数学教师手册_二项分布

高中数学教师手册 二项分布 1
二项分布

教学眉批

本节主要介绍二项分布，即重复多次的独立白努利试验。故先复习独立事件，再谈白努利试
验， 最后再介绍主题二项分布。


由独立事件定义出发，强调独立概念，以及独立的应用 与推广，以利介绍二项分布。部分内
容可参考第二册第
3
章。


(1) A
，
B
之交集为｛
1
｝，而
A
，
B
为独立事件。

(2) B
，
C
之交集为

?
，而
B
，
C
为相依事件。

由
(1)
、
(2)
分析，两事件是 否为独立事件，不应由集合之交集来直接判定，应由机率的性质或
是独立事件定义而得。


补充演练

2
，
3
的红色球，袋中有大小相等的
6
个球，其中有
3
个标上号码
1
，另有
3
个标上号码
1
，
2
，
3
的白色球，今从袋中任取一球，若
A
表示取出
1
号球的事件，
B
表示取出红色球的
事件，
C
表示取出白色球的事件，则
A
，
B
是否为独立事件？
B
，
C
是否为独立事件？


解

(1)
依题意
P
（
A
）＝





231
，
P
（
B
）＝，
P
（< br>A
∩
B
）＝，

666
1
因为
P
（
A
∩
B
）＝＝
P
（
A
）
P
（
B
），

6
所以
A
，
B
为独立事件。

33
(2)
依题意
P
（
B
）＝，
P
（
C
）＝，但因为
B
，
C
为互斥事件，所以
P
（
B
∩
C
）＝
0
，
66

高中数学教师手册 二项分布 2
得
P
（
B
∩
C
）≠
P
（
B
）
P
（
C
），所以
B
，
C
不为独立事件，而是相依事件。


教学眉批

复习第二册第
3
章

若
A
，
B
为独立事件，可推得

(1) A
，
B'
为独立事件。

(2) A'
，
B
为独立事件。

(3) A'
，
B'
为独立事件。


是。


(1)
三个事件要判断是否独立，必须同时满足这四个条件缺一不可。

(2)
一般而言，假设
A
1
，
A
2
，…，
A
n

为
n
个事件，任取其中
k
（
2
≤
k
≤
n
）个事件，则
nn
共有
C
k
组。不失一般性称这
k
个事件为
A
i1
，
A
i2
，…，
A
ik
（
1
≤
i
≤

C
k
）。若这
k
个
n
事件恒满足
P
（
A
i1
∩
A
i2
∩…∩
A
ik
）＝
P
（
A
i1
）
P
（
A
i2
）…
P
（
A
ik
），
1
≤
i
≤

C
k
，

2
≤
k
≤
n
，则称
A
1
，
A
2
，…，
A
n

为独立事件。


观念推广

若
A
，
B
，
C
为独立事件，可推得：

(1) A'
，
B
，
C
为独立事件。

(2) A'
，
B'
，
C
为独立事件。

(3) A'
，
B'
，
C'
为独立事件。

高中数学教师手册 二项分布 3
注：证明见手册
P.52
。


补充演练

某校数学教师针对高三学生随机选出
30
名男学生及
20
名 女学生，做新教材适应性的调查，
每一位学生都要填答，且只能填答适应或不适应。结果有
35
名学生填答无法适应新教材内
容。假设学生性别与适应状况独立，请完成下列表格，使其 最能符合上述假设。


适应状况

适应

性别

男生（
30
人）

女生（
20
人）

注：解析见手册
P.52

教学眉批

即使
A
，
B
事件、
B
，
C
事件、
A
，
C
事件均为独立事件，但由于不满足第四个条件，故
A
，
B
，
C
不为独立事件。


是。


补充演练

符号

P
（
C
）代表事件

C

发生的机率，符号

P
（
C
︱
D
）代表在事件

D

发生的条件下，事
件

C

发生的机率。今设

A
，
B

为样本空间中的两个事件，已知

人

人

（
35
人）

人

人

不适应

高中数学教师手册 二项分布 4
P
（
A
）＝< br>P
（
B
）＝
0.6
。请选出正确的选项。

(A)

P
（
A
∪
B
）＝
1


(B)

P
（
A
∩
B
）＝
0.2


(C)

P
（
A
︱
B
）＝
1

(D)

P
（
A
︱
B
）＝
P（
B
︱
A
）

(E)

A
，
B

是独立事件

解 依题意得
0
≤
P
（
A
∩
B
）
≤
0.6
且
P
（
A
∩
B
）之值未定


(A)
×：由取舍原理知


P
（
A
∪
B
）＝
P
（
A
）＋
P
（
B
）－
P
（
A
∩
B
）＝
1.2
－
P（
A
∩
B
），



因
P
（
A
∩
B
）之值未定，故
P
（
A
∪
B
）之值未定


(B)
×：
P
（
A
∩
B
）之值未定

P（AB）
P（AB）

(C)
×：依定义
P
（
A
︱
B
）＝＝，因
P
（
A
∩
B
）之值未定，

P
（
B
）
0.6


故
P
（
A
︱
B
）之值未定

P（AB）
P
P（AB）
P（AB）（AB）
P

(D)
○：依定义
P
（
A
︱
B
）＝＝ 、（
B
︱
A
）＝＝
P
（
B
）
P< br>（
A
）
0.60.6
﹐



故
P
（
A
︱
B
）＝
P
（
B
︱
A
）


(E)
×：因为
P
（
A
∩
B
）未必等于
P
（
A
）
P
（
B
）＝
0.36
，故
A
，
B
未必是独立事件

故选
(D)
。


教学眉批

高中数学教师手册 二项分布 5
第二单元先介绍白努利试验、其次为重复
n
次相互独立的白努利试验，并引入二项分布，最
后求二项分布之期望值与变异数。


一个仅有成功与失败两种结果的试验，称为白努利试验。


在相 同条件下重复执行一个试验我们称为重复试验，如果每次结果互不影响我们又称为独立
重复试验。课文中 的重复试验以白努利试验为主。


补充演练（此题为重复试验但非白努利试验）

一袋中有大小相同
7
个球，其中有
3
红球、
2
白球、
2
黑球，假设每次从袋中取一球，取
后放回，连取四次，则在这四次的取球中，恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的机率为何？

421
解

四次取球中，恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的方法数共有
C
2
C
1
C
1
种。


?
3
??
2
??2
?
而每一种情形的机率都是
??????
，

?7
??
7
??
7
?
421
?
3
??
2
??
2
?
C
1
C
1
?? ????
。

故四次取球恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的机率为
C
2
?
7
??< br>7
??
7
?
211
211


教学眉批

我们以讨论白努利试验的独立重复试验为主，以利二项分布的介绍。


0.01536
。



补充演练

高中数学教师手册 二项分布 6
连续投掷一颗骰子
5
次，则
5
次中恰
3
次出现
1
点的机率是多少？

5
解

连续投掷一颗骰子
5
次，恰
3
次出现
1
点的方法数共有
C
3
种，


?
1
??
5
?
而每一种情形的机率都是
????
，

?
6
??
6
?
1
??
5
?
5
次中恰
3
次出现
1
点的机率为
C
?
????
。

?
6
??
6
?
5
3
32
32


教学眉批

n
knkn
若随机变量
X
的机率质量函数
P
（
X
＝
k
）＝
Ck
pq
－

恰为（
p
＋
q
）

二项展开式中的某一
项，我们将此随机变量
X
的机率分布称为二项分布。


机率质量函数须满足下列两个条件：

(1) 0
≤
p
k

≤
1
，
k
＝
1
，
2
，
3
，…，
n
。< br>
(2) p
1
＋
p
2
＋…＋
p
n
＝
1
。


二项式定理

(1)
二项式定理：对任意正整数
n
，


（
x
＋
y
）＝
C
0
x
＋
C
1
xn
n
n
n
n
－
1
n
n22
n n
nn
－
1
y
＋
C
2
x
－
y
＋…＋
C
n
＋
C
n
y
。

?1
xy
(2)
在此用于验证机率质量函数。

(3)
之后用于推导二项分布之期望值。


教学眉批

验证随机变量
X
的机率分布是否为二项分布：

高中数学教师手册 二项分布 7
(1)
重复
n
次相互独立的白努利试验。

(2)
机率质量函数的结构式为二项展开的某一项。


补充演练

若随机变量
X
的取值表示连续投掷一颗骰子
5
次出现
1
点的次数，试求随机变量
X
的机
率质量函数。

?
1
??
5
?
解
P
（
X
＝
k
）＝
C
????
?
6
??
6
?
5
k
k5?k
，
k
＝
0
，
1
，
2
，…，
5
。




此为重复
5
次相互独立的白努利试验，且机率质量函数的结构式为二项展开的某一项，
故随机变数
X
的机率分布为二项分布。

k10?k
1
??
1
?
P
（
X
＝
k
）＝
C
?
??? ?
?
2
??
2
?
10
k
，
k＝
0
，
1
，…，
10
。


补充演练

掷一枚均匀硬币

4

次，恰好出现

n

次正面的机率记为

a
n
；掷一枚均匀硬币

8

次，恰好出
现

n

次正面的机率记为

b
n
。试问以下哪些选项是正确的？

(A)

a
2
＝

?
1
??
1
?
3
解
(A)
×：
a
2
＝
C
????
?

?< br>2
??
2
?
8
4
2
22
1

(B)

a
3
＝
b
4

(C)

b
2
＝
b
6

(D)

a
3
＞
b
3

( E)

b
0
，
b
1
，…，
b
8
中的最大值是

b
4
2

35
?
1
??
1
?
1
8
?
1
??
1< br>?
?

(B)
×：
a
3
＝
C< br>3
4
????
?
、
b
4
＝
C
4
，所以

a
3
≠
b
4

?? ??
?
2
??
2
?
4
?
2
??< br>2
?
128
8
?
1
??
1
?
8
?
1
??
1
?
b
C

(C)
○：
b
2
＝
C
2
，＝
6
6
????????
，所以

b
2
＝
b
6

222
???????2
?
2662
3144

高中数学教师手册 二项分布 8
3135
7
?
1
??
1
?
1
8
?
1
??
1
?
?

(D)
○：
a
3
＝
C
3
4
????
?
，
b
3
＝
C
3
，所以

a
3
＞
b
3

????
?
2??
2
?
4
?
2
??
2
?
3 2
?
1
??
1
?
8
?
1
?

(E)
○：
b
0
＝
b
8
＝
C
??
、
b
1
＝
b
7
＝
C1
8
??
、
b
2
＝
b
6
＝< br>C
2
??
、

?
2
??
2
??
2
?
8
0
888
1
?
8
?< br>1
?
b
3
＝
b
5
＝
C
?< br>b
C
、＝
4
4
????
，故

b
4
最大

?
2
??
2
?
8
3
88
故选
(C) (D) (E)
。


教学眉批

(1)
白努利试验的重复试验其机率分布为二项分布。

(2)
例题
3
以重复试验观点求机率；例题
5
以随机变数的观点求机率。此为两题之差别。


(1)
(2)

教学眉批

(1)
本题主要让学生复习前一节求随机变量的期望 值与变异数的方法，来直接操作随机变量为
二项分布的期望值与变异数。

(2)
在此先谈二项分布机率质量函数图，以作为下一节二项分布与常态分布比较之用。

(3)

本题的第
(1)
小题是均匀硬币的情形，而第
(2 )
小题是非均匀硬币的情形。


补充演练

假设随机变量
X
的取值表示投掷一枚硬币
4
次后正面出现的总次数，若此硬币为非均匀的
216
。

625
2133
。

3125

高中数学教师手册 二项分布 9
硬币，出现正面机率
p
＝
2

，试绘出其机率质量函数图并求随机变量
X
的期望值与变异数。
3
?
2
?
解

此随机变数
X
的机率分布为二项分布
B
?
4,
?
，其机率分布表如下：

?
3
?
X

0

1

2

3

4

4
1
4
?
1
?
4
?
2
?

p
X

C
0
C
?
1
??
??
?
3
?
?
3
?
81
41
824
4
?
2
??
1
?
32
4
?
2
?
16< br>?
1
?
4
?
2
??
1
?

C
3
????
?

C
4
??
?

?C?
2
??????81
?
3
?
81
?
3
??
3
?
?
3
??
3
?
81
?
3
?81
k4?k
32231

4
?
2
??
1
?
其机率质量函数为
P< br>（
X
＝
k
）＝
C
k
????
?3
??
3
?
，
k
＝
0
，
1< br>，
2
，
3
，
4
。





其机率质量函数图如下，

X
的期望值为

E(X)?0?
182432168
?1??2??3??4??
（次），< br>
81818181813
X
的变异数为

8
?< br>1
?
8
?
8
?
8
?
24
?
8
?
32
?
8
?
168
?
Var (X)?
?
0?
?
??
?
1?
?
???
2?
?
??
?
3?
?
??
?
4?
?
??
。

3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
819
?
22222


教学眉批

1
当
p
＝时，其机率质量函数图呈对称。

2

教学眉批

1
p
当＝时，其机率质量函数图略呈右偏状态。

3

高中数学教师手册 二项分布 10

期望值为
1
次，

变异数为

补充演练

职业棒球季后赛第一 轮采五战三胜制，当参赛甲、乙两队中有一队赢得三场比赛时，就由该
队晋级而赛事结束。每场比赛皆须 分出胜负，且每场比赛的胜负皆不受之前已赛结果影响。
假设甲队在任一场赢球的机率为定值 p，试以 f（p）表实际比赛场数的期望值
（其中 0 ? p ? 1）。
解 (1) 若比 3 场可产生晋级队伍（甲表甲胜，乙表乙胜）：
甲甲甲：p
3
，乙乙乙：（1－p）
3
，
机率为 p
3
＋（1－p）
3
＝1－3p＋3p
2
。
(2) 若比 4 场可产生晋级队伍（□内表可交换）：
32
p
（1－p ）p＝3p
3
（1－p）甲甲乙甲：
C
2
，
3
。

4
3
p
（1－p）
2
（1 －p）＝3p（1－p）
3
， 甲乙乙乙：
C
2
机率为 3p
3
（1－p）＋3p（1－p）
3
＝3p（1－p）（2p
2
－2 p＋1）。
(3) 若比 5 场可产生晋级队伍（□内表可交换）：

高中数学教师手册 二项分布 11
甲甲乙乙甲：
C
2< br>4
p
2
（1－p）
2
p＝6p
3
（1－p）
2
，
甲甲乙乙乙：
C
2< br>4
p
2
（1－p）
2
（1－p）＝6p
2
（ 1－p）
3
，
机率为 6p
3
（1－p）
2
＋ 6p
2
（1－p）
3
＝6p
2
（1－p）
2
。

X
p
X
3
1－3p＋3p
2

4
3p（1－p）（2p
2
－2p＋1）
5
6p
2
（1－p）
2

故期望值为
f（p）＝3 ×（1－3p＋3p
2
）＋4×3p（1－p）（2p
2
－2p＋1）＋5× 6p
2
（1－p）
2

＝6p
4
－12p
3
＋3p
2
＋3p＋3（场）。

教学眉批

在推导二项分布的期望值公式时，需了解组合数
Ck
的计算及二项式定理的使用。


二项分布的变异数请参考课本附录。


同学应熟知二项分布的期望值与变异数。


教学眉批

若假设随机变量
X
的取值表示重复
n
次相互独立的白努利试 验之成功次数，则成功次数的
期望值与变异数始可代入上述之结论。


(1)
期望值为
4
题，标准偏差为
(2) 20
分。


45
题。

5
n

高中数学教师手册 二项分布 12
补充演练

小颖投篮的命中率为
4
，假设每次投篮的结果是互相独立的，试求在
25
次的投篮中，进球
5
次数的期望值与标准偏差分别为多少？

解

由题意知小颖投篮的命中率为




7
。

4

4
，假设随机变量
X
的取值表示小颖投篮的进球次数，

5
4
??
25,
X B
则的机率分布为二项分布
??
，因此小颖在投篮进球次数的期望值为
< br>5
??
4
E
（
X
）＝
25×
＝20
（次）。

5
41
进球次数的标准偏差为
Var( X)?25???2
（次）。

55

教学眉批

假设弹珠碰到铁钉之后往右方为成功，往左方为失败，则此为重复
4
次相互独立的 白努利试
1
4
?
1
??
1
?
验，其成功的 机率为。故弹珠落点在最左边之机率为
C
0
????
，由左至右机率依序为< br>2
?
2
??
2
?
3140
?
1??
1
?
1111
????????
4
?
1< br>??
1
?
44
C
1
????
，
C< br>?
2
??
2
?
，
C
3
????，
C
4
????
。

????
?
2< br>??
2
??
2
??
2
??
2
??< br>2
?
13
04
22
4
2



教学眉批

高中数学教师手册 二项分布 13
(1) 若 np 为整数时，在 X＝np 时有最大机率。
(2) 若 np 非整数时，


① 当（n＋1）p 为整数时，则 X 的取值为（n＋1）p－1 与（n＋1）p 均有最大机率。
② 当（n＋1）p 非整数时，则最大机率出现在介于（n＋1）p－1 与（n＋1）p 间的整数。
1
?
1
?
例：(1) 若 X 的机率分布为 B
?
8
，
?
时，即 n＝8，p＝
? np＝4，在 X＝4 时有最大机
2
??
2
率，如图 11。
1
?
18
?
(2) 若 X 的机率分布为 B
?
8
，
?
时，即 n＝8，p＝
? np＝，（n＋1）p＝3，在 X
3
??
33
＝2，3 时有最大机率，如图 12。

习题
1-2
详解
（搭配课本
P.42
～
44
）

一、基本题

1.
投掷一颗公正的骰子两次，设每一种结果出现的机率均相同。以
A
表示第一次掷出的点
数为
1
的事件，以
B
表示第二次掷出的点数为
1
的事件，试问
A
，
B
两事件是否为独
立事件？




解 因为
P
（
A
）
P
（
B
）＝


6611
×
＝，
P
（
A
∩
B< br>）＝，

36363636
所以
P
（
A
）
P
（
B
）＝
P
（
A
∩
B
），

故
A
，
B
是独立事件。

2.
设
P
（
A
）＞
0
，
P
（
B
）＞
0
，且
P
（
A
∩
B
） ＝
P
（
A
）
P
（
B
），则下列选项何者正 确？



(A) A
，
B
为独立事件

(B) P
（
A|B
）＝
P
（
A
）

高中数学教师手册 二项分布 14








(C) P
（
B|A
）＝
P
（
B
）

(D) P
（
B|A'
）＝
P
（
B
）

(E) P
（
A'|B
）＝
P
（
A'
）

解 已知
P
（
A
∩
B
）＝
P
（
A
）
P
（
B
），所以
A
，
B
为独立事件，





因此
P
（
A|B
）＝
P
（
A
），
P
（
B|A
）＝
P
（
B
），

P
（
B A
?
）
P
（
B
）
?P
（
BA）
P
（
B
）
?P
（
B
）
P< br>（
A
）
而且
P
（
B|A'
）＝＝＝＝
P
（
B
），
< br>P
（
A
?
）
1?P
（
A
）
1?P
（
A
）
P
（
A'|B
）＝
P（A< br>?
B）
P（B）?P（BA）P（B）?P（B）P（A）

＝＝＝< br>1
－
P
（
A
）＝
P
（
A'
），
P
（
B
）
P
（
B
）
P
（
B
）
故选项
(A)(B)(C)(D)(E)
正确。

3.
连续投掷一枚均匀硬币
3
次，设每一种结果出现的机率均相同。以
A
表示第一次出现正
面的事件，以
B
表示第二次出现正面的事件，以
C
表示第三次出现正面的事件，则
A
，
B
，
C
三事件是否为独立事件？










2×2
＝
8
，

解 设连续投掷一均匀硬币
3
次的样本空间为
S
，则
n
（
S
）＝
2×








2×2
＝
4
，
P
（
A
）＝以
A
表第一次出现正面的事件，则
n
（
A
）＝
1×
1 ×2
＝
4
，
P
（
B
）＝以
B
表第二次出现正面的事件，则
n
（
B
）＝
2×
2 ×1
＝
4
，
P
（
C
）＝以
C
表第三次出现正面的事件，则
n
（
C
）＝
2×
1 ×2
＝
2
，所以
P
（
A
∩
B
）＝而
n
（
A
∩< br>B
）＝
1×
1×1
＝
2
，所以
P
（
B
∩
C
）＝
n
（
B
∩< br>C
）＝
2×
2×1
＝
2
，所以
P
（
C
∩
A
）＝
n
（
C
∩
A
）＝
1×
41
＝，

82
41
＝，

82
41
＝，

82
21
＝＝
P
（
A
）
P
（
B< br>）；

84
21
＝＝
P
（
B
）P
（
C
）；

84
21
＝＝
P
（
C
）
P
（
A
）；

84
1
nABC1×1×11 PABC
（∩∩）＝＝，所以（∩∩）＝ ＝
P
（
A
）
P
（
B
）
P
（
C
）。

8
故
A
，
B
，
C
是独立事件。

高中数学教师手册 二项分布 15
4. 投掷一均匀硬币 5 次，试求：




(1) 5 次中恰出现 2 次正面的机率。
(2) 恰好在第 5 次出现第 2 次正面的机率。
5
?
1
??
1
?
解 (1) 机率为
C
????
＝。
16
?
2
??
2
?
5
2
23
(2) 恰好在第 5 次出现第 2 次正面的机率即为
在前 4 次出现 1 次正面且第 5 次出现正面的机率，
11
4
?
1
??
1
?
故所求为
C
1
????
×＝。
?
2
??
2
?
28
2
5. 阿伟在三分线投篮的命中率为 ，今他连续在三分线投篮 100 次，试求投进次数的期望
5
3
值、变异数与标准偏差。




解 命中率为



2
?
2
?
，投篮 100 次，此机率分布为二项分布 B
?
100
，
?
，
5
??
5
2
期望值为 100×＝40（次），
5
2
?
2
?
变异数为 100××
?
1
－
?
＝24，
5
?
5
?
标准偏差为
24
＝2
6
（次）。
6. 消基会抽验某市场中蔬菜是否有农药残留过量，设检验出农药残留过量的机率为 0.1，试
求在任意购买的 5 种蔬菜中，至少买到 3 种蔬菜农药残留过量的机率。




解 因为每种蔬菜农药残留过量的机率为 0.1，所以购买 5 种蔬菜时，



至少买到 3 种蔬菜农药残留过量的机率为
（0.1）
3
×（0.9）
2
＋
C
5
（0.1）< br>4
×（0.9）
1
＋
C
5
（0.1）
5 < br>C
5
3
×
4
×
5
×
＝0.0081 ＋0.00045＋0.00001＝0.00856。

高中数学教师手册 二项分布 16
二、进阶题

7.
有一测验共有
20
题单选题，每题有
4
个选项，而且每题恰有一个正确的标准答案，每
题答对得
5
分，不答或答错不给分亦不倒扣分数，总分
100
分。已知小萱于这次测验中
有
16
题完全答对，剩下
4
题不会，一律用猜的，每题答对与否互相独立。试求小萱这
次测验成绩的期望值。




8.
甲、乙两人比赛桌球，采五战三胜制，即先拿到三胜的 人赢。今已知每场比赛甲赢乙的机
率是
0.6
﹐并假设每场比赛结果互不影响，试求甲 赢球的机率。





1
??
解
4
题不会，用猜的得分期望值为
5?
?
4?
?
＝
5
（分），加上有
16
题完全答对得

4
??

16×5
＝
80
（分），故成绩的期望值为
80
＋
5
＝
85
（分）。

解 甲赢球的机率为

2422
（0.6）
3
＋
C
3
＋＝0. 68256。
?（0.6）?（0.4）?（0.6）C?（0.6）?（0.4）?（0.6）22
↓
连胜3场
↓
前3场胜2输 1，第4场胜
↓
前4场胜2输2，第5场胜
9.
设随机变数
X
的机率分布为二项分布
B
（
20
，
0.3
），则随机变量
X
的取值为多少时，
有最大机率？



解 假设随机变量 X 的取值为 k 时所对应的机率为
P
（
X
＝
k
） ＝
C
k
（
0.3
）
k
（
0.7
）
20
－
k
。

20

20620
－
6
（
0.3
）
?
（－
10.3
）P
（
X
＝
6
）
C
6
?
(1) ＝
20720
－7
P
（
X
＝
7
）
C
7
?
（
0.3
）
?
（－
10.3
）
20
！
614
?
（
0.3
）
?
（
0.7
）
7
0.7
6!14!
＝＝×＞1，
20
！
713
14
0.3
?
（
0.3
）< br>?
（
0.7
）
7!13!
即 P（X＝6）＞P（X＝7）。

高中数学教师手册 二项分布 17
20
6
20
5
620
－
6

（
0.3
）
?
（－
10.3
）
P
（
X
＝
6
）
C?
(2) ＝
520
－5
P< br>（
X
＝
5
）
C?
（
0.3
）
?
（－
10.3
）
20
！
614
?
（< br>0.3
）
?
（
0.7
）
15
0.3
6!14!
＝＝×＞1，
20
！
515
6
0.7
?
（
0.3
）
?
（
0.7
）
5!15!< br>




即 P（X＝6）＞P（X＝5）。
0.3
＝
6
时有最大机率。

由
(1)
、
(2)
得，当随机变数
X
的取值为
E
（
X
）＝
20×
三、挑战题

10.
根据以往经验，小贤和小芬对弈均无和局，小贤赢棋的机率是小芬的
2 < br>倍，且各棋局的
结果互相独立。今两人商量好先赢三场者胜，但小贤先让小芬一场（即一开始小芬 就以

1
：
0
领先）。设随机变量
X
的取值为两人分出胜负还需要再下的场数，试求
X
的期望
值与标准偏差。





1
解 设小芬赢的机率为
p
，则小贤为
2p
，所以
p
＋
2p
＝
1
，得
p
＝，

3



12
因此小芬赢的机率为，小贤为，

33
比赛的可能情形如下：

所以由下图可知，

高中数学教师手册 二项分布 18


111
X
＝
2
的机率是
??
，

339

1212112
?
4
X
＝
3
的机率是
??????
?
??
?
，

33 3333
?
3
?
9
1
?
2
?
1< br>?
2
?
124

3
X
＝
4
的机率是
C
1
??
??
??C
3
?
2< br>??
???
，
3
?
3
?
33
??< br>339
22
3

X
的机率分布表为

X

p
X

2

1

9
3

4

9
4

4

9




144
30
10
X
的期望值为
E
（
X
）＝
2×
＋
3×＋
4×
＝＝（场），

9993
9
10
?1
?
10
?
4
?
10
?
42
X
的标准偏差为
?
2?
??
??
?
3?
?
??
?
4?
?
??
（场）。

3
?
9
?
3
?
9
?
3
?
93?

222
观念推广（
P.34
）

证
(1)
先证明①
P
（
A'
∩
B
）＝P
（
A'
）
P
（
B
）；②
P
（
B
∩
C
）＝
P
（
B
）
P
（
C
）；


③
P
（
A'∩
C
）＝
P
（
A'
）
P
（
C
）。

高中数学教师手册 二项分布 19




















再证明
P
（
A'
∩
B
∩
C
）＝
P
（
B
∩
C
）－
P
（
A
∩
B
∩
C
）




＝
P
（
B
）
P
（
C
）－
P
（
A
）
P
（
B
）
P
（
C
）

＝
P
（
B
）
P
（
C
）（1
－
P
（
A
））

＝
P
（< br>A'
）
P
（
B
）
P
（
C
） 。

(2)
先证明①
P
（
A'
∩
B'< br>）＝
P
（
A'
）
P
（
B'
）；②< br>P
（
B'
∩
C
）＝
P
（
B'
）
P
（
C
）；







③
P
（
A'
∩
C
）＝
P
（
A'
）
P
（
C
）。

再证明
P
（
A'
∩
B'
∩
C
） ＝
P
（
C
）－（
P
（
A
∩
C）＋
P
（
B
∩
C
）－
P
（
A
∩
B
∩
C
））





P
（
C
）
P
（
C
）
P
（
B
）
P
（
C
）

＝
P
（
C
）－
P
（
A
）－
P
（
B
）＋
P
（
A
）
＝
P
（
C
）（< br>1
－
P
（
A
））－
P
（
B
）
P
（
C
）（
1
－
P
（
A
））

＝（
1
－
P
（
A
））（
1
－
P
（
B
））
P
（
C
）

＝
P
（
A'
）
P
（
B'
）< br>P
（
C
）。

(3)
先证明①
P
（
A'
∩
B'
）＝
P
（
A'
）
P
（
B'
）；②
P
（
A'
∩
C'
） ＝
P
（
A'
）
P
（
C'
）；





③
P
（
B'
∩< br>C'
）＝
P
（
B'
）
P
（
C'）。

再证明

P
（
A'
∩
B'
∩
C'
）
＝
1
－（
P
（
A
）＋
P
（
B
）＋
P
（
C
）－
P
（
A
∩
B
）－
P
（
B
∩
C
）－
P
（< br>A
∩
C
）＋


P
（
A
∩
B
∩
C
））


＝
1
－
P
（
A
）－
P
（
B
）＋
P
（
A
）
P
（
B
）－P
（
C
）＋
P
（
B
）
P
（< br>C
）＋
P
（
A
）
P
（
C
）

－
P
（
A
）
P
（
B
）
P
（
C
）


＝（
1
－< br>P
（
A
））－
P
（
B
）（
1
－
P
（
A
））－
P
（
C
）（
1
－
P
（
B
））＋
P
（
A
）
P
（
C
）

高中数学教师手册 二项分布 20
（
1
－
P
（
B
））





＝（
1
－
P
（
A
））（1
－
P
（
B
））－
P
（
C
） （
1
－
P
（
A
））（
1
－
P（
B
））

＝（
1
－
P
（
A
））（
1
－
P
（
B
））（
1
－< br>P
（
C
））

＝
P
（
A'
）
P
（
B'
）
P
（
C'
）。


补充演练（
P.34
）

解 若男生中适应者有
x
人，则假设如下：

适应状况

适应

性别

男生

女生

x
15
－
x
30
－
x
x
＋
5
不适应

因为性别与适应状况独立，故

P
（适应∩男生）＝
P
（适应）×
P
（男生）

?

x1530
＝×

?
x
＝
9
。

505050
故答案为

适应状况

适应

性别

男生

女生



9
人

6
人

21
人

14
人

不适应