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高考复习之参数方程

一、考纲要求

1. 理解参数方程的概念，

了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，

数方

程与普通方程的互化方法

. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程

.

掌握参

2. 理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为 直





角坐标方程， 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的
参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点
.

二、知识结构

1. 直线的参数方程
(1) 标准式

过点 Po(x
0
,y
0
) ，倾斜角为α的直线

l( 如图 ) 的参数方程是

(t

x


x
0

t cosa


为参数 )










y

y
0

t sin a


(2) 一般式


过定点 P
0
(x
0
,y
0
) 斜率 k=tg α = 的直线的参数方程是

b







a







x

y

x
0

at

y
0

bt


(t 不参数 )②


在一般式②中，参数 t

时， ｜ t ｜表示直线上动点

不具备标准式中

t 的几何意义，若 a
2
+b
2
=1, ②即为标准式，此

P 到定点 P
0
的距离；若


0

0

a
2
+b
2
≠ 1，则动点 P 到定点 P
0
的距离是

a
2

b
2

｜

t

｜

.

直线参数方程的应用



0





设过点 P (x ,y

), 倾斜角为α的直线 l 的参数方程是



x

x
0

t cosa

y

y
0

t sin a

1

2


（ t 为参数）


















若 P 、 P

是 l

上的两点，它们所对应的参数分别为


t ,t

1

，则

2

(1)P
1
、 P
2
两点的坐标分别是

(x
0
+t
1
cos α,y
0
+t
1
sin α)

(x
0
+t
2
cos α,y
0
+t
2
sin α) ；

(2) ｜ P
1
P
2
｜=｜ t
1
-t
2
｜
(3) 线段 P
1
P
2
的中点 P所对应的参数为 t ，则
t=

t
1




t
2

2

P 到定点 P 的距离｜ PP ｜=｜ t ｜ =｜






中点




t
1

t
2

｜

0

0



2


(4) 若 P
0
为线段 P
1
P
2
的中点，则
t
1
+t
2
=0.

2. 圆锥曲线的参数方程

(1)

圆




圆心在 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程是



x

a

r cos

( φ是参数 )

y

b

r sin

x 轴正向的夹角，φ∈［ 0,2

π］ ( 见图 )

φ是动半径所在的直线与

(2)

椭圆











椭圆
x
2


a
2

y
2

1
(a

＞

b＞

0)

的参数方程是

b
2






x a cos

y bsin

(

φ为参数 )

椭圆



y
2


y

2
1

(a ＞b＞ 0) 的参数方程是

a

2
b
2


x b cos






y asin
3. 极坐标
极坐标系

( φ为参数 )

在平面内取一个定点 O，从 O引一条射线

Ox，选定一个单位长度以及计算角

O 点叫做极点，

度的正

方向 ( 通常取逆时针方向为正方向

) ，这样就建立了一个极坐标系，

射线 Ox 叫 做极轴 .


①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，
缺一不可 .

点的极坐标 设 M点是平面内任意一点，用ρ表示线段 OM的长度，θ表示射线 Ox 到OM的
角度 ，那么ρ叫做 M点的极径，θ叫做 M点的极角，有序数对 ( ρ , θ ) 叫做 M点的极坐标 .( 见
图 )



极坐标和直角坐标的互化

(1) 互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐
标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位 .
(2) 互化公式



x

y




cos

sin '


2

x
2

tg


y
y
2


( x


0)


x

三、知识点、能力点提示

( 一 ) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化


例 1

短和最长 .


在圆

x
2
+y
2
-4x-2y-20=0






上求两点

A 和 B，使它们到直线

4x+3y+19=0 的距离分别最



解： 将圆的方程化为参数方程：

x 2

5 cos

y 1 5sin


（ 为参数）

， 1+5sin







则 圆 上 点

P

坐 标 为 (2+5cos




) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离







120 cos

d=


15 sin

4
2

30











3
2


故当 cos( φ - θ)=1 ，即φ =θ时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为 (6 ，4) ；当 cos( φ - θ)=-1,

即θ =φ - π时， d 最短，这时，
点

B 坐标为 (-2 ， 2).


( 二 ) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

说明

例 2



这部分内容自 1986

年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.

极坐标方程ρ =





1



所确定的图形是（

）













2

3 sin

B. 椭圆



cos

C. 双曲



A. 直线


线





D. 抛 物













解： ρ =



1

2[1 (


cos

)]

3

2

2



1


1

1

2








1

sin(





)

6















( 三 ) 综合例题赏析


例 3




椭圆

x


3 cos


(






是参数 )的两个焦点坐标是





（

）

y


1

5sin



A.(-3 ， 5) ， (-3 ， -3)

C.(1 ，1) ， (-7 ， 1)


解：化为普通方程得



B.(3 ， 3) ， (3 ， -5)

D.(7 ， -1) ，(-1 ， -1)

( x


3)

2
9


( y

1)
2

25


1




∴ a
2
=25,b
2
=9, 得 c
2
＝１６ ,c=4.
∴ F(x-3,y+1)=F(0, ± 4)

∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是

应选 B.

例 4 参数方程




(3 ， 3) 和 (3 ， -5).



x


cos

sin

2

sin )


2




y


1
(0



2 )表示



(1

2


A. 双曲线的一支，这支过点



(1 ， )

1

B. 抛物线的一部分，这部分过


(1 ，


2

1
)

2

C. 双曲线的一支，这支过 (-1 ， )

1
D.抛物线的一部分，这部分过

(-1 ，

2



1
)

2

解：由参数式得

x
2
=1+sin θ=2y(x ＞ 0)

即 y= x
2
(x ＞ 0).
1


2

∴应选 B.

例 5


在方程

x

y

sin

cos

( θ为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是









( )

A.(2,-7)



B. （ ，
12

）

C.( ， )

11

D.(1 ，0)

3

3

2

2







2


解： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x

将 x=

代入，得 y=




11









2

2

∴应选 C.

例 6

下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程

x
2
-y=0 表示同一曲线的方程是 ( )

A.



x

y


t

t

B.


x

cost

y


x

C.


tgt



cos t


2
y

1

cos 2t

1

cos2t







x tgt
D.
1 cos2t y
1 cos2t
解：普通方程

x
2
-y 中的 x∈ R， y≥ 0， A. 中 x=｜ t ｜≥ 0， B. 中 x=cost ∈〔 -1,1 〕，故排

除 A. 和 B.



C. 中 y=

2cos
2
t


2
=ctg

t=



2

1

2
1


x


2
=，即 x y=1，故排除 C.

2

2sin


t


∴应选 D.

例 7


tg

t




曲线的极坐标方程ρ


=４ sin

θ化 成直角坐标方程为 ( )

A.x
2

+(y+2)
2
=4

D.(x+2)
2

+y
2
=4


B.x






2
+(y-2)


2
=4


C.(x-2)
2
+y
2
=4

2
解：将ρ =

x



y
2

，sin

θ

=

y

代入ρ =4sin θ，得 x
2
+y
2
=4y，即 x
2
+(y-2)
2
=4.

x
2
y
2


∴应选 B.




例 8

极坐标ρ =cos(

) 表示的曲线是 ( )

4

A. 双曲线

B. 椭圆

C.抛物线

D.圆

解：原极坐标方程化为ρ

=


1









2

∴普通方程为






(cos θ +sin θ )



2

2
=ρcos

θ

+ρsin

θ，

2
(x

2
+y
2
)=x+y

，表示圆

.

应选 D.

例 9

在极坐标系中，与圆ρ

=4sin θ相切的条直线的方程是 ( )

B.

D.

ρcos θ =2

ρcos θ =-4

A. ρ sin θ =2

C. ρ cos θ =-2

例 9 图
解：如图 .




⊙ C 的极坐标方程为ρ =4sin θ， CO⊥ OX,OA为直径，｜ OA｜ =4,l

l 交极轴于 B(2， 0) 点 P(ρ , θ ) 为 l 上任意一点，则有
cos θ =

和圆相切，

OB

2
，得ρ cosθ =2，
























OP


∴应选 B.

例 10

A. 圆




4ρsin
2

2
=5 表示的曲线是 (

椭圆




)










B.


C.双曲线的一支


D. 抛 物

线

解： 4ρ sin
2

2
=5


4ρ·
cos

2


1


2


2

cos


5.




2
把ρ =

x

y
2



ρ cos θ =x，代入上式，得



2
x
2

y
2

=2x-5.

2

















平方整理得 y=-5x+




25


.
. 它表示抛物线 .







4

∴应选 D.

例 11

线


极坐标方程 4sin
2
θ =3 表示曲线是 (



2

)






2



A. 两条射线



B.




两条相交直线





2

C.圆



D. 抛 物

y
2









解：由 4sin

θ =3, 得 4·
x
2

∴应选 B.

y
2

＝3,

即 y =3 x


，y=±

3x
,

它表示两相交直线

.

四、能力训练

( 一 ) 选择题

1. 极坐标方程ρ cos θ = 表示 ( )


4
3

A. 一条平行于 x 轴的直线

B. 一条垂直于 x 轴的直线

C. 一个圆


D.一条抛物线

2. 直线： 3x-4y-9=0 与圆：


x

2 cos

( 为参数 )
的位置关系是

( )

y

2 sin

,






A. 相切


线不过圆心


B.


相离


C. 直线过圆心



D.相交但直

t 表示参数，则下列

3. 若 (x ， y) 与 ( ρ，θ )( ρ∈ R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标，


各组曲 线：①θ =


和 sin θ = ；②θ =

1
和 tg θ =

3
3



，③ρ
2
-9=0 和ρ = 3 ；④

6

2

2



6









x


2

2

1

t

和


x


y


3 t

y


2

2t


3

t















2


其中表示相同曲线的组数为 (

A.1


)







B.2

)

C.3



D.4


4. 设 M(ρ
1
，θ
1
) ，N(ρ
2
，θ
2
) 两点的极坐标同时满足下列关系：

则 M， N 两点位置关系是 (

A. 重合





ρ
1
+ρ
2
=0

，θ
1
+θ
2
=0，




B. 关于极点对称



C.关于直线θ =


D. 关 于 极 轴


2

对称

5. 极坐标方程ρ =sin θ +2cos θ所表示的曲线是 ( )
A. 直线


B. 圆


C.双曲线

D. 抛物线


6. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为







的直线， 以定点 M到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程

3







是( )


x 1 t

A．



1

x 1 t

B.

y 5

1

x 1 t

C.

y 5

1




y


5


2

3

t

2





2

3

t

2





2


3

t

2

y

D.


1

5


x



3
t

2

1

t














2








m
2

2m

7.

将参数方

x a

m
2
2m 2

(m 是参数， ab≠ 0) 化为普通方程是 ( )

y b

2m

2

m
2

2m 2

A.

x
2

a
2

y
2

b
2

y
2

1( x

a)




B.

x
2

y
2

a
2

b
2

1( x


a)




2
x
C.

1(

x


a

)


D.

a
2

b
2


x
2

y
2

1( x

a
2

b
2


a)



8. 已知圆的极坐标方程ρ

=2sin( θ+


) ，则圆心的极坐标和半径分别为

(








)


6

),r=1

C.(1,


A.(1,


),r=2


B.(1,










),r=1


D.(1,






3







6









3






- ),r=2

3


x


t

1

9. 参数方程


t
(t

2


为参数 ) 所表示的曲线是 ( )












y



A. 一条射线

直线


B.



两条射线


C.一条直线


D.


两 条



10. 双曲线( θ为参数 ) 的渐近线方 程为 ( )

x 2 tg
A.y-1=


1
y

1

2 sec


( x

2)




B.y=

1
x

2



C.y-1=



2(x



2)

2



D.y+1=
2(x

2)


11. 若直线




x

4

y

bt


at
( (t

为参数 ) 与圆 x
2
+y
2
-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为


(

)


A.

或
3

12. 已知曲线

B.

5
3


2

3

C.

或
2

D.

3

3

3



x

y

2 pt
2

2 pt

)

(t





为参数 ) 上的点 M，N 对应的参数分别为

t
1
，t

2
，且

t
1
+t
2
=0，



2

2

1












那么 M， N间的距离为
(

A.2p(t
1
+t
2
)

D.2p(t
1
-t
2
)
2

圆上运动，其运动规律是


B.2p(t

+t
2
)


C.


│


2p(t

1
-t

2
)


│


13. 若点 P(x ，y) 在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，

( )








点 M(-2xy ，y
2
-x

2
) 也在单位






A. 角速度ω，顺时针方向

C. 角速度 2ω , 顺时针方向

B. 角速度ω，逆时针方向

14. 抛物线 y=x
2
-10xcos θ +25+3sin θ-25sin

D.角速度 2ω，逆时针方向

2
θ与 x 轴两个交点距离的最大值
是

(

)

A.5


B.10


C.2

3

D.3

15. 直线ρ =



3

2cossin


3

sin

3

2 sin




与直线 l

关于直线θ =




( ρ∈ R)对称，则 l 的方程是 ( )










4

B．



A．

C．



3

2 cos

cos

3

cos


2 cos


















D．



cos

( 二 ) 填空题













2sin



x



16. 若直线 l



的参数方程为






y


3

4
t


5

(t

为参数 ) ，则过点 (4 ，-1)

且与 l 平行的直线

2

3
t


5





在 y 轴上的截距为
.




x


cos









17.

参数方程






1

cos

（

sin


y

1

cos



为参数）化成普通方程为



.






18.

极坐标方程ρ =tg θ sec θ表示的曲线是


.


19.

直线


x

1 3t

(t 为参数 ) 的倾斜角为










；直线上一点 P(x

， y) 与点 M(-1 ，










y

2

3t

.



2) 的距离为

( 三 ) 解答题


20.

设椭圆




x

4 cos


( θ为参数 ) 上一点 P，若点 P 在第一象限， 且∠ xOP=







，求

y

2 3 sin


3


点 P 的坐标 .

21.

曲线 C 的方程为



x

y


2 pt
2

2 pt


(p ＞ 0， t 为参数 ) ，当 t ∈［ -1 ， 2］时 ，曲线 C 的端


△ AFB

















点为 A， B，设 F 是曲线 C 的焦点，且 S =14，求 P 的值 .


22.

已知椭圆
x

2

y
2

=1 及点 B(0 ，-2) ，过点 B 作直线 BD，与椭圆的左

2



半部分交于

C、



D两点，又过椭圆的右焦点


F

2 作平行于 BD的直线，交椭圆于

2

G， H 两点 .





(1) 试判断满足│

BC│·│ BD│ =3│ GF│·│ F
2
H│成立的直线

由 .

(2) 若点 M为弦 CD的中点， S
△

BMF2
=2，试求直线 BD的方程 .
BD 是否存在 ?并说明理

x 8 4sec

23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线

( θ为参数 ) 的左焦点

y 3tg

和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为


9
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.

4




x
2


24.A ，B 为椭圆


y
2

b



a



2

2
=1，(a ＞ b＞ 0)

上的两点， 且 OA⊥ OB，求△ AOB的面积的最大


值和最小值 .


25. 已知椭圆


y
2

=1，直线 l ∶
x
2
x

24


16


12

y

=1，P 是 l 上一点， 射线 OP交椭圆于点 R，

8

又点 Q在 OP上且

满足│ OQ│·│ OP│
2

=│OR│ ，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q的轨迹方程

.

参考答案

( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C
( 二 )16.-4

；17.y

=-2(x- ),(x


２
1
≤ );18.

抛 物线； 19.135 °,|3


1
13.C 14.C 15.D

2
t|









2

2

2

3
;

3







( 三 )20.(


8 54 15

,
) ； 21.

5

5

22.(1)
不存在， (2)x+y+2=0 ； 23. (27-3

1
41
)

；24.S
max
=

ab

， s =

a
2
b
2



1)
2

25.
(x



5

2


( y 1)
2

=1(x,y)

5

2

5

不同时为零 )

max

2

a

2


;

b
2