2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

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2010年全国高中数学联赛四川省预赛



2010年全国高中 数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学
竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛 委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌.
预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察 学生对基础知识和基本技能的掌
握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广
大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织
竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷 答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6
道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题 （每道5分，共30分）；4道解答题（每道20
分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午
14:30~16:30.
竞赛完后先由各市、州集中评卷， 然后将其中10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员
会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四 川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评
出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书.
经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007
年起 ，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预
赛的一、二等奖 获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场
设在成都七中，个别边远 地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛
委员会给予适当资助.

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试 题

一、选择题（本题满分40分，每小题5分）
1、已知
p
：
1?sin2
?
?
44
和
q
：
sin
?
?cos
?
?
．则
p
是
q
的（ ）.
33
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件 ，记其中含正品的个数个数为
随机变量
?
，则
?
的数学期望
E
?
是（ ）.
6789
B、 C、 D、
5555
3、设正三棱锥
S? ABC
的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱
SA
与底面
ABC
所成 的
A、
角的大小是（ ）.
A、
30
B、
45
C、
60
D、
arctan2

???
x
4
?(k
2
?2k?4)x
2
?4
4、已知函数
f(x)?
的最小值 是0，则非零实数
k
的值是（ ）.
42
x?2x?4
A、
?4
B、
?2
C、2 D、4
5、长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D< br>1
的八个顶点都在球
O
的球面上，其中
AA
1
?1< br>，
AB?22
，
AD?33
，则经过
B、C
两点的球 面距离是（ ）.
A、
2
?
4
?
B、 C、
2
?
D、
4
?

33
2
6、对任意实数
m
，过函数
f(x)?x?mx?1
图象上的点
(2,f(2))
的切线恒过一定点
P
，则点
P
的坐标为（ ）.
A、
(0,3)
B、
(0,?3)
C、
(,0)
D、
(?
3
2
3
,0)

2
x< br>2
y
2
7、设A
1
、A
2
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右顶点，若在椭圆上存在异于A
1、A
2
ab
的点
P
，使得
PO?PA
2
?0
，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率
e
的取值范围是（ ）.
A、
(0,
11
2
2
)
B、
(0,
,1)

)
C、
(,1)
D、
(
2
2
2
2
2
8、记
F(x,y)? (x?y)?(
x3
2
?),(y?0)
，则
F(x,y)
的最小值是（ ）.
3y

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A、
1216
18
B、 C、 D、4
5
55

二、填空题（本题满分20分，每小题5分）
)?
． 9、< br>f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且
f(x)?f(1?x)
，则
f(2010
10、实数
x，y
满足
3|x?1|?2|y?1 |?6
，则
2x?3y
的最大值是 ．
11、在数列< br>{a
n
}
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，
a
n
,S
n
,S
n
?
1成等比数列，则
2
limn
2
a
n
?
．
n??
12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“
A?{1,2,3, 4,5,6,7}
，且若
a?A
时，
必有
8?a?A
”的所 有非空集合
A
的容量的总和是 ．（用具体数字作答）

三、解答题（本题满分80分，每小题20分）
13、已知函数
f(x)?sin( x?
?
4
)?2sin(x?
?
4
)?4cos2x?3c os(x?
3
?
)
．
4
（1）试判断函数
f(x)
的奇偶性，并给出证明；
（2）求
f(x)
在
[

14、已知
F
为 抛物线
y?4x
的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为
k
1的直线
与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线
CD的斜率为
k
2
．
（1）求
2
?
2
,
?
]
上的最小值与最大值．
k
1
的值；
k
2
（2）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．
15、已知函数
f(x)?x?mx?x?1
，其中
m
为实数．
（1）求函数
f(x)
的单调区间；
（2）若对一切的实数
x，有
f
?
(x)?|x|?
求实数
m
的取值范围．

16、已知
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项的和，对任意的正整数
n
，都有
(1?b)S
n
??ba
n
?4
成立，其中
b?0
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
32
7< br>成立，其中
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数．
4

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（2）设
c
n
?

a
n
?
(n?N)
，若
|c
n
|?2
，求实数
b
的取 值范围．
n
4
解 答
1、C 提示：因为
1?sin2
?
?
的充要条件．故选C．
12
C
4
C
4
8
2、C 提示：数学期望是：
1?
2
?2?
2
?
．故选C.
C
5
C
5
5
(sin
?
?cos
?)
2
?sin
?
?cos
?
?
4
，故
p
是
q
3
3、A 提示：设顶点
S
在底面?ABC
的射影是
H
，则
H
为
?ABC
的外心 ．从而
AH?
23
?3??3
，于是可得
?SAH?30
?
．故选A．
32
2
x
2
42
4、B 提示：f(x)?1?(k?2k?6)
4
，因为
x?4?4x
，故
2
x?2x?4
x
2
1
0?
4
?
.
2
x?2x?46
当
k?2k?6?0
时，
f
mi n
?1
，不合题意；
当
k?2k?6?0
时，
2
2
1
f
max
?1,f
min
?1?(k
2?2k?6)
，
6
由条件知
1?
1
2
(k? 2k?6)?0
，解得
k??2
或0（舍去）．故选B.
6
1< br>1?(22)
2
?(33)
2
?3
，在
?OBC中5、C 提示：球
O
的半径
R?
2
12
?
OB?OC?3
，
BC?AD?33
，则
cos?BOC??
，从而
?BOC?
．
23
1
所以，经过
B、C
两点的球 面距离是
2
?
?3??2
?
．故选C．
3
6、 B 提示：因为
f
?
(x)?2x?m
，故
f
?
( 2)?4?m
．于是过
(2,f(2))
的切线方程
是：
y?(5? 2m)?(4?m)(x?2)
，即
y?(m?4)x?3
，因此切线方程恒过
(0,?3)
．故
选B．
7、D 提示：由题设知∠OPA
2
=90°，设P(x,y)(x>0)，以OA
2
为直径的圆方程为
b
22
a
2
a
2
2
2
(x?)?y?
，与 椭圆方程联立得
(1?
2
)x?ax?b?0
．由题设知，要求此方程
24
a

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在(0, a )上有实根．由此得
0?
a
b
2
2(1?
2
)
a
?a
化简得
e
2
?
1
2
，所以 e的取值范围为
(
故
,1)
．
2
2
选D．
8、C 提示：设动点
P(x,?)
与
Q(y,)
，则
F (x,y)?PQ
，点
P
的轨迹为直线
x
3
3
y< br>2
x3
3
y??
，点
Q
的轨迹为双曲线
y?
，双曲线上的任一点
(x
0
,)
到直线
x?3y?0
的距
3x
x
0
离
x
0
?3?
d?10
3
x
0
?
6
，
10
当
x
0
??3
时等号成立．故
F(x,y)
的最小值为
18< br>．故选C．
5
9、0 提示：由条件知
f(0)?0
，
f (x?1)?f(?x)??f(x)
，于是
f(x?2)?f(x)
，
)? f(0)?0
．故填0． 即
f(x)
是以2为周期的周期函数．所以，
f(2010
10、4 提示： 由
3|x?1|?2|y?1|?6
确定的图形是以四边形
ABCD
及其内部 ，其中
A(?1,4)
、
B(1,1)
、
C(?1,?2)
、
D(?3,1)
．由线性规划知识知，
2x?3y
的最大值是4，
当
x??1,y??2
时可取到．故填4．
11、
?
1
提示：由条件知当
n?2
时，
2
11
2
S
n?a
n
(S
n
?)?(S
n
?S
n?1
)(S
n
?)
，
22
从而
11
??2
，于是
S
n
S
n?1
11
??2(n?1)?2n?1
，
S
n
S
1
所以
S
n
?
1
．于是
2n?1
a
n
?S
n
?S
n?1
?
所以，
112
???
.
2n?12n?3(2n?1)(2 n?3)

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2n
2
limna
n
?lim??lim?
n??
n??
(2 n?1)(2n?3)
n??
2
1
??
．
13
2
(2?)(2?)
nn
2
故填
?
1
．
2
12、224 提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：
A
1
?{4}
，
A
2
?{1,7}
，
A
3?{2,6}
，
A
4
?{3,5}
，将这四个集合中的元素任意 组合起来也满足要求，则所有符合条
件的集合A中元素的总和是 ：
(4?8?8?8)?2
3
?224
．故填224．.
13、（ I）
f(x)?
232
(sinx?cosx)?2(sinx?cosx)?4co s2x?(cosx?sinx)

22

??22cosx?4cos2x
，

f(?x)??22cos(?x)?4cos(?2x)??22cosx? 4cos2x?f(x)
.
所以，
f(x)
为偶函数．
（II）
f(x)??22cosx?4(2cos
2
x?1)


??8cosx?22cosx?4


??8(cosx?
因为
x?[
2
2
2
17
)?
.
84
?
2
,
?
]
，故
?1?cosx?0
，所以，当
cosx?0
时，
f(x)
有最小值
4
；
当
cosx??
17
2
时，
f(x)
有最大值．
4
8
14、（I）由条件知
F(1,0)
，设
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
、
D(x
4
,y
4
)
，不妨
4
2
设
y
1< br>?0
．直线
AB
的方程为
y?k
1
(x?1)
，与
y?4x
联立得
y
2
?y?4?0
，所以
k
1
y
1
y
2
??4
，
x
1
x
2
?1
．
① 当
x
1
?4
时，则
A(4,4)
，故
y
2
?
11
?4
??1
，
x
2
?
，即
B(,?1)
．直线
AM
的
44
y
1
方程为
x?4
，从而
C(4,?4)
；直线
BM
的方程为：
y?
4
(x?4)
，与
y
2
?4x联立得
15

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y
2
?15y?16?0
，得
y
4
?16
，
x
4
?64
，即
D(64,16)
．
于是
k
1< br>?
k
416?(?4)1
?
．所以．
1
?4
． ，
k
2
?
364?43
k< br>2
y
1
2
(x?4)
与抛物线方程
y?4x
. 联立得
x
1
?4
② 当
x
1
?4
时， 直线AM方程为
y?
y
1
2
(x?4)
2
?4x( x
1
?4)
2
，又由
y
1
2
?4x
1
，化简上述方程得
x
1
x
2
?(x
1
2
?16)x?16x
1
?0
. 此方程
?16
．即
C(
16
,?
16
)
，同理，
D(
16
,?
16
)
．所以 有一根为x
1
，所以另一根
x
3
?
16
，
y
3
?
x
2
y
2
x
1
y
1
y
1
x
1
1616
?
y
2
y
1
xxy?y
1
1
k< br>2
???
12
?
2
?k
1
，
16 16
y
1
y
2
x
2
?x
1
4?
x
2
x
1
?
即
k
1
k?4
．由①、②可知
1
?4
．
k
2
k
2
（II）
tan
?
?
k
1
?k
2
3k
1
3
3
?
?ar ctan
，故．所以，直线AB与直线CD
??
4
1?k
1
k
2
4?k
1
2
4
3
]
．
4
2
夹角θ的取值范围是
(0,arctan
2
15、（I ）因为
f
?
(x)?3x?2mx?1
，
??4m?12?0
，所以
f
?
(x)?0
有两个不等
m?m
2
?3 m?m
2
?3
实根：
x
1
?
，
x
2
?
，显然
x
1
?x
2
．
33
当
x
1
?x?x
2
时，
f
?
(x)?0
，即
f(x)
单调递减；
当
x?x
2
或
x?x
1
时，
f
?
(x)?0
，即
f(x)
单调递增；
m?m
2
?3m?m
2
?3
综上所述，有
f(x)
的单调递减区间为：
[
，
]
；单调递增区
33
m?m
2
?3m?m
2
?3
间为 ：
(??,)
、
(,??)
．
33
（II）由条件有 ：
3x?2mx?1?|x|?
2
①当
x?0
时，
3x?( 2m?1)x?
2
7
.
4
33
?0
，
?2m?1
在
x?0
时恒成立. 因为即
3x?
44x

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3x?1
33
?23x??3
，当
x?
时等号成立．所以
3? 2m?1
，即
m?1
.
2
4x4x
3
3
?0
，即
3|x|??1?2m< br>在
x?0
时恒
4
4|x|
2
②当
x?0时，
3|x|?(2m?1)|x|?
成立，因为
3|x|?
1
33
?23|x|??3
，当
x??
时等号成立．所以
3?1?2m
，
2
4|x|4|x|
即
m??1
.
③当
x?0
时，
m?R
．
综上所述，实数
m
的取值范围是
[?1,1]
．
16、（I）当
n?1
时，有
(1?b)a
1
??ba1
?4
，故
a
1
?4
．
当
n?2
时，
(1?b)S
n
??ba
n
?4
n

及
(1?b)S
n?1
??ba
n?1
?4
n?1
.
于是
(1?b)a
n
??b(a
n
?a
n?1
)?3?4
n?1
，
即
a
n
?ba
n?1
?3?4
n?1

① 若
b?4
，则
a
n
a
n?1
3
a
n
a
1
3
n?1
????(n?1)
，于是. 从而
a?(3n?1)?4
n
nn?1n
444
444
(n?2)
，所以，
a
n
?(3n?1)?4
n?1

(n?1)
.
② 若
b?4
，则
a
n
?
于是
33
?4< br>n
?b(a
n?1
??4
n?1
)

b?4 b?4
33
?4
n
?(a
1
??4
n
)b
n?1

b?4b?4
123
)b
n?1
??4
n

(n?2)

b?4b?4
123
)b
n?1
??4
n

(n?1)

b?4b?4
a
n
?
从而
a
n
?(4?
所以，
a
n
?(4?

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?
(3n?1)?4
n?1
?
综上所述，
a
n
?
?< br>12
n?1
3
n
(4?)b??4
?
b?4b?4< br>?
（II）若
b?4
时，
c
n
?
当
b?4
时，
c
n
?
(b?4)
(b?4)

3n?1
，显然不满足条件，故
b?4
．
4
4(b?1)b
n
3
．
?()?
b(b?4)4b?4
若
b?4
时，
4(b?1 )
?0
，故当
n???
时，
c
n
???
， 不符合条件，舍去．
b(b?4)
3
4(b?1)
??0
，
?0
，故从而
c
n
为单调递减数列，且
c
n
?0
．所
b?4
b(b?4)
①若
0?b?1
时，
以， 只须
c
1
?
a
1
?1?2
即可，显然成立．故0?b?1
符合条件；
4
②若
b?1
时，
cn
?1
，显然也满足条件．故
b?1
符合条件；
③若
1?b?4
时，
3
4(b?1)
?0
，从而
c
n< br>为单调递增数列，因为
?0
，
?
b?4
b(b?4)
n??
故
c
n
?0
，要使
|c
n
|?2< br>成立，只须
limc
n
??
c
1
?1?0
．
35
?2
即可．于是
1?b?
．故
b?42
1?b ?
5
符合条件．
2
5
2
综上所述，所求的实数
b
的范围是
(0,]
．