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(完整)高中数学参数方程大题(带答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 06:02
tags:高中数学参数方程

重庆新东方高中数学兼职-全国高中数学教学大赛如何选题

2020年10月6日发(作者:冉砚农)


参数方程极坐标系
解答题
1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: (Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得 曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通
方程;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2 cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以
sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
解答:
解:(Ⅰ)对于曲线C:
故曲线C的参数方程为
+=1,可令x=2 cosθ、y=3sinθ,
,(θ为参数).
对于直线l:,
由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).
P到直线l的距离为


,其中α为锐角.

. < br>当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为
当sin(θ+α)=1时,|P A|取得最小值,最小值为
点评: 本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.

2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐 标方程为:
,曲线C的参数方程为:(α为参数).
(I)写出直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.

考点: 参数方程化成普通方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: (1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可;
(2)首先,化简曲线C的参数方程,然后,根据直线与圆的位置关系进行转化求解.
解答:
解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,
∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,



∴x﹣

y+1=0.
(α为参数). (2)根据曲线C的参数方程为:

(x﹣2)
2
+y
2
=4,
它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
圆心到直线的距离为:
d=,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.
点评: 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识,属于中档题.

3.已知曲线C
1
:(t为参数),C
2
:(θ为参数).
(1)化C
1
,C
2
的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C
1
上的点P对应的参数为t=,Q为C
2
上的动点,求P Q中点M到直线C
3
:(t为参数)距离的
最小值.

考点: 圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程.
专题: 计算题;压轴题;转化思想.
分析:
(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1
表示一个圆;曲线C
2
表示
一个椭圆;
(2)把t的值代入 曲线C
1
的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C
2

参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示 出M到已知直线
的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值 .
解答:
解:(1)把曲线C
1
:(t为参数)化为普通方程得:(x+ 4)
2
+(y﹣3)
2
=1,
所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;
把C
2
:(θ为 参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,
焦点在x轴上,长半轴 为8,短半轴为3的椭圆;
(2)把t=代入到曲线C
1
的参数方程得:P(﹣4,4),
把直线C
3
:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,
设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)
所 以M到直线的距离d=
从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值
=

,(其中sinα=,cosα=)


点评: 此题考查学生理解并运用直线和 圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化
简求值,是一道综合题.

4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐 标方程为
,直线l的参数方程为
上不同于A,B的任意一点.
(Ⅰ)求圆心的极坐标;
(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: < br>(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为
(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C
, 化为ρ
2
=,把
代入即可得出.
(II)把直线的参数方程化为普通方程, 利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式
可得|AB|=2
解答:
,利用三角形的面积计算公式即可得出.
,化为ρ
2
=, 解:(Ⅰ)由圆 C的极坐标方程为
把代入可得:圆C的普通方程为x
2
+y
2
﹣2x +2y=0,即(x﹣1)
2
+(y+1)
2
=2.
∴圆心坐标为(1,﹣1),
∴圆心极坐标为;
(Ⅱ)由直线l的参数方程

∴圆心到直线l的距离
∴|AB|=2==,
(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:

点P直线AB距离的最大值为


点评: 本题考查了把直线的参数方程 化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三
角形的面积计算公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为
坐标系,直线的极坐标方程为

考点: 椭圆的参数方程;椭圆的应用.
专题: 计算题;压轴题.
为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极
.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.


分析:
由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为.将椭
圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.
解答:
解:将

化为普通方程为
到直线的距离
(6分)
所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)
点评: 此题考查参数方程、极 坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程
进行求解,这也是 每年高考必考的热点问题.

(4分)
6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为 (t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴 建立极
坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.

考点: 参数方程化成普通方程.
专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.
分析: (1) 将曲线C化为普通方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理,即
可 求弦长.
(2)运用圆的参数方程,设出M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可得到最大值.
解答:
解:(1)直线I的参数方程为 (t为参数),消去t,
可得,3x+4y+1=0;
由于ρ=cos(θ+)=(),
, 即有ρ
2
=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x
2
+y
2
﹣x+y=0,其 圆心为(,﹣),半径为r=
圆心到直线的距离d=
故弦长为2=2
=,
=;
(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),
则设M(
则x+y=

=sin(
),
),
由于θ∈R,则x+y的最大值为1.


点评: 本题考查参数方程化为标准方 程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数的几何意义及运用,考查学生的计
算能力,属于中档题.

7.选修4﹣4:参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为
线C的极坐标方程为.
,曲
(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.

考参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
点:
专坐标系和参数方程.
题:
分(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出;
析: (2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,

解 (1)∵P点的极坐标为,
答:

∴点P的直角坐标
把ρ
2=x
2
+y
2
,y=ρsinθ代入
∴曲线C的直角坐标方程为
=3,

=.
可得

,即
(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0

那么点M到直线l的距离
,则线段PQ的中点.
.
∴点M到直线l的最小距离为.

点本题考查了极坐标与直角坐标的互 化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的
评: 单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档题.

8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程
标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+
Q,求线段PQ的长.

)= 3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为
(φ为参数).以O为极点,x轴的非负 半轴为极轴建立极坐


考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析:
(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得: (x﹣1)
2
+y
2
=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入
化简即可得到此圆的极坐标方程.
(II)由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+
射线OM
解答:
)=3, 射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,
.分别与圆的方程联立解得交点,再利用两点间的距离公式即 可得出.
(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)
2
+y
2
=1. 解:( I)圆C的参数方程
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐 标方程.
(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+
可得普通方程:直线l ,射线OM.
)=3,射线OM:θ=.
联立,解得,即Q.
联立,解得或.
∴P
∴|PQ|=

=2.

点评: 本题考查了极坐 标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知
识与基本方 法,属于中档题.

9.在直角坐标系xoy中,曲线C
1
的参数方程为
立极坐标系,曲线C
2
的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.
(α为参数 ),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建
(1)求曲线C
1
的普通方程与曲线C< br>2
的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C
1
上的动点,求点P到C< br>2
上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.

考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: (1)由条件利用同角三角 函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式


x=ρ cosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)求得椭圆上的点到直线x+y﹣ 8=0的距离为
,可得d的最小值,以及此时的α的值,从而求得点P
的坐标.
解答:
解:(1)由曲线C
1
:,可得,两式两边平方相加得:,
即曲线C
1
的普通方程为:
由曲线C
2

即ρsinθ+ ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,

得:,
即曲线C
2
的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.
(2)由(1)知椭圆C
1
与直线C
2
无公共点,椭圆上的点

∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.
到直线x+y﹣8=0的距离为
点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的值域,属于基础题.

10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).
(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;
(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.

考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 计算题.
分析: (I)先 利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用
ρc osθ=x,ρsinθ=y,ρ
2
=x
2
+y
2
,进行代 换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.
(II)欲求切线长的最小值,转化为求直 线l上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l
上的点到圆心的距离的最小值,再利 用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.
解答:
解:(I)∵,∴,
∴圆C的直角坐标方程为

(II)∵直线l的普通方程为
圆心C到直线l距离是
,∴圆心直角坐标为


(10分)
.(5分)
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是
点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角


坐标系中刻画点的位 置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

11.在直角坐标系xOy中,以O为极点 ,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲
线C
1
的方 程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C
1
上的动点,Q为AP的 中点.
(1)求点Q的轨迹C
2
的直角坐标方程;
(2)直线l与直线C
2
交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析:
(1)首先,将曲线C
1
化为直角坐标方程, 然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q的轨迹C
2

直角坐标方程;
(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,根据距离关系,确定取值范围.
解答: 解:(1)根据题意,得
曲线C
1
的直角坐标方程为:x
2
+y< br>2
﹣4y=12,
设点P(x′,y′),Q(x,y),
根据中点坐标公式,得
,代入x
2
+y
2
﹣4y=12,
得点Q的轨迹C
2
的直角坐标方程为:(x﹣3)
2
+(y﹣1)< br>2
=4,
(2)直线l的普通方程为:y=ax,根据题意,得



解得实数a的取值范围为:[0,].
点评: 本题重点考查了圆的极 坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较综合,属于中档题,
解题关键是准确 运用直线和圆的特定方程求解.

12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为 极轴建立坐标系.圆C
1
,直线C
2
的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρ cos
()=2.
(Ⅰ)求C
1
与C
2
交点的极坐标;


(Ⅱ)设P为C
1
的圆心,Q为C
1
与C
2
交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,
b的值.

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.
专题: 压轴题;直线与圆.
分析:
(I)先将圆C
1
,直线C
2
化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y +2=0,由参
数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.
解答:
解:(I)圆C
1
,直线C
2
的直角坐标方程分别为 x
2
+(y﹣2)
2
=4,x+y﹣4=0,
解得或,
∴C
1
与C
2
交点的极坐标为(4,).(2,).
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,
由参数方程可得y=x﹣+1,
∴,
解得a=﹣1,b=2.
点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方 程、把参数方程化为普通方程的方法,方程思想的应用,属于基础
题.
13.在直角坐标系x Oy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴
非负 半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.

解答:
解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).
曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ
2
=4ρcosθ.
把x=ρ cosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x
2
+y
2
=4x, 即(x﹣2)
2
+y
2
=4.
(II)把直线l的参数方程为(t 为参数)代入圆的方程可得:t
2
+4(sinα+cosα)t+4=0.
∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N,
∴△=16(sinα+cosα)
2
﹣16>0,
∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),
∴.
又t
1
+t
2
=﹣4(sinα+cosα),t
1
t
2
=4. ∴|PM|+|PN|=|t
1
|+|t
2
|=|t
1
+t
2
|=4|sinα+cosα|=
∵,∴,


∴.
∴|PM|+|PN|的取值范围是.
点评: 本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题,属于中档题.

1 4.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标< br>系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化.
专题: 坐标系和参数方程.
分析:
(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.化为ρ
2
=2,把代入即可得出;.
(II)设P,又C.利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次
函数的性质即可得 出.
解答:
解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2
∴ρ
2
=2
配方为
(II)设P
∴|PC|=
,化为x
2
+y
2
=
=3.
,又C
sinθ.


=≥2,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).
点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

15.已知曲线C
1
的极坐标方程 为ρ=6cosθ,曲线C
2
的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C
1
,C
2
相交于A,B两点.
(Ⅰ)把曲线C
1
,C
2
的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求弦AB的长度.

考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 计算题.
分析:
(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsin θ=y,ρ
2
=x
2
+y
2
,进行代换即得曲线C
2
及曲线
C
1
的直角坐标方程.
(Ⅱ)利用直角坐标方程的形式, 先求出圆心(3,0)到直线的距离,最后结合点到直线的距离公式弦AB的
长度.
解答:
解:(Ⅰ)曲线C
2
:(p∈R)
表示直线y=x,
曲线C
1
:ρ=6cosθ,即ρ
2
=6ρcosθ
所以 x
2
+y
2
=6x即(x﹣3)
2
+y
2
=9


(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离
r=3所以弦长AB==.

∴弦AB的长度.
点评: 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方 程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等
基本方法,属于基础题.

16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin( θ+)=,
圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)
(Ⅰ)求圆心C的极坐标;
(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.

考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.
专题: 计算题.
分析: (1)利用两角 差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程;利用同角三角函数的基
本关系,
消去θ可得曲线C的普通方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.
(2)由点到直线 的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值,
最后列出关于 r的方程即可求出r值.
解答:
解:(1)由 ρsin(θ+)=,得 ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.
由 得C:圆心(﹣,﹣).
∴圆心C的极坐标(1,).
(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:

∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,

r=2﹣
时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.

∴当r=2﹣
点评: 本小 题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直
线距离公式、三角变换等内容.

17.选修4﹣4:坐标系与参数方程


在直角坐标xOy中,圆C
1
:x
2
+y
2
=4, 圆C
2
:(x﹣2)
2
+y
2
=4.
(Ⅰ)在以 O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C
1
,C
2
的极坐标 方程,并求出圆C
1
,C
2
的交点
坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求圆C
1
与C
2
的公共弦的参数方程.

考点: 简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.
专题: 计算题;压轴题.
分析:
(I)利用,以及x
2
+y
2

2,直接写出圆C
1
,C
2
的极坐标方程,求出圆C
1
, C
2
的交点极坐标,
然后求出直角坐标(用坐标表示);
(II)解法一: 求出两个圆的直角坐标,直接写出圆C
1
与C
2
的公共弦的参数方程.
解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出
解答:
解:(I)由
可知圆

解得:ρ=2,
,x
2
+y
2

2

,的极坐标方程为ρ=2,
,即

),(2,).
),(1,).
的极坐标方程为ρ=4cosθ,
,然后求出圆C
1
与C
2
的公共弦的参数方程.
故圆C< br>1
,C
2
的交点坐标(2,
(II)解法一:由得圆C
1,C
2
的交点的直角坐标(1,


故圆C
1
,C
2
的公共弦的参数方程为
(或圆C
1
,C
2
的公共弦的参数方程为
(解法二)将x=1代入
从而于
得ρcosθ=1
是圆C
1
,C
2
的公共弦的参数方程为.
点评: 本题考查简单曲线的极坐标方程,直线的参数方程的求法,极坐标与直角坐标的互化,考查计算能力.



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