中学数学公式定律手册

中学数学公式定律手册
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初中代数高中代数平面几何
立体几何解析几何向量部分
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★初中代数（一）
【实数的分类】

表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数
一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个
大于 1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不
是质数 又不是合数。
只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。
从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。
1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。
如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。
如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。
求一数的方根的运算叫做开方。
正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。
用有限次运 算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数
式。
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。
【自然数】
【质数与合数】
【相反数】
【绝对值】
【倒数】
【完全平方数】
【方根】
【开方】
【算术根】
【代数式】
【代数式的值】
【代数式的分类】

只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式
根号下含有字母的代数式叫做无理式
没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式
【有理式】
【无理式】
【整式】
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【分式】 除式中含字母的有理式叫分式
★初中代数（二）
【有理数的运算律】




方程 含有未知数的等式叫做方程。
在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。
方程的解
解方程
【等式的性质】
【乘法公式】
【因式分解】
【方程】
【一元一次方程】
一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程
【一元二次方程】

★平面几何==>
E:
直线与角
（不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。
在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。
直线上两点间的部分。它有两个端点。
如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直 。其中一条叫另一条的垂线，它
们的交点叫垂足。
如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。
定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角
周角：360?平角：180?直角：90?锐角：0★平面几何==>
按角分
00000?00
直线
射线
线段
垂线
斜线
点到直线的距离
线段的垂直平分线
平行线
平行线公理及推论
角的定义
角的分类
E:
三角形
锐角三角形，钝角三角形，直角三角形
等腰三角形，等边三角形，不等边三角形
三角形的分类
按边分
三角形的角平分线
三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段,叫做
三角形的角的平分线。
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三角形的中线
三角形的高
三角形的中位线
连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。
三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
全等三角形
定义
性质
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。
任意三角形
（1）两边及夹角对应相等。记为SAS
判定
（2）两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS
（3）三边对应相等。记为SSS
三角形的四心
名称
内心
定义 性质
（2）两直角边对应相等。
（3)斜边、直角边对应相等（HL）
直角三角形
（1）一边一锐角对应相等
三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形（1）内心到三角形三边的距离相等。
的内心（即内切圆的圆心） （2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。
（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角
（2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。
形的外心。（即外接圆的圆心）
（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。
（1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
（2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。
三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
外心
重心
垂心
☆高中代数?==>?函数（一）?
【集合】 指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。
【集合的分类】


图???????????示 性????质
【集合的表示方法】
名称 定????义
子集






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真子集
交集

并集


定??义


☆高中代数==>函数（二）
???判定方法


补集
函数的性质
函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有
函数的奇偶性 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一
函数f(x)定义域内任意一 个x，都有f(-x)=f(x),那么
函数f(x)叫做偶函数


（1）利用定义
（2）利用已知函数的周期的有关定理。
函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x)：
对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得
函数的周期性
当x取定义域 内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，
那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零的 常数T
叫做这个函数的周期。
☆高中代数==>
函数名称 解析式
E:下载
函数（三）
定义域 值?域 奇偶性 单调性
R R 奇函数 正比例函数








反比例函数

R

R
奇函数
一次函数

二次函数

☆高中代数==>
E:下载
不等式（一）
R
用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式 不等式
不等式的性质

含绝对值不等式的性质

几个重要的不等式
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☆高中代数==>
E:下载
不等式（二）
??????????形???式 ?????解???集

一元一次不等式
的解法



?R













?R

一元二次不等式
的解法





绝对值不等式的
解法

无理不等式的解
法

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☆高中代数==>
角

E:下载
三角函数（一）
叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋 转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线
角的单位制 关???系 弧长公式 ?扇形面积公式
角度制


位?????????置




??角的集合
弧度制
在x轴正半轴上









在x轴负半轴上
在x轴上
在y轴上
角的终边
在第一象限内
在第二象限内
在第三象限内
在第四象限内
特殊角的三角函
函数角 0

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数值
sina 0




值域


1




1 0 -1 0




cosa 1 0 -1 0 1
tana 0 不存在 0 不存在 0
cota 不存在 1 0 不存在 0 不存在
函数 定义域 奇偶性 周期性 ????单调性
y=sinx R


R
奇函数






三角函数的性质
y=cosx R 偶函数
y=tanx


奇函数
y=cotx

☆高中代数==>
E:下载
三角函数（二）
R 奇函数
角函数
-a
90a
90+a
180-a
0
0
0
正弦
-sina
cosa
cosa
sina
-sina
-cosa
-cosa
-sina
余弦
cosa
sina
-sina
-cosa
-cosa
-sina
sina
cosa
正切
-tana
cota
-cota
-tana
tana
cota
-cota
-tana
余切
-cota
tana
-tana
-cota
cota
tana
-tana
-cota
诱导公式
180+a
270-a
270+a
360-a
0
0
0
0


倒数关系
同角公式
商数关系
sina cosa tana cota


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平方关系




和差角公式
倍角公式
万能公式
半角公式

积化和差公式


☆高中代数==>数列
??通项公式
如果一个数列{a
n
}的第n项a
n
前n项的和公式 其它
和差化积公式
名称 ????定??义
数列
按照一定次序排成一列与n之间的关系可以用一个
个数列的通项公式
的数叫做数列，记为{a
n
} 公式来表示，这个公式就叫这








等差数列




等比数列
数列前n项和与通项的关系：
无穷等比数列所有项的和：
???适用范围 ????????????证明步骤 ???注意事项
设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)
（1）第一步是递推的基础 ，第二步
数学归纳法
只适用于证明与自然数
n有关的数学命题
当n取第一 个值n
0
(例如：n=1或n=2)时，
命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由 此
推出n=k+1时成立。那么P(n)对于一切自
然数n都成立。
（2）第二步的证明过程中必须使用
归纳假设。
的推理根据，两步缺一不可
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☆高中代数==>复数
复数的定义
引入虚数单位i，规定i=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原 有加乘运算仍然
成立。形如：a+bi（a,b为实数）??????????a---实部????b ----虚部
2
代数形式
复数的表示形式
三角形式




分步计数原理
代数式
复数的运算
三角式
☆高中代数==>
分类计数原理
做一件事，完成它有n类不同的办 法。第一类办法中
有m
1
种方法，第二类办法中有m
2
种方法……， 第n类
办法中有m
n
种方法，则完成这件事共有：N=m
1
+m2
+…+m
n
种方法。
E:下载
排列、组合、二项式定理

做一件事，完成它需要分成n个步骤。第 一步中有
m
1
种方法，第二步中有m
2
种方法……，第n步中有m
n
种方法，则完成这件事共有：N=m
1?
m
2?
… ?m
n
种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数 原理，这两个原理的标志是“分类”
还是“分步骤”。
排????列
从n个不同的 元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺
序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的
排列。
排?列??数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的
记为P
n

选排?列??数 全排?列??数
m
组???合

从n个不同的 元素中，任取m(m≤n)个元素并成一
组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。
组??合?数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合
合数，记为C
n
m
个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的组




?二项式定理
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(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0
二项展开式的性质
起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n。
(3)二项式系数：
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
☆解析几何==>
概念
E:
方程与曲线
程，曲线C叫方程F（x,y)=0的曲线。

在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标（x,y）都是方程F（x,y)=0的解；反之
方程 F（x,y)=0的解为坐标的点（x,y）都在曲线C上，那么方程F（x,y)=0叫曲线C的方
（ 1）建立适当坐标系，用（x,y)表示曲线上任一点P的坐标；
已知曲线求它的
方程的步骤
方程与曲线
（2）写出适合条件M的点P的集合
（3）用坐标表示条件M（P），列出方程；f（x,y)=0
（4）化方程f（x,y)=0为最简形式
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
充分条件



☆解析几何==>
E:
直线
直线与x轴垂直不能用


直线与x轴垂直不能用
必要条件
充要条件
直线的方程



直线与坐标轴垂直不能用
直线与坐标轴垂直或过原点不能用
直线
A、B不全为零
点到直线的距离


平???行 重?合 ???????垂??直
两条直线的关系及条
件
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斜交二直线的夹角


☆解析几何==>圆
直线系
定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。
标准方程地 一般方程
圆

点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

☆解析几何==>椭圆
点，两定点间的距离叫做焦距。

定义：平面内到两个定点F
1
, F
2
的距离之和等于一个常数（大于|F
1
F
2
|）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦
标准方程


F
1
（-c,0）?F
2
（c,0）


F
1
（0,-c）?F
2
（0,-c）
图???象
焦???点
椭圆
焦???距



坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
范围
对称性
几何性质
顶点


☆解析几何==>双曲线
离心率
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定义：平面内到 两个定点F
1
,F
2
的距离之差的绝对值是常数（大于|F
1
F
2
|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点
叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。
标准方程


F
1
（-c,0）?F
2
（c,0）


F
1
（0,-c）?F
2
（0,-c）
图???象
焦???点
焦???距
双曲线
范围



坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
对称性
几何性质
顶点



☆解析几何==>抛物线
抛物线的准线。
渐近线
离心率
定义：平面内与一个定点F和一条定直线 L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做
标准
方程
焦点




范围














准线
抛物
线
图象
对称性
几何性质
顶点
离心率
曲线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
坐标原点（0，0）
e=1
※中学数学公式定律手册※
===>
立体几何
==>E:< br>直线与平面（一）
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平面的基本性质 图????形
?????作???用

（1）判定直线在平面内的依
据
（1）判定两个平面相交的依
公理1：如果 一
条直线上的两
公理2：如果两
个平面有一个
公共点，那它
还有其它 公共
公理3：经过不
在一条直线上
的三点，有且
只有一个平
面。
推论1：经过一
条直线和这条
直线外一点，
有且仅有一个
平面 。

推论2：经过两
条相交直线，
有且仅有一个
平面。

推论3：经过两
条平行线，有
且仅有一个平
面。



据
（2）判定若干个点在两个相
交平面的交线上
（1）确定一个平面的依据

（2）判定若干个点共面的依据

（1）判定若干条直线共面的
依据

（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据

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※中学数学公式定律手册※
===>
立体几何
== >E:
直线与平面（二）
??
平
行
??间??
直
二??
线


直??线

异
面
直
线

位
空间直
线和平
面

系
置
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，
那么这两个角相等。

（1）直线在平面内——有无数个公共
点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
关
（3）直线和平面平行——没有公共点
直
判定定理
????????性质定理

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线
和
平

面
平
行
直
线
判定定理
???性质定理

与
平

面

垂
直
※中学数学公式定律手册※
===>
立体几何
==>E:
直线与平面（三）

直（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这
线条斜线与平面所成的角

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与（2）一条直线垂直于平面，定 义这直线与平面所成的角是
平
面
所
成
的
角

三垂线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的
定理

射影垂直，那么它和这条斜线垂直

（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所
成的角是0的角

0
直角

三垂线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂
逆定理

空间两两
直，那么它和这条斜线的射影垂直

判??定
????性???质

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个平面

个（1）如果一
平个平面内有
面两条相交直
（1） 两个平面平行，其中一个平面内
的直线必平行于另一个平面
平线平行于另
行

一个平面，
那么这两个
平面平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面，它也
（2）垂直于同一
直线的两个平面
平行
垂直于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线平行
相
交
的
两
平
面

两
二面角：从一 条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半
平面叫二 面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱
的两条射 线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
判??定
????性???质

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< br>平如果一个平
（1）若二平面垂直，那么在一个平面
面面经过另一
内垂直于它们 的交线的直线垂直于另
垂个平面的一
直

条垂线，那
么这两个平
面互相垂直

※中学数学公式定律手册※
一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面 内一点垂
直于第二个平面的直线，在第一个平面内
===>
立体几何
==>E:
多面体、棱柱、棱锥

定
义

棱
柱

由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

多面
体
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

棱正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底
锥

球
欧拉
定理
面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。

简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

?????????????????????多?面体

侧面
积公

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式
体积
公式
球
※中学数学公式定律手册※


===>
平面向量
??

平面向量的
概念
运算性质
实数与向量
的积
运算律
平面向量基
本定量
?向量平行
向量垂直
定比分点公
式
在平面内具有大小和方向
的量叫做和向量








===>
空间向量
?

※中学数学公式定律手册※
空间向量的
概念
共线向量定
在空间内具有大小和方向
的量叫做和向量


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理
共面向量定
理
空间向量基
本定理
两个向量的
数量积
空间向量的
数量积的性
质
空间向量的
坐标运算
两向量的夹
角








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