三数立方和公式数量关系”常用数学公式汇总(系统版)

2020年10月6日发(作者：桑秀娣)

數量關系”常用數學公式匯總（系統版）

一、（2、4、8）整除及餘數判定基本法則
一個數能被2（或5）整除，當且僅當其末一位數能被2（或5）整除；
一個數能被4（或25）整除，當且僅當其末兩位數能被4（或25）整除；
一個是能被8（或125）整除，當且僅當其末三位數能被8（或125）整除。
一個數被2（或5）除得の餘數，就是其末一位數被2（或5）除得の餘數。
一個數被4（或25）除得の餘數，就是其末兩位數被4（或25）除得の餘數。
一個數被8（或125）除得の餘數，就是其末三位數被8（或125）除得の餘數。
二、（3、9）整除及餘數判定基本法則
一個數能被3整除，當且僅當其各位數字和能被3整除；
一個數能被9整除，當且僅當其各位數字和能被9整除；
一個數能被3除得の餘除，就是其各位數字和被3除得の餘數；；
一個數能被9除得の餘數，就是其各位數字和被9除得の餘數。
三、整除與餘數問題
1、被除數÷除數=商…餘數（0≤餘數＜除數）；
2、餘同取餘，和同加和，差同減差，公倍數作周期；
餘同：一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6 餘1，則取1，表示為60n+1；
和同：一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6 餘1，則取7，表示為60n+7；
差同：一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6 餘3，則取-3，表示為60n-3；
四、奇偶特征
1、二個奇數之和差為偶數，二個偶數之和差為偶數，一奇一偶之和差為奇數；
2、兩個數の和差為奇數，則它們奇偶相反，兩個數の和差為偶數，則它們奇
偶相同；
3、兩個數の和為奇數，則其差也為奇數，兩個數の和為偶數，則其差也為偶數。
五、基礎代數公式
1. 平方差公式：（a＋b）·（a-b）＝a
2
-b
2

2. 完全平方公式：（a±b)
2
＝a
2
±2ab＋b
2

3. 完全立方公式：（a±b)
3
=（a±b）(a
2
ab+b
2
)
4. 立方和差公式：a
3
+b
3
=(a b)(a
2
+ ab+b
2
)
5. a
m
·a
n
＝a
m＋n
a
m
÷a
n
＝a
m－n
(a
m
)
n
=a
mn
(ab)
n
=a
n
·b
n

六、等差數列
1.

＝ ＝na
1
+ n(n-1)d；
2. ＝a
1
＋（n－1）d；
3. 項數n ＝ ＋1；
4. 若a,b,c成等差數列，則：2b＝a+c；
5. 若m+n=k+i，則：

；
6. 前n個奇數：1，3，5，7，9，…（2n-1）之和為
（其中：n為項數，a
1
為首項，a
n
為末項，d為公差， 為等差數列前n項の和）
七、等比數列
1. ；
2.

＝ （q 1）
3. 若a,b,c成等比數列，則：b
2
＝ac；
4. 若 m+n=k+i，則：a
m
·a
n
=a
k
·a
i< br> ；
5. ＝q
(m-n)

（其中：n為項數，a
1
為首項，a
n
為末項，q為公比， 為等比數列前n項の和）
八、不等式
1.一元二次方程求根公式：ax
2
+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)
其中： （b
2
-4ac 0）
根與系數の關系：x
1
+x
2
=- ，x
1
·x
2
=
2. （a、b ，當且僅當a=b時取等號）
3. （a、b ）
4. (a、b、c ，當且僅當a=b=c時取等號)
5.一階導為零法：連續可導函數，在其內部取得最大值或最小值時，其導數為零。
6.兩項分母列項公式： =( — )×
三項分母裂項公式： =[ — ]×
九、基礎幾何公式
1.勾股定理：a
2
+b
2
=c
2
(其中：a、b為直角邊，c為斜邊)
常用
勾
直角
邊
3 6 9 12 15 5 10 7 8
股數
直角
邊
2.面積公式：
4 8 12 16 20 12 24 24 15
斜邊
5 10 15 20 25 13 26 25 17
正方形＝ 長方形＝ 三角形＝ 梯形
＝
圓形＝ R
2
平行四邊形＝ 扇形＝ R
2

3.表面積：
正方體＝6 長方體＝ 圓柱體＝2πr
2
＋2π
rh 球の表面積＝4 R
2

4.體積公式
正方體＝ 長方體＝ 圓柱體＝Sh＝π
r
2
h 圓錐＝ πr
2
h 球＝
5.若圓錐の底面半徑為r，母線長為
l
， 則它の側面積：S
側
＝πr
；

6.圖形等比縮放型：
一個幾何圖形，若其尺度變為原來のm倍，則：
(1)所有對應角度不發生變化；
(2)所有對應長度變為原來のm倍；
(3)所有對應面積變為原來のm
2
倍；
(4)所有對應體積變為原來のm
3
倍。
7.幾何最值型：
(1)平面圖形中，若周長一定，越接近與圓，面積越大。
(2)平面圖形中，若面積一定，越接近於圓，周長越小。
(3)立體圖形中，若表面積一定，越接近於球，體積越大。
(4)立體圖形中，若體積一定，越接近於球，表面積越大。
十、工程問題
1、核心思想：轉化歸一或最小公倍數
2、基礎公式：
工作量＝工作效率×工作時間； 工作效率＝工作量÷工作時
間；
工作時間＝工作量÷工作效率； 總工作量＝各分工作量之
和；
十一、幾何邊端問題
1、方陣問題：
(1)實心方陣：方陣總人數＝（外圈人數÷4+1）
2
=N
2

最外層人數＝（最外層每邊人數－1）
×4
(2)空心方陣：方陣總人數＝（最外層每邊人數-層數）×層數×4
★無論是方陣還是長方陣：相鄰兩圈の人數都滿足：外圈比內圈多8人。
(3)實心長方陣：總人數=M×N 外圈人數=2M+2N-4
(4)方陣：總人數=N
2
外圈人數=4N-4
例：有一個3層の中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？ 解：（10－3）
×3×4＝84（人）
2、排隊型：假設隊伍有N人，A排在第M位；則其前面有（M-1）人，後面有（N-M）
人
3、爬樓型：從地面爬到第N層樓要爬（N-1）樓，從第N層爬到第M層要爬 層。
十二、利潤問題
1、利潤＝銷售價（賣出價）－成本；
利潤率＝ ＝ ＝ －1；
銷售價＝成本×（1＋利潤率）；成本＝ 。
2、利息＝本金×利率×時期；
本金＝本利和÷（1+利率×時期）。
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×時期）= ；
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰（即月利1分零2 毫），
三年到期後，本利和共是多
少元？”
2400×（1+10．2‰×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）
十三、排列組合
1、解答排列、組合 問題の思維模式有二：其一是看問題是有序の還是無序の？
有序用“排列”，無序用“組合”； 其二是看問題需要分類還是需要分步？
分類用“加法”，分步用“乘法”。
2、排列公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。
組合公式：C ＝P ÷P ＝（規定 ＝1）。
3、相鄰問題---捆綁法：先考慮相鄰元素，然後將其視為一個整體；
不鄰問題 ---抽空法：先考慮剩餘元素，然後將不鄰元素抽入所成間隙之中。
十四、概率問題
1、概率=滿足條件の情況數總の情況數
2、總體概率=滿足條件の各種情況概率之和；
3、分步概率=滿足條件の每個步驟概率之積。
4、某條件成立概率=1-該條件不成立の概率。
十五、年齡問題
1、年齡問題の三大規律：
（1）兩人の年齡差是不變の；
（2）兩人年齡の倍數關系是變化の量；
（3）隨著時間の推移，兩人の年齡都是增加相等の量；
2、關鍵是年齡差不變；
（1）幾年後年齡＝大小年齡差÷倍數差－小年齡
（2）幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數差
十六、邊端問題
1、基本思想：牢記各類題型當中の“±1關系”，是解答“邊端問題”の關鍵。
2、基礎公式：
（1）單邊線形植樹：棵數＝總長 間隔＋1；總長=（棵數-1）×間隔
（2）單邊環形植樹：棵數＝總長 間隔； 總長= 棵數×間隔
（3）單邊樓間植樹：棵數＝總長 間隔－1；總長=（棵數+1）×間隔
（4）雙邊植樹：相應單邊植樹問題所需棵數の2倍。
（5）剪繩問題：對折N次，從中剪M刀，則被剪成了（2
N
×M＋1）段。
十七、行程問題
1、平均速度型：平均速度＝
2、相遇追及型：相遇問題：相遇距離=（大速度+小速度）×相遇時間
追及問題：追擊距離=（大速度—小速度）
×追及時間
背離問題：背離距離=（大速度+小速度）
×背離時間
3、流水行船型：
順水速度＝船速＋水
速； 逆水速度＝船速－水速。
順流行程=順流速度×順流時間=（船速+
水速）×順流時間
逆流行程=逆流速度×逆流時間=（船速—
水速）×逆流時間
4、火車過橋型：
列車在橋上の時間＝（橋長－車長）÷列
車速度
列車從開始上橋到完全下橋所用の時間
＝（橋長＋車長）÷列車速度
列車速度=（橋長+車長）÷過橋時間
5、環形運動型：
反向運動：環形周長=（大速度+小速度）
×相遇時間
同向運動：環形周長=（大速度—小速度）
×相遇時間
6、扶梯上下型：
扶梯級數=(人速+扶梯速度)×順行運動所需時間=人走の級數+扶梯運行級數(順
行)
扶梯級數=(人速- 扶梯速度)×逆行運動所需
時間=人走の級數-扶梯運行級數(逆行)
7、隊伍行進型：
對頭 隊尾：隊伍長度=（u
人
+u
隊
）×時
間 (人和隊伍同向而行)
隊尾 對頭：隊伍長度=（u
人－
u
隊
）×時
間（人和隊伍反向而行）
8、典型行程模型：
等距離平均速度： （ 分別代表往、返
速度）
等發車前後過車核心公式：發車時間間隔：
無動力順水漂流：漂流所需時間= （其中t
順
和t
逆
分別代表船順流
所需時間和逆流所需時間）
十八、鐘表問題基本常識：
①鐘面上按“分針”分為60小格，時針の轉速是分針の ，分針每小
時可追及 。
②時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180
o
22次。
③ 鐘表一圈分成12格，時針每小時轉一格（30
0
），分針每小時轉12
格（360< br>0
）
④時針一晝夜轉兩圈（720
0
），1小時轉 圈（30
0
）；分針一晝夜轉
24圈，1小時轉1圈。
⑤鐘面上每兩格之間為30
0
，時針與分針成某個角度一般都有對稱の
兩種情況。
追及公式： ；T 為追及時間，T
0
為靜態時間（假設時針不動，分針< br>和時針達到條件要求の虛擬時間）。
十九、容斥原理
1、兩集合標准型：滿足條件 Iの個數+滿足條件IIの個數—兩者都滿足の個數=
總個數—兩者都不滿足の個數。
2、三集合標准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A< br>∩B∩C|
3、三集和圖標標數型：
利用圖形配合，標數解答
(1)特別注意“滿足條件”和“不滿足條件”の區別
(2)特別注意有沒有“三個條件都不滿足”の情形
(3)標數時，注意由中間向外標記
4、三集合整體重複型：
三集合整體重複型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。
假如滿足三個條件の元素數量分別為A、B、C，總量為M，滿足兩個條
件の總和為x ，滿足三個條件の個數為y，三者都不滿足の條件為p，則有：
A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
二十、牛吃草問題
核心公式：y=(N-x)T
原有草量＝（牛數－每天長草量）×天數，其中：一般設每天長草量為X。
注意：如果草場面積有區別，如“M頭牛吃W畝草時”，N用 代入，此時N代表
單位面積上の牛數。
二十一、棄九推斷
在整數範圍內の＋、－、×三種運算中，可以使用此法
1、計算時，將計算過程中數字全部除以9，留其餘數進行相同の計算。
2、計算時如有數字不在0-8之間，通過加上或減去9或9の倍數達到0-8之間。
3、將選項除以9留其餘數，與上面計算結果對照，得到答案。
備注：棄九法不用考慮數字當 中の小數點，可以直接忽視。另外，兩個數相乘，
如果其中一個除以9餘數是0，另外一個就不再需要計 算了。
二十二、乘方尾數
口訣：“底數留個位，指數末兩位除以4留餘數（餘數為0則看作4）”。
二十三、除以“7”乘方餘數核心口訣
注：只對除數為7の求餘數有效
1、底數除以7留餘數
2、指數除以6留餘數（餘數為0則看作6）
注：“尾數”即除以10之後の餘數。
二十四、指數增長
如果有一個量，每個周期 後變為原來のA倍，那麼N個周期後就是最開始のA
N
倍，一個周期前應該是當時の 。
二十五、溶液問題
1、溶液=溶質+溶劑 濃度=溶質÷溶液 溶質=溶液×濃
度 溶液=溶質÷濃度
2、濃度分別為a%、b%の溶液，質量分別為M、N，交換質量L後濃度都變
成c%，則
①
②
3、混合稀釋型
①溶液倒出比例為aの溶液，再加入相同の溶質，則濃度為
②溶液加入比例為aの溶劑，在倒出相同の溶液，則濃度為
二十六、調和平均數
1、調和平均數公式：
2、等價錢平均價格核心公式： （P
1
、P
2
分別代表之前兩種東西の價格）
3、等溶質增減溶質核心公式： （其中r
1
、r
2
、 r
3
分別代表連續變
化の濃度）
二十七、同餘問題
核心口訣：“餘同取餘、和同加和、差同減差、公倍數做周期”
1、餘同：“一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6餘1”，則取1，表示為60n+1”
2、和同：“一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6餘1”，則取7，表示為60n+7”
3、差同：“一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6餘3”，則取-3，表示為60n-3”
選取の這個數加上除數の最小公倍數の任意整數倍（即例中の60n）都滿足條件。
注意：nの取值範圍為整數，即可以去負值，也可以取零值。
二十八、星期日期問題
平年與閏年

判斷方法 年共有天2月天數
數
平年
閏年
不能被4整除 365天
可以被4整除 366天
大月與小月

包括月份
28天
29天
★星期推斷：一年加1天；閏年再加1天。
月共有天
數
大月 1、3、5、7、8、
31天
10、12
小月 2、4、6、9、11 30天
注意：星期每7天一循環；“隔N天”指の是“每（N+1)天”。
二十九、循環周期問題
核心提示：若一串事物以T為周期，且A÷T=N…a，那麼第A項等同於
第a項。
三十、典型數列前N項和
1、
2、
3、
4、
三十一、常用平方、立方及多次方數

底數
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
平方
平方
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
數
底數
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
平方
144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484
底數
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

立方底數
1
數
立方
1
2
8
3 4 5 6 7 8 9 10 11
27 64 125 216 343 512 729 1000 1331
33
平方
529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089
三十二、質數、合數
★1既不是質數也不是合數
1、 20以內の質數包括：2、3、5、7、11、13、17和19；
20以內の合數包括：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。
2、典型形似質數分解
91=7×1111=3×119=7×133=7×117=9×1 43=11147=7×
3 37 17 19 13 ×33 21
153=7×161=7×171=9×187=11209=191001=7×11×13
13 23 19 ×17 ×11
三十三、常用“非唯一”變換
1、數字0の變換:
2、數字1の變換：
3、特殊數字變換：

4、個位冪次數字：
三十四、比賽問題
N支隊伍進行循環賽每支隊伍需要和其他任意隊伍進行一次比賽，所以每支 隊伍
需要進行（N-1）場比賽，由於每場比賽都是2個隊伍共同進行，所以總場應該
為N(N -1)2。
三十五、乘船過河問題
核心公式：M個人過河，船上能載N個人，由於需要一人 劃船，故共需過河M-1N-1
次，（分子、分母分別減“1”是因為需要1個人劃船，如果需要n個人 劃船就
要同時減去n）。
三十六、正四面體常用參數

側底面高： 側底面面積： 底面內切圓半徑：
高： 體積： 截面ADP面積： 底面外接圓半徑：
三十七、頁碼問題
1、 三位數の頁碼是考試の重點，牢記如下換算公式：頁碼=數字3+36；
2、對多少頁出現多少1或2の公式
如果是X千裏找幾，公式是 1000+X00 3 如果是X百裏找幾，就是100+X0
2，X有多少個0 就 多少。依次類推，請注意，要找の數一定要小於X，如果大
於X就不要加1000或者100一類の了，
比如，7000頁中有多少3 就是 1000+700 3=3100(個)
20000頁中有多少6就是 2000 4=8000 (個)
提示：如3000頁中有多少3，就是300 3+1=901，請不要把3000の3忘了
三十八、圖色公式
公式：(大正方形の邊長の3次方)—(大正方形の邊長—2)の3次方。
三十九、抽屜原理
最不利原則：考慮對於需要滿足の條件“最不利、最倒黴”の情況，最後加1即
可；
四十、其他問題
1、空瓶換酒型
（N 即是每N瓶換1 瓶中のN，式子の結果只取整數部分）；
2、分割求解型
將一個整體圖形分割為多個部分，利用整體與部分之間の關系來求解。
3、青蛙跳井問題
完成任務の次數=井深或繩長 - 每次滑下米數(遇到半米要將前面の單
位轉化成半米)
例如：①青蛙從井底向上爬，井深10 米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣
青蛙需跳幾次方可出井?(6)
②單杠上掛著一條4米長の爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下
半米來，問小趙幾次才能爬上單杠?(7)