2018年3月温州普通高中数学-2018湖南省高中数学初赛
立体几何题型归类总结
一、考点分析
基本图形
1.棱
柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由
这些面
所围成的几何体叫做棱柱。
?
斜棱柱
?
底面是正多形
①
棱
柱
?
棱垂直于底面
?
?正棱柱
★
?
?????<
br>??????直棱柱
?
?
?
?
其他棱柱
L
?
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
E'
D'
S
F'
C'
侧面
顶点
高
侧面
A'
B'
侧棱
底面
侧棱
ED
底面
FC
斜高
D
C
AB
O
H
A
B
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫
做正棱锥。
3.球
球面
球的性质:
轴
球心
①球心与截面圆心的连线垂直于截面;
半径
l
★②
r?R
2
?d
2
(其中,球心到截面的距离为d、
R
A
r
O
球的半径为R、截面的半径为r)
★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,
球与正方体等的内接与外切.
D'
A'
O
B'
O
C'
A'
C'
d
O1
B
D
A
B
C
A
c
注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式:
S
球
?4
?
R,V
球
?<
br>
2
4
3
?
R
(其中R为球的半径)
3
1
平行垂直基础知识网络★★★
平行与垂直关系可互相转化
平行关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab
2.
a?
?
,ab?b?
?
3.
a?<
br>?
,a?
?
?
?
?
4.
?
?
,a?
?
?a?
?
<
br>5.
?
?
,
?
?
?
?
?<
br>?
?
LL
判定推论 判定
垂直关系
平面几何知识 平面几何知识
线线平行
判定
线线垂直
性质
判定
性质 性质
判定
面面垂直定义
面面垂直 线面平行
面面平行 线面垂直
异面直线所成的角,线面角,二面角的求法★★★
1.求异面直线所成的角
?
?
?
0?,90?
?
:
解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移
另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法
二证:证明所找
(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线平行;
三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角;
2求直线与平面所成的角
?
?
?
0?,90?
?
:关键找“两足”:垂足与斜足
解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用);
二
证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:常通过
解直角三角形,求出线面角。
3求二面角的平面角
?
?
?
0,
?
?
解题步骤:
一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角;
二证:证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法);
三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。
2
二、典型例题
考点一:三视图
1.一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
2 2
2
2 2
侧(左)视图
正(主)视图
第1题
俯视图
2.若某空间几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积是________________.
第2题 第3题
3.一个几何体的三视图如图3所示,则这个几何体的体积为 .
4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图4所示,则此几何体的体积是 .
a
3
正视图
2
左视图
1
1
俯视图
3
第4题
第5题
5.如图5是一个几何体的三视图,若它的体积是
33
,则
a?
.
6.已知某个几何体的三视图如图6,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积
是 .
20
2020
正视图 侧视图
10
10
20
俯视图
7.若某几何体的三视图(单位:
cm
)如图所示,则此几何体的体积是
cm
8.设某几何体的三视图如图8(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为_________m。
3
3
2
2
2
2
1
3
2
3
2
俯视图正(主)视图
侧(左)视图
第7题
第8题
9.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何
体的侧面
积为_________________.
4
2
图9
10.一个三棱柱的底面是
正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如图10所示(单位cm),则该
三棱柱的表面积为_
____________.
正视图
俯视图
图10
11. 如图11所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为
1的
圆,那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11
图12 图13
12. 如图12,一个空
间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何
体的侧面积为____
_________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为
2
的
正方形,主视图与左视图是边长为
2
的正三角形,
则其表面积是__________
___.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度:
cm
),
则此几何体的表面积是_____________.
图14
15.一个棱锥的三视图如图图9-3-
7,则该棱锥的全面积(单位:
cm
)_____________.
正视图
左视图 俯视图
5
2
图15
16.图16
是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是_____________.
2
3
2 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
图16
图17
17.如图17,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直
角三角形的直
角边长为1,那么这个几何体的体积为______________.
18.
若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示,则这个棱柱的体积为
_
_____________.
4
33
俯视图
正视图
侧视图
图18
考点二 体积、表面积、距离、角
注:1-6体积表面积 7-11
异面直线所成角 12-15线面角
1.
将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四面体的表面积
的
比值为___________.
3.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为
5<
br>,那么它的体积为_______________.
4.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
1
,则它的体积是原来的______________.
2
5.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积是
.
6.平行六面体
AC
1
的体积为30,则四面体
AB
1
CD
1
的体积等于 .
7.如图7,在正方
体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E,F
分别是
A
1
D
1
,
C
1
D
1
中点,求异面直线
AB
1
与
EF
所
成角的角
______________.
8. 如图8所示,已知正四棱锥S—ABCD侧
棱长为
2
,底面边长为
3
,E是SA的中点,则异面直线
6
BE与SC所成角的大小为_____________.
第8题 第7题
9.正方体
ABCD?ABCD
中,异面直线
CD
和
BC<
br>所成的角的度数是_________________.
1
0.如图9-1-3,在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1<
br>D
1
中,已知
AB?3BC,BC?CC
1
,则异面直线AA
1
与
BC
1
所成的
角是_________,异面
直线
AB
与
CD
1
所成的角的度数是______________
图13
''''''
11.
如图9-1-4,在空间四边形
ABCD
中,
AC?BD
AC?BD
,
E,F
分别是AB、CD的中点,则
EF
与
AC
所成角的大小为_____________.
12. 正方体
AC
1
中,
AB
1
与平面
ABC
1
D
1
所成的角为 .
7
13.如图13在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB?AA
1
,则直线
CB
1
与平面
AA1
B
1
B
所成角的正弦值为
_______________.
14. 如图9-3-6,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线BD1与平面ABCD所成
的角的正切值为
_______________.
P
D
1
A
1
C
O
B
1
D
C
1
C
B
A
M
B
A
图9-3-6
图9-3-1 图7
15.如图9-3-1,已知
?AB
C
为等腰直角三角形,
P
为空间一点,且
AC?BC?52,PC?AC,
PC?BC
,
PC?5
,
AB
的中点为
M<
br>,则
PM
与平面
ABC
所成的角为
16.如图7,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,O是底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心,则O到平面AB
C
1
D
1
的距离为__________________.
17
.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是_________
_____.
18.长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=
3
, <
br>AA
1
?1
,则顶点A、B
间的球面距离是____________
_____.
19.已知点
A,B,C,D
在同一个球面上,
AB?平面B
CD,
BC?CD,
若
AB?6,
AC?213,
AD?8
,
则
B,C
两点间的球面距离是 .
20.
在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中
,M为DD
1
的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A
1
B
1<
br>上任意
一点,则直线OP与直线AM所成的角是_________________.
21.△ABC的顶点B在平面a内, A、C在a的同一侧,AB、BC与a所成的角分别是30°和
45°,
若AB=3,BC=
42
,AC=5,则AC与a所成的角为_________.
22.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,
则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.
23.已知点
A
,B,C,D
在同一个球面上,
AB?平面BCD,
BC?CD,
若
AB?6,
AC?213,
AD?8
,
则
B,C
两点间的球
面距离是 .
8
24.正三棱锥的
一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为
_______
_ .
25.已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点,
S
A?平面ABC
,
AB?BC
,
SA?AB?1
,
BC?2
,则球
O
表面积等于____________.
26.
已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为
32
?
,则正方体的棱长为____
_____.
3
27. 一个四面体的所有棱长都为
2
,四个顶点在同一球
面上,则此球的表面积为_________.
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,
AA
1
=2
,E为棱
CC
1
的中点.
(Ⅰ) 求证:
B
1
D
1
?AE
;
(Ⅱ) 求证:
AC
平面
B
1
DE
;
(Ⅲ)求三棱锥
A-BDE
的体积.
2.已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
,
O
是底
ABCD
对角线的交点.
D
1
A
1
C
1
B
1
E
C
D
AB
D
1
?
面
AB<
br>1
D
1
. 求证:(1) C
1
O∥面
AB
1
D
1
;(2)
AC
1
9
C
1
B
1
A
1
D
O
A
C
B
3.如图,
PA?
矩形
ABCD
所
在平面,
M
、
N
分别是
AB
和
PC
的中点
.
(Ⅰ)求证:
MN
∥平面
PAD
;
P
(Ⅱ)求证:
MN?CD
;
(Ⅲ)若
?PDA?45<
br>,求证:
MN?
平面
PCD
.
o
D
M
C
B
4. 如图(1),AB
CD为非直角梯形,点E,F分别为上下底AB,CD上的动点,且
EF?CD
。现将梯形AEFD沿EF折起,得到图(2)
(1)若折起后形成的空间图形满足
DF?BC,求证:
AD?CF
;
(2)若折起后形成的空间图形满足
A,B,C
,D
四点共面,求证:
AB
平面
DEC
;
A
N
D
F
C
A
D
F
B
图(2)
A
E
图(1)
B
E
C
10
5.如图,在五面体ABCDEF中,FA
?
平面ABCD,
ADBCFE,AB
?
AD,M为EC的中点,
N为AE的中点,AF=AB=BC=FE=
F
N
A
B
C
M
E
1
AD
2
(I)
证明平面AMD
?
平面CDE;
(II)
证明
BN
平面CDE;
6.在四棱锥P
-
ABCD中,侧面PCD是正三角形,
且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC=60°,
M是PA的中点,O是DC中点.
(1)求证:OM 平面PCB
;
(2)求证:PA⊥CD;
(3)求证:平面PAB⊥平面COM.
11
D
P
C
M
A
B
D
O
7.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是
正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中
点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD
F
D
E
P
C
A
B
8.正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长是
3
,侧棱长是3,点E,F分别在BB
1
,
DD
1
上,且AE⊥A
1
B,AF⊥A
1
D.
(1)求证:A
1
C⊥面AEF;
(2)求二面角A-EF-B的大小;
(3)点B
1
到面AEF的距离.
12
考点五 异面直线所成的角,线面角,二面角
1. 如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD.
求证:(1)平面PAC⊥平面PBD;
(2)求PC与平面PBD所成的角;
2.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为
2
,底面边长为
3
,E是SA的中点,则异面直线BE与
SC所成角的大小为
_____________.
3.正六棱柱ABCDE
F-A
1
B
1
C
1
D
1
E
1F
1
底面边长为1,侧棱长为
2
,则这个棱柱的侧面对角线E
1
D与
BC
1
所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为2
3
cm,体积为4
cm
3
,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.
13
5. 如图,在底面为平
行四边形的四棱锥P-ABCD中,
AB?AC,PA?
平面ABCD,且PA=AB,点E<
br>是PD的中点.
(1)求证:
AC?PB
;
(2)求证:
PB
平面AEC;
(3)若
PA?AB?AC?a
,求三棱锥E-ACD的体积;
(4)求二面角E-AC-D的大小.
14
考点六
线面、面面关系判断题
1.已知直线l、m、平面α、β,且l⊥α,m
?
β,给出下列四个命题:
(1)α∥β,则l⊥m (2)若l⊥m,则α∥β
(3)若α⊥β,则l∥m
(4)若l∥m,则α⊥β
其中正确的是__________________.
2.
m、n
是空间两条不同直线,
?
、
?
是空间两条不同平面,
下面有四个命题:
①
③
m?
?
,nP
?
,
?
P
?
?m?n ;
②
m?n,
?
P?
,m?
?
?nP
?
;
m?n,
?
P
?
,mP
?
?n?
?
;
④<
br>m?
?
,mPn,
?
P
?
?n?
?
;
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。
3. <
br>l
为一条直线,
?
,
?
,
?
为三个互不重合
的平面,给出下面三个命题:
①
?
?
?
,
?
?<
br>?
?
?
?
?
;②
?
?
?
,
?
∥
?
?
?
?
?
;③
l∥
?
,l?
?
?
?
?
?
.
其中正确的命题有_________________.
4.
对于平面
?
和共面的直线
m
、
n,
(1)若
m?
?
,m?n,
则
n∥
?
(2)若
m∥
?
,n∥
?
,
则
m∥n
<
br>(3)若
m?
?
,n∥
?
,
则
m∥n
(4)若
m
、
n
与
?
所成的角相等,则
m∥n
其中真命题的序号是_____________.
5.
关于直线m、n与平面
?
与
?
,有下列四个命题:
①若
m
?
,n
?
且
?
?
,则
mn
; ②若
m?
?
,n?
?
且
?
?
?
,则
m?n
;
③若
m?
?
,n
?
且
?
?
,则
m?n
; ④若
m
?,n?
?
且
?
?
?
,则
mn
;
其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线
m
,n
,两个平面
?
,
?
,给出下面四个命题:
①
mn,m?
?
?n?
?
②
?
?
,m?
?
,n?
?
?mn
③
mn,m
?
?n
?
④
?
?
,mn,m?
?
?n?
?
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题,
其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
15
③若直线
④若直线
l
1
,l
2
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则
是异面直线,则与
l
1
,l
2
互相平行.
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
16
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