求轨迹方程的常用方法及练习

《销售案场物业服务手册》

求轨迹方程的常用方法及练习
案场各岗位服务流程



销售大厅服务岗：
1、销售大厅服务岗岗位职责：
1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;
2)保持销售区域台面整洁;
3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;
4)收集客户意见、建议及现场问题点；
2、销售大厅服务岗工作及服务流程
阶段
班前阶
段
区域
工作及服务流程
1） 自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作
2） 检查使用工具及销售大厅物资情况，异常
情况及时登记并报告上级。
服务
流程

迎接
指引
递阅上饮品添加茶水
资料 （糕点）
侯客
迎
询问客户
送
客户
班中工行为
作程序 规范
工作1） 眼神关注客人，当客人距3米距离
要求 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后

《销售案场物业服务手册》

注意15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”
客人向休息区，在客人入座后问客人对
座位是否满意：“您好！请问坐这儿可
以吗？”得到同意 后为客人拉椅入座
“好的，请入座！”
3） 若客人无置业顾问陪同，可询问：请
问您有专属的置业顾问吗？，为客人取
阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍
等，置业顾问会很快 过来介绍，同时请
置业顾问关注该客人；
4） 问候的起始语应为“先生-小姐- 女士
早上好，这里是XX销售中心，这边请”
5） 问候时间段为8:30-11:30 早上好
11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下
午好
6） 关注客人物品，如物品较多，则主动
询问是否需要帮助（如拾到物品须两名
人员 在场方能打开，提示客人注意贵重
物品）；
7） 在满座位的情况下，须先向客人致
歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
事项 2） 在客人前方1-2米距离领位，指引请

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待；

阶段 工作及服务流程
饮料（糕点服务）
1） 在所有饮料（糕点）服务中必须使用
托盘；
2） 所有饮料服务均已“对不起，打扰一
工作
班中工要求
作程序 注意
事项
下，请问您需要什么饮品”为起始；
3） 服务方向：从客人的右面服务；
4） 当客人的饮料杯中只剩三分之一时，
必须询问客人是否需要再添一杯，在二
次服务中特别注意瓶 口绝对不可以与
客人使用的杯子接触；
5） 在客人再次需要饮料时必须更换杯
子；

1） 检查使用的工具及销售案场物资情况，异
常情况及时记录并报告上级领导；
下班程2） 填写物资领用申请表并整理客户意见；
序 3） 参加班后总结会；
4） 积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；

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1.3.3.3吧台服务岗
1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责
1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；
2）保持吧台区域的整洁；
3)饮品使用的器皿必须消毒；
4）及时补充吧台物资；
5）收集客户意见、建议及问题点；
1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程
阶段
班前阶
段
区域
工作及服务流程
1） 自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作
2） 检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情
况及时登记并报告上级。
服务
服务准
流程
迎客：保得知需客户
班中工
作程序
行为
规范

问询需求 按需求提
供饮品 客户离开后清理桌面

阶段 工作及服务流程

《销售案场物业服务手册》

工作1) 在饮品制作完毕后，如果有其他客户仍
班中工要求
事项
5） 检查使用的工具及销售案场物资情况，异
常情况及时记录并报告上级领导；
下班程6） 填写物资领用申请表并整理客户意见；
序 7） 参加班后总结会；
8） 积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4展示区服务岗岗位职责
1.3.4.1车场服务岗
1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责
1）维护停车区的正常停车秩序；
2）引导客户车辆停放，同时车辆停放有序；
3）当车辆挺稳时，上前开车门并问好；同时提醒客户锁好车门；
4）视情况主动为客户提供服务；
5）待车辆停放完好后，仔细检查车身情况请客户签字确认；
1.3.4.1.2
在等到则又销售大厅服务岗呈送；
作程序 注意2) 所有承装饮品的器皿必须干净整洁；
阶段
段
工作及服务流程
2） 检查周边及案场区设备、消防器材是否良
班前阶1） 自检仪容仪表

《销售案场物业服务手册》

好，如出现异常现象立即报告或报修
3） 检查停车场车位是否充足，如有异常及时上
报上级领导

迎
引导



敬
为
问
指引销售
服务
流程
送
为

班中工
作程序
行为
规范
引敬
检查车

1.敬礼2.指引停车3.迎客问好4.目送
阶段 工作及服务流程
1） 岗位应表现良好的职业形象时刻注
工作
班中工要求
作程序 注意
事项
意自身的表现，用BI规范严格要求自
己
2） 安全员向客户敬礼，开车门，检查车
辆情况并登记，用对讲系统告知销售大
厅迎宾，待客人准备 离开目送客人离
开；

《销售案场物业服务手册》

1） 检查使用的工具情况，异常情况及时记录
并报告上级领导；
下班程2） 参加班后总结会；
序 3） 统计访客量；
4） 积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4.2展示区礼宾岗
1.3.4.2.1展示区礼宾岗岗位职责
1）对过往的客户行标准的军礼，目视；
2）与下一交接岗保持信息联系，及时将信息告知下一岗位，让其做好接待工作；
3）热情礼貌的回答客户的提问，并做正确的指引；
4）注视岗位周边情况，发现异常及时上报上级领导；
1.3.4.2.2展示区礼宾岗工作及服务流程
阶段
班前阶
段
工作及服务流程
1） 自检仪容仪表
2） 检查周边及案场区设备、消防器材是否良
好，如出现异常现象立即报告或报修
敬礼问
指引样板
敬礼目送
班中工服务
作程序 流程

《销售案场物业服务手册》

行为
规范

1.迎接客户2.指引客户3.为客户提供帮
助4.目送客户
1） 礼宾岗必须掌握 样板房户型、面积、
朝向、在售金额、物业服务管理费用等
客户比较关注的话题；
工作
要求
注意
事项
2） 礼宾岗上班后必须检查样板房的整
体情况，如果发现问题必须及时上报并
协助销售进行处理；
3） 视线范围内见有客户参观时，远处目
视，待客户行进1.5米的距离时，敬军
礼 并主动向客户微笑问好，“欢迎您来
参观样板房，这边请，手势指引样板房
方向”；
阶段
班中工要求
作程序 注意
事项
工作及服务流程
工作4） 参观期间，礼宾岗需注意背包或穿大
衣等可以重点人员进行关注，避免样板
房的物品丢失，当巡检时发现有物品丢
失及时上报上级领导，对参观的可疑人

《销售案场物业服务手册》

员进行询问，根据销售部的意见决定是
否报警；
5） 样板房开放时间，在未经销售、项目
部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻，
禁止 任何人员挪动展示物品；
6） 样板房开放时礼宾岗要关注老人、小
孩、孕妇及行动不便的人 群，对在参观
过程中出现的意外及物品损坏必须及
时上报上级领导，根据销售部的意见进
行处理并做好登记；
7） 样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确
的回答客户的问题，对不能回 答的问题
需引导给销售人员由其进行解答，严禁
用含糊不清或拒绝来回答；
8） 留意客户是否离开样板房，通知电瓶
车司机来接客户；
9） 当客户参观完毕离开样板房，待 客户
1.5米距离时微笑敬礼目送客户，手势
指向出门的方向，若电瓶车未到，向客
户 致歉并说明电瓶车马上就到；
10） 每天下班要对样板房物品进行检查
并做好登记，如出现丢失或损坏须向上

《销售案场物业服务手册》

级领导呈报，根据销售部意见进行处理
并做好记录；
11） 礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、
电源及监控系统并与晚班人员做好交
接；
12） 对于特殊天气，样板房礼宾岗要检查
周边环境，以防不则；
1） 检查使用的工具情况，异常情况及时记录
并报告上级领导；
下班程2） 参加班后总结会；
序 3） 统计访客量；
4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时
间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4.3电瓶车服务岗
1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责
1）严格按照规定的路线及线路行驶，将客人送到指定地点；
2）正确执行驾驶操作流程，确保车行安全；
3）了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞，在允许的情况下礼貌回答客户问题；
4）车辆停放时及时对车辆进行清洁，确保车辆干净；
5）负责车辆的检查；
6）对车辆实施责任化管理，未经允许任何人不得驾驶；
7）不允许非客户人员乘坐电瓶车；

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8）做好电瓶车的交接工作

1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程
阶段
班前阶
段
工作及服务流程
1） 自检仪容仪表
2） 检查电瓶车运行状态，如发现问题立即上
报上级领导进行维修并做好记录
服务
问
指引
流程
车辆起
车辆行驶
下
行为
规范
班中工
作程序
工作
要求
注意
事项

1）迎接客户上车2）转弯、减速、避让
提示客户3）下车提示客户小心
1） 电瓶车驾驶员载客至样板房过程中
禁止鸣笛、超速、遇车避让；
2） 客户上车时应主动问好 ，欢迎您来到
XX项目，车辆行驶时应提示客户坐稳扶
好，到达目的地时，驾驶员提示客户样< br>板房已经到达请小心下车，客户离开电
瓶车时应说：欢迎下次乘坐，谢谢再见，

< br> 《销售案场物业服务手册》

请慢走；
3） 带客户下车时应检查车上是否有遗
留物品，并提示客户随身带好物品；
4） 电瓶车必须严格按照规定路线行驶；
5） 做好行车记录；

1） 待客户全部离开后将电瓶车开至指定位
下班程
序
置，并将车辆进行清洁及充电；
2） 整理客户意见，参加班后会；
3） 积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.5样板房服务岗
1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准
1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责
1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解；
2）协助、配合置业顾问介绍；
3）客户离开后，样板房零星保洁的处理；
4）收 集客户意见、建议及现场问题点的填写（样板房日常庶务）反馈单,下班后递交
案场负责人；
1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程
阶段 工作及服务流程
班前阶1） 自检仪容仪表，以饱满的工作状态进入工

《销售案场物业服务手册》

段 作；
2） 检查样板房设备设施运行情况，如有异常
及时上报并做好登记；
3） 检查样板房保洁情况及空调开启情况；
服务
迎客，
流程
引导客协助置向客户
行为
规范
设备设
施班中
工作程
序
工作
注意

1）站立微笑自然2）递送鞋套3）热情大
方、细致讲解4）温馨道别保持整洁
1） 每日对接样板房设备清单，检查空调
开启及保洁状态；
2） 站在样板房或电梯口，笑意盈盈接待
客户；
迎光顾XX样板房”
时不宜过高，与客人坐下时的膝盖同
高；
5） 与客户交谈时声音要足，吐字清晰避
要求 3） 顾客出现时，身体成30度角鞠躬“欢
事项 4） 引领入座并双手递上鞋套，双手递上

《销售案场物业服务手册》

免重复；
6） 专注你接待的客户，勿去应其他客
户，以示尊重，对其他客户微笑点头以
示回应；
7） 若无销售人员带领的客户，要主动介
绍房子的户型及基本信息，谈到房子的
价位 时请客户直接与销售人员联系不
要直接做回答；
8） 参加样板房时，未经销售或其他人员< br>允许谢绝拍照及录像，谢绝动用样板房
物品及附属设施，对客遗失物品做好登
记并上报上 级领导；
9） 时刻注意进入样板房的客户群体，特
别是小孩，要处处表达殷勤的关心，以
示待客之道；
10） 时刻留意客户的谈话，记下客户对样
板房的关注点和相关信息；
11） 送 别，引领客户入座示意脱下鞋套双
手承接，客户起身离去时，鞠躬说感谢
您参观样板房，并目送 客户离开；
下班程1） 检查样板房设备设施是否处于良好的运营
序 状态，如出现异常及时维修；

《销售案场物业服务手册》

2） 需对接样板房物品清单；
3） 整理客户意见，参加班后会；
4） 积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.5.2样板房服务岗岗位标准（参见销售大厅服务岗岗位标准）


1.3.6案场服务岗管理要求
岗前培训 BI规范及楼盘基本情况
在岗培训每1）公司企业文化2）客户服务技
月至少一次 巧3）客户心理培训4）突发事件
培训及
例会
例会
处理5）营销知识培训6）职业安
全7）7S现场管理
日会：每日参加案场管理岗组织
的总结会并及时接收案场信息
周会：每周参加管理岗组织的服
务类业务点评会
客户信
息收集场管理岗
反馈
样板房客户车场岗客户
每日汇总客户信息反馈到案

《销售案场物业服务手册》

1）考核频次：至少每月一次；
2）考核人：案场管理岗；
监督考3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及
核 客户满意度调查情况进行绩效加减；
4）由案场负责人直接考核；
5）连续两个月考核不合格者直接辞退
1.4案场基础作业岗
1.4.1案场基础作业岗任职资格
岗位类岗位名称
型
基本要求：
以上；
基
础
作
业
岗
安
全
岗
任职资格
技能要求：
目的基本
情况
2） 具备过
硬的军事
素质
1） 男性：身高1.80米1） 熟悉项
2） 年龄：(18-30)岁；
3） 普通话标准；
4） 学历：高中以上；
素质要求：
1） 性格：开朗、主动服
务意识强有亲和力；
2） 从业经历：具有同岗
位经验半年以上

《销售案场物业服务手册》

基本要求：
1） 男女不限；
2） 年龄30岁以下
案场保洁3） 学历：初中以上
技能要求“
案场保洁岗：
熟知药剂使
用及工具使
岗及绿化
素质要求：具有亲和力，
用
养护岗
对保洁及绿化工作有认
案场绿化养
同感
护岗：熟知树
木习性及绿
化养护知识
基本要求：男性 五官端技能要求：
正
素质要求：
案场技术
主动服务意识
保障岗
1） 具有水
调证书；
岗位操作
工具的使
用；
3） 同岗工
作一年以
上

1.4.2案场基础作业岗通用行为规范
学历：中专（机电一体化） 或电及空
踏实肯干，具有亲和力及
2） 熟悉各

《销售案场物业服务手册》

通参照
用规范 标准
君正
物业

员工
BI规
范手
册

1.4.3安全岗岗位标准
1.4.3.1安全岗岗位职责
1）负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作，维持正常秩序；
2）监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息；
3）发现和制止各种违规和违章行为，对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看；
4）谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为；
1.4.3.2安全岗作业要求
1）按照巡视路线巡视签到检查重点部位；
2）遇见客户要站立、微笑、敬礼，礼貌的回答客户的提问并正确引导；
3）人过地净，协助案场保洁人员做好案场的环境维护；
4）在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录；
5）协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作；
6）积极协助其他岗位工作，依据指令进行协助；

《销售案场物业服务手册》

1.4.4保洁岗岗位标准
1.4.4.1保洁岗岗位职责
1）负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作；
2）负责案场外围的清洁工作；
3）负责案场垃圾的处理；
4）对案场杂志等资料及时归位；
1.4.4.2保洁岗作业要求
1）每天提前半小时上岗，对案场玻璃、地面等进行全方位清洁；
2）卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁；
3）阴雨天提前关闭门窗；
4）掌握清洁器具的使用；
5）熟知清洁药剂的配比及使用；
1.4.5绿化岗岗位标准
1.4.5.1绿化岗岗位职责
1)负责管理区域内一切绿化的养护；
2）确保绿化的正常存活率；
3）对绿植进行修剪及消杀；
1.4.6案场技术岗岗位标准
1.4.6.1案场技术岗岗位职责
1）全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养；
2）协助管理岗完成重大接待工作案场的布置；
3）现场安全的整体把控；

《销售案场物业服务手册》


1.4.6.2案场技术岗岗位要求
1）每日案场开放前对辖区设备设施进行检查，保障现场零事故；
2）每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录；
3）报修后5分钟赶到现场；
4）接到异常天气信息，对案场设备进行安全隐患排除；
1.4.7案场基础作业岗岗位要求
岗前培训 BI规范及楼盘基本情况
在岗培训每1）公司企业文化2）客户服务技
月至少一次 巧3）客户心理培训4）突发事件
培训及
例会
例会
处理5）营销知识培训6）职业安
全7）7S现场管理
日会：每日参加案场管理岗组织
的总结会并及时接收案场信息
周会：每周参加管理岗组织的服
务类业务点评会
客户信
息收集场管理岗
反馈
监督考
核
1）考核频次：至少每月一次；
样板房客户车场岗客户
2）考核人：案场管理岗；
3）每月汇总客户信息反馈表，依 据上级检查及
每日汇总客户信息反馈到案

《销售案场物业服务手册》

客户满意度调查情况进行绩效加减；
4）由案场负责人直接考核；
5）连续两个月考核不合格者直接辞退
2服务创新案例
项
目
为
客
户
爱
车
服
务
提
供
遮
阳
服
务
服
务
员

面
向
客
户
时
刻
关
注
客
户



推荐亮点
上午
11
点给

客户
送上
点
心，
关怀
到心

《销售案场物业服务手册》


2服务创新案例
项
目
夏
日
毛
巾
送
清
服凉，
务 冬
日
毛
巾
暖
人
心
销
摆售
件 大
厅
销
售
大

厅

洗
手
间
提
供
百
宝
箱
推荐亮点
样
板

房
门
口
提
供
卷
尺
待
客
户
使
用
标
准
摆

设：

《销售案场物业服务手册》

布
置
整
齐
规
范
布
置
整
齐
规
范
水
中
花、
烟
缸、
百
宝
箱、
项
目
推
介
书
茶
几
物
品、
花、
烟
缸

水
中
花
时
尚
周

围
用
木
桩
装
饰

《销售案场物业服务手册》

垃
圾
桶
装
饰
（石
子
边
缘
放
置
一
枚
花
卉）
样
板
房
没
有
电
样
板
房

门
口
鞋
销
售
大

厅
设
置

垃
圾
桶

上
方
加
印
LOG
O
整
齐
的

伞
架

《销售案场物业服务手册》

梯
所
设
的
温
馨
字
画
套
分
门
别
类
摆
放
娱
乐
实
施
（
桌
球
等）

《销售案场物业服务手册》

求轨迹方程的常用方法

一、求轨迹方程的注意事项：
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，
即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
?
x?f(t)
2.轨迹方程既可用普通方程F(x
，
y)?0表示
，
又可用参数方程(t 为参数)

?
?
y?g(t)
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲 线，则往往需将参数方程化为普通 方
程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以
该方程的某些解为 坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点
未能用所求的方程表示）。出现增解则要 舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：
研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹，这样更 易于检查是否有
不合题意的部分或漏掉的部分。
二、常用方法及例题
1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）
如果动点P的运动规律合乎我们已知的 某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物
线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中 的常数,即可得
到轨迹方程。
【点评】
熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线
方程的关键。
（1） 圆：到定点的距离等于定长
（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于
两定点的距离）
（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常
数（小于两定点的距离）

- 26 -

《销售案场物业服务手册》

（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等
例1：已知
?ABC
的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），
（4，0），C 为动 点，且满足
sinB?sinA?
5
sinC,
求点C
4
的 轨迹。
【解析】由
|AC|?|BC|?10
sinB?sinA?
5sinC,
4
可知
b?a?
5
c?10
4
，即
，满足椭 圆的定义。令椭圆
y
2
b
'
2
方程为
x
2
a
'
2
??1
，则
a
'
?5,c
'
?4?b
'
?3
，
则轨迹方程为
x
2
y
2
??1
259
（
x ??5)
，图形为椭
圆（不含左，右顶点）。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M
1
，圆
一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
。
，
的圆心为M
2
，
。
∴动圆圆 心P的轨迹是以M
1
、M
2
为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2
=12。
故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O：
x
x
2
?y
2
?6x?8?0
2

?y
2
? 1
外切，而与圆C：
内切，那么动圆的圆
心M的轨迹是：
- 27 -
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支

《销售案场物业服务手册》

|MO|?R?1
【解答】令动圆半径为R， 则有
?
，则
?
|MC|?R?1
?
|MO|-|MC|=2 ，满足双曲线定义。故选D。
2.用直译法求曲线轨迹方程
如果动点P的运动规律是否合乎 我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P
满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几 何上的等量关系，再
用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和
B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨
迹方 程？
解 设M点的坐标为
(x,y)
由平几的中线定理：
1
AB??2a?a,
在直角三角形AOB中，OM=
1
22
?x
2
?y
2
?a,x
2
?y2
?a
2

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点 评】此题中找到了
AB
这一等量关系是此题成功OM=
1
2
的关键所 在。
一般直译法有下列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由
题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将
数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，

- 28 -

《销售案场物业服务手册》

需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出
等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公
式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等
变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律
的数量关系不明显 ，这时可借助平面几何中的有
关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、
连心线的性质等 等，从而分析出其数量的关系，
这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方
法.
【变式2】
:
动点P（x,y）到两定点A（－3，0）
PA|
? 2
）和B（3，0）的距离的比等于2（即
|
|
PB
，求
|
动点P的轨迹方程？
【解答】∵|PA|=
代入
|PA|
?2|PB|
(x?3)
2
?y
2
,|PB|?(x?3)
2
?y
2

得
(x?3)
2
?y
2(x?3)?y
22
?2?(x?3)
2
?y
2
?4( x?3)
2
?4y
2
化简得（x－5）
2
+y
2< br>=16，轨迹是以（5，0）
为圆心，4为半径的圆.
。X。X。K
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l
1
，

- 29 -

《销售案场物业服务手册》

l
2
，若l
1
交x轴于A点，l
2
交y 轴于B点，求线
段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数
法)

分 析1：利用△PAB为直角三角形的几何特性：
|MP|?
1
|AB|
2解法1：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B
（0，2y），
∵l
1
⊥l
2
，∴△PAB为直角三角形

由直角三角形的性质
，
|MP|?
1
|AB|

2

?
程。
分析2：设M（x，y），由已知l1
⊥l
2
，联想到两
直线垂直的充要条件：k
1
k2
＝－1，即可列出轨迹
方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。
事实 上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之
间的联系。

- 30 -
1
(x?2)
2
?(y?4)
2
?·(2x)
2
? (2y)
2
2

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方

《销售案场物业服务手册》

解法2:
设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B
（0，2y）。
又l
1
，l
2
过点P（2，4），且l
1
⊥l
2
∴PA⊥PB，从而k
PA
·k
PB
＝－1，

而k?
2
4
?
?
2
0
x
，k?
4
2
?
?
2
0
y

PAPB
4?2y

?
2?
4
2x
·??1，化简，得x?2y?5?0

2
注意到l
1
⊥x轴时，l
2
⊥y轴，此时A（2 ，0），
B（0，4）
中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋
2y－5＝0
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动
是由直线l
1
引发的，可设出l
1
的斜率k作为参数，
建立动点M 坐标（x，y）满足的参数方程。
3.用参数法求曲线轨迹方程
如果采用直译法求轨迹方程 难以奏效，则可寻求引发动点P运动如果采用直
?
x?f(t)
译法求轨迹方程难以奏 效，则可寻求引发动点P运动的函数关系
?
，进而
?
y?g
?
t
?
通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
此类方法主要在于设置合适 的参数，求出参
数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的
取值范围。

- 31 -

《销售案场物业服务手册》

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1
，
l
2
，若l
1
交x轴于A点，l
2
交y轴于B点，求线
段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数
法)
解法3：设M（x，y），设直线l
1
的方程为y－4
＝k（x－2），（k≠０ ）

由l?l
，
则直线l的方程为y?4??
1
(x?2)

k
122
4

?l与x轴交点A的坐标为(2?
k
，
0)
，

1
2
)
，

l与y轴交点B的坐标为(0
，
4?
k
2
∵M为AB的中点，

4
?
2?
?
k
?1 ?
2
x?
?
?
2k
?
?
(k为参数)2
?
4?
?
k
?2?
1
y?
?
2k
?
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满
足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足
上述轨迹方程。

- 32 -

《销售案场物业服务手册》

综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】解法1，2为直译法，运用了
|MP|?
1

|AB|
k
PA
·k
PB
＝－1这些等量关系。
2
解法3用了参数法，消参时应注意取值范围。
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，
距离，角度 ，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具
体的意义，选定参变量还要特别注意 它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。
4.用代入法等其它方法求轨迹方程(也叫相关点法)
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，
（该点坐标 满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关
点P'的坐标，然后把P' 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
例
x
2
y
2
4.
点B是椭圆
a
2
?
b
2
?1上的动点
，A
(2a
，
0) 为定点
，
求线段AB的中点M的

轨迹方程。
分析：题中涉及了 三个点A、B、M，其中A为定
点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，
显然M的运动 是由B的运动而引发的，可见M、B
为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【 解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点
坐标为（x
0
，y
0
）
则由M为线段AB中点，可得
?
x
0
?2a
?x
?
?
x
0
?2x?2a
?
2
?
??
y?0
?
y
0
?2y
?
0
?y?
?
2

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

- 33 -

《销售案场物业服务手册》




x
2
y
2
又?点B(x
0
，y
0
)在椭圆
2
?
2
?1上
ab
22


< br>xy
?
0
2
?
0
2
?1
ab
(2x?2a)
2
(2y)
2
从而有??1
，
22
ab
4(x?a)
2
4y
2
整理
，
得动点M的轨 迹方程为?
2
?1
a
2
b
【点评】代入法的关键在于找到动 点和其相关点坐标间的等量关系
5.几何法
若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直 平分线，角平分线的性质等），
可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
例5. 若圆C与两圆
?
x?4
?
2
?y
2
?1,
?
x?1
?
?
?
y?4
?
?1
22
外切，则
圆C的圆心轨迹l的方程是
5
变式:已知两点
M(1,
5
),N(?4,?)
给出下列曲线方程：①
44
4x?2y?1?0
；②
x
2
?y?3
2
；③
x
2
?y2
?1
2
；④
x
2
?y
2
?1
2
，在曲
线上存在点P满足
|MP|?|NP|
的所有曲线方程是
（ ）
A ①③ B ②④ C ①
②③ D ②③④
【点评】
垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【解答】: 要使 得曲线上存在点P满足
|MP|?|NP|
,即
要使得曲线与MN的中垂线
y ??2x?3
有交点.把直线
方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则

- 34 -

《销售案场物业服务手册》

选D
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这
类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨
迹方程（若能直接消去两 方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经
常与参数法并用。
例6.两条直线< br>x?my?1?0
与
mx?y?1?0
的交点的轨迹方
程是 .
【解答】:直接消去参数
m
即得(交轨法):
x?y?x?y?0

7.常见错误：

【例题】
?ABC
中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，
22
0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。 【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足
椭圆的定义。令椭圆方程为
x
2
y
2
??1
a
2
b
2
，则由定 义可
知
a?5,c?3
，则
b?4
，得轨迹方程为
x2
y
2
??1
2516
【错因剖析】ABC为三角形，故A，B ，C不能三
点共线。
【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三
点共线。轨 迹方程里应除去点
(5,0).(?5,0)
，即轨迹方
程为
x
2< br>y
2
??1(x??5)

2516
【总结】1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，
在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；

- 35 -

《销售案场物业服务手册》

另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。
2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直译法等方
法的选择。
3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部
分或漏掉的部分。
针对性练习：
1:已知圆的方程为(x-1)
2
+y
2
=1,过原点O作圆的
弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .
【解答】:令M点的坐标为(
x,y)
,则A的坐标为(2
x,2y)< br>,
代入圆的方程里面得:
(x?
1
)
2
2
? y
2
?
1
(x?0)
4

2:点M到点F（4，0 ）的距离比它到直线
x?50?
的
距离小1，则点M的轨迹方程为_________ ___。
【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距
离与它到直线
x
的 距离相等。则点M的轨迹是
??4
以F（4，0）为焦点、
x
为准线的抛物线 。故
??4
所求轨迹方程为
y
2
?16x
。
3: 求与两定点距离O(0,0),A(3,0)的比为1：2的点
的轨迹方程为_________ ，y
【解答】：设
P
?
x
?
是所求轨迹上一点，依题意
得

PO
PA
?
1
2

- 36 -

《销售案场物业服务手册》

由两点间距离公式得：
化简得：
x?y?2x?30?

22
x
2
?y
2
?
x?3
?
2
? y
2
?
1
2

4.抛物线
y
2
? 4x
的通径（过焦点且垂直于对称轴的
弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线
上，求△ABC重心P的轨迹方程。
，y
【解答】：因点
P
?
x< br>?
是重心，则由分点坐标公
?2y
，y?
式得：
x?
x
3

3
11
即
x
1
?3x?2，y1
?3y

x，y
?
由点
C
在抛物线
y
?
11
2
?4x
上，得：
y
2
2
1
?4x
1

（
x?1)
将
x
1
?3x?2，y
1
?3y
代入并化简，得：
y?
4< br>?
2
?
?
x?
?
3
?
3
?
5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
N两点，MN中点的横坐标为
，0），直 线y=x－1与其相交于M、
，求此双曲线方程。

。将y=x－1代【解答】：设双 曲线方程为
入方程整理得
x
2
y
2
?
2
? 1
2
ab
。

- 37 -

《销售案场物业服务手册》

由韦达定理得
x
x
1
?x
2
2a
2
a
2
2
?x?,???
1 2
23
a
2
?b
2
a
2
?b
2< br>2
。又有
，联立方程组，解得
a
∴此双曲线的方程为
?2,b
2
?5
。
。
6.过原点作直线
l
和抛物线y?x
2
?4x?6
交于A、B两点，求线段AB的中点M的
轨迹方程。
【解答】
：由题意分析知直线
l
的斜率一定存在，设直线
l
的方程y=kx。
把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相
交，所以△>0，解得x?(??,?4?26)?(?4?26,??)
。
设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由
又
消去k得。
，所以
x?(??,?6)?(6,??)
。
∴点M的轨迹方程为
y?2x
2
?4x,x?(??,?6)?(6,??)
。




- 38 -