普通高中学业水平考试知识手册(数学)

普通高中学业水平考试知识手册
一、学业水平标准与考试说明
1、学业水平标准

2、考试说明

二、考点归纳
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.元素与集合的概念
（1）一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集
合，简称集.
（2）集合常用大写英文字母A、B、C、
D
…表示，元素常用小写英文
字母a、b、 c、d…表示
2.集合中元素的性质
性质
确定性
特征
设A 是一个集合，a是某一具体对象，则a或者是A
的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
集合中的元素是互不相同的，相同的元素只能算作一
个，不能重复.
集合中的元素无先后次序之分.
定义
把集合的元素一一列举
出来，并用大括号{ }
1
互异性
无序性
表示方
法
列举法
3.集合的表示方法
适用对象
①元素个
数不多；②
表现重点 特点
集合外延 直观
明了

括起来表示集合的方法
称为列举法.
描述法 将 所给集合中全部元素
的共同特征和性质用文
字或符号语言描述出来
的方法称为描述法.
记法
a∈A
读法
a属于A
元素个数
多但有规
律
元素的特
征清晰
集合内涵 抽象
概括
4.元素与集合的关系
关系类型
属于
不属于
意义
a是集合A的元素
A不属于A A不是集合A的元素
aA
5.集合的分类
根据集合中元素个数分为有限集（元素个数有限）、无限集（元素
个 数无限）、空集（元素个数为0）.
6.常用数集的符号
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N
*
或N
+
；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
7.子集与真子集
集合关系
图形
定义

一般地，对于两个集合A、B，
如果集合A中任何一 个元素都
是集合B中的元素，我们就说
这两个集合有包含关系，称集
合A为集合B的子 集.
2
子集 真子集

如果集合A是集合B的子集，
并且B中 至少有一个元素不属
于A，那么集合A叫做集合B
的真子集.

记法与读
法
性质
记作：AB（或BA），读作
记 作AB或BA，读作“A
“A包含于B”（或B包含A）. 真包含于B”或“B真包含A”．
①AA，②A， ①A（A不为空集），
③如果AB，BC， 则AC.
②如果AB，BC，则AC.
n
注意：若集合
A
有
n(n ?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2
n
?1
个
真子集，它有
2?1
个非空子集，它有
2?2
非空真子集.
8.集合相等
如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（B
A ），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与
集合B相等，记作A=B.
9.空集
不含任何元素的集合叫做空集，用来表示，规定空集是任何集合
的子集.
图
用平面上封闭图形的内部表示集合的方法称为Venn图
11.交集
图形
nn

定义
记法与读法
性质
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的
集合，称为A与B的交集.
记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝
①A∩B=B∩A；②A∩A=A；
③A∩
?
=
?
∩A=
?
；④若AB，则A∩B=A.
3

12.并集
图形

定义
记法与读法
性质
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成
的集合，称为集合A与集合B的并集，
记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.
①A∪B=B∪A；②A∪A=A；
③A∪
?
=
?
∪A=A；④如果AB，则A∪B=B.
13.全集与补集
图形

如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于 A的
元素构成的集合，叫做A在U中的补集，简称集合A
的补集
记作
性质
U
A，即
U
A=｛x|x∈U
定义
记法与读法
且x
?
A｝.
①A∪
③
U
（
U
A=U；②A∩
U
A=
?
；
U
A）=A.
14.集合的运算律
（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
（2）结 合律：（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；
（3）分配律： A∩（B∪C）= （A∩B ）∪（A∩C），A∪（B∩C）
= （A∪B ）∩（A∪C）.
15.集合运算的常用方法
4

解集合问题时，常考虑列举法、数形 结合法（数轴、Venn图）、补
集思想（正难则反）
1.2函数
1.函数的定义
一般地，设A、B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f，使对于集合A中的任意一 个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的 一个函
数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的
定义域， 函数值的集合｛f（x） |x∈A｝叫做函数的值域.
2.函数的三要素
定义域
对应法则
值域
自变量x的取值范围.
对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”.
函数值的集合.
3.函数定义域的计算
函数定义域是构成函数的重要组成部分，若已知函数的解析式，
那么求函数的定义域是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范
围．常见的有以下几种情况：
函数形式
f(x)是整式
f(x)是分式
f(x)二次根式
定义域
实数集R
使分母不等于零的实数的集合
使根号内的式子不小于零的实数的集合
f（x）由几部分的式子构成 使各部分式子都有意义的实数的集合
4.函数值域的意义
（1）函数的值域和最值是在定义域上研究的，闭区间上的连续函数必
有最大值和最小值；
（2）函数值域的几何意义是对应函数图象上纵坐标的变化范围.
5.相同函数的判断
函数的定义域和对应法则确定后，值域随之确定.所以要判定两个
5

函数是否相同，只需看两个函数的定义域和对应关系是否完全一致，
若完全一致就是同一函数，若不完全 一致，就不是同一函数.
6.分段函数
函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系 不是只满足一
个式子，而是在不同范围内有不同的对应关系，这样的函数关系称为
分段函数. 分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，分段函
数是一个函数而不是几个函数.
7.区间
区间的含义、名称、符号及几何表示如下表：
定义
｛x|a≤x≤b｝
｛x|a＜x＜b｝
｛x|a≤x＜b｝
｛x|a＜x≤b｝
｛x|x≥a｝
｛x|x＞a｝
｛x|x≤a｝
｛x|x＜a｝
R
名称
闭区间
开区间
半开半闭区
间
半开半闭区
间





符号
［a，b］
（a，b）
［a，b）
（a，b］
［a，+∞）
（a，+∞）
（－∞，a］
（－∞，a）
（－∞，+∞）
数轴表示








取遍数轴上所
有值
8.映射
（1）一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一
确定的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B
的一个映射.
6

（2）映射中的对应包 括“一对一”和“多对一”，不包括“一对
多”或“多对多”.
9.函数的表示方法
表示函数常用的方法有解析法、列表法、图象法，具体表述如下：
表示方法
解析法
定义
用数学表达式
表示两个变量
之间的对应关
系，这个表达式叫做函数的解
析式，这种表达
函数的方法叫
解析法.
通过列出自变
量与对应函数
值来表达函数
关系的方法叫
做列表法.

通过函数图象
表示两个变量
之间的关系的
方法.

优点 缺点
函数关系清楚，有些函数很难
容易从自变量用解析式表示．
的值求出其对
应的函数值，便
于用解析式来
研究函数的性
质．
不必通过计算函数解析式的
就知道当自变体现有时不明
量取某些值时显．
函数的对应值．
列表法
图象法 能直观形象地
表示出函数的
变化情况，更能
体现数形结合
的思想．
变量的值依赖
于图象的精
度．不利于精确
计算．
10.函数图象
函数图象的基本作法：描点法、图象变换法
（1）描点法：其步骤为列表、描点、连线 （2）图象变换法：利用基本函数图象，经过翻折、平移、对称、伸缩
等变换作出响应函数的图象.
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”
7

的直观性，它是探求解题途径的重要工具，体现了数形结合思想．

1.3函数的基本性质
1.增函数与减函数

定义
增函数 < br>一般地，设函数f（x）
的定义域为I.如果对
于定义域I内某个区
间D上的任 意两个自
变量的值x
1
、x
2
，当
x
1
＜ x
2
时，都有f（x
1
）
＜f（x
2
），那么就说 函
数f（x） 在区间D上
是增函数.
函数值随自变量的增
大而增大.
减函数
一般地，设函数f（x）
的定义域为I. 如果对
于定义域I内某个 区
间D上的任意两个自
变量的值x
1
、x
2
，当
x
1
＜x
2
时，都有f（x
1
）
＞f（x
2
），那么就说函
数f（x）在区间D上
是减函数.
函数值随自变量的增
大而减小.
函数值的变化趋势
图象形状

不等式表示 对区间M内的任意两
数x
1
、x
2
，都有

对区间 M内的任意两
数x
1
、x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
.
x
1
?x
2
8
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
.
x1
?x
2
注意：在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和

是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数
为减函数．
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函
数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
3.单调性的证明
依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值.即设x
1
、x
2
是该区间内的任意两个值且x
1
＜x
2
.
（2 ）作差变形.求f（x
2
）－f（x
1
），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.
（3）定号.根据给定的区间和x
2
－x
1
的符号确定f（x
2
）－f（x
1
）
的符 号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.
（4）判断.根据单调性定义作出结论.
即取值——作差变形——定号——判断.
4.函数的最值
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）；
（2）存在x
0
∈I，使得f（x
0
）=M，那么，我们称M是函数y=f（x）
的最大值（ 或最小值）.
5.奇偶性
函数类型
奇函数
定义
一般地，如 果对于函数f（x）
的定义域内任意一个x，都有f
（－x）=－f（x），那么函数f
（x）就叫做奇函数.

图象
9

偶函数 一般地，如 果对于函数f（x）
的定义域内任意一个x，都有f
（－x）=f（x），那么函数f（x）< br>就叫做偶函数.

注意：（1）因为x∈D，－x∈D，所以奇偶函数的定义域必关于原点对
称. 因此在判断函数奇偶性时先看定义域是否关于原点对称，再看（－f
x ）与f（x）的关系.
（2）函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四
类.
（3）若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
．
（4）在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶
函数（或奇函数）， 两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，
一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
6.奇偶函数的图象特征
（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数 的
图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）偶函数的图象 关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y
轴对称，则这个函数是偶函数.
7.单调性与奇偶性的关系
奇函数在
y
轴两侧相对称的区间上增减性相同， 偶函数在
y
轴两
侧相对称的区间上增减性相反．
8.简单复合函数的单调性
对于复合函数
f
?
g(x)
?
，其单调性遵循“同增异减” 的规律，即
若
f(x)
与
g(x)
单调性相同，则复合函数
f
?
g(x)
?
是增函数；若
f(x)
与
g(x)
单调性相反，则复合函数
f
?
g(x)
?
是减函数．
10

第二章 基本初等函数
2.1 指数函数
1.方根的定义与性质
（1）方根的定义与性质
定义


性质
如果存在实数x，使得
x
n
=a（a∈R，n＞1，n∈N） ，则
x
叫
做a的n次方根.
（1）正数a的偶次方根有两个，即±
n
a

（2）负数没有偶次方根
（3）正数a的奇次方根是正数，负数a的奇次方根是负数，
都表示为
n
a

（4）0的n次方根都是0
（5）正数a的正的n次方根叫做a的n次算数根
（2）根式的定义与性质
定义
当
n
a
有意义时，式子
n
a
叫做根式，n叫根指数 ，a叫被开方
数


性质
?
a,n为奇数
n< br>?
n
（1）
a?
?

?
a(a?0)
?
a?
?
?a(a?0)
,n为偶数
?
?
（2）
(a)?a
?
n?1,n?N
?

n
n
2.分数指数幂
?
（1）分数指数幂：a
n
=
n
a
m
（a≥0，n、m∈N
*
，n≥2），a
n
=
1
（a＞0，
mm
m
a
n
n、m∈N
*
，n≥2）．
（2）零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂无意义.
11

3.有理指数幂的运算法则
设a＞0，b＞0，α、β∈Q，则
a·a=a
αβ
α
αβα
+
β
αβ


α
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方，等于乘方的积
（a）=a
（ab）=a·b
α
4.指数函数
一般地，函数y=a
x
（a＞0且a≠1，x∈R ）叫做指数函数，其中x
是自变量.
注意：（1）当a≤0或a=1时，不是没有意义，就 是没有研究的必要，
故规定a＞0且a≠1.
－
（2）y=3·2
x
，y=2
x1
，y=2
x
+1等，是由指数函数经过某种变换而得到
的，它们都不是指数函数.
5.指数函数的图象与性质
指数函数y=a
x
在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下
表所示：

a＞1 0＜a＜1
图象

（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
性质
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数，
当x＜0 时，0＜y＜1；
当x＞0时，y＞1
（4）在R上是减函数，
当x＜0 时，y＞1；
当x＞0时，0＜y＜1


6.底数对指数函数的影响
（1）在y轴的右侧，对同一变量x而言，底数越大，函数值越大 ；在
y轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x而言，底数越大，函数
12

值越小.
（2）在同一坐标系给出如下四个指数函数的图象，作直线x=1与
四个图象交于四个点，可得四个纵坐标为各指数函数的底数a、b、c、
d，由此可得底数的大 小关系为a＞b＞1＞c＞d＞0 .


2.2 对数函数
1.对数的定义、性质与对数恒等式
定义
性质
对数恒
等式 < br>一般地，如果a
x
=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的
对数，记 作x=log
a
N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（1）零和负数没有对数；（2）1的对数等于0；
（3）底的对数等于1.
b
对数恒等式：（1） a
log
a
N
=N；（2）
log
a
a?b
.

2.常用对数与自然对数
名称
常用对数
自然对数
定义
当底数a=10时，对数log
a
N叫做常用对数.
在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…
为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.
符号
lgN
lnN

3.对数的运算法则
运算名称
积的对数
运算法则
log
a
MN=log
a
M+log
a
N
13
语言描述
两个正因数积的对数等于同

一底数的各因数 对数的和．该
法则可以推广到若干个正因
数积的对数
商的对数
log
a
M
=log
a
M－log
a
N
N
两个正数商的对数等于同一
底数的被除数的对数减去除
数的对数
正数幂的对数等于幂指数乘
以同一底数幂的底数的对数
幂的对数

4.换底公式
log
a
M
n
=nlog
a
M（n∈R）
（1）换底公式：log
a
b=
log
c
b
（a＞0，a ≠1，c＞0，c≠1，b＞0）.
log
c
a
（2）换底公式的推论：换底公式的三个推论：
m
log
a
b； log
a
b·log
b
a=1.
n
推广：log
a
b·log
b
c·log
c
d·…·log
e
a =1.
5.对数函数
一般地，函数y=log
a
x（a>0，a≠1）叫 对数函数，其中x是自变量，
函数的定义域是（0，+∞）.
注意：只有形如y=log< br>a
x（a>0，a≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像
y=log
a
（x+1），y=2log
a
x，y=log
a
x+3等函数，它们是由对 数函数变化
而得到的，都不是对数函数.
6.对数函数的图象与性质
对数函数y= log
a
x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和
性质如下表所示：




log
a
n
b
n
=log
a
b； log
a
n
b
m
=
14

y
a＞1
x=1
y
0＜a＜1
x=1
图象
O
y
=log
a
x
(a＞1)
(1,0)x
(1,0)
Ox
y
x
=log
a
(0＜a＜1)

定义域
值域
（0，+∞）
R
（1）过点（1，0），即x=1时，y=0

性质
（2）在（0，+∞）上是增函
数，
（3）当0（4）当x＞1时，y＞0

在（0，+∞）上是减函数，
当x＞1 时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0

7.反函数的定义与性质
当一个函数是单调函数时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我
们称这两个函数互为反函数.
8.对数函数与指数函数的关系
（1）指数函数y=a
x
（a>0，且a≠1 ）在R上是单调函数，它的反函
数是对数函数y=log
a
x（a>0，且a≠1），反之对数函数的反函数是指
数 函数.
（2）指数函数与对数函数对照表:
名称
一般形式
定义域
值域
指数函数
y=a
x
（a>0，a≠1）
（－∞，+∞）
（0，+∞）
对数函数
y=log
a
x（a>0，a≠1）
（0，+∞）
（－∞，+∞）
15

函数值变
化情况 ?
?1(x?0)
?
x
?
?1(x?0)
当a>1时， a
?
?1(x?0)
?
当0x
当a>1时 ，log
a
x
?
?0(x?1)
?
?
?0(x?1 )

?
?0(0?x?1)
?
当a>1时，log
a
x
?
?1(x?0)
?
?
?1(x?0)

?< br>?1(x?0)
?
?
?0(x?1)
?
?
?0(x? 1)

?
?0(0?x?1)
?
单调性

当a>1时，y=a
x
是增函数； 当a>1时，y=log
a
x是增函数；
当0x
是减函当0a
x是减函
数 数

y=a
x
与y=log
a
x的图象关于直线y=x对称 图象
9.底数对函数值大小的影响
（1）从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个 图象都
是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a>1时，图象向下与y轴的负半
轴无限靠拢， 在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x
而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0 ）的左侧，函数值恒小于
0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；
（2）当0的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值
越大，在点（1，0）的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，
底数越大，函数值越小；
（3）对于对数函数y=log
a
x，当y=1时，x= a，而a恰好又是对数函数
的底数，所以可作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好
就是对数函数的底数.
16

y
1
y
=log
2
x
y
=log
3
x
1
1
3
2
O
1
23
x
y
=log
1
x
3
y
x
=log
1
2

2.3幂函数
1.幂函数的概念
α
一般地，形如y=x（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自 变量，α
是常数.其特征是以幂的底数为自变量，指数为常数．
2.幂函数的图象与性质
一些常见幂函数的图象与性质如图表：


定义域
值 域
奇偶性
y=x
R
R
奇
y=x
2

R
［0，+∞）
偶
17
y=x
3

R
R
奇
y=x
［0，+∞）
［0，+∞）
非奇非偶
1
2
y=x
1

－
（－∞，0）
∪（0，+∞）
（－∞，0）
∪（0，+∞）
奇

单调性

（0，+∞）
增
（－∞，0）)


增 增
（0，+∞）
（－∞，0）

定 点
（0，0），（0，0），
（1，1） （1，1）
（0，0）， （0，0），
（1，1） （1，1）
（1，1）

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
1.函数的零点
使
f(x)?0
的实数
x
叫做函数
y?f(x)
的零点.
2.零点的性质
所谓函数的零点，从“数”的角度看，就是求
f(x)?0
的点；从
“形”的角度看，就是函数
f(x)
的图象同x轴的交点.特别地，若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相切， 则零点
x
，通常叫做不变号零
点.若曲线在
x?x
0
处与< br>x
轴 相交，则零点
x
0
叫做函数的变号零点.对
二次函数而 言：①二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二
重零点）时，函数值改变符号；②在相邻的两个 零点之间所有的函数
值保持同号.
3.零点存在性定理
如果函数y=f（x）在 区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（ x）在区间（a，b）内有零点，
即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x ）=0的根.
4.二分法
对于在区间
[a,b]
上连续不断，并且在它的 两个端点处的函数值异号，
即
f(a)?f(b)?0
的函数，通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似 值的
18

方法叫做二分法.
5.二分法求方程的近似解
用二分法求零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间
[a,b]?D
，使
f(a)?f(b)?0
.
令
a
0
?a,b
0?b
.
（2）取区间
?
a
0
,b
0
?
的中点，
x
0
?
1
?
a
0
?b
0
?
，计算
f(x
0
)
与
f(a
0
)
.
2
①如果
f(x
0
)?0
，则x
0
就是f（x）的零点，计算终止；
②如果
f(a
0
)? f(x
0
)?0
，则零点位于区间
?
a
0
,x0
?
中，令
a
1
?a
0
,b
1
?x
0
；
③如果
f(a
0
)?f(x
0
)?0
，则零点位于区间
?
x
0
,b
0
?
中，令
a
1
?a
0
,b
1
?b
0
.
（3）取区间
?
a
1
,b
1
?
的中 点，则该中点的横坐标为
x
1
?
算
f(x
1
).
①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就 是
f(x)
的零点，计算终止；
②如果
f(a
1
)?f( x
1
)?0
，则零点位于区间
?
a
1
,x
1
?
上，令
a
2
?a
1
,b
2
? x
1
；
③如果
f(a
1
)?f(x
1
) ?0
，则零点位于区间
?
x
1
,b
1
?
上 ，令
1
?
a
1
?b
1
?
，计
2< br>a
2
?x
1
,b
2
?
；
b
1

……
（4）判断是否达到精确度
?
，即若
a?b?< br>?
，则得到零点近似值
a
（或
；否则重复步骤（2）～（4）.
b
）





6. 二次函数的零点与二次方程的实根及一元二次不等式的关系
判别式Δ Δ＞0
19
Δ=0 Δ＜0

二次函数
y=ax
2
+bx+c（a
＞0）的图象
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0的
根
二次函数
y=ax
2
+bx+c的
零点
ax
2
+bx+c＞0（a
＞0）的解集
ax
2
+bx+c＜0（a
＞0）的解集


有两相等实根
x
1
=x
2
=－

有两相异 实根x
1
、
x
2
（x
1
＜x
2
）
b

2a
没有实根
有两个零点x
1
、x
2

有一个二重零
点x
1
=x
2

没有零点
{x|x＜x
1
或x＞x
2
}
{x|x≠－
b
}
2a
R
{x|x
1
＜x＜ x
2
}


3.2函数模型及其应用
1.数学模型
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，
简称建模.
2.数学建模的步骤
建立数学模型的三个步骤：
（1）建模.抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算.对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问
题的数学意义上的解； （3）评价、解释.对求得的数学结果进行深入地讨论，作出评价、
解释，返回到原来的实际问题中 去，得到实际问题的解.
20

建模的三个步骤图示如下：


第四章 空间几何体
4.1 空间几何体的结构
1.多面体
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.围成多面体的各个多
边形叫做多面体的面.各面的边叫棱 ，棱的交点叫顶点，一般地，除底
面的边之外的棱叫侧棱.
2.旋转体
由一个平面 图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何
体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
3.简单组合体
许多几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成，这些几何体
叫组合体.
4.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

棱柱 棱锥
有一个面是多边
形，其余各面都是
有一个公共顶点
的三角形，由这些
面所围成的多面
体叫做棱 锥.
棱台
用一个平行于
底面的平面去
截棱锥，截面与
底面之间的 部
分，叫做棱台.
定义 有两个面互相平行，其
余各面都是四边形，并
且每 相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由
这些面所围成的多面体
叫做棱柱.
21

图形

表示 一般用棱柱的顶点的字
母表示 棱柱，如：六棱
柱ABCDEF－A′B′
C′D′E′F′，有时用
对角线端点字母 ，如：
长方体AC′.
分类 ①按底面边数分，底面
是三角形、四边形、五
边形……的棱柱分别叫
做三棱柱、四棱柱、五
棱柱……
②按侧棱与底面是否垂
直分，侧棱与底面垂直
的棱柱叫直棱柱，不垂
直的叫斜棱柱.特别地，
底面是正多边 形的直棱
柱叫做正棱柱.

棱锥也用表示顶
点和底面的字母
表示， 如四棱锥S
—ABCD，三棱锥
A—BCD,三棱锥B
—CDA.

棱台用表示下
上底的字母表
示，如棱台可表
示为棱台ABCD
—A′B′C ′
D′.

底面是三角形、四
边形、五边形……
的棱锥分别叫做< br>三棱锥、四棱锥、
五棱锥……
特别地，底面是正
多边形，侧棱都相
等 的棱锥叫正棱
锥，它的所有侧面
都全等.棱长都相
等的四面体叫正
四面体，它 的四
个面都是全等的
正三角形.
①底面是多边形；
②侧面是有一个
公共顶点的三角
形；③侧棱相交于
顶点.
22
由三棱锥、四棱
锥 、五棱锥……
截得的棱锥分别
叫三棱台、四棱
台、五棱台……
性质 ①两个 互相平行的面是
底面;②侧棱互相平行
且相等;③侧面是平行
四边形;④与底面平行< br>的截面是与底面全等的
①棱台的侧棱
相交于一点，否
则，一定不是棱
台 ；②棱台上下
底面是相似多

多边形;⑤与侧棱平行
的截面是平行四边形 .
边形，且相互平
行；③棱台的侧
面是梯形；④过
棱台的侧棱的
截 面是梯形.

5.圆柱、圆锥、圆台的结构特征

定义
圆柱
以矩形一边所
在直线为旋转
轴，其余三边旋
转形成的曲面
所围成的几 何
体叫做圆柱.
圆锥
以直角三角形的一
条直角边所在直线
为旋转 轴，其余两
边旋转形成的曲面
所围成的几何体叫
做圆锥.
圆台
用平行于圆锥
底面的平面去
截圆锥，底面与
截面之间的部
分叫圆台.
圆台还可以看
作由一个直角
梯形绕与底边
垂直的腰旋转
形成的
S
图形
O
1
A
B
H
O
2
B


A
O

表示 圆柱用表示它圆锥的表示也是用
的轴的字母表表示轴的 字母，如
示，如圆O
1
O
2
. 圆锥SO.
与圆柱的底面平行底面的截面都
23
圆台用上下底
面的圆心表示，
如圆台OH
平行底面的截性质

平行的截面是
圆，与轴平行的
截面是矩形.
是圆，轴截面是全
等等腰三角形.
面都是圆，轴截
面是全等等腰
梯形.

6.球
一个半圆 周绕它的直径所在直线旋转一周形成的曲面，叫做球面，球
面围成的几何体叫球体，简称球.半圆的圆心 叫球心，半圆的半径叫球
的半径，半圆的直径叫球的直径.如下图，O为球心，AB为直径.
A
O
O
1
B
C

注意：球面也可以看作空间中到一定点距离相等的点的集合.

7.球的截面的性质
球的截面有两条重要性质：一是球心和截面圆心的连线垂直于截面；
二是球心到截面的距离d与 球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：
r?R
2
?d
2
.
?
O
R
d
P
r
O
'

8.球面距离
（1）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
经 过球心的截面截得的圆叫做小圆.
（2）球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长
24

度叫做这两点间的球面距离.

4.2 空间几何体的三视图和直观图
1.平行投影和中心投影
（1）已知图形F，直线l与平面α 相交如图（1），过F上任意一点
M作MM′平行于l,交平面α于点M′,则点M′叫做点M在平面α 内关
于直线的平行投影,如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平
行投影构成图形F′ ,则F′叫图形F在平面α内关于直线l的平行投影，
平面α叫投射面，直线l叫投射线.

（2）投影线都是从投影中心出发的，所得到的投影称为中心投影.
2.三视图
定义
特征
从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.
由三视图 可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它
的长和高，左视图反映它的宽和高.因此，物体的三 视图之间
具有如下的对应关系：
①正视图与俯视图的长度相等，且相互对正，即“长对正”；
②正视图与左视图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”；
③俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”.
三视图的排列规则是:先画正视图，俯视图安 排在正视图的正
下方长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度
与正视图一样.
排列
规则

3.空间图形直观图的画法
斜二测画法的规则.
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再取Oz
25

轴，使∠xOz=90°；
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′ 、O′y′、O′z′,
使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O ′y′所
确定的平面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直 观图中分别画
成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴 的线段，在直观图中保持长度不变；
平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
4.3 空间几何体的表面积与体积
1.多面体的侧面积与体积
多面体
棱柱
棱锥
棱台
侧面积 体积
S
直棱柱侧面积
?ch

S
正棱锥侧面积
?
S
正棱台侧面积
?
V
柱
?Sh

1
V
锥
?Sh

3
1
ch'

2
1
1
(c
1
?c
2
)h'
< br>V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h
2
3


2.旋转体的侧面积与体积
旋转体
圆柱
圆锥
圆台
侧面积 体积
S
圆柱侧
?2
?
rh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h


1
V
圆锥
?
?
r
2
h

3
S
圆锥侧面积
?
?
rl
S
圆台侧面积
? (r?R)
?
l

1
V
圆台
?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

3
26

球
S
球面
?4
?
R
2

4
V
球
=
?
R
3

3

第五章 点、直线、平面之间的位置关系
5.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面
（1）平面是从生活中的平面抽象出来的，是向空间无限延展的，是理
想化的平面.
（2）特征：平面是不加定义的基本概念.平面没有大小、厚薄，它向
四周无限延展，无“边”无“沿” ，也就是说，它把整个空间（指我
们生活着的空间）分成互不连通的两部分.
（3）图形表示 ：平面可以用封闭曲线表示，习惯上用平行四边形表示，
但也可以用三角形表示，还可以用梯形表示.
（4）文字表示：平面通常用小写希腊字母表示，如平面α、平面β、
平面γ等；也可用表示平 面的平行四边形的四个顶点字母或相对顶点
的字母表示，如平面ABCD、平面AC或平面BD；或者用 表示平面的
多边形的顶点字母表示，如平面ABC.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平
面内．
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条过该点的公共直线．

3.平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示：若a∥b，b∥c则a∥c．
4.空间等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
5.异面直线
27

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.
（2）判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过
该点的直线是异面直线.
6.公理二的三个推论
推论1
推论2
推论3
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
经过两条相交直线，有且只有一个平面．
经过两条平行直线，有且只有一个平面．

5.2直线、平面平行的判定及性质
1.空间中直线与平面的位置关系
位置关系

定义
直线在平面内
当直线与平面有
无数个公共点
时，称直线在平
面内.
直线与平面相交 直线与平面平行
当直线与平面只当直线与平面没有
有一个公共点时 ，公共点时，我们称
我们称直线与平直线与平面平行.
面相交.

图形


表示 l
?
α l∩α=A l∥α

2.直线与平面平行的判定定理
定理
符号表示
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与
此平面平行.

l?
?
，m?
?
，且lm?l
?
.

3.直线与平面平行的性质定理
定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行．
28

符号表示
l
?
,l?
?
,
??
?m?lm
．

4.两平面平行的判定定理
定理
符号表示
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个
平面平行.
a?
?
，b?
?
，ab?P，a
?
，b
?
?
?< br>
?
.

5.两平面平行的性质定理
定理
符号表示
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行．
?

?
,
??
?a，
??
?b?ab
．

6.面面平行的一条重要性质
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平 行于另一个
平面．用符号表示为α∥β，a
?
α
?
a∥β．此性质由 面面平行得到
线面平行，这也是线面平行的一个判定方法．
7.线线平行、线面平行、面面平行之间的关系
两平面平行的性质定理是根据面面平行、线面 平行、线线平行的
定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和
平面与平 面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何中最基本
又最常见的一类问题.证明线面平行往往转化 为证明面面平行.线线平
行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，互相应用，即
线线平行
线面平行面面平行

由于三者之间相互沟通，相互联系，因此立体几何问题的解决往往可
以一题多解（证）. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平
29

行又可转化为线线平行， 所以注意转化思想的应用.一般地，线线关系
或面面关系都转化为线面关系来分析解决.
5.3直线、平面垂直的判定及性质
1.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面
α互相垂直，记作l⊥α.
2.直线与平面垂直的判定
定理
符号表示
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直．
m
?
?
，n
?
?
，m∩n=B，l⊥m，l⊥n
?
l ⊥
?
.

3.直线与平面垂直的性质
定理
符号表示
垂直于同一平面的两条直线平行．
a?
?
，b?
?
?ab
．
注意：如果直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直
线都垂直. 用符号表示 为
l?
?
,m?
?
?l?m
，此性质由线面垂直
得 到线面垂直，这是证明线线垂直的重要方法．
4.平面与平面垂直的判定
定理
符号表示
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
l?
?
，l?
?
?
?
?
?
．

5.平面与平面垂直的性质
定理
符号表示

30
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直．
?
?< br>?
，
??
?l，a?
?
，a?l?a?
?
．

6.空间中的角
（1）异面直线所成的角：对于两条异面直线a,b，经过空间任一点O
作直线a′∥a, b ′∥b，则把a
′
与b
′
所成的锐角或直角叫做异面直
线a与b所成 的角（或夹角）.
（2）直线与平面所成的角：直线与平面斜交时，直线上的所有点在平
面上 的射影的集合组成了一条直线，这条直线与原直线所成的角称为
直线与平面所成的角．
7.二面角及其平面角

定义


图形
从一 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的
面．
??
A
??
l
B
??
A
??
O
B

表示



平面角
?
－AB－
?
或P－AB－Q
在二面角
?
－l－
?
的棱l上任取一点O，以O为垂足在
半平面
?
、
?
内分别作垂直于棱l的射线OA、OB，则射
线OA和OB构成的∠AOB叫做二面 角的平面角．二面角
的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少
度，就说这个二面角 是多少度．
范围

?
?
0,180
?
?

31

8.空间中的距离
点到平面的距离 从平面外一点向平面所引垂线段的长叫做点到平
面的距离.
直线与平面的距离 直线与平面平 行时，直线上任一点到平面的距离
都相等，这点到平面的距离称作直线与平面的距
离．
平面与平面的距离 平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个
平面的距离称作平面与平面的距离．

9.最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角
中最小的角.
10.线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系
线线、线面、面面垂直关系的转化：
判定
性质
判定
性质
线线垂直 线面垂直 面面垂直
< br>运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其
中一个平面内一点作交线的垂 线，这样把面面垂直转化为线面垂直或
线线垂直．
第六章 直线与方程
6.1直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时，我们 取x轴作为基准，x轴正
向与直线l向上的方向之间所成的角
?
叫做直线l的倾
斜角.
32

图形
y
l
?
O
y
?
x
O
y
l
y
l
x
O
x
?
x
O
l

意义 平面直角坐标系内的每一条直线都有一 个确定的倾斜
角，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不
同的直线，其倾斜角不相等 .倾斜角直接反映了直线对x
轴正向的倾斜程度.
范围

2.直线的斜率
定义


公式
?
?
0,180
?

当直线l的倾斜角
?
不为90°时，
?
的正切值叫做这
条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.
（1）k＝tan
?
（
?
为直线的倾斜角且
?
≠90°） ；
（2）
k?
y
2
?y
1
（P
1（x
1
，y
1
），P
2
（x
2
，y< br>2
）是直线
x
2
?x
1
上的任意两点且
x< br>1
?x
2
）.
与倾斜角的
关系
一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率（倾
斜角为90°时无斜率）. 若直线斜率 ｋ＞0，则倾斜角
为锐角；若ｋ＜0，倾斜角为钝角；若ｋ不存在，倾斜
角为
90；若ｋ＝0，倾斜角为
0
.当直线斜率ｋ＞0时，
直线斜率越大，倾斜角越大；当 直线斜率ｋ＜0时，直
线斜率越大，倾斜角越大.
意义 斜率间接反映了直线对x轴正向的倾 斜程度.因此，要确
定一条直线，只要知道直线上的一个定点和它的斜率就
33

可以了.

6.2直线的方程
1.直线的方程
方程形式
点斜式
斜截式
两点式
方程
y－y
0
＝k（x－x
0
）
y＝kx＋b
不能表示的直线
斜率不存在的直线
斜率不存在的直线
斜率不存在及斜率 为0的
y?y
1
x?x
1
=（x
1
≠x
2
直线
y
2
?y
1
x
2
?x
1< br>且y
1
≠y
2
）
截距式
一般式
与坐标轴平行的直线和
xy
+=1（a≠0，b≠0）
过原点的直线
ab

Ax?By?C?0
（A，B
不同时为0）

2.两条直线平行的判定
两条不重合直线l
1
:y=k
1
x+b
1
和l
2
:y=k
2
x+b
2
(b
1
≠b
2
)，若l
1
∥l
2
，则k
1
=k
2
；
反之，若k
1
=k
2
，则l
1
∥l
2
；如果l
1
、l
2
的斜率都不存 在，由于它们的倾
斜角都是90°，所以它们也互相平行.

3.两条直线垂直的判定
（1）设直线l
1
:y=k
1
x +b
1
,直线l
2
：y=k
2
x+b
2
. 若l
1
⊥l
2
,则k
1
·k
2
=－1;反 之，
若k
1
·k
2
=－1,则l
1
⊥l
2
.特别地，对于直线l
1
：x=a,直线l
2
:y=b,由于l1
⊥x
轴，l
2
⊥y轴,所以l
1
⊥l
2.
（2）直线l
1
、l
2
的方程分别是l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0(A
1
、B
1
不同时为零)，
l
2
：A
2
x+B
2< br>y+C
2
=0(A
2
、B
2
不同时为零)，则 A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
?
l
1
⊥l
2
.

4.直线系方程
34

一般地，具有某种共同属性的所有直线的集合称为直线系，其方
程叫直线系方程，当中一般含有字母参数.
直线系类型
平行直线系

垂直直线系
方程
与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ
=0（λ≠C），λ是参变量.
与Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是
Bx－Ay+λ=0.
直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 ，直线l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 ，则
过l
1
与l
2
交点的直线系：A
1
x+B1
y+C
1
+λ
（A
2
x+B
2
y+ C
2
）=0(λ∈R).其中该式不包括直线l
2
.
过定点的直线系 y-y
1
=k(x-x
1
)(k为变量，A（x< br>1
,y
1
）为定点)
共点直线系
运用直线系方程的思路是 ：先写出满足一个已知条件的直线系方
程，根据另一个条件，找出所设参数所满足的方程，从而解出此参 数，
代回直线系方程，即得所求直线的方程.
6.3直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
（1）如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交< br>点坐标是两直线方程所组成方程组的解.
（2）把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一 解，则两条直线
相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，
此时两条直 线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共
点，此时两条直线重合.
2.距离公式
两点间的距离 平面上两点P
1
（x
1
，y
1
）、P
2
（x
2
，y
2
），那么这两< br>22
点间的距离为｜P
1
P
2
｜＝
（x
2< br>?x
1
）
.
?（y
2
?y
1
）
点到直线的距离 P（x
0，y
0
），l：Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l
的距离为
d?|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
.
35

两条平行直线间的
距离
两条平行直线l
1< br>：Ax+By+C
1
=0，l
2
：Ax+By+C
2
=0(C
1
≠C
2
),则这两条平行直线间的距离为
d?
| C
1
?C
2
|
A?B
22
.

3.对称问题
对称问题主要有以下四种：
(1)点关于点对称问题通常利用中点坐标公式.
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法来求或取特殊点.
设直线l的方程为Ax＋By＋ C=0(A
2
＋B
2
≠0)和点P(x
0
，y
0< br>)，求l关于P
点的对称直线方程.设P′(x′，y′)是对称直线l上任意一点，它关于P( x
0
，
y
0
)的对称点(2x
0
－x′，2y0
－y′)在直线l上，代入得A(2x
0
－x′)＋B(2y
0
－y′)
＋C=0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.
设P(x
0
，y
0
)，l：Ax＋By＋C=0(A
2
＋B
2
≠0)，若P关于l的对称点的坐标
Q为(x，y)，则l是PQ的垂直平分线，即 ①PQ⊥l；②PQ的中点在l
上，解方程组
A
?
y?y
0
?(?)??1,
?
B
?
x?x
0
可得Q点的坐标.
?
?
A?
x?x
0
?B?
y?y
0
?C?0,
?
22
?
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关 于直线对称的问
题.


第七章 圆与方程
7.1圆与方程
1.圆的定义
36

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
圆心A的坐标
(a,b)
，半径为
r
的圆的标准方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
3.圆的一般方程
方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，当D
2
+ E
2
－4F>0时，此方程表示以
1
DE
，－）为圆心，
2
2
2
般方程.
（－
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆，称为圆的一
注意：当D
2
+E
2
－4F =0时，方程仅表示一点（－
－4F<0时，不表示任何图形.
7.2直线、圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
DE
，－）；当D
2
+E
2
2
2
给出点
M(x
0
,y
0
)
和圆C：
(x?a)?(y?b)?r
.
点在圆上
点在圆内
点在圆外
222
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2


2.直线与圆的位置关系
直线与圆的三种位置关系
(1)直线与圆相交，有两个公 共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.

判断方法
37

位置
代数方法
将直线的方程与圆C的方程
联系，消元后得到关于x（或
y）的一元二次方程
Δ＜0
Δ=0
Δ＞0
几何方法
判断圆C的圆心到直线l的
距离d与圆的半径r的关系.
d>r
d=r
d相离
相切
相交

3.圆与圆的位置关系
位置关系
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
d>r
1
+r
2

d=r
1
+r
2

｜r
1
－r
2
｜1
+r
2

d=｜r
1
－r
2
｜
d<｜r
1
－r
2
｜
判断方法
两圆圆心距为d，两圆半径分别为r
1
、r
2


7.3空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在单位正方体
OABC?DA BC
中，以O为原点，分别以射线OA，
OC，
OD
的长为单位长，建立三条 数轴：ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴.这时我
们说建立了一个空间直角坐标系O
ｘｙｚ
，其中点O 叫做坐标原点，
ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称 为
ｘ
O
ｙ
平面、
ｙ
O
ｚ
平面、
ｚ
O
ｘ
平面.
2.空间点的坐标
设点M为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于
ｘ
轴
ｙ
轴、
ｚ
轴的平
面，依次交ｘ
轴、
ｙ
轴、
ｚ
轴于点P、Q、R.设点P、Q和R在
ｘ
轴、
38

ｙ
轴、
ｚ
轴 上的坐标分别是
ｘ
、
ｙ
和
ｚ
，那么点M就对应唯一确定的< br>有序实数组（
ｘ
，
ｙ
，
ｚ
）.反之可得，有序实数组 （
ｘ
，
ｙ
，
ｚ
）确
定平面上的相应点M.这样，空 间一点M的坐标可以用有序实数组（
ｘ
，
ｙ
，
ｚ
）来表示， 有序实数组（
ｘ
，
ｙ
，
ｚ
）叫做点M在此空间直角
坐标系中的坐标，记作M（
ｘ，ｙ，ｚ
）.其中
ｘ
叫做M的横坐标，
ｙ
叫做M的纵坐标，
ｚ
叫做M的竖坐标.
3.空间两点间的距离公式 空间两点P
1
（x
1
，y
1
，z
1
） 、P
2
（x
2
，y
2
，z
2
）的距离公式 ：
222
|PP
12
|?(x
1
?x
2
) ?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
).
4.空间中点的对称
（1）空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），则与点P 关于ｘ轴的
对称点为（x，－y，－z）；关于ｙ轴的对称点为（－x，y，－z）；关
于ｚ轴 的对称点为（－x, －y, z）；关于原点的对称点为（－x， －y，
－z）；关于ｘOｙ平面的 对称点为（x，y，－z）；关于ｙOｚ平面的对
称点为（－x，y，z）；关于ｘOｚ平面的对称点为 （x, －y, z）.
（2）规律：关于谁对称，谁的坐标不变，其余的则变为相反数.
5.中点及三角形重心的坐标
（1）已知点
P(x
1
,y
1
,z
1
)
，点
Q(x
2
,y
2
,z
2
)
，则线段PQ的中点M的
x
1
?x
2y
1
?y
2
z
1
?z
2
?
， 即点P和点Q是关于点M对称的. 坐标为
?
,,
??
222
??< br>（2）已知△ABC的顶点
A(x
1
,y
1
,z
1< br>)
，点
B(x
2
,y
2
,z
2
)< br>，
C(x
3
,y
3
,z
3
)
x1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
2
z
1
?z
2
?z
3
?
. 则△ABC的重心G的坐标为
?
,,
??
333
??




39

第八章 算法初步
8.1算法与程序框图
1.算法的相关概念
由基本运 算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要
求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样 的步骤或序列能够解决
一类问题.
2.程序框图
（1）用一些通用的图形符号构成 的一张图来表示算法，这种图就称作
程序框图（简称框图），也称作流程图.
（2）程序框图的组成
图形符号


输入、输出框
名称
起止框
符号表示的意义
表示算法程序的开始或结束.起止框是
任何程序不可少的.
需要输入、输出的字母、符号、数
据都填在框内，它用在任何需要输入或
输出的位置.

算法中处理数据需要的算式、公式等可
以分别写在不同的用以处理数据的处
理框内，另外对变量进行赋值时，也用
到处理框.
算法中需要对不同的结果进行判断时，
可将条件写在该框内.
表示算法流程进行的方向.
用来连接另一页或另一部分的框图.
40
处理框

判断框


○
流程线
连接点

3.算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的. 顺序
结构是最简单、最基 本的结构，是任何一个算法都离不开的基本结构.
它的基本形式如图所示：
顺序结构只能解决一些简单的问题.
A块
B块

顺序结构是从上而下依次执行命令，每步只执行一次，不会引 起
程序步骤地跳转．它只能解决一些简单的问题，步骤之间不能随便调
换，调换会使算法不运行 ，或出现错误．
(2)条件分支结构：在一个算法中，会遇到一些关于条件的判断，算
法的流 程根据条件是否成立有不同的流向.这种先根据条件作出判
断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件分 支结构.它的基本形式
如图所示：


条件


A块 B块



顺序结构与条件分支结构的共性：（1）一个入口，一个出口.特别注意：
一个判断框可以有两 个出口，但只有一个起作用，因此一个条件分支
41

结构在本质上（或者说在 每次执行时）只有一个出口；（2）结构中每
个部分都有可能被执行，即对每一个框都有从入口进、出口 出的路径.
(3)循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条
件，反复 执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构. 反复执行的处
理步骤称为循环体.
显然，循环结构中有关于条件的判断，因此，循环结构中必包含
条件结构.
常见的循环结构有以下两种形式：
（1）先执行处理框A，然后判断给定的条件p是否成立 ，如果条件p
不成立，则再执行A，然后再对条件p判断，如果条件p仍不成立，
再执行A，… ，如此反复执行A，直到条件p成立为止，此时不再执行
A，脱离该循环结构.（如图(1)所示）
A
A
条件
P成立吗？
否
条件
P成立吗？
是
是
否

(1) (2)

（2）当给定条件p成立时，反复执行A，直 到条件p不成立时，才停
止循环.（如图(2)所示）

8.2基本算法语句
1.赋值语句
定义
格式
功能
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做
赋值语句
变量=表达式.
将表达式所代表的值赋给变量
42

2.输入、输出语句
定义
格式
功能
实现数值的输入、输出的语句叫做输入、输出语句
输入语句的格式：INPUT“提示内容”；变量.
输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式.
输入语句实现算法的输入变量信息；输出语句将表达式
的值在屏幕上显示出来

3.条件语句
定义
格式
处理选择结构的程序语句叫条件语句
IF 条件
语句1
ELSE
语句2
ENDIF

框图
IF 条件
语句1
ENDIF



功能 根据某个给定的条件是否满足来决定所要执行的语句

4.条件语句的嵌套
定义

格式
对按条件执行的某一语句继续 按照另一个要求进行判断时可
以再利用一个条件语句进行判断，这种形式称为条件语句的
嵌套.
IF 条件1
语句1
43

ELSE
IF 条件2
语句2
ELSE
IF 条件3
语句3
…
ENDIF
ENDIF
ENDIF

框图


5.循环语句
定义
类型
格式
根据指定条件决定是否重复执行一条或一组语句的控制语句
称为循环语句
WHILE语句
WHILE 条件
循环体
44
UNTIL语句
DO
循环体

WEND

框图

LOOP UNTIL 条件
A
循环体
条件
条件
是
否



是
否


8.3辗转相除法
1.辗转相除法
辗转相除法又称欧几里得算法，就是 对于给定的两个数，用较大的数
除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到余数为零，此时的除数就是所求两数的最大公
约数．
2.更相减损术
更相减损术又叫等值算法，就是对于给定的两个数，以其中较大的数
减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减
去较小的数，反复执行以上步骤直到 差数与较小的数相等，此时相等
的两数即为所求的最大公约数，最后该最大公约数再乘以2即为所求．
3.秦九韶算法
把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?
…
?a
1
x?a
0
的值转化为求递推公式： < br>v
0
?a
n
?
(k?1,2,
…
,n)中v
n
的值.
?
v?v?a
k?1n?k
?
k
45

秦九韶算法使得运算次数减少，只需至多n次乘法和n次加法运算，
从而提高了运算效率．
4.割圆术
在单位圆内作内接正六边形，其面积记为A
1
，边长记为a1
，在此
基础上作圆内接正12边形，面积记为A
2
，边长为a
2
……一直做下去，
－
记该圆的内接正6×2
n1
边形面积为An
，边长为a
n
.由于所考虑的是单
位圆，计算出的A
n
即为圆周率π的近似值，n越大，A
n
与π越接近.





第九章 统计
9.1随机抽样
1.简单随机抽样
定义 从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，
如果每一次抽取时总体中的各个 个体有相同的可能性被
抽到，这样抽样方法叫简单随机抽样.
总体中个体数目较少，且个体之间无明显差异
（1）抽签法知识要点：个体编号，搅拌均匀，逐个抽取．
（2）随机数表法知识要点：个体编号，任选一数，依次
取码．
适用条件
操作步骤

2.系统抽样
定义 当总体中个体数较多时，可将总体分成均 衡的若干部分，
然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体，
得到所需样本，这种抽 样方法叫做系统抽样.
总体中个体数目较多，且个体之间无明显差异
个体编号，确定间隔，随机选一，等距抽取
46
适用条件
操作步骤 < /p>

注意：①当
N
(N为总体中个体数目，n为样本容量)不是整数时，先从 总
n
体中随机剔除其余数；②在第一个间隔中，采用简单随机抽样抽取第一
个个体.

3.分层抽样
定义 当总体由明显差异的几部分组成时，为了使样本更能充分地反映总体的情况，应将总体分成互不交叉的几部分，每
一部分叫层.在各层中按层在总体中所占比 例进行简单随
机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
总体由差异明显的几个层次组成且层内差异较小
总体分层，按照比例，独立抽取
适用条件
操作步骤
注意：在各层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.

4.三种抽样方式的比较
类别
简单随机抽
样
系统抽样
共同点
抽样过程
中每个个
体被抽到
的概率相
等
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体分成n部分按事
先确定抽取
按规则在各部分中抽
取，将总体分成n层，
分层进行抽取
相互联系

在起始部分抽样
时用简单随机抽
样
各层抽样时，用
简单随机抽样或
系统抽样
分层抽样

9.2用样本估计总体
1.频率分布表和频率分布直方图
列出频率分布表、频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差(即计算最大值与最小值的差)这需要找出一组数据
的最大值与最小值；
47

（2）决定组距与组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）绘制分布直方图．

2.总体密度曲线 < br>用样本的频率分布去估计总体的分布时，如果样本容量不断增大，分组
的组距不断缩小，则频率分 布直方图越来越接近于总体分布，它可以用
一条光滑的曲线
y?f(x)
来描绘，这条 光滑曲线就叫做总体密度曲线．
3.茎叶图
（1）茎叶图是用来表示数据的一种图，茎是中间的一列数，叶是从茎
上生长出来的数. （2）用茎叶图表示数据有两个突出优点：一是统计图上没有原始信息的
损失，所有的数据信息都可 以从茎叶图中得到，二是茎叶图便于表示具
有两位有效数字的数据．

4.样本的数字特征
众数
中位数
平均数
方差
在样本数据中，频率分布的最大值所对应的样本数据值
在样本数据中，累积频率为0．5时所对应的样本数据的值
样本数据的算术平均数，即
x?
1
(x
1
?x
2
?
…
?x
n
)

n
一般地，设样本的元素
x
1
,x
2
,
?
,x
n
样本的平均数为
x
，则
样本 方差：
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
．
S?
n
2
标准差
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
样本标准差：
S?

n
48

9.3变量间的相关关系
1. 变量间的相关关系
定义 变量之间确定存在关系， 但又没有函数关系所具有的确定
性，它们的关系是带有随机性的，此时称两个变量具有相
关关系 ．
具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小到大
时，另一个变量的值也由小到大，这 种相关称为正相关；
反之，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变
小，这种相关称为 负相关．
在平面直角坐标系中描点，得到关于两个变量一组数据的图
形，这样的图形叫做散点 图，利用散点图，我们可以判断两
个变量是否具有相关关系．
正负相关
判定方法

2.两个变量的线性相关
如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察 值的数据点，
分布在一条直线附近，就称之为这两个变量之间具有线性相关关系.这
样的直线可 以画出许多条，其中“最贴近”这些数据的一条称为回归
直线．
3.回归直线方程
求回归直线方程时一般使用最小二乘法，记回归直线方程为
?
?a?bx
，
a ,b
叫做回归系数，利用最小二乘法可以求得回归系数．
y
nn
?
x
i
y
i
?nxy
?
(x
i
?x)(y< br>i
?y)
?
?
?
b?
i?1
?
i? 1
nn

222
?
x?nx(x?x)
??
ii< br>?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
49

1
n
1
n
其中，
x?
?
x
i
，
y?
?
y
i

n
i?1
n
i?1

第十章 概率
10.1随机事件的概率
1.随机事件
在条件
S
下，可能发生也 可能不发生的事件，叫做相对于条件
S
的随
机事件，简称随机事件．
2.频率与概率

频率
在相同的条件
S
下重复
n
次试验，观察某一事件
A
是否出现，称
n
次试验中事件
A
出现的次数
n
A
为事件
A
出现的频数，称事件
A< br>出现的比例
f
n
(A)?

概率
n
A
为事件
A
出现的频率．
n
对于给定的随机事 件
A
，如果随着试验次数的增
加，事件
A
发生的频率
fn
(A)
稳定在某个常数
上，把这个常数记作P(A)，称为事件
A的概率，
简称为
A
的概率．
频率与概率的关系 概率可以看作频率在理 论上的期望值，它从数量
上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在
大量重复试验的前提下 可以近似地作为这个事件
的概率．

3.事件的关系
事件
B包含事件
A
，记作
B?A
(或
A?B
)；不可能事件记 作
?
；
50

事件
A
事件
B
的并事件，记作
A?B
(或
A?B
)；事件
A
事件
B
的交
事件，记作
A?B
(或
AB
)．
若
A?B
为不可能事件(
A?B
=
?
)，那么称事件
A
与事件
B
互
为互斥事件，其含义是：事件
A
与事件B
在一次试验中不会同时发生
若
A?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，那么称事件
A
与事件
B
为对立事件，其含义是：事件< br>A
与事件
B
在一次试验中有且仅有一个
发生
4.概率的性质
概率具有如下几个基本性质：
（1）0≤
P(A)
≤1；（2）
E
是必然事件，则
P(E)?1
；
（3）
F
是不可能事件，则
P(F)?0
．
5.概率的加法公式
（1）若
A
、
B
互斥，则
P (A?B)?P(A)?P(B)
．
（2）若
A
、
B
对立 ，则
P(A)?1?P(B)
．
10.2古典概型
1.基本事件
定义
特点
试验结果是有限个，且每个事件都是随机事件的事件称为
基本事件．
（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件都可以表
示成基本事件的和．

2.古典概型
具有以下两个特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有
限个 ；（2）每个基本事件出现的可能性相等．这样的试验称为古典概
型.

3.古典概型的概率计算公式
51

在古典概型中，
P(A)?
A包含的基本事件个数
．
总的基本事件个数
10.3几何概型
1.几何概型
如果每个事件发生的概 率只与构成该事件区域的长度（面积或体
积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．

2.几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．

3. 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度
P(A)= ．
试验的全部结果所构成的区域长度
4.几何概型与古典概型的联系与区别
古典概 型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典
概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基 本事件有无限多个．

5.随机数
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的
每一个数的机会一样.

第十一章 三角函数
11.1任意角和弧度制
1.角的有关概念

2.角的度量
52

1弧度的角
记法与读法
弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角
用符号
rad
表示，读作：1弧度的角.
?
的弧度数的绝对值?
?
，其中
l
是以角
?
作
r
是圆的半 径.这种以弧度作为为圆心角时所对弧的长，
单位来度量角的制度叫做弧度制.

l
r
角度与弧度
的互化
（1）将角度化成弧度，只要把角度数乘以
得到弧度数.
（2）弧度化成角度，只要把弧度数乘以
到角度数
?
，即可
180
，即可得
180
?

3.弧长与扇形面积公式
弧长公式
扇形面积公式

4.常用角的换算
角
0

度
弧
0

度
角
210
度

l?
?
r

11
S?lr?
?
r
2

22
30

45

60

90

120

135

150

180

?

6
225

?

4
240

?

3
270

?

2
300

53
2
?

3
315

3
?

4
330

5
?

6
360

?

弧
7
?

度
6

5
?

4
4
?

3
3
?

2
5
?

3
7
?

4
11
?
2
?


6

5.已知
?
所在象限，求
?
的象限
3
?
的终边位置常用的方法有两种方法：
3
?
的取值范围， 然后分三类
3
已知角
?
的终边位置，判断
一是先将已知角用不等式表 示出来，再求
讨论，来确定
?
的终边位置；二是利用八卦图法，将每个象限平均分3
成三份，并从靠近轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，
在图中依次标上1 、2、3、4；1、2、3、3；1、2、3、4，已知角是第
几象限角，就找标号几，此标号所在象限 既为
?
所在象限.
3


11.2任意角的三角函数
1.三角函数的定义
设
?
是一个任意角，（除端点外）的坐标是（x，?
的终边上一点P
y），它与原点的距离是r（r=
|x|
2
? |y|
2
?x
2
?y
2
＞0）
正弦
余弦
正切

2.三角函数的定义域
54
y

r
x
cos
?
=
r
y
tan
?
=
x
sin
?
=

三角函数
sin
?

cos
?

tan
?

定义域
R
R
?
??
?
?
|
?
??k
?
,k?Z
?

2
??

3.三角函数在各个象限的符号
三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正 弦，三两
切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦
为正，在第三 象限正余切为正，在第四象限余弦为正. 还可简记为“全、
s、t、c”四字.

4.三角函数线
设任意角
?
的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边 与
单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，垂足为M，过
点A（1，0）作单位圆 的切线，设它与角
?
的终边（
?
位于第一、四
象限时）或其反向延长 线（当
?
位于第二、三象限时）相交于点T（由
于过切点的半径垂直于圆的切线，所以 AT平行于y轴）.
55

y?的终边
T
P
?的终 边
y
P
A
(1,0)
x
O
M(1,0)
x
A
M
O
T
yy
T
M
O
(1,0)
x
AO
M
A
(1,0)
x
P
?的终边P
T
?的终边

则有向线段（规定了起点与终点的线段）MP
、
OM
、
AT分别叫做角
?
的正弦线、余弦线、正切线.
5.同角三角函数的基本关系
平方关系式
商数关系式

6.特殊角的三角函数值
角
?

角
?
的
弧度数
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
sin
?

cos
?
0

90

180

270

360

0

0

1

0

sin
?

cos
?

tan
?

?

2
1

0

不存在
?

0

?1

0

3
?

2
?1

0

不存在
2
?

0

1

0


11.3三角函数的诱导公式
1.三角函数的诱导公式
56

公式一（
?
＋k·360°与
?
的三
角函数关系）
sin（
?
＋k·360°）=sin
?

cos（
?
＋k·360°）=cos
?

tan（
?
＋k·360°）=tan
?

其中k∈Z
sin（π+
?
）=－sin
?

cos（π+
?
）=－cos
?

tan（π+
?
）=tan
?

sin（－
?
）=－sin
?

cos（－
?
）=cos
?

tan（－
?
）=－tan
?

sin（π－
?
）=sin
?

cos（π－
?
）=－cos
?

tan（π－
?
）=－tan
?

公式二（π+
?
与
?
的三角函数关
系）
公式三（－
?
与
?
的三角函数关
系）
公式四（π－
?
与
?
的三角函数关
系）
公式五（
关系）
π
－
?
与
?
的三角函数
2
公式六（
系）
π
+
?
与
?
的 三角函数关
2
π
－
?
）=cos
?

2
π
cos（－
?
）=sin
?

2
π
sin（+
?
）=cos
?

2
π
cos（+
?
）=－sin
?

2
sin（

2.三角函数诱导公式的记忆口诀
对于
k?
?
2
?
?
(k?Z)
的各三角函数值，当k为偶数时，得< br>?
的同名函数
值，当k为奇数时，得
?
的余名函数值，前面加上一个把
?
看成锐角时
原函数值的符号，可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”或“奇余偶同， 象
限定号”记忆.

11.4三角函数的图象与性质
57

1.正弦函数和余弦函数的图象与性质


y?sinx

y?cosx

图象


定义域
值域
R

R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
?
2
?
k??
?
时，
?
2

最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?< br>y
max
?1
；当
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
x?2k
?
?
?


?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

奇函数
2
?

偶函数
在
??
??在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
单调性
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数；在
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
58
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数．

?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?k
?
,0
??
k??
?

对称性
对 称轴
x?k
?
?
对称中心
?
2
?
k??< br>?

?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?< br>?
k??
?


2.正切函数的图象与性质

y?tanx

y
1
?
-
?
-
?
-
2
O
-1
?
-
2
3?
2
x?
-
3
2
图象
y=tanx

定义域
值域
最值
周期性
奇偶性
单调性
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

既无最大值也无最小值
?

奇函数
??
?
在
?
?
k
?
?, k
?
?
?
?
k??
?
上是增函
22
??
数．
59

对称性


k
?
?
对称中心
?
,0
?
?
k??
?，无对称轴
?
2
??
11.5函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
1.由
y?sinx
的图象得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的方法
方法一 ：函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所
1
倍（纵坐标不 变），得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图 象上所有点
的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y ??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
方法二：函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来
1
的倍（纵坐标不 变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
?
?y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点
的纵坐 标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
??
x?
?
?
的图象．
有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
2. 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质
函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
??0
?
的性质：
??
①振幅：②周期：
?
；
2
?
?
；③频率：
f?
60
1
?
?；④相位：
?
x?
?
；
?2
?

⑤初相：
?
．

第十二章 平面向量
12.1平面向量的实际背景及基本概念
1.向量的基本概念
既有大小又有方向的量叫做向量.
2.向量的表示法
图形表示 用有向线段表示向 量．有向线段的长度表示向量的大
小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量
AB
的长
度（或称模），记作|
AB
|．

字母表示 用字母表示向量．向 量印刷时可用黑体小写字母如a、
b
、
c
来表示，书写用
a
、
b
、
c
来表示，还可用表
示向量的有向线段起点和终点的字母去表 示.


3.平行向量与相等向量
平行向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，由
于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以
平行向量也叫共线向量．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，这是因为共线向量可能方向不
同，也可能长度不同，所以共线向量不一定相
等 ．
61
相等向量
平行向量与
相等向量的关系

12.2平面向量的线性运算
1.向量的加法
定义


法则

求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法.
（1）三 角形法则：把其中一个向量的起点平移，使之与
第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二
个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.
（2）平行四边形法则：由同一点A为起点的两 个已知向
量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对
角线
AC
就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向
量加法的平行四边形法则.
注意：已知n个 向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的
起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这 n个向量的和向
量. 这个法则叫做向量求和的多边形法则. 当首尾顺次相接的向量构
成封闭的向量链时，其中各向量的和就是
0
.
2.向量的减法
相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作
－a.
向量减法的定义 求两个向量的差的运算叫做向量的减法.
向量减法的法则 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

3.向量的数乘



向量数乘的定义
规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫
做向量的数乘，记作λa. 它的长度与方向规定如
下：
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）当λ＞0时， λa的方向与a的方向相同；当
λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，
λa=0 .
62

向量的数乘的几
何意义
向量数乘的运算
律
将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当|λ|＞1 时，表示向量a的有向线段在原方向（λ
＞0）或反方向（λ＜0）上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1< br>时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反
方向（λ＜0）上缩短了|λ|倍.
设λ、μ为实数，那么
（1）λ（μa）=（λμ）a；
（2）（λ+μ）a=λa+μa；
（3）λ（a+b）=λa+λb.

4.向量共线的条件
如果向量b与非零向量a共线， 那么有且只有一个实数λ，使
得b=λa.

12.3平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量a，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
其中不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.

2.向量的夹角
OB
=b，已知两个非零向量a和b，在平 面上任取一点O，作
OA
=a，
则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做a与b的 夹角.
（1）当向量a与b不共线时，a与b的夹角
?
是指从同一点出发的向量a与b所成的角，
?
?(0,180)
；
（2）当向量a与b共线时 ，若同向，则
?
?0
；若反向，则
?
?180
.
综合可知：向量a与b的夹角
?
?[0,180]
.

3.平面向量的正交分解和坐标表示
平面向量的 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正
63

正交分解


向量的
坐标表示
交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个
单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量
基本定理知，有且只有一 对实数（x，y），使得a=xi+yj.
由于向量a与有序实数对（x，y）是一一对应的，因此，< br>我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=
（x，y）,其中x叫做a在x轴上的 坐标，y叫做a在y
轴上的坐标，a=（x，y）叫做向量的坐标表示.

4.平面向量的坐标运算
加法
减法
数乘
a+b=（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）

a －b=（x
1
－x
2
，y
1
－y
2
）
λa=（λx，λy）


5.平面向量共线的坐标表示
设 a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2
）（x
2
，y
2
不同时为零），当且仅当x
1
y
2
－x
2
y
1
=0
时，向量b与a（a≠0）共线.

12.4平面向量的数量积
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向 量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积（或内积），记作a ·b，即a·b=|a||b|cosθ.

2. 平面向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，
性质1 a⊥b
?
a·b=0.
性质2
a·a=a
2
=|a|
2
，或|a|=
a?a
.
性质3 |a·b|≤|a||b|.

64

3. 平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ.
交换律
数乘结合律
分配律
a·b=b·a.
（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）
（a+b）·c=a·c+b·c.

4. 平面向量数量积的坐标表示
设a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2
），则a·b= x
1
x
2
+y
1
y
2
.
5.向量的模长与距离
（1）设a =（x，y）则|a|=
x
2
?y
2

x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2
1
（2） 设a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2
），则cosθ=

?y
1
?x
2
?y
2
222
.
第十三章 三角恒等变换
13.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦
sin(< br>?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?

sin(
?
?
?
)?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?


两角和与差的余弦公式
cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
< br>cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

65

两角和与差的正切公式
tan(
?
?
?
)?< br>tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?< br>tan
?
tan(
?
?
?
)?

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2
?
=2sin
?
cos
?

二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式 cos2
?
=cos
2
?
－sin
2
?

=2cos
2
?
－1
=1－2sin
2
?

tan2
?
=
二倍角的正切公式
2tan
?
??tan
?
2


3．角的代换
常见的角的代换关系有：
?
?(
?
?
?
)?
?
；
?
?
?
?(
?
?< br>?
)
；
?
?(
?
?
?
)?
?
；
2
?
?[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]
；
2
?
?[(
?
??
)?(
?
?
?
)]
等.

4．函数
asinx?bcosx(a,b
不同时为零）的化简形式
形如< br>asinx?bcosx(a,b
不同时为零）的式子可以引入辅助角变形为
b
Asin(x?
?
)
的形式.
asinx?bcosx?a
2?b
2
(
a
sinx?cosx)

a
2?b
2
a
2
?b
2
令
cos
?
?
a
a?b
22
,sin
?
?
b
a?b
22
，则
原式＝
a
2
?b
2
(sinx cos
?
?cosxsin
?
)?a
2
?b
2sin(x?
?
)
.
b
（其中
?
角所在象限由
a,b
的符号确定，.
?
角的值由
tan
?
?
确定）
a
66

13．2简单的三角恒等变形
1．半角公式

半角的正弦

半角的余弦


半角的正切
sin
1?cos
?
?
=±
?
?
1?cos
?
?
=±
?
?
1?cos
?
?
=±
??cos
?
?
cos
tan
tan



?
sin
?
1?cos
?
==
?
??cos
?
sin
?
第十四章 解三角形
14．1正弦定理和余弦定理
1．正弦定理

正弦定理
各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
=
sinA


正弦定理的变形 （2）a∶b∶c

=sinA∶sinB∶sinC.
（3）a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，R为
三角形外接圆的半径.
67
bc
=.
sinBsinC
asinAbsinBcsinC
, ?, ?.
（1）
?
bsinBcsinCasinA

2．三角形中正弦定理的应用
正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
(1) 已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角.
(2) 已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而
计算出其他的边和角.

3．余弦定理


余弦定理
在三角形中任何一边的平方总等于其他两边的平方
和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍. 即
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA，
b
2
=c
2
+a
2
-2accosB，
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC.

余弦定理的另一
种形式
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
cosA=;cosB=;
2bc2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC =.
2ab

4．三角形中余弦定理的应用
应用余弦定理及其推论,可解决以下两类解三角形的问题:
（1）已知三边,求三个角;
（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和另外两个角.

5．解三角形的类型
解三角形可以分成以下四种类型：
(1)已知三边，求三角（可以利用余弦定理的推论）.
(2)已知两边及夹角，求另两边和另一角（可以先用余弦定理求第
三边，再用正弦定理或余弦 定理求其余两角）.
68

(3)已知两边及一边的对角，求另一边和其余两 角（可以先用正弦
定理求出另一角，再求其余两边，或者先用余弦定理求出第三边，再
求其余两 角）.
(4)已知两角及一边，求另一角和其余两边（先用正弦定理求出一
边，再求其余一边一角）.

6．三角形的面积公式
S
?
?
111
absinC?bcsinA?acsinB

222

14．2应用举例
1．测量中有关的名称、术语
（1）坡角：坡面与水平面的夹角，如图
（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，如图.

（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视
线下方时叫俯角，如图.



69

（4）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.另外，

方位角还有其它表示 形式如正南方向，东南方向，北偏西30°，南偏
西60°等.
（5）基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
2．解斜三角形应用题的一般思路
应用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，通常是根据题意，从实际
问题中抽象出一个或几个三 角形，然后通过解这些三角形，得到所求
的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去 选择定
理，使解题过程简捷.
解三角形应用题的步骤一般是：
（1）准确理解题意，分清已知与所求；
（2）根据题意画出示意图；
（3）转化为恰当的数学问题（即建立数学模型），合理运用两个定理
正确求解，并作答.

第十五章 数列
15．1数列的概念与简单表示法
1．数列的概念
数列就是按一定次序排列的一列数.
2．数列的表示方法
常把一般形式的数列记作 ｛a
n
｝，它表示的数列为：a
1
，a
2
，a
3< br>，a
4
，a
5
，…，
a
n
，….
3．数列的分类
按照项与项之间的大小关系来分：
（l）一个数列，如果从第2 项起，每一项都不小于它前面的一项（即
这样的数列叫做递增数列.
（2）一个数列，如果从第2项起，每一项都不大于它前面的一项（即
这样的数列叫做递减数列.
70
），
），

递增数列和递减数列统称单调数列. 一个数列，如果它的每 一项都相等，这个数列
叫做常数列.容易看到，常数列既是递增数列的特例，又是递减数列的特例.
（3）.

按数列
的项数分






按项与项的
大小关系分
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它前面
的 一项（即
a
n?1
?a
n
），这样的数列叫做递增数列
一 个数列，如果从第2项起，每一项都不大于它前面
的一项（即
a
n?1
?a< br>n
），这样的数列叫做递减数列
一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常
数列
一个数列，如果从第2项起 ，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列

4．数列的通项公式
如果数列的第
ｎ
项a
n
与
ｎ
之间的关系可以用一个函数式
a
n
?f(n)
来
表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式.
5．数列的递推公式
如果已知数列的第一项（或前几项 ），且从第二项（或某一项）开始的
任一项
a
n
与它的前一项
an?1
（或前几项）间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公 式.

15．2等差数列
1．等差数列
如果一个数列从第2项起，每一 项与前一项的差都等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.
71

2．等差数列的通项公式
通项公式


通项公式的作用
（1）
a
n
?a
1
?(n?1) d
；（2）a
p
=a
q
+(p－q)d.
利用通项公式< br>a
n
?a
1
?(n?1)d
中的四个基本
量
a
n
, a
1
, n, d
的关系，可以由首项和公差求
出等差数列中的任何一项.

3．等差中项
若三个数a、A、b组成等差数列，那么A就叫做a与b的等差中项，
即A＝
a?b< br>.由等差中项的定义可以得到等差数列中相邻三项间的数
2
量关系为2a
n＝a
n
－
1
+a
n+1
（n≥2）.

4．等差数列的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q；
a
m+n
－a
n
=a
m+k
－a
k
=md
若m+n=2p,则a
p
＝
(a
m
?a
n
)

2
若｛a
n
｝是公差为d的等差数列，则下 标成等差数列且公
差为m的项a
k
，a
k+m
,a
k+2m
, ……组成公差为d的等差数列.

5. 等差数列的判定方法
①a
n+1
-a
n
=d(常数)
?
｛a
n
｝是等差数列；
②2a
n+1
=an
+a
n+2
(n∈N
+
)
?
｛a
n
｝是等差数列；
③a
n
=kn+b(k,b为常数)
?
｛a
n
｝是等差数列.
15．3等差数列的前
n
项和
1．等差数列的前
n
项和公式
72

用首项和末项表示
用首项和公差表示
S
n
=
n(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
S
n
?na
1
?d

2

2．等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
将公式S
n
=na
1
+
n(n?1)dd
d变形整理得S
n
＝n
2
+（a
1
－）n，可以看
22
2
出 当d≠0时，S
n
是关于n的一个缺少常数项的二次函数，所以解题时，
有时设Sn
＝An
2
+Bn的形式.

3．等差数列的前
n
项和的性质
性质1
性质2
设S< br>n
是等差数列｛a
n
｝的前n项的和，S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－
S
2n
，…构成公差为 n
2
d的等差数列.
若｛a
n
｝共有2n项，则S
2n< br>＝n（a
n
+a
n
－
1
）且S
偶
－ S
奇
＝nd；
S
偶
∶S
奇
＝a
n+1
∶a
n
.
若数列｛a
n
｝共有2n+1项，则S
2n+1
=(2n+1)a< br>n+1
且S
偶
－S
奇
＝a
n+1
，S
偶
∶S
奇
＝n∶（n+1）（其中S
偶
、S
奇
分 别表示数列
的所有偶数项的和与所有奇数项的和）.
若S
n
＝m，S
m
＝n（m≠n），则S
m+n
＝－（m+n）.
所有点（n,
性质3
性质4
S
n
dd
）都共线于y＝x+a
1
－.
n
22

15．4等比数列
1．等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.
2．等比数列的通项公式
通项公式
73
a
n
?a1
q
n?1
；
a
n
?a
m
q
n?m

3．等比中项
如果在
a< br>与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,那么
G
叫
做
a
与
b的等比中项.这时
a
、
b
的符号应该相同，用
a
与b
表示
G
为
G
=±
ab
.
4．等比数列的性质
（1）m+n=p+q,则a
m
a
n
=a
p
a
q
；（2）若m+n=2p,则
a
p
?a
m
?a
n
.
5. 等比数列与指数函数的关系
2
a
a
1
n
q,而y＝
1
q
x
(q≠1) 是一个不为
q
q
aa
x
零的常数
1
与指数函数q
的乘积.表示数列{
1
q
n
}中的各项的点是
qq< br>a
函数y＝
1
q
x
的图象上的孤立的点.
q
等比数列的通项公式可整理为a
n
＝
15．5等比数列的前
n
项和
1．等比数列的求和公式
?
a
1
(1?q
n
)< br>?
当q?1时，S
n
?
1?q
等比数列的前n项和公式：< br>?
?
当q?1时，S?na
n1
?
2．等比数列前
n
项和公式与函数的关系
aa
a
1
(1?q
n
)< br>S
n
==－
1
q
n
+
1
，可以看出 ，式子的组成是由一个指
1?q1?q
1?q
数式与一个常数的和构成，而指数式的系 数与常数项为互为相反数.
3．等比数列的前
n
项和的性质
74

从等比数列取出前n项、前2n项、前3n项，其和分别为
S
n
, S
2n
, S
3n
，
则
S
n
, S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
成等比数列.

第十六章 不等式
16．1 不等关系与不等式
1．不等式的基本性质
常用的不等式的基本性质及其证明如下：
传递性
可加性
同乘性
a＞b，b>c
?
a＞c
a＞b
?
a＋c＞b＋c
a＞b，c＞0
?
ac＞bc
a＞b，c＜0
?
ac＜bc
几个推论：
（1）a＞b，c＞d
?
a＋c>b＋d；(2)a>b>0,c>d>0
?
ac>bd.
(3)a>b>0(n∈N
*
，n>1)
?
a
n
>bn
，
n
a
＞
n
b
.

16．2一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的
关系
Δ=b
2
－4ac
y
Δ>0
y
Δ=0
y
Δ<0
y=ax
2
＋bx＋
c(a>0)的图
象
O
x
1
=x
2
x
O
x
x
1
O
x
2
x

75

ax
2
＋bx＋
c=0
(a>0)的根
ax
2
＋bx＋
c>0
(a>0)的解集
ax
2
＋bx＋
c<0
(a>0)的解集
x
1,2
=
?b??
2a

x
1
=x
2
=－
b

2a
b
}
2a
没有实数根
{x|x1
或x>x
2
}
{x|x≠－
R

{x|x
1
2
}
?

?

这张表是求解一元二次不等式的主要工具.

16．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式（组）的概念及其表示的平面区域
二元一次不等式
二元一次不等式
的一般形式
二元一次不等式组
二元一次不等式
（组）的解集
含有2个未知数，且未知数的最高次数是1
的不等式叫做二元一次不等式.
二元一次不等式的一般形式是Ax+By+C >0
或Ax+By+C ≥0.注意x 和y的系数不能同时
为0.
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为
二元一次不等式组.
满足二元一次不等式 （组）成立的未知数x
和y的取值对应的有序数对（x，y）构成的集
合称为二元一次不等式（ 组）的解集.

2．二元一次方程表示的平面区域
一般地，二元一次方程
Ax?By?C
=0表示的一条直线把平面区
域分成三部分：直线及两侧. 二元一次不等式< br>Ax?By?C
>0表示直
线
Ax?By?C
=0某一侧的所有点组成 的平面区域（不包含边界），边
界画为虚线；二元一次不等式
Ax?By?C
≥0表示 直线
Ax?By?C
=0某一侧的所有点组成的平面区域（包含边界），边界画为实线.
76

2. 确定一个二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法
确定一个二元一次不等式（组）所表示的平面 区域的方法步骤是：
画出二元一次不等式对应的直线（这是区域的边界，注意虚实），利用
在直 线某一侧取特殊点，并代入不等式的左边验证是否成立的方法，
判断该二元一次不等式经过的区域.当需 要画二元一次不等式组所表
示的区域时，可先一一画出每个二元一次不等式所表示的平面区域，
然后取它们的交集. 以上方法可简记为：直线定界，特殊点定域.

3.简单的线性规划
线性约束
条件
线性目标
函数
线性规划
问题
可行解
可行域
最优解
不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约 束条件
都是关于x、y的一次不等式，所以称为线性约束条件.
要求最大（小）值的函数称为目标函数. 当变量x、y是
一次式时又称线性目标函数.
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数z= ax+by的
最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫这个问题的
最优解.
4.处理线性规划问题的一般方法步骤是：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域.
（2）移：在线性目标函数z= ax+by所表示的一组平行线中，平移
ax+by=0使之 经过可行域，观察并找出它与可行域有公共点且纵截距
最大或最小的直线.
（3）求：通过解方程组求出最优解.
（4）答：作出答案.

16．4基本不等式
ab
≤
a?b

2
77

1．基本不等式
基本不等式 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数，即
ab
≤
使用条件

用途
a?b
（a>0,b>0）.
2
一正二定三相等
（1）若ab=定值，则利用之可求a＋b的最小值.即“积
为定值，可求和式的最小值”.
（2）若a＋b=定值，则利用之可求ab的最大值.也就
是说“和为定值，可求积式的最大值 ”.
以下是常用到的几个结论：
①
a?1?2a (a?0)
；②
a?
③
1
?2 (a?0)
；
a
ab
??2 (a,b
同号）.
ba

2．基本不等式的几种变形公式
（1）
ab
≤



a?ba?b
2
；（2）ab≤（）.
22
78