12分
?
ke
2
??4
?
e
2
?
?是函数y?f(x)
的图像的对称轴，
?sin(2??
?
)??1.
8
8
??3?
??
?
?k??,k?Z.

Q???
?
?0,?
?
??.
……6分
424
3?3?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
?
??
，∴< br>y?sin(2x?)
．
44
?3??
由题意得
2k???2x??2k??,k?Z.

242
3
?
?5 ?
∴函数
y?sin(2x?)的单调增区间为[k??,k??],k?Z.
……12分
488

19
．
解：（Ⅰ）由
?
?< br>1?x?0
得?1?x?1
．
?
1?x?0
∴函数
F(x)
的定义域为
(?1,1)
． ……4分
（Ⅱ）
G(x)?f(x)?g(x)?log
a
1?x
．
1?x
G(b)?G(c)?log
a
1?b1?c(1?b)(1?c)1?bc ?b?c
?log
a
?log
a
?log
a
．…… 8分
1?b1?c(1?b)(1?c)1?bc?b?c
b?c
?
b?c
?
1?bc
?log
1?bc?b?c
． 又
G
? ?
?log
aa
b?c
1?bc?b?c
?
1?bc
?
1?
1?bc
1?
?
b?c
?
?G(b)?G (c)?G
??
，等式成立． ……12分
?
1?bc
?
19 22

t??
0,5
?
?
10?2t
?
20．解；（Ⅰ）
P?
?
20

t?
?
5,10
?
． ……5分
?
40?2t
t?
?
10,16
?
?
（Ⅱ）当
t?
?
0,5
?
时，L?10?2t?0.125(t?8 )
2
?12,
t=5时，
L
max
=9.125元． ……7分
当
t?
?
5,10
?
时，L? 20?0.125(t?8)
2
?12
，t=6或10时，
L
max
=8.5元． ……9分
当
t?
?
10, 16
?
时,L?40?2t?0.125(t?8)
2
?12
，t= 11时，
L
max
=7.125元． ……11分
?
第五周每件销售利润最大，最大值为9.125元．
21.解：（Ⅰ）
?f(x)?sinx?cosx
，
?f(
?? ?
4
)?sin
4
?cos
4
?2.


?

tan

x

?

?

1

（Ⅱ）
Qa?b?0?sinx?cosx?0
．
?
g(x)?
sinx?5cosx
?cosx?4sinx
?tanx?5
?1?4tanx
??
4
5
．
（Ⅲ）
?f(
?
)?sin
?
?cos
?
?
2
2
， …（1）
两边平方得：
1?2sin
?cos
?
?
1
2
?2sin
?
cos
?
??
1
2
．
?(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?
32
.

又
sin
?
cos
?
?0,?
?
?(
?
2
,
?
)?sin
?
? cos
?
?0.

?sin
?
?cos
?
?
6
2
． …（2）
（1）+（2）得
sin
?
?
2?6
2
．
?
?
2
x
4
x
?1
????(0?x?1 )
?
22．解：（Ⅰ）
f(x)?
?
?
0???????? ????(x?0)?
．
?< br>?
?
?
2
x
x
??(?1?x?0)
?4?1
（Ⅱ）证：任设
0?x
1
?x
2
?1
， 则
20 22
……12分
……4分
……8分
……12分
……4分

f(x)?f(x
2
x
1
2
x
2
(2
x
1
?x
2
?1)(2
x
2
?2
x
1
)
12
)?
4
x< br>?1
??
4
x
2
?1
??
(4
x< br>．
1
?1)(4
x
2
?1)
Q0?x
1< br>?x
2
?1
，
?2
x
1
?x
2< br>?1?0,2
x
2
?2
x
1
?0
．
(2
x
1
?x
2
?1)(2
x
2
?2< br>x
1
?
)
(4
x
1
?1)(4
x< br>2
?1)
?0
，即
f(x
1
)?f(x
2< br>).

∴
f(x)
在
(0,1]
上是减函数.．
（Ⅲ）记
g(x)?f(x)?x
，则
g(x)
为
(0,1 ]
上的单调递减函数．
∴
g(x)?[g(1),g(0))?g(x)?[?3
,
1
52
)
．
∵
g(x)
在[－ 1，1]上为奇函数，∴当
x?[?1,0)
时
g(x)?(?
1
,
3
25
]
．
又
g(0)?0
，
∴ g(x)?[?
3
,
3
]
，即
b?[?
3,
3
5555
]
．

21 22
……8分
14分


……

附：样题双向细目表

学习内容 测试水平
1.1集合
第一章
1.2函数及其表示
集合与函数概念
1.3函数的基本性质
数
2.1指数函数
学
1
第二章
2.2对数函数
基本初等函数（Ⅰ）
2.3幂函数
第三章
函数的应用
3.1函数与方程
3.2函数模型及其应用
1.1任意角和弧度制
1.2任意角的三角函数
第一章
1.3三角函数的诱导公式
基本初等函数Ⅱ（三
1.4三角函数的图象与性质
角函数）
数
学
4
第二章
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量
2.4平面向量的数量积
2.5平面向量的应用举例
合计



4

84
5

50


16
9

150
4 4 8
1.5函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
1.6三角函数模型的简单应用
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.2平面向量的线性运算
5
5
5
4








5
5
5
4
8 8 16
4 4
5
4
6
5
5


6

4

6



5
10
12
5
9
6 6 5 17
4 4 8
5 4 9
9 5 14
了解 理解 掌握 合计
5 5
22 22