人教版高中数学必修2数列综合专项练习讲义

专题

数列综合

知识梳理
1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数
n
的变化 而变化，哪些因素不变：
分析符号、数字、字母与项数
n
在变化过程中的联系，初步归 纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
等差数列{a
n
}中，< br>a
n
?a
1
?(n?1)d
，
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2< br>1
?
n
?
n?1
?
d
2

?
q?1
?
?
na
1
?
S
n
?< br>?
a
1
1?q
n
?
q?1
?
n?1
?
?
1?q
等比数列{
a
n
}中，
an?
a
1
?q
，
??

n?1
?
S
1
（3）利用
S
n
与
a
n
的关 系求
a
n
：则
a
n
?
?
（注意：不能忘记 讨论
S?Sn?2
n?1
?
n
n?1
）
（4）逐 项作差求和法（累加法）；已知
a
n
?a
n?1
?f(n)(n?2 )
，且{f(n)}的和可求，
求
a
n
用累加法
（5）逐项作商求积法（累积法）; 已知
求
a
n
用累乘法.
（6）转化法
2 几种特殊的求通项的方法
（一）
a
n?1
?ka
n
?b
型。
（1）当
k ?1
时，
a
n?1
?a
n
?b?
?
an
?
是等差数列，
a
n
?bn?(a
1
?b)

（2）当
k?1
时，设
a
n?1
?m?k(a< br>n
?m)
，则
?
a
n
?m
?
构成 等比数列，求出
?
a
n
?m
?
的通项，进一步求出
?
a
n
?
的通项。
a
n
?f(n)(n?2)< br>，且{f(n)}的和可求，
a
n?1
1 7

（二 ）、
a
n?1
?ka
n
?f(n)
型。
（1）当
k?1
时，
a
n?1
?a
n
?f(n)
， 若
f(n)
可求和，则可用累加消项的方法。
（2）当
k?1
时， 可设
a
n?1
?g(x?1)?k
?
a
n
?g(x )
?
，则
?
a
n
?g(x)
?
构成等比数 列，
求出
?
a
n
?g(x)
?
的通项，进一步求出
?
a
n
?
的通项。（注意
g(x)
所对应的函数类 型）
（三）、
a
n?1
?f(n)a
n
型。
（1）若
f(n)
是常数时，可归为等比数列。
（2）若
f(n)
可求积，可用累积法化简求通项。
（四）、
a< br>n
?k
ma
n?1
11k1
?
，令
C
n
?
，则型。两边取倒数，可得到
?k
m?a
n?1
a< br>n
a
n?1
ma
n
?
C
n
?
可转化为
a
n?1
?ka
n
?b
型
3.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式 （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”
先合并在一起，
再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有 其共性
或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性
的作用求和（这 也是等差数列前
n
和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一 个等差数列的通项与一个等比数列的
通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的 等比
数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原
数列的项数减一的 差”！）（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法之一）.
（5）裂项相消法：如果 数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂
后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项 形式有：
①
11
?
1
?
1
②
?
1
(
1
?
1
)

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k
1111
?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
③
2 7

例题精讲:
例1、（1）已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?3
，求
a
n




（2） 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?3n
，求
a
n






（3）已知
?
a
n
?
中，
a
1
?3,a
n?1
?a
n< br>?2
n
，求
?
a
n
?
。






例2、（1）已知数列
?
a< br>n
?
中，
a
1
?1
,
a
n?1?2a
n
，求
a
n






（2）已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2
n
a
n
,求
a
n






例3、已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1< br>，
a
n?1
?2a
n
?3
,求
a
n






3 7

例4 （1）、已知
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?



（2）、 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?



n
a
n
，求数列
?< br>a
n
?
通项公式。
n?2
2a
n?1
,( n?2)
，求
?
a
n
?
的通项。
1?a
n?1
2
n
a
n?1
（3）、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?
n
,( n?2)
，求
?
a
n
?
的通项。
2?a
n?1




1
（4）、数列< br>?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?a
n?1
?2n?1,(n?2)
，求
?
a
n
?
的通项公式。
2






（5）、 已知
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?2
n
,(n?2)
， 求
?
a
n
?
。





4 7

a
2
和
a
3
例 5 已知等比数列
?
a
n
?
的公比
q?1
，
42
是
a
1
和
a
4
的一个等比中项，
的等 差中项为
6
，若数列
?
b
n
?
满足
bn
?log
2
a
n
（
n?N
*
）．
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）求数 列
?
a
n
b
n
?
的前
n
项和S
n
．












例 6 在数列
{a
n
}
中，
a
1
?3
，
a
n
??a
n?1
?2n?1

(n≥2
且
n?N
*
)
．
⑵ 求
a
2
、
a
3
的值；
⑵证明：数列
{a
n
?n}
是等比数列，并求
{a
n
}
的通项公式；
⑶求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
．










5 7

例7
、已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?
，
a
n?1
?
2
3
2a
n
，
n?1,2,3?

a
n
?1
?
1
?
（1）证明：数列
?
?1
?
是等比数列；
?
a
n
?
?
n
?
（2）求数列
??
的前
n
项和
S
n
。
?
a
n
?









高考链接
1
1、数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，且a
1
=1，
a
n?1
?S
n
，n=1，2，3，……，求
3
（I）a
2
，a
3
，a
4
的值及数列{a
n
}的通项公式；
（II）
a
2
?a
4
?a
6
?L? a
2n
的值.








6 7

2、已知
|a
n
|
为等差数列，且
a
3
??6
，
a
6
?0
。
（Ⅰ）求
|a
n
|
的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列
|b
n
|
满足
b
1
??8
，
b
2
?a
1
?a
2
?a
3
，求
|b
n
|
的前n项和公式











3、数列
?
a
n?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?an
?cn
（
c
是常数，
n?1
，且
a
1
，a
2
，a
3
成
，2，3，L
）
公比不 为
1
的等比数列．
（I）求
c
的值；
（II）求
?
a
n
?
的通项公式．





7 7