年高考数学试题分类大全

∴
1111111
??
L
?????
L
?< br>
S
1
S
2
S
n
1?32?43?5n(n ?2)
9.（湖北卷21）.(本小题满分14分)
2
已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
?
?
,
a
n?1
?a
n
?n?4,b
n?(?1)
n
(a
n
?3n?21),
其中
?
为实数，
3
n
为正整数.

（Ⅰ）对任意实数
?
， 证明数列
{a
n
}
不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列
{b
n
}
是否为等比数列，并证明你的结论； < br>（Ⅲ）设
0?a?b
,
S
n
为数列
{b
n< br>}
的前
n
项和.是否存在实数
?
，使得对任意正整数
n
，都有
a?S
n
?b
?若存在，求
?
的取值范 围；若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论 的思想，
考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一 个实数λ，使｛
a
n
｝是等比数列，则有
a
2
2
=
a
1
a
3
,即
2444
(
?
? 3)
2
?
?
(
?
?4)?
?
2
? 4
?
?9?
?
2
?4
?
?9?0,
矛盾.
3999
所以｛
a
n
｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为< br>b
n
+1
=(-1)［
a
n
+1
-3(n
-1)+21］=(-1)(
=
22
(-1)
n
·（
a
n
-3
n
+21）=-
b
n

33
n
+1
n
+1
2
a
n
-2
n
+14)
3
又
b
1
x
-(λ+18),所以 < br>当λ＝－18，
b
n
=0(
n
∈N
+
),此 时｛
b
n
｝不是等比数列：
当λ≠－18时，
b
1
=(λ+18) ≠0,由上可知
b
n
≠0，∴
b
a?1
2
??
(
n
∈N+
).
b
n
3
故当λ≠-18时，数列｛
b
n
｝是以－（λ＋18）为首项，－
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,
b
n
=0,
S
n
=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知
b
n
= -（λ+18）·（－
n
　1－（－）.

S
n
=-
(
?
?18)·
??
53
??
2
为公比的等比数 列.
3
2
n
-1
），于是可得
3
3
?
2
?
要使
a
<
S
n
<
b
对任意正整数
n
成立，
32
即
a
<-(λ+18)·［1 －（－）
n
］〈b(
n
∈N
+
)
53

得
a
2
1?(?)
n
3
3
??(
?
?18)?
5
b
2
1?(?)
n
3
　　　　　　　　　　
①
2
令f(n)?1?(?) ，则
55
当
n
为正奇数时，1<
f
(
n
)
?;当n为正偶数时，?f(n)?1,

39
55
∴
f< br>(
n
)的最大值为
f
(1)=,
f
(
n)的最小值为
f
(2)= ,
39
533
于是，由①式得a
<-(λ+18),<
b??b?18?
?
??3a?18.

955
当
a
<
b
?
3
a
时，由－
b
-18
?
=-3
a
-18，不存在实数满足题目要求；
当
b
>3
a
存在实数λ，使得对任意正整数
n
,都 有
a
<
S
n
<
b
,且λ的取值范围是（－
b
-18,-3
a
-18）.
10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）
数列
?
a
n
?
满足a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
? (1?cos
2
n
?
n
?
)a
n
?sin
2
,n?1,2,3,L.

22
(Ⅰ)求
a
3
,a
4
,
并求数列
?
a
n
?
的通项公式；
(Ⅱ)设
b
n
?
a
2n?1
1
,S
n
?b
1
?b
2
?L?b
n
.
证明：当
n?6时，S
n
?2?.

a
2n
n
解: (Ⅰ)因为
a
1
?1,a
2
?2,
所以
a
3
?(1?cos
2
?< br>2
)a
1
?sin
2
?
2
?a
1< br>?1?2,

一般地，当
n?2k?1(k?N
*
)
时，
a
2k?1
?[1?cos
2
＝
a
2k?1< br>?1
，即
a
2k?1
?a
2k?1
?1.

(2k?1)
?
2k?1
]a
2k?1
?sin
2
?

22
所以数列
?
a
2k?1
?
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
a
2k?1
?k.

当< br>n?2k(k?N
*
)
时，
a
2k?2
?(1?co s
2
2k
?
2k
?
)a
2k
?sin2
?2a
2k
.

22
所以数列
?
a
2k
?
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
a
2k
?2
k
.

?
n?1
*
,n?2k?1(k?N),< br>?
2
故数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?

n
?
2
*
?
2,n?2k(k?N).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
b
n
?
a
2 n?1
n123n
?
2
,
S
n
??
2?
3
?L?
n
,
①
a
2n2
2222
1123n
S
n
?
2
?
2
?
4
?L?
n?1
②
22222
11111n
①-②得，
S
n
??
2
?
3
?L?
n
?
n?1
.

222222

1nn?2
??2?.

2
n?1
2
n
2
n
1n(n?2)
要证明当
n?6
时，
S
n
?2?
成立，只需证明当
n?6
时，
?1
成立.
n2
n
证法一
6?(6?2)483
(1)当
n
= 6时，
???1
成立.
6
2644
k(k?2)
(2)假设当
n?k(k?6)
时不等式成立，即
?1.

2
k
所以
S
n
?2?
则当
n
=
k
+1时，
(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?3)(k ?1)(k?3)
????1.

k?1k
222k(k?2)(k?2)g2k
由(1)、(2)所述，当
n
≥6时，
证法二
n(n?1)1
.即当
n
≥6时，
?1S?2?.

n
2
2n
(n?1)(n?3)n(n?2)3?n
2
n(n?2 )
??
n?1
?0.
令
c
n
?(n?6)
，则
c
n?1
?c
n
?
n?12
2
222
2
所以当
n?6
时，
c
n?1
?c
n
.因此当
n?6
时，
c
n
?c
6
?
于是当
n?6
时，
n(n?2)
?1.

2
2
6?83
??1.

644
1
综上所 述，当
n?6
时，
S
n
?2?.

n
11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）
已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
?
3a
n
3
，a
n?1
?
，
n?1，2，L
．
2a
n?1
5
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ ）证明：对任意的
x?0
，
a
n
≥
11
?
2
?
??x
，2，L
；
??
，
n?1
2 n
1?x(1?x)
?
3
?
n
2
（Ⅲ）证明：a
1
?a
2
?
L
?a
n
?
．
n?1
解法一：（Ⅰ）
Q
a
n?1
?
?
3 a
n
121
11
?
1
??
?1?
?
?1
?
，
，
?
，
?
2a
n
? 1a
n?1
33a
n
a
n?1
3
?
an
?
又
?
1
?
12
21
?1?
，
?
?
?1
?
是以为首项，为公比的等比数列．
an
3
33
?
a
n
?
3
n
12 12
?
?1?g
n?1
?
n
，
?a
n?
n
．
a
n
333
3?2

3
n
?0
， （Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
n
?
n
3 ?2
1
?
1
?
??
?
?a
n
?< br>?a
n
≤a
n
，
?
原不等式成立．
an
?
1?x
?
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的
x?0
，有
?
n1
?
222
?
???
L
??nx??
．
1?x(1?x)
2
?
33
2
3n
?
2
2
?
1
?
1?
?
1< br>?
222
?
3
?
1
?
3
n
?
1
?
?
?
?
1?
n
?
， ?
取
x?
?
?
2
?
L
?
n< br>?
?
n
?
333
?
?
1
?
n
?
3
?
n
?
1?
?
?
3
?
nn
2
n
2
则
a
1
?a
2< br>?
L
?a
n
≥
．
??
1
n?1< br>1
?
1
?
1?
?
1?
n
?
n?1?
n
3
n
?
3
?
?
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设
f(x)?
11
?
2
?
??x
??
，
1?x(1?x)
2
?
3
n
?
?
2
??
2
?
?(1?x)
2
?
?
n
?x
?
g
2(1?x)2
?< br>n
?x
?
1
?
3
??
3
?

??
则
f
?
(x)??
222
(1?x)(1?x )(1?x)
Qx?0
，
22
?
当
x?
n
时，
f
?
(x)?0
；当
x?
n
时，
f
?
(x)?0
，
33
?
当
x?
2
时，
f(x)
取得最大值
3
n
1
?
2
?
f
?
n
?
??a
n
．
2
?3
?
1?
3
n
?
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设 各项均为正数的数列{
a
n
}满足
a
1
?2,a
n
?aa
（Ⅰ）若
a
2
?
3
2
a?1a?2
(n?N*)
.
1
，求
a
3
，
a
4
，并猜想
a
2cos
的值（不需证明）；
4
（Ⅱ）记
b
n
?a
3
a
2
ggga
n
(n ?N*),若b
n
?22
对
n
≥2恒成立，求
a
2
的值及数列{
b
n
}的通项
公式.

解 ：(Ⅰ)因
a
1
?2,a
2
?2
?2
,故

由此有
a
1
?2
(?2)
,a
2
?2
(?2)
,a
3
?2
(?2)
,a
4
?2
(?2)
，故猜想
a
n
的通项为
（Ⅱ）令
x
n
?log
2
a
n
,S
n表示x
n
的前n项和，则b
n
?2
S
n
.
由题设知
x
1
=1且
3
x
n
?x
n?1
?x
n?2
(n?N
*
);
①
2
3

S
n
?x
1
?x
2
?L?x
n
? (n?2).
②
2
3
因②式对
n
=2成立，有
?x
1
?x
2
,又x1
?1得

2
1

x
2
?.
③
2
11
下用反证法证明：
x
2
?.假设x
2
?.

22
31
由①得
x
n?2?2x
n?1
?(x
n?2
?x
n?1
)?(x
n?1
?2x
n
).

22
1
因此数列x
n?1
?2x
n
是首项为
x
2
?2，公比为的等比数列.故
2
111

x
n?1
?x
n
?(x
2
?)
n?1(n?N
*
).
④
222
1311
又由①知
x
n?2< br>?x
x?1
?(x
n
?x
n?1
)?x
n? 1
??2(x
n?1
?x
n
),

2222
1
1
因此是
x
n?1< br>?x
n
是首项为
x
2
?
，公比为-2的等比数列,所 以
2
2
0223
11
< br>x
n?1
?x
n
?(x
2
?)(?2)
n? 1
(n?N
*
).
⑤
22
由④-⑤得
511

S
n
?(x
2
?2)
n?1
?(x
2
?)(?2)
n?1(n?N
*
).
⑥
222
对
n
求和得
5111?(?2)
2
x
n
?(x< br>2
?2)(2?
n?1
)?(x
2
?)(n?N
*< br>).
⑦
2223
31
由题设知
S
2k?1
?,且由反证假设x
2
?有

22
3
6x
2
?
4
?1
即不等式2
2
k
+1
＜
1
x
2
?
2
对
k
?
N
*
恒成立.但这是不可能的，矛盾.
11
因此
x
2
≤,结合③式知
x
2
=,因此
a
2
=2
*2
=
2.

22

1
代入⑦式得
2
1
S
n
=2－< br>n?1
(
n
?
N*),
2
1
S
2 －
所以
b
n
=2
n
=2
2
n?1
(
n
?
N*)
将
x
2
=
13.（广东卷21）．（本小题满分12分）
设
p，q
为实数，
?
，
?
是方程
x
2?px?q?0
的两个实根，数列
{x
n
}
满足
x1
?p
，
x
2
?p
2
?q
，
x
n
?px
n?1
?qx
n?2
（
n?3，
…）．（1）证明：
?
?
?
?p
，
??
?q；（2）求数列
{x
n
}
4，
的通项公式；
（3）若
p?1
，
q?
1
，求
{x
n
}
的 前
n
项和S
n
．
4
p?p
2
?4qp? p
2
?4q
【解析】（1）由求根公式，不妨设
?
?
?，得
?
?

,
?
?
22
p?p
2
?4qp?p
2
?4qp?p
2
?4qp?p
2
?4q
?
?
?
?
???p
，
??
??? q

2222
?
s?t?p
（2）设
x
n
?sx
n?1
?t(x
n?1
?sx
n?2
)
，则
x
n
?(s?t)x
n?1
?stx
n?2
，由< br>x
n
?px
n?1
?qx
n?2
得
?
，
st?q
?
消去
t
，得
s
2
?ps ?q?0
，
?s
是方程
x
2
?px?q?0
的根， 由题意可知，
s
1
?
?
,s
2
?
?

?
s?
?
?
s
2
?
?
?s?t?p
或
?
①当
?
?
?
时，此时方程组< br>?
的解记为
?
1

t?
?
t?
?< br>st?q
?
1
?
2
?
即
?
x
n
?t
1
x
n?1
?
、
?
x
n
?t
2
x
n?1
?
分别是公比为
s
1?
?
、
s
2
?
?
的等比数列，
由等 比数列性质可得
x
n
?
?
x
n?1
?(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
,
xn
?
?
x
n?1
?(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
,
两式相减，得
(
?
?
?
)x
n?1
?(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
?(x
2
?
?
x< br>1
)
?
n?2

Qx
2
?p
2?q,x
1
?p
，
?x
2
?
?
2?
?
2
?
??
，
x
1
?
?< br>?
?

?(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
?
?
2
g
?
n?2
?
?
n
，
(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
?
?
2
g
?
n?2
?
?
n

?
n
?
?
n
?
n ?1
?
?
n?1
?(
?
?
?
)x
n?1
?
?
?
?
，即
?x
n?1
?
，
?x
n
?

?
?
?
?
??
nn
②当
?
?
?
时，即方程
x
2< br>?px?q?0
有重根，
?p
2
?4q?0
，
即< br>(s?t)
2
?4st?0
，得
(s?t)
2
?0, ?s?t
，不妨设
s?t?
?
，由①可知

x
n
?
?
x
n?1
?(x
2
?
?
x
1
)
?
n?2
，
Q
?
?
?，
?x
n
?
?
x
n?1
?(x
2?
?
x
1
)
?
n?2
?
?
n

即
?x
n
?
?
x
n?1
??
n
，等式两边同时除以
?
n
，得
?
x
n
?
n
公
?
x
n?1
?
n?1
差
?1
，即
x
n
?
n
等
?
xn?1
?
n?1
差
?1

数
?
x1
列
{
x
n
n
?
}
是以1为的数列，
?
x
n
?
n
?
?(n?1)?1?
2?
?
?n?1?n?1
,
?x
n
?n
?
n
?
?
n

?
?
n?1
?
?< br>n?1
,(
?
?
?
)
?
综上所述，
x
n
?
?
?
?
?

?
n
?
n
?
?
n
,(
?
?
?
)
?
111
代入
x
2
?px?q?0
，得
x
2
?x??0
，解得
?
?
?
?

442
14.（浙江卷22）（本题14分）
（3）把
p?1
，< br>q?
已知数列
?
a
n
?
，
a
n?0
，
a
1
?0
，
a
n?1
?an?1
?1?a
n
(n?N
?
)
22
．记S
n
?a
1
?a
2
???a
n
．T
n
?
111
????
．
1?a
1
(1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
1
)(1?a
2
)?(1?a
n
)
求证：当
n?N
?
时，
（Ⅰ）
a
n
?a
n?1
；
（Ⅱ）
S
n
?n?2
；
（Ⅲ）
T
n
?3
。
本题主要考查数列的递推关系，数学归 纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查
逻辑推理能力．满分14分．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当
n?1
时，因为
a
2
是方程
x
2
?x?1?0
的正根，所以
a
1?a
2
．
②假设当
n?k(k?N
*
)
时，
a
k
?a
k?1
，
因为
a
k?1
2
?a
k
2
?(a
k?2
2
?a
k?2
?1)?(a
k?1
2
?a
k?1
?1)


?(a
k?2
?a
k?1
)( a
k?2
?a
k?1
?1)
，
所以
a
k?1
?a
k?2
．
即当
n?k ?1
时，
a
n
?a
n?1
也成立．
根据①和②， 可知
a
n
?a
n?1
对任何
n?N
*
都成 立．

（Ⅱ）证明：由
a
k?1
2
?a
k? 1
?1?a
k
2
，
k?1
，
，2，L，n?1< br>（
n≥2
）
2
?(a
2
?a
3
?L ?a
n
)?(n?1)?a
1
2
． 得
a
n
2
因为
a
1
?0
，所以
S
n
?n?1? a
n
．
2
?2a
n?1
2
?1
得
a
n
?1
， 所以
S
n
?n?2
． 由< br>a
n
?a
n?1
及
a
n?1
?1?a
n
（Ⅲ）证明：由
a
k?1
2
?a
k?1
?1? a
k
2
≥2a
k
，得
所以
a
1
≤
n?2
n
(a≥3)
， (1?a
3
)(1?a
4
)L(1?a
n
)2a
2
a
n
a
11
≤
n?22
?
n
n
?(n≥3)
，
?2n?2
(1?a
2
)(1?a3
)L(1?a
n
)2(a
2
?a
2
)22< br>于是
11
故当
n≥3
时，
T
n
?1?1?? L?
n?2
?3
，
22
又因为
T
1
?T
2
?T
3
， 所以
T
n
?3
．
15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分）
|b
n
|
中，
b
n
，a
n?1
， b
n?1
成等比数列在数列
|a
n
|
，
a
1
=2，
b
1
=4，且
a
n
，b
n
，a
n?1
成等差数列，（
n?N
*
）
（Ⅰ）求
a
2
，
a
3
，
a
4
及
b
2
，
b
3
，
b
4
，由此猜测
|a
n
|
，
|b
n
|
的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：
1115
??…??
．
a
1
?b< br>1
a
2
?b
2
a
n
?b
n
12
本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合
运用数学 知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
2
解：（Ⅰ）由条件得
2b
n
?a
n
?a
n?1
，a
n?1
?bn
b
n?1

由此可得
a
2
?6，b
2
?9，a
3
?12，b
3
?16，a
4
?20 ，b
4
?25
． ·········· 2分
猜测
a
n
?n(n?1)，b
n
?(n?1)
2
． ·················· 4分
用数学归纳法证明：
①当
n
=1时，由上可得结论成立．
②假设当
n
=
k
时，结论成立，即
a
k
?k(k?1)，b
k
?(k?1)
2
，
那么当
n
=
k
+1时，
2
a
k
a
k?1
?2b
k
?a
k
?2(k?1)?k(k?1)? (k?1)(k?2)，b
k?1
?
?2
?(k?2)
2
．
b
k
2

所以当
n
=
k
+1 时，结论也成立．
由①②，可知
a
n
?n(n?1)，b
n
(n?1)
2
对一切正整数都成立． ······ 7分
（Ⅱ）
115
??
．
a
1
?b
1
612
n
≥2时，由（Ⅰ）知
a
n
?b
n
?(n ?1)(2n?1)?2(n?1)n
． ········ 9分
故
1
a
?
1
?…?
1
?
1
?
1
?
?
1
?
1
?…?
1
?
?

1< br>?b
1
a
2
?b
2
a
n
?b
n
62
?
2?33?4n(n?1)
?
综上，原不等式成立． ·····················分 12