高中数学老师网络兼职-高中数学课堂的核心素养教案
立体几何题型归类总结
一、考点分析
基本图形
1．棱柱——有两
个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的几
何体叫做棱柱。
?
斜棱柱
?
底面是正多形
①
棱柱
?
棱垂直于底面
?
?正棱柱
★
?
?????
??
????直棱柱
?
?
?
?
其他棱柱
L
?
②
四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
E'
D'
S
F'
C'
侧面
顶点
高
侧面
A'
B'
侧棱
底面
侧棱
ED
底面
FC
斜高
D
C
AB
O
H
A
B
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫
做正棱锥。
3．球
球面
球的性质：
轴
球心
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
半径
l
★②
r?R
2
?d
2
（其中，球心到截面的距离为d、
R
A
r
O
球的半径为R、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，
球与正方体等的内接与外切.
D'
A'
O
B'
O
C'
A'
C'
d
O1
B
D
A
B
C
A
c
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：
S
球
?4
?
R,V
球
?<
br>2
4
3
?
R
（其中R为球的半径）
3
1
15
平行垂直基础知识网络★★★
平行与垂直关系可互相转化
平行关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab
2.
a?
?
,ab?b?
?
3.
a?<
br>?
,a?
?
?
?
?
4.
?
?
,a?
?
?a?
?
<
br>5.
?
?
,
?
?
?
?
?<
br>?
?
LL
判定推论 判定
垂直关系
平面几何知识 平面几何知识
线线平行
判定
线线垂直
性质
判定
性质 性质
判定
面面垂直定义
面面垂直 线面平行
面面平行 线面垂直
异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★
1．求异面直线所成的角
?
?
?
0?,90?
?
：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移
另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法
二证：证明所找
（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；
三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角
?
?
?
0?,90?
?
：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；
二
证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过
解直角三角形，求出线面角。
3求二面角的平面角
?
?
?
0,
?
?
解题步骤：
一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；
二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；
三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
2 15
二、典型例题
考点一：三视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
2 2
2
2 2
侧(左)视图
正(主)视图
第1题
俯视图
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题 第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .
4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是 .
a
3
正视图
2
左视图
1
1
俯视图
第4题
第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则
a?
.
3 15
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（
单位：cm），可得这个几何体的体积
是 .
20
2020
正视图
侧视图
10
10
20
俯视图
7.若某几何体的三视图（单位：
cm
）如图所示，则此几何体的体积是
cm
8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m。
3
3
2
2
2
2
1
3
2
3
2
俯视图正(主)视图
侧(左)视图
第7题
第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何
体的侧面
积为_________________.
图9
4 15
2
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱
垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该
三棱柱的表面积为________
_____.
正视图
俯视图
图10
11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为
1的
圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11
图12 图13
12. 如图12，一个空
间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何
体的侧面积为____
_________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为
2
的
正方形，主视图与左视图是边长为
2
的正三角形，
则其表面积是__________
___.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度:
cm
),
则此几何体的表面积是_____________.
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-
7，则该棱锥的全面积（单位：
cm
）_____________.
正视图
左视图 俯视图
图15
5 15
2
16．图16是一个几何体的三视图，根据
图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
2
3
2 2
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
图16
图17
17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直
角三角形的直
角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.
18.
若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为
_
_____________.
4
33
俯视图
正视图
侧视图
图18
考点二 体积、表面积、距离、角
注：1-6体积表面积 7-11
异面直线所成角 12-15线面角
1.
将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积
的
比值为___________.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为
5<
br>，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
1
，则它的体积是原来的______________.
2
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是
.
6.平行六面体
AC
1
的体积为30，则四面体
AB
1
CD
1
的体积等于 .
7．如图7，在正方
体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E,F
分别是
A
1
D
1
，
C
1
D
1
中点，求异面直线
AB
1
与
EF
所
成角的角
______________.
8. 如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧
棱长为
2
，底面边长为
3
，E是SA的中点，则异面直线
BE与SC
所成角的大小为_____________.
6 15
第8题 第7题
9.正方体ABCD?ABCD
中,异面直线
CD
和
BC
所成的角的度数是
_________________.
10．如图9-1-3，
在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1<
br>中，已知
AB?3BC,BC?CC
1
，则异面直线
AA
1<
br>与
BC
1
所成的
角是_________，异面直线
AB与
CD
1
所成的角的度数是______________
图13
''''
''
11.
如图9-1-4，在空间四边形
ABCD
中，
AC?BD
AC?BD
,
E,F
分别是AB、CD的中点，则
EF
与
AC
所成角的大小为_____________.
12. 正方体
AC
1
中，
AB
1
与平面
ABC
1
D
1
所成的角为 .
13．如图13在正三棱柱
ABC
?A
1
B
1
C
1
中，
AB?AA
1
，则直线
CB
1
与平面
AA
1
B
1
B<
br>所成角的正弦值为
_______________.
7 15
14. 如图9-3-6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1与平
面ABCD所成的角的正切值为
_______________.
P
D
1
A
1
C
O
B
1
D
C
1
C
B
A
M
B
A
图9-3-6 图9-3-1
图7
15．如图9-3-1，已知
?ABC
为等腰直角三角形,
P
为空间一点，且
AC?BC?52,PC?AC
，
PC?BC
，
PC
?5
，
AB
的中点为
M
，则
PM
与平面
A
BC
所成的角为
16．如图7，正方体A
BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
O是底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则O
到平面AB C
1
D
1
的距离为__________________.
17.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是___
___________.
18．长方体
ABCD?A
1
B
1C
1
D
1
的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=
3<
br>，
AA
1
?1
，则顶点A、B
间的球面距离是______
___________.
19.已知点
A,B,C,D
在同一个球面上，
AB?平面BCD,
BC?CD,
若
AB?6,
AC?213,
AD
?8
，
则
B,C
两点间的球面距离是 .
20. 在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D<
br>1
中，M为DD
1
的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A
1B
1
上任意
一点，则直线OP与直线AM所成的角是_____________
____.
21．△ABC的顶点B在平面a内， A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分
别是30°和45°，
若AB=3，BC=
42
，AC=5，则AC与a所成的角为_________.
22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，
则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.
23．已知点
A
,B,C,D
在同一个球面上，
AB?平面BCD,
BC?CD,
若
AB?6,
AC?213,
AD?8
，
则
B,C
两点间的球
面距离是 .
24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则
这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为
________ .
8 15
25.已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点，
SA? 平面ABC
，
AB?BC
，
SA?AB?1
，
BC?2
，则球
O
表面积等于____________.
26． 已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为
32
?
，则正方体的棱长为____ _____.
3
27. 一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球 面上，则此球的表面积为_________.
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，
AA
1
=2
，E为棱
CC
1
的中点．
(Ⅰ) 求证：
B
1
D
1
?AE
；
(Ⅱ) 求证：
AC
平面
B
1
DE
；
（Ⅲ）求三棱锥
A-BDE
的体积．
2.已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的交点.
D
1
A
1
C
1
B
1
E
C
D
AB
D
1
?
面
AB< br>1
D
1
． 求证：(１) C
1
O∥面
AB
1
D
1
；(2)
AC
1
9 15
C
1
B
1
A
1
D
O
A
C
B
3．如图，
PA?
矩形
ABCD
所在平面
，
M
、
N
分别是
AB
和
PC
的中点.
（Ⅰ）求证：
MN
∥平面
PAD
；
P
（Ⅱ）求证：
MN?CD
；
（Ⅲ）若
?PDA?45<
br>，求证：
MN?
平面
PCD
.
o
D
M
C
B
4. 如图（1），AB
CD为非直角梯形，点E，F分别为上下底AB，CD上的动点，且
EF?CD
。现将梯形AEFD沿EF折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足
DF?BC，求证：
AD?CF
；
（2）若折起后形成的空间图形满足
A,B,C
,D
四点共面，求证：
AB
平面
DEC
；
D
F
C
A
A
E
图（1）
B
E
B
图（2）
D
A
N
F
C
10 15
5．如图，在五面体ABCDEF中，FA
?
平面ABCD,
ADBCFE，AB
?
AD，M为EC的中点，
N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=
F
N
A
B
C
M
E
1
AD
2
(I)
证明平面AMD
?
平面CDE；
(II)
证明
BN
平面CDE；
6．在四棱锥P
－
ABCD中,侧面PCD是正三角形,
且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,
M是PA的中点，O是DC中点.
（1）求证：OM 平面PCB
；
（2）求证:PA⊥CD；
（3）求证:平面PAB⊥平面COM.
11 15
D
P
C
M
A
B
D
O
7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD
，PD=DC，E是PC的中
点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD
F
D
E
P
C
A
B
8.正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长是
3
，侧棱长是3，点E，F分别在BB
1
，
DD
1
上，且AE⊥A
1
B，AF⊥A
1
D．
(1)求证：A
1
C⊥面AEF；
(2)求二面角A-EF-B的大小；
(3)点B
1
到面AEF的距离.
12 15
考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角
1.
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.
求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为
2
，底面边长为
3
，E是SA的中点，则异面直线BE与
SC所成角的大小为
_____________.
3．正六棱柱ABCDE
F－A
1
B
1
C
1
D
1
E
1F
1
底面边长为1，侧棱长为
2
，则这个棱柱的侧面对角线E
1
D与
BC
1
所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为2
3
cm，体积为4
cm
3
，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.
13 15
5. 如图，在底面为平行四
边形的四棱锥P－ABCD中，
AB?AC,PA?
平面ABCD，且PA＝AB，点E
是PD的中点.
（1）求证：
AC?PB
；
（2）求证：
PB
平面AEC；
（3）若
PA?AB?AC?a
，求三棱锥E－ACD的体积；
（4）求二面角E－AC－D的大小.
15 14
考点六
线面、面面关系判断题
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m
?
β，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m
（4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2.
m、n
是空间两条不同直线，
?
、
?
是空间两条不同平面，
下面有四个命题：
①
③
m?
?
,nP
?
,
?
P
?
?m?n ;
②
m?n,
?
P?
,m?
?
?nP
?
;
m?n,
?
P
?
,mP
?
?n?
?
;
④<
br>m?
?
,mPn,
?
P
?
?n?
?
;
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
3. <
br>l
为一条直线，
?
，
?
，
?
为三个互不重合
的平面，给出下面三个命题：
①
?
?
?
，
?
?<
br>?
?
?
?
?
；②
?
?
?
，
?
∥
?
?
?
?
?
；③
l∥
?
，l?
?
?
?
?
?
．
其中正确的命题有_________________.
4.
对于平面
?
和共面的直线
m
、
n,
(1)若
m?
?
,m?n,
则
n∥
?
(2)若
m∥
?
,n∥
?
,
则
m∥n
<
br>(3)若
m?
?
,n∥
?
,
则
m∥n
(4)若
m
、
n
与
?
所成的角相等，则
m∥n
其中真命题的序号是_____________.
5.
关于直线m、n与平面
?
与
?
，有下列四个命题：
①若
m
?
,n
?
且
?
?
，则
mn
； ②若
m?
?
,n?
?
且
?
?
?
，则
m?n
；
③若
m?
?
,n
?
且
?
?
，则
m?n
； ④若
m
?,n?
?
且
?
?
?
，则
mn
；
其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线
m
,n
，两个平面
?
,
?
，给出下面四个命题：
①
mn,m?
?
?n?
?
②
?
?
,m?
?
,n?
?
?mn
③
mn,m
?
?n
?
④
?
?
,mn,m?
?
?n?
?
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题,
其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线
④若直线
l
1
,
l
2
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则
是异
面直线,则与
l
1
,l
2
互相平行.
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
15
15