高中数学解题基本方法--参数法 大全

高中数学解题基本方法--参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目 研究的数学对象发生联系的新变量
（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与 二次曲线的参数方程
都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论 肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就
是要揭示事物之间的内在联系 ，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化
状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数 体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已
经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较 普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数
提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
xyz
?
?
x??2?2t
2. （理）直线
?
上 与点A(-2,3)的距离等于
2
的点的坐标是________。
?
?
y?3?2t
（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移 动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为
____________________ 。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时， f(x)<0，
则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
2
22
x
2
y
2
6. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－
2
＝0的最大距离是_____。
16
4
A. 3 B.
11
C.
10
D. 2
2

【简解】1小题：设2＝ 3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再
用“比较法”比较2x、3y、5z， 得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±
2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已
xyz
知曲线为椭圆，a＝1，c＝
1?
1
1
，所以e＝－
k
k
2
k
2
?k
；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于 x轴向右的
射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则
111
xy＝6、y z＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
222
5小题：f(0)＝0，f(0) ＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝
Ⅱ、示范性题组：
|4sin
?
?4cos
?
?2|
的最大值，选C。
5
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝
b＝
222
1
＋t
1
，
3
11
222
＋t< br>2
，c＝＋t
3
，代入a＋b＋c可求。
33
111
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t
1
，b＝＋t
2
，c＝＋t
3
，其中t
1
＋t
2
＋t
3
＝0，
333
11112
222222
∴ a＋b＋c＝（＋t
1
）＋（＋t
2
）＋(＋t
3
)＝＋(t
1
＋t
2
＋t
3
)
33333
11
222222
＋t
1
＋t
2
＋t
3
＝＋t
1
＋t
2
＋t
3
≥
33
1
222
所以a＋b＋c的最小值是。
3
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种
解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋ c＝
(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥
22 22222
222
1
。
3
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
1
x
2
y
2
例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点 。连OP、OQ，若k
OP
·k
OQ
＝－ ，
4
16
4
①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
22
?
x?4cosθ
【分析】 由“ 换元法”引入新的参数，即设
?
（椭圆参数方程），参数θ
1
、
?< br>y?2sinθ
θ
2
为P、Q两点，先计算k
OP
·k
OQ
得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数
22
法”求中点M的 坐标，消参而得。
?
x?4cosθ
x
2
y
2
【 解】由＋＝1，设
?
，P(4cosθ
1
,2sinθ
1
) ，Q(4cosθ
2
,2sinθ
2
),
16
4
niθ
?
y?2s
1
2sin
?
1
2sin
?
2
则k
OP
·k
OQ
＝＝－，整理得到：
?
4
4cos
?
1
4cos
?
2
cosθ< br>1
cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
＝0,即cos（θ
1
－θ
2
）＝0。

∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ
1
＋cos
2222
1
＋4sin
2
θ
1
＋16cos
2< br>θ
2
＋4sin
2
θ
2
＝8＋12(cosθ
2
θ
2
)＝20＋6（cos2θ
1
＋cos2θ
2)＝20＋12cos（θ
1
＋θ
2
）cos（θ
1
－ θ
2
）＝
20，
即|OP|＋|OQ|等于定值20。
22?
x
M
?2(cos
?
1
?cos
?
2
)
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为
?
，
y?si n
?
?sin
?
12
?
M
x
22
所以有()＋y＝2＋2(cosθ
1
cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
)＝2,
2
x
2
y
2
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
8
2
【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新 的参数，
转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ
2
221
＋ cosθ
2
）
＋（sinθ
1
＋sinθ
2
）
2
，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点
的轨 迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的
函数，再运用“消 去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k ，则OQ的斜率为－
1
，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
4k
?
x
2
?4y
2
?16?0
4
22
，消y 得(1＋4k)x＝16,即|x
P
|＝；
?
2
y?kx
1?4k
?
?
x
2
?4y
2
?16?0
1
|8k|
?
2
，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；
?
1
2
Q
2
4k
1?4k
?
y??
4k< br>x
?
1
|8k|
2
所以|OP|＋|OQ|＝(
1? k
?
)＋（
1?
）
?
2
22
16k1?4k1?4k
22
2
4
2
20?80k
2
22
＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。
2
1?4k
在此解法 中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝
1?k
AB
和|OQ|的长。 2
?
|x
A
－x
B
|求|OP|

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为
S

2
β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
E

2
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的
D C
余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
O F
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、
A B
OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝
OF
a
＝,
cosβ
2cosβ
SC＝
SF
2
?FC
2
＝
(
aa
)2
?()
2

2cosβ2
＝
a
2cosβ< br>1?cos
2
β

1
a
1?cos
2
?
2cos
?
SF·BC
a
2
又 ∵BE＝＝
?
SC
2cosβ
＝
a
1?cos
?
2
< br>a
2
2??2a
2
22
2
2BE?BD
1? cos
?
2
在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cos
2BE< br>2
a
2
2?
1?cos
2
?
β。
所以cosα＝－cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中 间变量辅助计算，这也是在参数法中
参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的 轨迹是
________________。
2. 函数y＝x＋2＋
1?4x?x
2
的值域是________________。
3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值 为
_____
A. 5 B. 10 C. 2
3
D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L
1
：x－3y＋10＝0及L
2
：2x＋y－8＝0所
截得的线段被 点P平分，求直线L方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
22
2

6. f(x)＝(1－
a
cosx)sin x，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
2
2
232
22
2a
＝0有模为1的虚根，7. 若关于x 的方程2x＋xlg
(a?
3
1)
＋lg(
a?1
)＋lg
2
求
8a
2a
a?1
实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有
1
＋
1
为定值。
|MP|
2
|MQ|
2
2