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普陀区高中数学新教材各章节教学设计指导手册(精)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:49
tags:高中数学手册

高中数学如何补起来-高中数学怎么学 视频

2020年10月6日发(作者:路坯)


普陀区高中数学新教材各章节教学设计指导手册
第5章

章节内容















三角比
课时数建议

2
2
2
4
4
3
2
2
小计:21
备注










5.1任意角及其度量

5.2任意角的三角比

5.3同角三角比的关系和诱导公式

5.4两角和与差的余弦、正弦和正切

5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切

5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形

各单元习题及作业评讲

小结与测试


教学设计指导思想
上海二期课改02年开始在上海 的各市重点中学实施,06年在全市全面实施,
目前将迎来他们的第一届毕业生。虽然许多数学教育专家 和一线教师们都在尽最
大的努力来促进新课改良好地实施,但它在上海是一个新生事物,同时在国外引< br>进且适合本市的可借鉴之处也比较少,因此在这短暂的两年多时间内,新课程数
学教学还无法发展 完善,还没有达到预期的目标,在教学中暴露出了很多有待解
决的问题,比如如何适应数学教材内容结构 的改变、如何选择适当的数学内容进
行研究性学习、如何培养学生的数学素养等等。三角比历来是高中数 学的重、难
点之一,在新课程标准下它依然承担这样的角色,随着新课程改革的深入,如何
尽快 适应新教材中三角比的教学,就成为教师首先要研究的问题。

知识目标与重难点
1.任意角:
(1)初步懂得以运动的观点观察角的形成过程,知道实际中存在超出
0~360

角;
(2)理解任意角和象限角的概念,会判断一个角所在的象限;
(3)掌握终边重合的角的一般形式与集合表示法;
(4)通过对任意角、象限角和终边重合 的角这些概念地学习,提高观察、比较、
分析、概括等能力.
2.弧度制:
(1)理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数;
(2)了解角的集合与实数集
R
之间可以建立起一一对应的关系;
(3)掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题;
(4)在理解弧度制定义的基础上,领会弧度制定义的合理性;
(5)通过学习,理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辩证统
一的.

1


3.任意角的三角比:
(1)掌握任意角的正弦、余 弦、正切的定义,了解如何利用与单位圆有关的有向
线段,将任意角
?
的正弦、余弦、 正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示
出来;
(2)了解余切、正割、余割的定义;掌握 正弦、余弦、正切等三角比对角
?
的条
件要求;
(3)体会同一角三角比的 值,不因在其终边上取点的变化而变化,从而启示在研
究问题时,要能在千变万化中,抓住事物的本质属 性,不被表面现象所迷惑;
(4)根据任意角的正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割的定义,掌握 这些三角
比的值在各象限的符号;并能根据角
?
的某种三角比值的符号,反馈出
?
可能
存在的象限;
(5)掌握诱导公式一,会运用它们把求任意角的正弦、余弦 、正切值分别转化为

?
0,2
?
?
的这三种三角比的值。
4.同角三角比的关系和诱导公式:
(1)复习巩固三角比的定义;
(2)由三角比的定义,找出同角三角比的基本关系;
(3)理解同角公式是特定意义下的恒等式;
(4)会简单应用同角公式;
(5)掌握诱导公式的推导方法和记忆方法;
(6)会运用这些公式求解任意角的三角比的值 ,会由三角比的值,求特殊角,并
会化简简单三角比的关系式;
(7)通过公式的探求与应用初步形成思维的严密性;
5.两角和与差的余弦、正弦、正切:
(1)探求两角和与差的余弦公式的推导,经历公式建立的过程,并在此过程中,
进一步形成严 密而准确的数学思维方法;
(2)初步掌握公式,并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问
题;
(3)应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中,进一步掌握变
量替换的思想方法 ,渗透用已知解决未知问题的化归数学思想;
(4)初步掌握两角和与差的正弦公式,并能应用于求值、化简以及三角恒等式的
证明; (5)通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用,体会知识之间的有机联
系,激发学习数学 的兴趣;
(6)熟悉两角和与差正切公式的推导,知道公式成立的条件,理解公式的形式特
征;
(7)初步了解公式的作用,能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证
明;
(8)在公式的推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的能力;
(9)应用两角 和与差的正、余弦公式推导辅助角公式,了解公式的形式以及辅助
角的意义.能较为熟练的使用辅助角公 式,从中体会公式的作用.
(10)在推导的过程中,进一步提高对比、分析和知识运用的能力,逐步 形成从具
体到一般的抽象思维以及化归的数学思想.
6.二倍角与半角的正弦、余弦和正切:

2


(1)掌握二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式及其推导过程;
(2)能根 据
sin
2
?
?cos
2
?
?1
,将二倍 角的余弦公式改写成以下形式:
cos2
?
?2cos
2
?
?1

cos2
?
?1?2sin
2
?

(3)能正确运用上述公式化简三角式,求某些角的三角比及证明三角恒等式。
?
(4)能根据所在的象限正确选取公式中的正负号;
2
(5)学生自己推导万能置换公式;
(6)通过以上公式的推导,使学生了解公式 之间的内在联系,从而培养学生推导
公式的能力以及辩证唯物主义观点。
7.正弦定理、余弦定理和解斜三角形:
(1)进一步理解任意三角形的边角数量关系,经历 余弦定理的推导过程,掌握余
弦定理;并会运用余弦定理解三角形;
(2)经历正弦定理的推 导过程;理解任意三角形的边角数量关系,掌握运用正弦
定理解三角形;通过对正弦定理的探索和证明, 感受数学论证的严谨性;
(3)掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法,会利用解任意三角 形的
知识解决一些实际问题;
(4)能够在解斜三角形应用过程中,灵活地选择正弦定理和余弦定理;
(5)通过解斜三角 形应用举例进一步学会将实际问题转化为数学问题,用数学方
法解决实际问题的能力;
(6)体会知识来源于实际生活,数学知识在实际生活中的应用,从而形成学习数
学的兴趣.

教学重点:任意角的概念、掌握终边重合角的表示方法;理解弧度制引入的必要
性, 掌握定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互化;任意角的三角比的
定义;任意角的正弦、余弦、正切在 各象限内的符号及诱导公式一;同角
公式的推导与应用;诱导公式;两角和与差的余弦公式、正弦公式、 正切
公式的推导及应用;辅助角公式的形成、理解;二倍角公式的推导及运用;
具有双重符号的 半角公式中符号的选择以及综合运用公式进行化简、求值
和证明三角恒等式;余弦定理、正弦定理的推导 及其应用;用正弦定理、
余弦定理解斜三角形问题。

教学难点:终边重合的角的一 般形式与集合表示法;弧度制定义的理解;用单位
圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值;任意角 的正弦、余弦、正
切在各象限内的符号及诱导公式一;三角比符号的确定及公式的变形应
用;诱 导公式的灵活应用;两角和与差的余弦公式、正弦公式、正切公式
的推导及应用;辅助角公式的形成、理 解;二倍角公式的推导及运用;具
有双重符号的半角公式中符号的选择以及综合运用公式进行化简、求值 和
证明三角恒等式;余弦定理、正弦定理的推导及其应用;用适当的方法解
斜三角形及计算问题 。

教材分析与教学建议

3


一、新旧教材的对比
1.课程结构与内容安排上的变化
(1)三 角比的内容在在原课程中是整体的一章,而在新课程中分为“三角比”
与“三角恒等变换”共两章。在新 课程中删去了原课程中“已知三角值求角”,
增加了“三角比的简单应用”和“简单的三角恒等变换”。
(2)比较新旧课程发现有两个重要知识点的定义方式、推导方式不同。第一是
对“任意角的三 角比”的定义。尽管旧课程通过锐角三角比推广到任意角的三角
比,但锐角三角比与任意角的三角比并没 有特殊与一般的关系。新课程中由用单
位圆中的坐标表示锐角三角比推广到用单位圆中的坐标表示任意角 的三角比,不
仅简单、方便,而且能反映本质,有利于后面数形结合地讨论三角比的性质。第
二 是对两角和与差的余弦公式的推导方式。
(3)原课程只是纯粹阐述三角比知识。新课程在此基础上以 恰时恰点的问题
引导数学活动,通过“观察”“思考”“探究”等栏目,提出恰当的、对学生思维
有适度启发的问题,引导学生的思考与探究活动,切实改进学生的学习方式。
2.教学要求的变化
原课程中对“三角比”的部分要求是:
(1)教学参考时间是23课时。
(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式, 通过公式的推导,了解他们的内在联系,从而培养逻辑推理能力。能
正确运用三角公式进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明。
新课程中对“三角比”的要求是:
(1)教学参考时间总共是21课时。
(2)能借助计算器或计算机画出
y?Asi n(
?
x?
?
)
的图象,观察
A

?
?

对函数图象变化的影响。
(3)会用三角比解决一些简单实际问题,体会三角比是描述周期变化现象的
重要函数模型。
由此可以看出,新课程对三角比内容提出了更高的要求,不仅要求掌握基本
的概念、公式、定理 ,还进一步提出了对数学兴趣的培养、对数学思想的运用意
识的加强、对数学知识与现实生活的紧密联系 的体会。
3.课程关注点的变化
原课程中比较关注三角公式及其变式的灵活运用,往往把侧 重点放在运算上。
而新课程中则同时也关注运用三角比的性质解决一些生活中呈周期变化的实际
问题;侧重点放在对三角比的理解和实际应用上。

二、教学中应注意的几个问题和教学建议
原课程中三角比的内容侧重点放在运算上。而新课程在原有三角比内容的基
础上,强调学生通过 对三角比有关公式、定理、性质的探究,加深对三角比知识
的理解。这就要求在教学过程中,突出三角比 的作用和数学量化思想,发挥学生
的学习主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创 造过程。
因此在教学中应注意以下问题。
1.要恰当地安排课堂教学课时
我们通过 上面的分析已经知道在内容没有很大变动,但教学任务增加的情况
下,新课程比原课程缩小了2个参考课 时,这对教师们如何按时顺利地完成教学

4


任务确实是一个很大的 挑战。结合新课标的教学要求,能够合理地安排好课时,
可以从以下几方面考虑:
(1)培养 学生良好的自主学习、探索习惯。新课标指出:学生的数学活动不
应只限于接受、记忆、模仿和练习,应 倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅
读自习等学习数学的方式,通过各种不同形式的自主学习、探索 活动,不但能让
学生体验数学发现和创造的历程,培养他们的数学思维能力和创新意识,而且可
以大大减少课堂的教学时间。因此,我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景,
逐渐培养学生的自主学习 、自主探索等学习习惯。比如“任意角的三角函数”、
“两角差的余弦公式”可以安排学生课前自主探究 ,“二倍角的正弦、余弦、正
切公式”可以安排学生课前自主学习,教师认真收集反馈信息,在课堂上与 学生
着重整理重、难点。这样不但节约课时,而且达到了新课标的要求。
(2)灵活采用各 种教学方法和手段。教师在教学过程当中,对不同性质的教
学内容和不同的目标,设计不同的教学方法可 以提高课堂效率、减少课时。例如:
“弧度制”可以采用有意义的接受学习,“三角函数的诱导公式”宜 采用发现教
学法,“正切函数的图象与性质”可以采用自主学习法等等。
(3)练习题不宜作 太多的扩充。在新课标数学三角比内容这部分,教材本身
已经很全面地提供了大量的练习题、习题、思考 题,只要能够完成这些题目,是
可以达到教学目标的,因此不必另外增加题目,忌搞太多的难题和怪题, 以免影
响宝贵的教学课时。
2.要重视探究和推理
新课标对三角函数的许多知识点 提出了探究要求。因此建议在教学中,既要
重视从特殊到一般的探索学习过程的教学,又要重视数学理性 思维的培养。教学
中不要直接命题、定理、公式进行证明,可通过学生的自主合作探究,揭示它们
的规律,发现结论,然后再从理论上进行证明。从中发现和探索数学知识的思想
方法。
3.要重视综合应用
新课标有一要求是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题 ,
引导学生学习从实际问题中发现周期变化规律,并将所发现的规律抽象为恰当的
三角比模型。 建议在三角比的应用教学中,多注意让学生完成教材相应的题目,
提高学生综合应用知识解决问题的能力 。
4.要重视研究性学习
三角比的内容有较强的应用性和研究性,可为学生提供丰富的研究 性素材。
建议在教学内容的设计上探索开放,在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、
开放 性的问题,让学生自行探索解决。
典型例题或课堂练习题补充
1.在扇形
AOB< br>中,
?AOB?90
,弧长为
l
,则此扇形内切圆的面积是
_ ______

2.若
?
是第二象限的角,且
cos
?< br>2
??cos
?
2
,问
?
是第几象限角?
2
3.已知
cos
?
?
4
,且
?
为第四象 限的角,求
?
的其他三角比的值;
5

5


4.运用两角和的正切公式,求
1?tan75
的值;
1? tan75
5.已知
?ABC
的三边分别为
a

b

c
,如图所示建立平面直角坐标系.
(1)写出顶点
A
的坐标( 用
c

B
表示)和顶点
C
的坐标(用
a
表 示);
(2)利用
AC?b
,证明:
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
.



y
A
O
B
C
x

6

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