2021年上海高考数学考点笔记大全

2020年10月6日发(作者：周蕙)

2021上海高考数学考点笔记大全

1．上海高考数学重难点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。
难点：函数、数列、圆锥曲线。
2．上海高考数学考点：
（1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。
（2）不等式：概念与性质、均值 不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应
用。
（3）函数：函数的 定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数
图象、指数与指数函数 、对数与对数函数、函数的应用。
（4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差 、倍、半公式、万能公式、辅助角
公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、 反三角函数、最
简三角方程。
（5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、 坐标运算、数量积、三角形“四心”及
其应用。
（6）数列：数列的有关概念、等差数列、等 比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归
纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。 < br>⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、
直线与圆的位置关系。
（8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹
问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。
（9）立体几何与空 间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何
体的三视图与直观图、 几何体的表面积与体积、空间向量。
（10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。
（11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中< br>位数、众数、频率分布直方图。
（12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。
（1 3）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法
则、余 子式与代数余子式。
（14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。




成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第一章 集合和命题


1. 集合及其表示法
能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；
集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；
集合常用 大写字母
A、B、C…
表示，集合中的元素用小写字母
a、b、c…
表示；如 果
a
是集合
A
的元素，就
记作
a?A
，读作“< br>a
属于
A
”；如果
a
不是集合
A
的元素，就 记作
a?A
，读作“
a
不属于
A
”；
数的集合简 称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作
Ν
，不包括零的自然数组成的集合，记作< br>Ν*
；全体
整数组成的集合即整数集，记作
Z
；全体有理数组成的集合 即有理数集，记作
Q
；全体实数组成的集合即实数集，
记作
R
；另外 正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示
为
Z、Z、Q 、Q、R、R
；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；
含有有限 个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作
?
.
集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的 方法
叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合 中元素所共同具有
的特性，即
A?{x|x
满足性质
p}
，这种表示 集合的方法叫做描述法.
??????
2. 集合之间的关系
对于两个集合
A
和
B
，如果集合
A
中任何一个元素都属于集合
B
，那么集合
A
叫做集合
B
的子集，记作
A?B
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

或
B?A
，读作“
A
包含于
B< br>”或“
B
包含
A
”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 ，是任何非空
集合的真子集；所以若
A?B
，不要遗漏
A??
的情况 ；
对于一个含有
n
个元素的集合
P
，它的子集个数为
2< br>n
，真子集个数为
2
n
?1
，非空子集个数为
2n
?1
，非空真子
集的个数为
2
n
?2
；
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；
对于两个集合
A
和
B
，如果
A?B
且
B?A
，那么叫做 集合
A
与集合
B
相等，记作
A?B
，读作“集合
A
等于
集合
B
”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；
对于两个集合
A
和
B
，如果
A?B
，并且
B中至少有一个元素不属于
A
，那么集合
A
叫做集合
B
的 真子集，记作
；
A
?
?
B
或
B
?
?
A
，读作“
A
真包含于
B
”或“
B
真 包含
A
”
对于数集
N、Z、Q、R
来说，有
N
?< br>?
Z
?
?
Q
?
?
R
；
3. 集合的运算
一般地，由集合
A
和集合
B
的所有 公共元素组成的集合叫做
A
与
B
的交集，记作
AB
，读作< br>“
A
交
B
”，即
AB?
?
xx?A
且
x?B
?
；
，
B
，读作“
A
并
B
”由所有属于集合
A
或者属于集合
B
的元素组成的集合叫做集合
A
、
B
的并集，记作
A
即
AB?
?
xx?A
或
x?B
?
；

在研究集合与集合之间的关系 时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合
U
表示；即全集 含有我们所要研究的各个集合的全部元素；
设
U
为全集，
A
是U
的子集，则由
U
中所有不属于
A
的元素组成的集合叫做集合< br>A
在全集
U
中的补集，记作
C
U
A
，读作“
A
补”，即
C
U
A?
?
xx?U,x?A
?
；
德摩根定律：
C
U
(AB)?C
U
ACU
B
；
C
U
(AB)?C
U
AC
U< br>B
；
容斥原理：用
|A|
表示集合
A
的元素个数， 则
|AB|?|A|?|B|?|AB|
；
A|?|ABC|
；
|ABC|?|A|?|B|?|C|?|AB|?|BC|?|C
4. 命题
可 以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；
?
?
?
如果命题
?
成立可以推出命题
?
也成立，那 么就说由
?
可以推出
?
，记作
?
?
?
，读 作“
?
推出
?
”，换言之，
表示以
?
为条件、?
为结论的命题是真命题；
如果
?
?
?
，并且
?
?
?
，那么记作
?
?
?
，叫做
?与
?
等价；推出关系满足传递性：
?
?
?
，
?
?
?
，
那么
?
?
?
；一个数学命题用条件
?
，结论
?
表示就是“如果
?
，那么
?
” ，如果把结论和条件互相交换，就得到
一个新命题“如果
?
，那么
?
”，这个命题叫做原命题的逆命题；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把 这样两个命题叫做互否命题，如果
其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果把< br>?
、
?
的否定分别记作
?
、
?
，那么命题
“如果
?
，那么
?
”的否命题就是“如果
?
，那么
?
”；
如果把原命题“如果
?
，那么
?
”结论的 否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到一个新命题，
我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果
?
，那么
?
”；
如果
A
、
B
是两个命题，
A?B
，
B?A
，
那么
A
、
B
叫做等价命题；
原命题与逆否命题是等价命题；

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题 和逻辑联结词构成
的命题叫做复合命题；复合命题有三类：
p
或
q
，
p
且
q
，非
p
；
p

真
真
假
假
一些常用结论的否定形式：
原结论
是
都是
大于
小于
q

真
假
真
假
非
p

假
假
真
真
p
或
q

真
真
真
假
p
且
q

真
假
假
假
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
非
p
且非
q

非
p
或非
q


原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
对所有
x
成立
对任何
x
不成立
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有
n?1
个
至少有
n?1
个
存在某个
x
不成立
存在某个
x
成立
p
或
q

p
且
q

5. 充要条件
一般地，用
?
、
?
分别表示两个命题，如果命题
?
成立，可以推出
?
也成 立，即
?
?
?
，那么
?
叫
做
?
的 充分条件，
?
叫做
?
的必要条件；
一般地，用
?
、
?
分别表示两个命题，如果既有
?
?
?
，又有
?
?
?
，即
?
?
?
，那么
?
既是< br>?
的充分条
件，又是
?
的必要条件，这时我们就说，
?
是
?
的充分必要条件，简称充要条件；

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

设具有性质
p
的对象组成集合
A
，具有性质
q
的对象组成集合
B
，则
① 若
A?B
，则
p
是
q
的充分条件；
② 若
A
?
?
B
，则
p
是
q的充分非必要条件；
③ 若
A?B
，则
p
是
q
的必要条件；
④ 若
A
?
?
B
，则
p
是
q
的必要非充 分条件；
⑤ 若
A?B
，则
p,q
互为充要条件；
等价 关系：“
p?q
”
?
“
A?B
”
?
“AB?A
”
?
“
AB?B
”
（注意考虑
A??
的情况）；
?
“
C
U
B?C
U
A
”
?
“
AC
U
B??
”
?
“
C
U
AB?U
”












成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第二章 不等式

1. 不等式的基本性质
性质1 如果
a?b,b?c
，那么
a?c
；
性质2 如果
a?b
，那么
a?c?b?c
；
性质3 如果
a?b
，
c?0
，那么
ac?bc
；如果
a? b
，
c?0
，那么
ac?bc
；
性质4 如果
a?b,c?d
，那么
a?c?b?d
；
性质5 如果
a?b?0,c?d?0
，那么
ac?bd
；
11
?
；
ab
nn
性质7 如果
a?b?0
，那么
a?b
(n?N*)
；
性质6 如果
a?b?0
，那么
0?
性质8 如果
a?b?0
，那 么
n
a?
n
b
(n?N*,n?1)
；
2. 不等式的解法
（1）一元二次不等式 对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是二次，这样的不等式
叫做一元二次不等式，它的一般形式是
ax?bx?c?0
或
ax?bx?c?0
（
a?0
）；一般地，设一元二次不等式为
22
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

22
（
a? 0
），当对应的一元二次方程
ax?bx?c?0
的根的判别式
??b?4a c?0ax
2
?bx?c?0
或
ax
2
?bx?c?022
时，先求出方程
ax?bx?c?0
的两个实数根
x
1,x
2
（不妨设
x
1
?x
2
），于是不等式< br>ax?bx?c?0
的解集为
{x|x?x
1
或
x?x
2
}
，不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
{ x|x
1
?x?x
2
}
；

不等式的解集经常用 区间来表示，设
a,b
都为实数，并且
a?b
，我们规定：
① 集合
{x|a?x?b}
叫做闭区间，表示为
[a,b]
； ② 集合
{x|a?x?b}
叫做开区间，表示为
(a,b)
；
③ 集 合
{x|a?x?b}
或
{x|a?x?b}
叫做半开半闭区间，分别表示为
[a,b)
或
(a,b]
；
④ 实数集
R
表示为
(??,??)
，集合
{x|x?a}
、
{x|x?a}
、
{x|x?b}
和
{x|x?b}
分别用区间
[a,??)
、
(a,??)
、
“
??
”读作“正无穷大”，“
??”读作“负无穷大”；
(??,b]
和
(??,b)
表示；
a
与
b
也叫做区间的端点，

前面讨论的是判别式
??0的情形，当
??0
时，抛物线
y?ax?bx?c
(a?0)
与
x
轴没有交点，整个图像都
在
x
轴的上方，于是不等式
ax ?bx?c?0
的解集为实数集
R
，不等式
ax?bx?c?0
的解 集为空集
?
；
22
2
b
，
2a
2除了这一个点外，抛物线的其余部分都在
x
轴的上方，于是不等式
ax?bx?c ?0
的解集为
bb
(??,?)(?,??)
，不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为空集
?
；
2a2a
当
??0
时，抛物线
y?ax?bx?c
(a?0)
与
x
轴两 个交点重合，即
x
1
?x
2
??
2
（2）高次不等 式
高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：
① 等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定是正数）； ② 把各因式的根标在数轴上；
③ 从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；
如图：(x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?0
（假设
x
1
?x
2
?x
3
）的解为
x?[ x
1
,x
2
][x
3
,??)
；

（3）分式不等式
型如
f(x)f(x)
?0
（或
?0< br>）或
?0
（或
?0
）（其中
f(x)
、
?< br>(x)
为整式且
?
(x)?0
）
?
(x)
?
(x)
的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；
f( x)f(x)
?0?f(x)?
?
(x)?0
，
?0?f(x)?< br>?
(x)?0
；
?
(x)
?
(x)
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

f(x)
?0
（或
?0
）
?f( x)?
?
(x)?0
（或
?0
）且
?
(x)?0< br>；
?
(x)
（4）含绝对值不等式
|x|
表示实数
x
在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式
|x|
?a
(a ?0)
的解集
为
(?a,a)
，类似地，不等式
|x|
?a
(a?0)
的解集为
(??,?a)(a,??)
；解绝对值不等式的关键在 于去掉绝对值，
一般有如下方法：① 定义法；② 零点分段法；③ 平方法；④ 数形结合法；
绝对值不等式的性质：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

（5）无理不等式
只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理 不等式，关键是转化为有理不等式；
f(x)?g(x)?f(x)?0,g(x)?0,f(x)?g (x)
；
f(x)?g(x)?f(x)?0,g(x)?0,f(x)?[g(x)]2
或
f(x)?0,g(x)?0
；
（6）指数对数不等式
解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；
① 当
a?1时，
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
，
log
a
f(x)?log
a
g(x)?f(x)?g(x)?0< br>；
② 当
0?a?1
时，
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
，
log
a
f(x)?loga
g(x)?0?f(x)?g(x)

3. 基本不等式
基本不等式1 对任意实数
a
和
b
，有
a?b?2ab< br>，当且仅当
a?b
时等号成立；
基本不等式2 对任意正数
a和
b
，有
?
22
a?b
?ab
，当且仅当a?b
时等号成立；
2
3
推论1 若
a,b,c?R
，则
a?b?c?3abc
，当且仅当
a?b?c
时等号成立；
推论2 若
a,b,c?R
，则
推论3
?
33
a?b?c
3
?abc
，当且仅当
a?b?c
时等号成立； 3
a
1
?a
2
?…?a
n
n
?a1
a
2
…a
n
，
n?N*,a
i
?R
?
,1?i?n
；
n
a
2
?b
2
a?b2
?
??ab?
均值不等式 ，
a,b?R
；
11
22
?
ab
22222
柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd)
；
注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；
4. 不等式的证明
（1）比较法
要证明
a?b
，只要证明
a?b?0
，同样 ，要证明
a?b
，只要证明
a?b?0
，这种证明不等式的方法叫做比较法；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

用比较法证明不等式的一般步 骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的
还是负的，从而证明不等 式成立；
（2）分析法
从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条 件，把证明结论转化为判定这些条件是否
成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原 结论成立，这种证明方法叫做分析法；

（3）综合法
从已知条件出发，利用各种 已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫做综合法；
（4）放缩法
在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大），或
把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的 目的，这种
证明不等式的方法叫做放缩法；
（5）换元法
根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；
（6）判别式法
根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判别式的取值范围来 证明不
等式；
（7）分解法
按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或 式），使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，然后各
个击破，从而证明不等式的一种方法；
（8）反证法
（9）数学归纳法
5. 线性规划
在线性规划问题中，< br>x,y
所应满足的条件叫做线性约束条件，要求最值的函数叫做线性目标函数，把在线性约束条件下寻求线性目标函数的最大（小）值的问题叫做线性规划问题；建立线性规划模型的一般步骤如下：① 根据题
意设未知量
x,y,z
等；② 建立线性目标函数；③ 找出未知量满足的不等式，得未知量的线性约束条件；
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解(x,y)
叫做可行解，所有可行解构成的区域叫做可行域；它是二元一
次不等式组的解集 所表示的一个平面区域；
在线性规划问题中，使目标函数达到最大（小）值的可行解叫做最优解；
?
x?2y?4
?
例 求满足下列约束条件的目标函数
f?x?y< br>的最小值：
?
2x?y?3

?
x?0,y?0
?
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点的坐标代入Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.所以，在实际判
断时，往往只需在直线某一侧任 取一特殊点
(x
0
,y
0
)
（如原点），由
Ax< br>0
?By
0
?C
的正负即可判断出
Ax?By?C?0(或
?0)
表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据
Ax?By?C? 0(
或
?0)
，观察
B
的符号与不等式开口的符号，若同号，
Ax?By?C?0(
或
?0)
表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区 域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数
z?Ax?By(A,B
为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数
z?Ax?By
（
x、y
即为公共 区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共
区域的边界角点处取得，将这些角点的 坐标代入目标函数，得到一组对应
z
值，最大的那个数为目标函数
z
的最大值 ，
最小的那个数为目标函数
z
的最小值
法二：画——移——定——求： < br>第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线
l
0
:Ax?By? 0
，平移直线
l
0
（据可行域，将直线
l
0
平行 移动）确定最优解；第三步，求出最优解
(x,y)
；第四步，将最优解
(x,y)< br>代入目标函数
z?Ax?By
即可求出
最大值或最小值 .
第二步中 最优解的确定方法：利用
z
的几何意义：
y??
Az
z
x?
,为直线的纵截距.
BB
B
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

①若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最大值，使直线的纵截距最小
的角点处，
z
取得最小值；
②若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?B y
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最小值，使直线的纵截距最小
的 角点处，
z
取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：
z?Ax?By;
②“斜率”型：
z?
yy?b
或
z?;

xx?a
③“距离”型：
z?x?y
或
z?
22
x
2
?y< br>2
;
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
或
z ?(x?a)
2
?(y?b)
2
.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

第三章 函数的基本性质


1. 函数概念与运算
（1）函数概念
在某个变化过程中有两个变量
x,y
，如果对于
x
在某个实数集合
D
内的每一个确定的值，按照某个对应法则
f
，y
都有唯一确定的实数值与它对应，那么
y
就是
x
的函数，记作
y?f(x)
，
x?D
，
x
叫做自变量，
y
叫做因变量，
x
的取值范围
D
叫做函数的定义域，和
x
的 值相对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；
求函数定义域时，主要考虑以下因素：
① 分母不为零；② 偶次方根号内大于等于零；③ 真数大于零；④ 实际意义；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；当我们要用数学方法解决实际问 题时，首先要把问题中的有关
变量及其关系用数学的形式表示出来，通常这个过程叫做建模；
（2）函数的和与积
D
2
，并且
D??
，那么当
x?D
时，
y?f(x)
与
y?g(x)
都有意义，于是把函数y?f(x)?g(x)
(x?D)
叫做函数
y?f(x)
与
y ?g(x)
的和；类
似于求两个函数的和，我们也可以求两个函数的积，同样考虑两函数的公共 定义域后，可以定义两个函数的积；
一般地，已知两个函数
y?f(x)(x?D
1
)
，
y?g(x)(x?D
2
)
，设
D?D
1
2. 函数的基本性质
（1）奇偶性
一般地，如果对于函数
y?f( x)
的定义域
D
内的任意实数
x
，都有
f(?x)?f(x )
，那么就把函数
y?f(x)

叫做偶函数；如果函数
y?f(x )
(x?D)
是偶函数，那么
y?f(x)
的图像关于
y
轴 成轴对称图形，反过来，如果
一个函数的图像关于
y
轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数；
如果对于函数
y?f(x)
的定义域
D
内的任意实数
x
，都有
f(?x)??f(x)
，那么就把函数
y?f(x)
叫做
奇函数；如果函数
y?f(x)
(x?D)
是奇函数，那么
y?f(x)的图像关于原点成中心对称图形，反过来，
如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数；
由上可知，函数定义域
D
关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件；
奇偶性分类：① 奇函数；② 偶函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 非奇非偶函数；

奇偶性常用性质结论：
① 奇函数
y?f(x)
在
x?0
处有意义
?f(0)?0
；② 奇函数关于原点对称；偶函数关于
y
轴对称；
③ 对于多项式函数
f(x) ?ax?bx
nn?1
?…?cx
2
?dx?e
；
若
f(x)
是奇函数
?f(x)
偶次项的系数全为零；
若
f(x)
是偶函数
?f(x)
奇次项的系数全为零；
④
y?f(x?a)
为奇函数
?f(?x?a)??f(x?a)
；
y?f(x?a)
为偶函数
?f(?x?a)?f(x?a)
；
⑤
y?f(x)
为奇函数
?f(x?a)??f(?x?a)
；
y?f(x)
为偶函数
?f(x?a)?f(?x?a)
；
⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和；
即：
f(x)?
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
?
；
22
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

复合函数奇偶性：
① 对于
f(g(x))
，同奇则奇，有偶则偶；
② 奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；
（2）单调性
一般地，对于给定区间
I
上的函数
y?f(x)：如果对于属于这个区间
I
的自变量的任意两个值
x
1
,x2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
y?f(x)
在这个区间上 是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间
I
的自变量的任意两个值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
y?f(x)
在这个区间上是单调
减函数，简称减函数；
如果函数
y?f(x)
在某个区间
I
上是增（减）函数，那么说函数
y?f(x)
在区间
I
上是单调函数，区间
I
叫做
函数
y?f(x)
的单调区间 ；
证明单调性步骤：① 在定义域上任取
x
1
?x
2
；② 作差
f(x
1
)?f(x
2
)
；③ 变形判断；
单调性常用性质结论：
① 在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反；② 互为反函数的两个函数有相同的单调性
复合函数单调性：
① 对于
f(g(x))
，同增异减；② 增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增＝减；
注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质；
（3）最值
一般地，设函 数
y?f(x)
在
x
0
处的函数值是
f(x
0)
，如果对于定义域内任意
x
，不等式
f(x)?f(x
0)
都成立，
那么
f(x
0
)
叫做函数
y?f( x)
的最小值，记作
y
min
?f(x
0
)
；如果 对于定义域内任意
x
，不等式
f(x)?f(x
0
)
都 < br>成立，那么
f(x
0
)
叫做函数
y?f(x)
的最大 值，记作
y
max
?f(x
0
)
；
求函数最值的方法：
① 利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等；
② 配方法：主要用于二次函数求最值；
③ 换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；
④ 数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）；
⑤ 单调性法：结合函数单调性求最值；
⑥ 不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；
⑦ 分离常数法：分式函数；
⑧ 判别式法：定义域为
R
，有二次项的分式方程，
⑨ 转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域；
⑩ 其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等；
（4）零点
一般地，对于函数
y?f(x)
(x?D)
，如果存在实数
c
(c?D)
，当
x?c
时，
f(c)?0
，那么就把
x?c
叫做
函数y?f(x)
(x?D)
的零点；实际上，函数
y?f(x)
的零点就是 方程
f(x)?0
的解，也就是函数
y?f(x)
的
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

图像与
x
轴的交点的横坐标；通过每次把
y?f( x)
的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步
逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；
零点定理：若
f(m )f(n)?0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一 个实根；
（5）周期性
一般地，对于函数
f(x)
，如果存在一个常数< br>T
(T?0)
，使得当
x
取定义域
D
内的任意值时， 都有
f(x?T)?f(x)
成立，那么函数
f(x)
叫做周期函数，常数< br>T
叫做函数
f(x)
的周期，对于一个周期函数
f(x)
来说 ，
如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数
f(x)
的最 小正周期；
周期性的判断：
①
f(x?a)?f(x?a)
，
T?2a
；
f(x?a)?f(x?b)
，
T?a?b
；
②
f(x?a)??f(x)
，
f(x?a)??
11?f(x< br>f(x)
，
f(x?a)?
)
1?f(x)
，
T?2 a
；
③
f(x?a)?
1
1?f(x)
或
f( x)?1?
1
f(x?a)
，
T?3a
；
④
f (x?a)??
1?f(x)
1?f(x)
，
f(x?a)?
1?f (x)
1?f(x)
，
T?4a
；
⑤
f(x)?f(x?a)?f(x)f(x?a)
，
T?2a
；

f(x)?f(x?a)?f(x?2a)?f(x)f(x?a)f(x?2a)
，
T?3a
；

f(x)?f(x?a)?…?f(x?na)?f(x)?f( x?a)…f(x?na)
，
T?(n?1)a
；
n?1项
（6）对称性
① 一个函数的对称性
对于函数
y?f( x)
，若
f(a?x)?f(a?x)
或
f(x)?f(2a?x)
恒成立，则函数对称轴是
x?a
；
f(a?x)?f(b?x)
恒成立，则函 数对称轴是
x?
a?b
2
；
若
f(a?x)?f(a?x )?0
或
f(x)?f(2a?x)?0
恒成立，则函数对称中心是
(a,0 )
；
f(a?x)?f(a?x)?2b
，则函数的对称中心是
(a,b)< br>；
注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性；
② 两个函数的对称性
函数
y?f(x)
与函数
y?f(2a?x)
的 图像关于直线
x?a
对称；
函数
y?f(x?a)
与函数
y?f(b?x)
的图像关于直线
x?
b?a
2
对称；
函 数
y?f(x)
与函数
2b?y?f(2a?x)
的图像关于点
(a ,b)
对称；
3. 函数的图像变换
（1）平移变换
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

若
若

??y?f(x?a)
；
y?f(x)??????y?f(x?a)
； ① 左加右减
y?f(x)????
??y?f(x)?b
；
y?f(x) ??????y?f(x)?b
； ② 上加下减
y?f(x)????
（2）伸缩变换
?
?y?f(
?
x)
(
?
?0)
； ①
y?f(x)??????????
1
纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
上移 b个单位下移b个单位
左移a个单位右移a个单位
?y?Af(x)
(A?0)
； ②
y?f(x)??????????
（3）翻折变换
①
y?f (x)?y?|f(x)|
；函数
y?f(x)
图像在
x
轴上方的部 分保持不变，将函数
y?f(x)
图像在
x
轴下方的部
分对称翻折到
x
轴上方；
②
y?f(x)?y?f(|x|)
；保留
y?f(x)
图像在
y
轴右边的部分，并将
y
轴右边的部分沿
y
轴对称翻折到
y
轴左
边，替代原有的
y
轴左边图像；
（4）对称变换
函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图像关于
y
轴对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f (x)
的图像关于
x
轴对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(?x)
的图像关于原点对称；
函数
y?f(x)
与函数
y?f(2a?x)
的图像关于直线
x?a
对称；
横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍
b?a
对称；
2
函数
y?f(x)
与函数
2b?y?f(2a?x)
的图像关于 点
(a,b)
对称；
函数
y?f(x?a)
与函数
y?f (b?x)
的图像关于直线
x?

















成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第四章 幂函数、指数函数和对数函数


1. 幂函数
一般地，函数
y?x
（
k
为常数，
k?Q
）叫做幂函数；
幂函数
y?x
（
k?Q
）的性质：
① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相交，则交点一定是原点；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

k
k

② 所有幂函数在
(0,??)
上都有定义，并且图像都经过点
(1,1)
；
③ 若
k?0
，幂函数图像都经过点
(0,0)
和
(1,1 )
，在第一象限内递增；若
k?0
，幂函数图像只经过点
(1,1)
，在第
一象限内递减；


注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像；
2. 指数函数
一般地，函数
y?a
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数，自 变量
x
叫做指数，
a
叫做底数，函数的定义域是
R
； 指数运算法则：
a?a?a
x
x
xyx?y
(a?0,x,y? R)
；
(a
x
)
y
?a
xy
(a?0, x,y?R)
；
x

(a?b)?a?b
(a,b?0,x?R)
；
一般地，指数函数
y?a
在底数
a?1
及
0?a?1
这两种情况下的图像如图所示：
x
x

指数函数有下列性质：
性质1 指数函数
y?a
的函数值恒大于零，定义域为
R
，值域
(0,??)
；
性质2 指数函数
y?a
的图像经过点
(0,1)
；
性质3 函数
y?a
(a?1)
在
R
上递增，函数
y?a
(0?a?1)
在
R
上递减；
xx
x
x
3. 对数及其运算
b
一般地，如果
a
(a?0,a?1)
的
b
次幂等于
N
，即
a?N< br>，那么
b
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
lo g
a
N?b
，
其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数；
根据对数定义，可知：①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数为0，即
l og
a
1?0
；③底的对数等于1，
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

即
log
a
a?1
；④对数恒等式：a
log
a
N
?N
成立；
通常将以10为底的对数叫 做常用对数，常用对数
log
10
N
简记作
lgN
；以无理 数
e?2.71828...
为底的对数叫做
自然对数，自然对数
loge
N
简记作
lnN
；
对数运算性质：如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么：
loga
M?log
a
N?log
a
(MN)
；
lo g
a
M?log
a
N?log
a
对数换底公式：
l og
b
N?
常用恒等式：①
a
log
a
N
M
n
；
log
a
M?nlog
a
M
；
N
log
a
N
（其中
a?0,a?1,b?0,b?1,N ?0
）；
log
a
b
?N
；②
log
a
a
N
?N
；③
log
a
b?log
b
a?1
；
n
④
log
a
b?log
b
c?log
c
d?log< br>a
d
；⑤
log
a
m
b?
n
log
a
b
；
m
4. 反函数
一般地，对于函数
y?f(x)
，设它的定义域为
D
，值域为
A
，如果对
A
中任意一个值
y
，在
D
中总有唯一确
定的
x
值与它对应，且满足
y?f(x )
，这样得到的
x
关于
y
的函数叫做
y?f(x)
的反函数，记作
x?f
惯上，自变量常用
x
表示，而函数用
y
表示，所以把它改写为
y?f

反函数的判定：
① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数；
② 周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；
反函数的性质：
① 原 函数
y?f(x)
和反函数
y?f
?1
?1
?1
( y)
，在习
(x)
(x?A)
；
(x)
的图像关于直线
y?x
对称；若点
(a,b)
在原
?1
函数
y?f(x)
上，则点
(b,a)
必在其反函数< br>y?f
② 函数
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
上；
(x)
互为反函数；原函数
y?f(x)
的定义域是它反函数
y? f
?1
(x)
的值域；原函数
y?f(x)
的值域是它反函数
y?f
?1
(x)
的定义域；
③ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数；
求反函数步骤：
① 用
y
表示
x
，即求出
x?f
?1
(y)
； ②
x,y
互换，即写出
y?f
?1
(x)
；
③ 确定反函数定义域；注意事项：若函数
y?f(ax?b)
存在反函数，则其反函数为
y?
1
?1
[f(x)?b]
，而不是
a
1
y?f
?1
(ax?b)
，函数
y?f
?1
(ax?b)
是
y?[f(x)?b]
的反函数；
a
5. 对数函数
xx一般地，对数函数
y?log
a
x
(a?0
且
a?1)
就是指数函数
y?a
(a?0
且
a?1)
的反函数；因为< br>y?a
的值域
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

是
(0,??)，所以，函数
y?log
a
x
的定义域是
(0,??)
；
对数函数
y?log
a
x
(a?0
且
a?1)
在
a?1
及
0?a?1
两种情形下的图像如图所示：
< br>对数函数
y?log
a
x
(a?0
且
a?1)
的性质：
性质1 对数函数
y?log
a
x
的图像都在
y
轴的右方，定义域
(0,??)
，值域为
R
；
性质2 对数函数
y?log
a
x
的图像都经过点
(1,0)
；
性质3 对数函数
y?log
a
x
(a?1)
，当
x?1
时，
y?0
；当
0?x?1
时，
y?0
；
对数函数
y?log
a
x

(0?a?1 )
，当
x?1
时，
y?0
；当
0?x?1
时，y?0
；
性质4 对数函数
y?log
a
x
(a? 1)
在
(0,??)
上是增函数，
y?log
a
x

(0?a?1)
在
(0,??)
上是减函数；


6. 指数对数方程
我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利 用指数函数的性质：
a?a?
?
?
?
，
其中
a?0
且
a?1
，将指数方程化为整式方程求解；
在对数符号后面含有未知数的方 程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的
性质将对数方程变形过程 中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解；
解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；
??
7. 抽象函数
抽象函数的解法：
① 赋值法；如赋值
x? 0
、
x??1
、
y??x
、
x?y?0
等；
② 结构变换法；如
f(x
1
)?f[(x
1
?x
2
)?x
2
]
、
f(x
1
)?f(
抽象函 数特征
x
1
?x
2
)
等；
x
2
可能对应函数
f(x?y)?f(x)?f(y)
或
f(xy)?x?f(y)
，
f(1)?c

正比例函数
f(x)?cx(c?0)

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

f(x?y)?f(x)?f(y)
或
f(xy)?[f(x)]
y
，
f(0)?1

f(xy)?f(x)?f(y)
或
f (x
y
)?y?f(x)
，
f(1)?0

f(xy)?f(x)?f(y)
，
f(1)?1

第五章
成功不必自我，功力必不唐捐！

指数函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)

对数函数
y?log
a
x
(a?0
且
a?1)

幂函数
f(x)?x
k











三角比

第 1 页 共 1 页

1. 角的概念与度量
一条射线绕端点按逆时针方向旋 转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，
其度量值是负的；特别地 ，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角；
在平面直角坐标系中，把角的 顶点置于坐标原点，角的始边与
x
轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就
说这 个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；< br>我们把所有与角
?
有重合终边的角
（包括角
?
本身）的集合 表示为
{
?
|
?
?k?360??
?
,k?Z}< br>；
在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来 度量角的单位制叫做
角度制；
我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所 对的圆心角的大小；把弧长等于半径的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad
表示，读作弧度；用“弧
度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；
如果一个半径为r
的圆的圆心角
?
所对的弧长为
l
，那么比值
的正负由 它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；
弧度制与角度制的换算关系：1弧度
?
ll
就是角
?
的弧度数的绝对值，即
?
?
，这里
?
rr
180?
?
；
1??
?
180
弧度 ；在弧度制下，角的集合与实数集
R
之间建立起一
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

一对应的关系；例如，与角
?
终边相同的角可以表示为{
?
|
?
?2k
?
?
?
,k?Z}< br>，与角
?
终边共线的角可以表示为
{
?
|
?
?k
?
?
?
,k?Z}
；弧长公式：
l?|
?|r
；
11
|
?
|r
2
?lr
；
22
??
附表：由
?
的象限判断
2
?
、< br>3
?
、、的象限：
23
扇形面积公式：
S
扇形
?
?

2
?

3
?

一
一、二
一、二、三
一、三
一、二、三
二
三、四
一、二、四
一、三
一、二、四
三
一、二
一、三、四
二、四
一、三、四
四
三、四
二、三、四
二、四
二、三、四
?

2
?

3
2. 任意角的三角比
在任意角
?的终边上任取一点
P
，设
P
的坐标为
(x,y)
，OP?r
，则
r?x
2
?y
2

(r?0)< br>，我们规定：
sin
?
?
x
yxy
；
cos
?
?
；
tan
?
?
；
cot
?< br>?,
?
?k
?
(k?Z)
；
y
rrxr
r
?
sec
?
?,
?
?k
?
?(k?Z)
；
csc
?
?,
?
?k
?
(k?Z)
；
y
x2
根据三角比的定义，各三角比的正负值如下所示：
sin
?
(csc
?
)

cos
?
(sec
?
)

tan
?
(cot
?
)


在平面直角坐 标系中，称以原点
O
为圆心，以1为半径的圆为单位圆，把点
P(x,y)
看 作角
?
的终边与单位圆的
交点，如图，过点
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
，过点
A(1,0)
作单位圆的切线，这条切线必然平行 于
y
轴，设它与角
?
的终边或其反向延长线相交于点
T
；

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

于是，
cos
?
?x?OM
，
sin
?
?y?PM
，
tan< br>?
?
y
?AT
；所以点
P
坐标总可以表示成
(cos
?
,sin
?
)
；我
x
们把
PM
、
OM
、
AT
这三条线段分别叫做角
?
的正弦线、 余弦线、正切线，这些线段通称为三角函数线；
由三角函数线得出的常用三角不等式：
①
0?|sinx|?1
，
0?|cosx|?1
，
1?|sinx| ?|cosx|?
附表：特殊角的三角比
2
；② 若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
；
2
?
?

sin
?

0

?

6
1

2
3

2
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
?

2
1

0

不存在
?

0

3
?

2
0

?1

0

不存在
cos
?

1

0

1

2
3

?1

0

tan
?

3

3
1

3. 同角三角比关系与诱导公式
（1）同角三角比关系
倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1
，
c os
?
?sec
?
?1
，
tan
?
?co t
?
?1
；
商数关系：
tan
?
?
2< br>sin
?
cos
?
(cos
?
?0)
，cot
?
?(sin
?
?0)
；
cos
?< br>sin
?
22222
平方关系：
sin
?
?cos< br>?
?1
，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?csc
?
；
利用同角三角比的关系，可以实现“弦”、“切”、“割”之间的互化：
① 切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；
② 弦化切，一般和“ 齐次式”有关，通过分式上下同时除以
cos
或
cos
得到“切”；
③ 1的代换，通过平方关系，将1代换成所需的三角比；
（2）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
第一组：
sin(2k
??
?
)?sin
?
；
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
；
tan(2k
?
?
?
)?tan
?
；
第二组：
sin(?
?
)??sin?
；
cos(?
?
)?cos
?
；
tan(?
?
)??tan
?
；
第三组：
sin(
??
?
)??sin
?
；
cos(
?
?
?
)??cos
?
；
tan(
?
?
?
)? tan
?
；
第四组：
sin(
?
?
?
) ?sin
?
；
cos(
?
?
?
)??cos
?
；
tan(
?
?
?
)??tan
?
；
第五组：
sin(
第六组：
sin(

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页
2
?
?
?
)?cos
?
；
cos(?
?
)?sin
?
；
tan(?
?
)?cot
?；
222
??
?
?
?
)?cos
?
；
cos(?
?
)??sin
?
；
tan(?
?< br>)??cot
?
；
222
??

4. 三角恒等变换
（1）和与差公式
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
；
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
t an(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?< br>tan
?
?tan
?
；
tan(
?
?
?
)?
；
1?tan
?
tan
?
1?tan< br>?
tan
?
（2）辅助角公式：
asin
?
?bco s
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
，
?
通常取
0?
?
?2
?
，
由
cos
?
?
a
a
2
?b
2，
sin
?
?
b
a
2
?b
2
（或
tan
?
?
b
）确定；
a
常见类型：
sin
?
?cos
?
?
（3）倍角公式
2sin(?
?)
；
3sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)
；
sin
?
?3cos
?
?2si n(
?
?)
；
463
?
??
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
tan2
?
?
（ 4）半角公式
2tan
?
；
1?tan
2
?
s in
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??
；
cos??
；
tan??
；
22221?cos< br>?
1?cos
?
sin
?
（5）其他公式及恒等变换
1?tan
2
?
2tan
?
2tan
?
cos2
?
?
① 万能公式：
sin2
?
?
；；；
tan2
?
?
1?tan
2
?
1?tan
2?
1?tan
2
?
②常见公式变形：
1?cos
??2cos
?
2
；
1?cos
?
?2sin
?
2
；
1?sin2
?
?(sin
?
?cos?
)
2
；
1?tan
??
?tan(?
?)
；
1tan
?
4
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)(1tan
?
tan?
)
；
⑥ 常见角的变换：
?
?(
?
??
)?
?
；
?
?2?
?
2
；
?
?(?
?
)?(?
?
)
；
244
??
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
??
)
；
2
?
?(
?
?
?
)? (
?
?
?
)
；
?
?
?
2
?(
?
?
?
2
)?(
?
2
?
?
)
；
?
?
?
2
?(
?
?
?
2
)?(
?
2
?
?
)
；
5. 解三角形
（1）三角形面积公式（其中
R
是三角形外接圆半径，
r
是内切圆半径，
p?
a?b?c
）
2
111abc
S?ABC
?bcsinA?acsinB?absinC
；
S
?ABC< br>??2R
2
sinAsinBsinC
；
2224R
S?ABC
?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)
；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（2）正弦定理：
abc
???2R
，其中
R
是三角形外接圆半径；
sinAsinBsinB
222
b
2
?c
2
?a
2
（3）余弦定理：
a?b?c?2bccos A
，即
cosA?
；
2bc
a
2
?c
2
?b
2
；
b ?a?c?2accosB
，即
cosB?
2ac
222
a
2
?b
2
?c
2
；
c?a?b?2abcosC
，即
cosC?
2ab
222
（4）三角形中常见结论 ①
a?b?A?B?sinA?sinB
；
②
sin2A?sin2B?A ?B
或
A?B?90?
；
cos2A?cos2B?A?B
；
③
A,B,C
成等差数列
?B?60?
；
④
A,B,C
成等差数列，
a,b,c
成等比数列
?
△
ABC
为等边三角形；
（5）三角形中的恒等式
①
sin(A?B)?sin C
，
cos(A?B)??cosC
，
tan(A?B)??tanC
；
②
sin






















成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页
A?BCA?BCA?BC
?cos
，
cos?sin
，
tan ?cot
；
222222

第六章 三角函数

1. 正弦函数图像
对任意一个实数
x
都有唯一确定的值
sinx
与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为
y?sinx
，它叫
做正 弦函数，它的定义域是实数集
R
；

（1）值域和最值：正弦函数y?sinx,x?R
的值域是
[?1,1]
，
y
max
?1
，此时
x
的集
合是
{x|x?2k
?
?

?
2
,k?Z }
，
y
min
??1
，此时
x
的集合是
{ x|x?2k
?
?
3
?
,k?Z}
；
2
（2）周期性：正弦函数
y?sinx
是周期函数，
2k
?
(k?Z ,k?0)
是它的周期，
2
?
是
y?sinx
的最小正周 期；
y?Asin(
?
x?
?
)
的周期是
T?（3）奇偶性：
y?sinx
是奇函数；
（4）单调性：
y?sinx
在闭区间
[2k
?
?
上都是减函数；
2
?
；
|
?
|
??
?
3
?
,2k
?
?](k?Z)
上都是增函数；
](k?Z)
在闭区间
[2k
?
?,2k
?
?
2222
?
2
(k?Z)
，对称中心（5）对称性：正弦函数
y?sinx
既是轴对称 图形，又是中心对称图形，对称轴是
x?k
?
?
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

(k
?
,0)(k?Z)
；
2. 余弦函数图像
对任意一个实数
x
都有唯一确定的值
cosx
与 它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示
为
y?cosx
，它叫做余弦函数，它 的定义域是实数集
R
；

（1）值域和最值：余弦函数
y? cosx,x?R
的值域是
[?1,1]
，
y
max
?1< br>，此时
x
的集合是
{x|x?2k
?
,k?Z}
，< br>y
min
??1
，此时
x
的集合是
{x|x?2k< br>?
?
?
,k?Z}
；
（2）周期性：余弦函数
y? cosx
是周期函数，
2k
?
(k?Z,k?0)
是它的周期，2
?
是它的最小正周期；
y?Acos(
?
x?
?)
的周期是
T?
2
?
；
|
?
|
（3）奇偶性：
y?cosx
是偶函数；
（4）单调性：余弦函数
y?cosx
在闭区间
[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)
上是增函数；在闭区间
[2k
?< br>,2k
?
?
?
](k?Z)
上
是减函数；
（5）对称性：余弦函数
y?cosx
既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是
x?k
?
(k?Z)
；对称中心
(k
?
?
?
2
,0)
(k?Z)
；
3. 正切函数图像
对任意一个实数< br>x
(x?k
?
?
?
2
,k?Z)
都有唯一确 定的值
tanx
与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，
表示为
y?tanx
，叫做正切函数；

（1）值域和最值：由< br>y?tanx
的定义可以得到它的值域是实数集
R
，无最值；
（2） 周期性：由
tan(x?
?
)?tanx
可知正切函数是周期函数，
?
是它的最小正周期；
（3）奇偶性：由
tan(?x)??tanx
(x ?k
?
?
?
2
,k?Z)
可知正切函数是奇函数；
,k
?
?)
(k?Z)
内都是增函数；
22
（4 ）单调性：正切函数
y?tanx
在区间
(k
?
?
?? 成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（5）对称性：正切函数y?tanx
是中心对称图形，对称中心是
(

k
?
,0)
(k?Z)
；
2
4. 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像与性质
函 数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
中的常数
A,
?
,
?
对其图像有如下影响：正数
A
决定了函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的值域为< br>[?A,A]
，
A
叫做该正弦曲线的振幅；如图，
y?sinx
与
y?2sinx
的图像对比，横坐标
不变，纵坐标变成原来的2倍；

正数
?
决定了函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的周期，
T?
正弦曲线的频率；
y?|Asin(
?
x ?
?
)|
的周期为
变成原来的
2
?
?
，在 单位时间里曲线振动的次数；
f?
1
?
叫做该
?
T2?
?
；如图，
y?sinx
与
y?sin2x
的图像对 比，纵坐标不变，横坐标
?
1
；
2

?
决定了< br>y?Asin(
?
x?
?
)
在
x?0
时所对 应的角，也决定了该正弦曲线的左右位置，我们把
?
叫做初相；
如图，
y? sinx
与
y?sin(x?
?
3
)
的图像对比，图像整体 往左平移
?
个单位；
3

三角函数的图像变换：
?< br>y?sinx????????y?sin(x?
?
)???????y?sin(?
x?
?
)

左加右减
纵坐标变成原来的A倍
垂直方向平移B个单位
????????y?Asin(
?
x?
?
)
????????y?Asin(
?
x?
?
)?B
；

1
水平方向平移
?
个单位
横坐标变成原来的
上加 下减
5. 反三角函数
函数
y?sinx,x?[?
??
,]的反函数叫做反正弦函数，记作
y?arcsinx,x?[?1,1]
；函数
y ?cosx,x?[0,
?
]
的
22
反函数叫做反余弦函数，记作< br>y?arccosx,x?[?1,1]
；函数
y?tanx,x?(?
??< br>,)
的反函数叫做反正切函数，记作
22
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

y?arctanx,x?(??,??)
；

y?arcsinx

y?arccosx

y?arctanx

,]
；
y?arccosx?[0,
?
]
；
y?arctanx?(?,)
；
2222
（2） 奇偶性：
y?arcsinx
与
y?arctanx
为奇函数；
y? arccosx
为非奇非偶函数；
（1）值域：
y?arcsinx?[?
（3）单调性：
y?arcsinx
与
y?arctanx
为增函数；
y?arccosx
为减函数；
（4）对称性：
y?arcsinx
与< br>y?arctanx
关于原点成中心对称，
y?arccosx
关于点
??
??
(0,)
成中心对称；
2
由反三角函数的定义有以下恒等式：
?
sin(arcsinx)?x( ?1?x?1)
；
arcsin(sinx)?x
(?
?
2
?x?
?
2
)
；
cos(arccosx)?x(?1?x?1)
；
arccos(cosx)?x(0?x?
?
)
；
ta n(arctanx)?x
(x?R)
；
arctan(tanx)?x
(?
?
2
?x?
?
2
)
；
arcsinx? arccosx?
?
2
(?1?x?1)
；
arctanx?arc cotx?
?
2
(x?R)
；
6. 最简三角方程
含 有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；满足三角方程的所有
x
的集合叫做三角方程的解集；在三角方程中，形如
sinx?a,cosx?a,tanx?a
的方程叫做最简三角 方程；
最简三角方程的解集：
（1）
sinx?a,|a|?1
的解集为
{x|x?k
?
?(?1)?arcsina,k?Z}
；
（2）
cosx?a,|a|?1
的解集为
{x|x?2k
?
?arcco sa,k?Z}
；
（3）
tanx?a
的解集为
{x|x?k?
?arctana,k?Z}
.
k





成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第七章 数列与数学归纳法


1. 数列概念
按一定顺序排列起来的一列 数叫做数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列的一般形式可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,...,a
n
,...
，其中
a
n
是数列的第
n
项，
n
是
a
n
的序数，上面的数
列可以简单记作
{a
n
}
；
项数有限 的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
叫 做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；
若存在正常数
M
，使得数列每一项的绝对值都不大于
M
，这样的数列叫做有 界数列，否则叫做无界数列；
如果数列
{a
n
}
的第
n< br>项
a
n
与项的序数
n
之间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的
通项公式；如果已知数列
{a
n
}
的任 一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）之间的关系可 用一个公式来表示，那么
这个公式就叫做这个数列的递推公式；
一般地，我们称
a
1
?a
2
?a
3
?…?a
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，用
S
n
表示；根 据数列前
n
项和的定义
a
n
?S
n
?S
n ?1
(n?2)
；
2. 等差数列
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母
d
表示；
等差中项：如果
A?
的算术平均数；
*
等差数列
{an
}
的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(n?N)
；等差数列
{a
n
}
的递推公式：
a< br>n
?a
n?1
?d
(n?2)
；
a?b
， 那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项；如果三个数成等差数列，那 么等差中项等于另两项
2
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和公式：
S
n
?
等差数列
{a
n
}的性质：
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
? na
1
?d?na
中
；
22
①
a
n
?a
m
?(n?m)d
； ② 若
m?n?p ?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
③
a
k
，
a
k?m
，
a
k?2m
，……，成等差数列，公差为
md
；
2
④ S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3 n
?S
2n
，
S
4n
?S
3n
，……，成 等差数列，公差为
nd
；
2
⑤ 数列
{a
n
}< br>成等差数列
?a
n
?pn?q
，
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
，
S
n
?An?Bn
；
⑥ 若数列
{a
n
}
是等差数列，则
{c
n
}
为等比数列，
c?0
；
⑦
S
n
是前
n
项和，
S
奇
表示奇数项的和，
S
偶
表示偶数项 的和，则
S
n
?S
奇
?S
偶
；
a
S
n
n?1
S
奇
?S
偶
，
d
； 当
n
为奇数时，
S
奇
?S
偶
?a
中
，
奇
?
?n
；
2
S
偶
n?1
S
奇
?S
偶
aS
⑧ 设
S
n
和
T
n
分别表示等差数列
{a
n
}
、
{b
n< br>}
的前
n
项和，则
n
?
2n?1
；
b
n
T
2n?1
当
n
为偶数时，
S
偶
?S
奇
?
⑨ 若a
p
?q
，
a
q
?p
，
p?q
，则
a
p?q
?0
，
d??1
；若
S
p
?q
，
S
q
?p
，
p?q
，则
S
p?q
??(p?q)
；
若
S
p
?Sq
，
p?q
，则
S
p?q
?0
；
3. 等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零 常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母
q表示；
等比中项：如果
G?ab
，那么
G
叫做
a与
b
的等比中项；如果三个数成等比数列，
那么等比中项的平方等于另两项的积；
n?1
*
等比数列
{an
}
的通项公式：
a
n
?a
1
q
(n ?N)
；等比数列
{a
n
}
的递推公式：
a
n?a
n?1
q
(n?2)
；
2
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?
( q?1)
；
S
n
?na
1
(q?1)
； 等比数列
{a
n
}
的前
n
项和公式：
S
n
?
1?q1?q
等比数列
{a
n
}
的性质：
n?m
①
a
n
?a
m
?q
； ② 若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

③
a
k
，
a
k?m
，
a
k?2m
，……，成等比数列，公比为
q
；
④
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
，
S
4n
?S
3n
，……，成等 比数列，公比为
q
；
n
2n
⑤ 数列
{a
n}
成等比数列
?a
n
?a
n?1
?a
n?1< br>，
a
n
?p?q
，
S
n
?A(q?1)；
m
n
⑥ 若数列
{a
n
}
是等比数列，则
{log
c
a
n
}
为等差数列，
a
n?0
；
⑦
S
n
是前
n
项和，
S< br>奇
表示奇数项的和，
S
偶
表示偶数项的和，则
S
n< br>?S
奇
?S
偶
；
当
n
为偶数时，< br>S
偶
S
奇
T
偶
T
奇
?q
； 当
n
为奇数时，
S
奇
?a
1
?q
；
S
偶
⑧ 设
T
n
是前
n
项积，
T
奇
表示奇数项的积，
T
偶
表示偶数项的积，则
T
n
?T
奇
?T
偶
；
当
n
为偶数时，
?q
；当
n
为奇数时，
n
2
T
奇
?a
中
；
T
偶
4. 求数列通项方法
n?1
（ 1）公式法：等差数列通项
a
n
?a
1
?(n?1)d
，等 比数列通项
a
n
?a
1
q
；
（2）累加法（累乘 法）：
a
n
?a
n?1
?f(n)
，
a
n
?f(n)
，
n?2
；
a
n?1
（3）作差法（ 作商法）：若
S
n
?a
1
?a
2
?a
3< br>?…?a
n
，则
a
n
?S
n
?S
n ?1
，
n?2
；
若
T
n
?a
1
?a
2
?a
3
…a
n
，则
a
n
?
T
n
，
n?2
；
T
n?1
n
（ 4）构造法：
a
n
?Aa
n?1
?B
；
a
n
?Aa
n?1
?Bn?C
；
a
n
?Aa
n?1
?B
；
a
n?1
?pa
n
q
；< br>a
n
?
a
n?1
；
a
n?1
?pa
n
?qa
n?1
，其他类型；
ka
n?1
?b
Ca
n
?D
(A?0)
；
Aa
n
?B
（5）不动点法：适用于分式递推数列
a
n?1
?
（6）特征根法：适用于
a
n?1
?pa
n
?q a
n?1
?r
(p?0)
；
（7）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明；
5. 数列求和方法
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
? na
1
?d?na
中
；
22
a
1
(1? q
n
)
a
1
?a
n
q
?
(q?1 )
； 等比数列前
n
项和公式：
Sn
?
1?q1?q
11
2222233332

1?2?3?…?n?n(n?1)(2n?1)
；
1?2?3?…?n?n(n?1)
；
64
（1）求和公式法：等差数列前
n
项和公式：
S
n
?
（2）倒序相加法：首尾距离相等的两 项有共性或数列的通项与组合数相关联；
（3）错位相减法：数列通项由等差数列与等比数列相乘构成；
（4）裂项相消法：将数列中的每项进行分解，然后重新组合，达到消项的目的；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

???(?)
；
?[?]
； ；
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?kn(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
111
?n?n?1
；
?(n?k?n)
；
n?n?1n ?k?n
k
n11sin1?
???tan(n?1)??tann?
； ；
(n?1)!n!(n?1)!cosn?cos(n?1)?
（5）分组求和法：将通项中有 共同规律的部分进行分组，分别求和；
（6）数学归纳法：对数列前
n
项和进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明；
6. 数学归纳法
由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；
数学家通过对正整数的 深入研究，找到了一种证明与正整数
n
有关的数学命题的简单有效的方法，它的步骤是： *
（1）证明当
n
取第一个值
n
0
(n
0?N,
例如
n
0
?1
或
n
0
?2)< br>时，命题成立；
*
（2）假设当
n?k
(k?N,k?n
0
)
时命题成立，证明当
n?k?1
时命题也成立；
在完成了上面两 个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立，这种证明方法叫做
数学归纳法；
在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考 察一些特例，进行归纳，形成猜想，然后再去证明这些猜想
正确与否，一些与正整数有关的等式也可以通 过这样的途径得到；
数学归纳法的形式;
第一数学归纳法：教材上的数学归纳法，称之为第一数学归纳法，是归纳法的基本形式；
第二数学归纳法：① 当
n?1
时，
P(n)
成立；② 假设当n?k
(k?N)
时，
P(k)
成立，由此推出
n?k?1，
*
P(k?1)
也成立，那么命题成立；
跳跃数学归纳法：① 当< br>n?1,2,3,…,m
时，
P(1),P(2),P(3),…,P(m)
成 立；② 假设
当
n?k
(k?m,k?N)
时，
P(k)
成立，由此推出
n?k?m
时，
P(k?m)
也成立，那么
对一切正整数，命题成立；
反向数学归纳法：①
P(n)
对无穷多个正整数
n
成立；② 假设当
n?k?1
(k?N)
时，命题
P(k?1)
成立，
由此推出
n?k
时
P(k)
也成立，那么对一切正整数，命题成立；
*
*
7. 数列极限
一般地，在
n
无限增大的变化过程中 ，如果无穷数列
{a
n
}
中的
a
n
无限趋近于一个 常数
A
，那么
A
叫做数列
{a
n
}
的极限 ，或叫做数列
{a
n
}
收敛于
A
，记作
lima< br>n
?A
，读作“
n
趋向于无穷大时，
a
n
的 极限等于
A
”；
n??
三个常用极限：①
limC?C
（
C
为常数）；②
lim
n??
1
?0
；③当
|q|?1
时，
limq
n
?0
；
n??
n??
n
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

在数列极限的描述中，我们可以用
|a
n
?A|< br>是否无限趋近于零来判断
a
n
是否有极限
A
；如果
l ima
n
?A
，
n??
（2）
lim(a
n
?b
n
)?lima
n
?limb
n
?A?B
；
limb
n
?B
，那么（1）
lim(a
n
?b< br>n
)?lima
n
?limb
n
?A?B
；
n??n??n??n??n??n??n??
a
n
A
a
n
lim
n??
??
(B?0)
；我们把
|q|?1
的无穷等 比数列的前
n
项和
S
n
当
n??
时的极限叫做无穷 （3）
lim
n??
blimb
n
B
n
n??等比数列各项的和，并用符号
S
表示，即
S?
a
1
(| q|?1)
；
1?q
8、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据
规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和< br>S
n
与
a
n
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
,(n?1)
?
S
1
a
n
?
?
构造两式作 差求解。
?
S
n
?S
n?1
,(n?2)
用此公 式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
a
1
和
a
n
合为
一个表达，（要先分
n?1
和
n?2
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：
形 如
a
n?1
?
a
n
?a
n?1
?f(n? 1)
?
a?a?f(n?2)
?
?a
n
?f(n)
型的递推数列（其中
f(n)
是关于
n
的函数）可
构造：
?
n?1n?2

?
...
?
?
a
2
?a
1
?f(1)
将上述
n?1
个式子两边分别相加， 可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,(n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和; ④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和.

类型Ⅳ 累乘法：
?
a
n
?
a
?f(n?1 )
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?
a
n?1
?
?
?f(n)
?
型的递推数列（其中
f(n)< br>是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
?

?a
n
?
?
...
?
?
a
2
?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个式子两边分别相 乘，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a
1
,(n?2)

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n?q
（其中
p,q
均为常数且
p?0
）型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列; （2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
p?1
且
q?0
时，数列{
a
n
}为线性递推数列 ，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两
种：

法一：设
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p?1)< br>?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系数 （待定系数
法）得
?
?
?
qqqqq
q
?
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)?a
n
??p( a
n?1
?)
,即
?
a
n
?
?
构 成以
p?1p?1p?1p?1p?1
p?1
??
a
1
?< br>?
q
q
?
为首项，以
p
为公比的等比数列.再利用等 比数列的通项公式求出
?
a
n
?
?
的通项整理可得
a
n
.

p?1
p?1
??
a
n?1?a
n
?p,
即
?
a
n?1
?a
n< br>?
构成以
a
2
?a
1
为首
a
n?a
n?1
法二：
由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a
n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式相 减并整理得
项，以
p
为公比的等比数列.求出
?
a
n?1< br>?a
n
?
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
a
n.

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n)(p?1)
型的递推式：
⑴当
f(n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：
设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n?1)?B?
，通过待定系数法确定
A、B
的值，转化成以
a
1
? A?B
为首项，
以
p
为公比的等比数列
?
a
n?An?B
?
，再利用等比数列的通项公式求出
?
a
n
?An?B
?
的通项整理可得
a
n
.

法二：当
f(n)
的公差为
d
时，由递推式得：
a
n?1?pa
n
?f(n)
，
a
n
?pa
n?1?f(n?1)
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
，令
b
n
?a
n?1
?a
n
得：
b
n
?pb
n?1
? d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b
n
，再用类型Ⅲ（累加法）
便可求出a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：
设
a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?< br>?
f(n?1)
?
，通过待定系数法确定
?
的值，转化成以< br>a
1
?
?
f(1)
为首项，以
p
为
公比的等比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?
， 再利用等比数列的通项公式求出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.

法二：
当
f (n)
的公比为
q
时，由递推式得：
a
n?1
?pa
n
?f(n)
——①，
a
n
?pa
n?1
?f( n?1)
，两边同时乘以
q
得
a
n
q?pqa
n ?1
?qf(n?1)
——②，由①②两式相减得
a
n?1
?an
q?p(a
n
?qa
n?1
)
，即
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页
a
n?1
?qa
n
?p
，在转化为
a
n
?qa
n?1

类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.



法三：< br>递推公式为
a
n?1
?pa
n
?q
n
（其中 p，q均为常数）或
a
n?1
?pa
n
?rq
n
（ 其中p，q, r均为常数）时，
要先在原递推公式两边同时除以
q
n?1
，得：
a
n?1
p
a
n
1
a
n
? ?
b
，引入辅助数列（其中），得：
???b?
n
n
qn?1
q
q
n
q
q
n
b
n?1
?
p1
b
n
?
再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
qq
⑶当
f(n)
为任意数列时，可用通法：
n?1
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p< br>可得到
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
f(n)
???b
b?b?
，令，则，在转化
n
n?1n
p
n?1
p
n
p
n?1
p
n
p
n ?1
n
为类型Ⅲ（累加法），求出
b
n
之后得
a
n
?pb
n
.

类型Ⅵ 对数变换法：
q
形 如
a
n?1
?pa(p?0,a
n
?0)
型的递推式： < br>q
在原递推式
a
n?1
?pa
两边取对数得
lga< br>n?1
?qlga
n
?lgp
，令
b
n
?l ga
n
得：
b
n?1
?qb
n
?lgp
， 化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型，求出
b
n
之后得
a
n
?10
b
n
.
（注意：底数 不一定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p为常数且
p?0
）的递推式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
11
??p
形式，化归为
a
n
a
n?1
a
n?1
?pa
n
?q
型求出
1
的 表达式，再求
a
；
n
a
n
还有形如
a
n ?1
?
ma
n
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
1
?< br>m1
?
m
形式，化归为
a
n?1
?pa
n< br>?q
型求出
pa
n
?qa
n?1
qa
n< br>p
1
的表达式，再求
a
.
n
a
n
类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式求解。方法为：设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a
n ?1
?ka
n
)
，比较系数
得
h?k?p,?hk?q< br>，可解得
h、k
，于是
{a
n?1
?ka
n
}
是公比为
h
的等比数列，这样就化归为
a
n?1
?pa< br>n
?q
型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对 不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、
猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n< br>.

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

9、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数 列
?
a
n
?
为等差数列，数列
?
b
n?
为等比数列，则数列
?
a
n
?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，然后在错位相减，进 而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n项和.
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?
c

(a,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
a< br>n
变成两项的差，采用裂项
(an?b
1
)(an?b
2)
相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
?
an?b
1
?
?
an?b
2
，通分整 理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
?
?
c
，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an ?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
) an?b
1
an?b
2
常见的拆项公式有：
1111111
??；?(?);
②
n(n?1)nn?1(2n? 1)(2n?1)22n?12n?1
③
11
m?1mm
?C
n?(a?b);
④
C
n?1
?C
n
;
⑤
n?n!?(n?1)!?n!.

a?b
a?b
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，
然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列
?
a
n
?
，与首末两 项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，
就得到了一个常数列 的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
①
1?2?3?...?n?









成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

n(n?1)1
;
②
1?3?5?...?(2n?1)?n
2
;
③
1
2
?2
2
?3
2
?...?n
2
?n(n?1)(2 n?1).

26

第八章 平面向量的坐标表示

1. 向量的坐标表示及其运算
在平面 直角坐标系内，方向分别与
x
轴和
y
轴正方向相同的两个单位
向量叫 做基本单位向量，分别记为
i
和
j
；
将向量
a
的 起点置于坐标原点
O
，作
OA?a
，我们将
OA
叫做位置
向量，平面上任一向量
a
都有与它相等的位置向量；
如果点
A的坐标为
(x,y)
，它在
x
轴、
y
轴上的投影分别为
M,N
，那么由向量加法的平行四边形法则可知
OA?OM?ON
，由向量与 实数相乘的意义，
OM?xi
，
ON?yj
，于是
OA?xi?yj
，向量
OA
能表示成两个
相互垂直的向量
i
、
j< br>分别乘以实数
x
、
y
后组成的和式，该和式称为
i
、
j
的线性组合，这种向量的表示方法叫做
向量的正交分解；
平面上任一向量
a
都有与它相等的位置向量
OA
，所以
a?OA?xi?yj
，它们的系数
x
、
y
是与向量
a
相等的
位置向量
OA
的终点
A
的坐标，通常我们用有序实数对
(x,y)
表 示向量
a
，并称
(x,y)
为向量
a
的坐标，记作
a?(x,y)
；
有了向量的坐标表示后，向量的运算可转化为其坐标的相应运算；设
?
是一个实数，
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则：
a?b?(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
；
?
a?
?
(x1
,y
1
)

?(
?
x
1
,
?
y
1
)
；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

2. 向量的数量积
由两点间距离公式，可求得向量
a< br>的模
|a|?x
1
2
?y
1
2
；
对于两个非零向量
a
和
b
，如果以
O
为起点，作
O A?a
，
OB?b
，那么射线
OA,OB
的夹角
?
叫做向量
a
与向
量
b
的夹角，
?
的取值范围是0?
?
?
?
；
当
?
?0
时，表示向 量
a
与向量
b
方向相同；
当
?
?
?时，表示向量
a
与向量
b
方向相反；夹角
?
?0
或
?
?
?
的两个向量是相互平行的，
夹角
?
?
?
2
的两个向量是相互垂直的，记作
a?b
；
如果两个非 零向量
a
和
b
的夹角为
?
(0?
?
??
)
，那么把
|a|?|b|cos
?
叫做向量
a与向量
b
的数量积，
记作
a?b
，即
a?b?|a| ?|b|cos
?
；特别地，
a?a?a
，
a?0?0
；
2
a?b
的几何意义：两个向量
a
和
b
的数量积是 其中的一个向量
a
的
模
|a|
与另一个向量
b
在 向量
a
方向上的投影
|b|cos
?
的乘积；
向量数量积运算满足下列性质：
2
①
a?a?|a|?0
，当
a?a?0
时，
a?0
；②
a?b?b?a
；
③
(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)
； ④
a?(b?c)?a?b?a?c
；
对于用坐标表示的向量
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，有
a?b?x
1
x
2
?y
1
y2
，即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和；
两个向量
a< br>与
b
垂直的充要条件是
a?b?0
，即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
；
两个向量
a
与
b
平行的充要条件是
a?
?
b
，即
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
； < br>两个向量
a
与
b
的夹角公式
cos
?
?a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
22
2
2
；
3. 平面向量相关公式定理
（1）平面向量分解 定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这 一平面内的任意向量
a
，有且只有
一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?2
e
2
；我们把不平行的向量
e
1
,e
2叫做这一平面内所有向量的一组基；
（2）三点共线定理：已知平面上
A,B,C
三点共线，点
O
在直线外
?
存在实数
m,n
，使
OA?mOB?nOC
，其中
m?n?1
；


成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（3）定比分点公式：已知平面上两点
P
1
(x< br>1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，存在
P
点，满足
PP
1
??
PP
2
，则
P
点坐标为
(
x
1?
?
x
2
y
1
?
?
y
2,)
；
1?
?
1?
?
x
1
?x2
y
1
?y
2
,)
；
22
x?x< br>2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
以
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
为顶点的三角形重心为
(< br>1
,)
；
32
中点坐标公式：平面上两点
P
1(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
的中点坐标为
(
（4）三角形四心与向量 设
O
为△
ABC
所在平面上的一点，角
A,B,C
所对 的边分别为
a,b,c
；
①
|OA|?|OB|?|OC|?
O
为△
ABC
外心；
②
(OA?OB)?AB?(OB?OC)?BC?0?
O
为△
ABC
外心；
③
OA?OB?OC?0?
O
为△
ABC
重心；
④
OA?OB?OB?OC?OC?OA?
O
为△
ABC
垂心；
⑤
aOA?bOB?cOC?0?
O
为△
ABC
内心；
⑥
OA(
ACABBCBA
?)?OB(?)?0?
O
为 △
ABC
内心；
|AC||AB||BC||BA|
设
P
为△
ABC
所在平面上的一动点，实数
?
?[0,??)
；
①
AP?
?
(AB?AC)?
动点
P
的轨迹经过 △
ABC
重心；
②
AP?
?
(
③
AP?
?
(
④
AP?
?
(
ABAC?)?
动点
P
的轨迹经过△
ABC
重心；
|AB|s inB|AC|sinC
ABAC
?)?
动点
P
的轨迹经过△
ABC
内心；
|AB||AC|
ABAC
?)?
动点
P
的轨迹经过△
ABC
垂心；
|AB|cosB|AC|cosC
⑤
OP?









OB?OCABAC
?
?
(?)?
P
的轨迹经过 △
ABC
外心；
2
|AB|cosB|AC|cosC
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第九章 矩阵与行列式初步


1. 矩阵
（1）矩阵的定义 < br>我们把矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；对于二元一次方程组
?
?< br>ab
?
?
ax?by?e
，矩阵
??
cd
c x?dy?f
??
?
叫做方程组的系数矩阵，它是2行2列的矩阵，可记作
A
2?2
；矩阵
?
?
abe
?
?
叫做方程组 的增广矩阵，它是2行3
?
cdf
?
列的矩阵，可记作
A
2 ?3
；1行2列的矩阵
(a
叫做系数矩阵的两个列向量；
?
a??
b
?
b)
、
(cd)
叫做系数矩阵的两个行向量； 2行1列的矩阵
??
、
??
?
c
??
d
?
?
ab
?
?
是2阶方矩阵；
cd
??
?
10
?
我们把主对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵叫做单位矩阵，如
??
；
?
01
?
当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方 阵，如
?
元素全为零的矩阵称为零矩阵；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

我们把
m
行
n
列矩阵的第
i行第
j
列的元素用圆括号括起来表示矩阵，为
A?(a
ij
)< br>；若
A?(a
ij
)
、
B?(b
ij
)是
两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即a
ij
?b
ij
，称两矩阵相等，
记作
A?B
；

（2）矩阵的变换 解方程的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程；
矩阵变换有下列三种：
① 互换矩阵的两行； ② 把某一行同乘以一个非零的数； ③ 某一行乘以一个数加到另一行；若对矩阵
A
实行
有限次初等变换变成矩阵
B
，则称矩阵
A
与
B
等价，记作
A~B
，经初等变换 得到的矩阵与变换前的矩阵不能用
等号联结，它们是不相等的；
（3）矩阵的运算
① 矩阵的加减法及运算性质
若
A?(a
ij
)
m?n< br>，
B?(b
ij
)
m?n
都是
m
行
n
列矩阵，则矩阵
C?(c
ij
)
m?n
?(a
i j
?b
ij
)
m?n
叫做矩阵
A
与
B的和，记作
C?A?B
；求矩阵和的运算叫做矩阵的加法；
矩阵的加法运算性质：交换律
A?B?B?A
结合律
A?(B?C)?(A?B)?C

我们把
A?(?B)
记为
A?B
，叫做两矩阵
A
与
B
的差；求矩阵差的运算叫做矩阵的减法 ；矩阵的加法和矩阵的
减法只有在两矩阵的行数、列数都相同时才可以进行，两矩阵相加减归结为其对应 元素相加减；
② 数乘矩阵及其运算性质 以实数
k
乘矩阵
A?(a
ij
)
m?n
的每个元素所得的矩阵
(ka
ij
)
m?n
叫做实数
k
与矩阵
A
的
乘积，记作
kA
；求数乘矩阵的运算叫做数与矩阵的乘法；
数与矩阵的乘法 运算性质：
(k?l)A?kA?lA
；
k(A?B)?kA?kB
；
k(lA)?(kl)A
；
③ 矩阵的乘法
设
A?
?
?
a
11
?
a
21
a
12
??
b
11
b
12
??
c
11
c
12
?
，，
B?C?
?????
，如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：a
22
?
?
b
21
b
22
??
c
21
c
22
?
c
ij
?a
i1
b
1j
?a
i2
b
2j
(i?1,2;j?1,2)，那么矩阵
C
叫做矩阵
A
和
B
的乘积，记作
C ?AB
；
由上面的定义可知，
c
ij
是
A
的第< br>i
行的行向量与
B
的第
j
列的列向量的数量积，这个定义可以 推广到任意
n
行
k
列的矩阵与
k
行
m
列 的矩阵的乘积
(m,n,k?N
*
)
；
由此定义可知，只有当矩阵
A
的列数等于矩阵
B
的行数时，矩阵乘积
AB
才有意义；
2. 行列式
（1）二阶行列式
我们用记号
a
1
a2
b
1
b
2
表示算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
，即
a
1
a
2b
1
?a
1
b
2
?a
2
b
1
；该记号叫做行列式，并且因为它只有两行
b
2
两列，所以把它叫做二阶行 列式，算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值，
a
1
,a
2
,b
1
,b
2
都
叫做行列式的元素；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

如上图，我们把用实线表示的对角线称之为主对角线，用虚线表示 的对角线称之为副对角线；不难发现，二阶行
列式的值等于主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元 素乘积；这种展开二阶行列式的方法叫做二阶行列式展开
的对角线法则；
设二元一次方程组< br>?
?
a
1
x?b
1
y?c
1
，当< br>a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
时，方程组有唯一解：
?
a
2
x?b
2
y?c
2
b
1
b
2
c
1
c
2
a
1
，
D
y
?
a
2
b
2
b
1
?
x?
?
c
1
?
，即
?
c
2
?
y?
?
?
D
x
D
；
D< br>y
D
c
1
b
2
?c
2
b
1
?
x?
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
a
1
?
，令
D?
?
ac?aca
2
?
y?
1221
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
，
D
x
?其中行列式
D
叫做方程组的系数行列式；
a
1
?
a< br>1
x?b
1
y?c
1
对于二元一次方程组
?
，令
D?
ax?by?ca
2
?
222
①当
D?0
时，方程组有唯一解
x?
b
1
b
2
，
D< br>x
?
c
1
c
2
a
1
，
D< br>y
?
a
2
b
2
b
1
c
1< br>；
c
2
D
y
D
x
，
y?
；
D
D
②当
D?0
且
D
x
,D
y
中至少有一个不为零，方程组无解；
③当
D?D
x
?D
y
?0
，方程组无穷多解；
D?0
是方程组有唯一解的充分必要条件，
D
叫做方程组解的判别式；
（2）三阶行列式
a
1
我们用记号
a
2
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
表示算式
a
1
b
2
c
3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c< br>3
?a
1
b
3
c
2
；该记号叫做三阶行列式 ，算式
c
3
a
3
a
1
b
2
c3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a
3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3
?a
1
b
3c
2
叫做三阶行列式的展开式，
a
i
,b
i
, c
i
(i?1,2,3)
都叫做行列式的元素；
① 三阶行列式按对角线展开:


如上图，三阶行列式展开后的值为
(a1
b
2
c
3
?a
2
b
3
c< br>1
?a
3
b
1
c
2
)?(a
3b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3< br>?a
1
b
3
c
2
)
，等于每一条主对角线上 的
元素乘积的和减去每一条副对角线上的元素乘积的和，这种方法叫
做三阶行列式展开的对角线法则；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

② 三阶行列式按一行（或一列）展开:
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
?a
1
c
3
b
2
b
3
c
2
c
3
?b
1
a
2
a
3
c
2
c
3
?c
1
a
2a
3
b
2
b
3
，其中
b
2
b
3
c
2
c
3
、
a
2
a
3
c
2
c
3
、
a
2
a
3
b
2
b
3
分别叫做元素
a
1
,b
1
,c
1
的余子式，
即把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来 的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子
式；
把余子式添上相应的符号，如
A
1
?
b
2
b
3
c
2
c
3
、
B
1
??
a
2
a
3
c
2
c
3
、
C
1
?
a
2
a
3
b
2
b
3
分别叫做元素
a
1
,b
1
,c
1
的代数余子式；
一个元素
a
ij
的代 数余子式的符号决定于这个元素在行列式中的位置，如果下标之和
i?j
是偶数，代数余子式取
正号，如果
i?j
是奇数，代数余子式取负号；
三阶行列式可以按其任意一 行（或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和；三阶
行列式的某一行（或列）的各元素分别和另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积的和等于零； < br>a
1
?
a
1
x?b
1
y?c
1z?d
1
?
对于三元一次方程组
?
a
2
x?b
2
y?c
2
z?d
2
，设
D?a
2
?
ax?by?cz?d
a
3
333
?
3
a1
D
y
?a
2
a
3
d
1
d< br>2
d
3
c
1
a
1
b
1
b< br>2
b
3
d
1
c
2
，
D
z< br>?a
2
c
3
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
d
1
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
，
c
3
c
2
，
D
x
?d
2
d
3
c
3
d
2
，
D
叫做方程组解的判别式；
d
3D
y
D
x
D
，
y?
，
z?
z
；
D
DD
①当
D?0
时，方程组有唯一解
x?< br>②当
D?0
且
D
x
,D
y
,D
z< br>中至少有一个不为零，则方程组无解；
③当
D?D
x
?D
y
?D
z
?0
，方程组有无穷多解；
（3）行列式的相关性质结论
性质1 把行列式的某一行的所有元素乘以一个实数
k
，等于用
k
乘以这个行列式；
推论1 行列式中某一行所有元素的公因数可以提到行列式记号的外边；
推论2 如果行列式中某一行的元素全为零，那么这个行列式的值为零；
性质2 交换行列式的任意两行，行列式的值变成原来的相反数；
推论3 如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为零；
推论4 如果行列式的某两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为零；
性质3 如果行列式的某一行的 元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余
行不变的两个行列式 的和；
性质4 把行列式的某一行所有元素乘以同一个数，加到另一行的各个对应元素上，行列式的值不变；
性质5 行列式与它的转置行列式相等；
由性质5可知，前面的性质及推论中，将“行”换成“列”，结果同样成立；
三角形面积公式：
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

如果△
ABC
的三个顶点
A,B,C
的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，
(x
3
,y
3
)
，那么△
ABC
的面积
S
?AB C


x
1
1
?x
2
2
x
3
x
1
y
1
1
y
2
1
；特别地 ，
x
2
y
3
1
x
3
y
1
1
y
2
1=0
?
直角坐标平面上的三点
A(x
1< br>,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)，
C(x
3
,y
3
)
共线.
y
3
1
第十章 算法初步



1. 算法概念
一般地，对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方 法就能使该类问题
得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法；
算法是由一些操作步骤组成的有序系列，这个系列具有以下特点：
① 操作步骤数必须是有限的，必须在有限步骤后获得结论；
② 每一步操作都有确定的意义；
③ 每一步操作都是可行的（或由基本的可行的操作组成）；
④ 每个算法必须有已知信息的输入和运算结果的输出；
顺序结构、条件结构和循环结构是算法中最常用的语句结构；
顺序结构：算法各步骤的前后顺序一般不能交换，否则会产生不一样的效果；
条件结构：如果 条件成立，那么执行指令
A
，如果条件不成立，那么执行指令
B
；
循环结构：重复执行同样指令；其中变量
i
的数值决定了循环的“继续”还是“结束”，故称< br>i
为循环变量，称
重复执行的指令组为循环体；



成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

2. 程序框图
为了使算法的表述更简练，结构 更清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的图来表示算法，这种图叫做
算法的程序框图；在程序框图中常用的框如表所示：
程序框 名称
起止框
功能
表示算法的开始和结束，一个算法
只有一个开始，至少有一个结束
表示数据的输入和输出
表示算法中的赋值、计算等指令，一
个处理框只有一个入口、一个出口
判断框内是一个条件，它有一个入口
和两个出口（分别标“是”和“否”）


输入、输出框

处理（执行）框
判断框

顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图：
顺序结构 条件结构 循环结构


有了顺序结构、条件结构和循环结构 的程序框图，我们就可以比较完整地构建算法的程序框图，一般来说，一个
完整的程序框图应该包含起始 框、结束框、输入输出框.



成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第十一章 坐标平面上的直线

1. 直线倾斜角和斜率
设直线
l
与
x
轴相交于点
M
，将
x
轴绕点
M< br>按逆时针方向旋转至与直线
l
重合时所成的最小正角
?
叫做直线
l
的
倾斜角；倾斜角的范围是
[0,
?
)
；当
?
?
斜率
k
不存在；
一般地，如果直线
l
经过P
1
(x
1
,y
1
)
和
P
2
(x
2
,y
2
)
，其中
x
1
?x
2
，那么
PP
12
是直线
l
的一个方向向量，直线
l
的
?
2
时，把
?
的正切值
k?tan
?
叫做直线
l
的斜率；当
?
?
?
2
时，直线的
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

斜率
k?
y
2
?y
1
；从图像上观察，直线越陡，斜率的绝对值越大；
x
2
?x
1
2. 直线方程
直线
l
的点 方向式方程：我们把与直线
l
平行的向量叫做直线
l
的方向向量；如果直线< br>l
经过点
(x
0
,y
0
)
，方向
向量
d?(u,v)
，那么直线
l
的方程可写作
x?x
0< br>y?y
0
；
?
uv
直线
l
的点法向式方程 ：我们把与直线
l
垂直的向量叫做直线
l
的法向量；如果直线
l经过点
(x
0
,y
0
)
，法向量
n?(a,b )
，那么直线
l
的方程可写作
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0
；
直线
l
的点斜式方程：如果直线
l< br>经过点
(x
0
,y
0
)
，斜率为
k
，那么直线
l
的方程可写作
y?y
0
?k(x?x
0
)
；
直线
l< br>的斜截式方程：如果直线
l
经过
y
轴上的点
(0,b)
，且斜率为
k
，那么直线
l
的方程可写作
y?kx?b
；
直线
l
的截距式方程：如果直线
l
与
x
轴和
y
轴分别交于点
(a,0)
、
(0,b)
(ab?0)
，
a
、
b
分别叫做直线
l
在
坐标轴上的横截距和纵 截距，那么直线
l
的方程可写作
xy
??1
；
ab
直线
l
的一般式方程：
ax?by?c?0
（
a,b
不同 时为零），
n?(a,b)
是直线
l
的一个法向量，
d?(b,?a )
是
直线
l
的一个方向向量；
直线方程
方向向量
d
法向量
n

斜率
k

x?x
0
y?y
0

?
uv
a(x?x< br>0
)?b(y?y
0
)?0

(u,v)

(b,?a)

(1,k)

(v,?u)

v

u
a
?

b
(a,b)

(?k,1)

y?y
0
?k(x?x
0
)

k

k

b
?

a
a
?

b
y?kx?b

(1,k)

(a,?b)

(b,?a)

(?k,1)

(b,a)

(a,b)

xy
??1

ab
ax?by?c?0

3. 两条直线的位置关系
设直角坐标 平面上两条直线方程分别为
l
1
:a
1
x?b
1
y ?c
1
?0
和
l
2
:a
2
x?b
2
y?c
2
?0
，如果直线
l
1
,l
2< br>的公共点
是
P(x,y)
，那么点
P
的坐标必是两条直线方 程构成的二元一次方程组
?
即对应两条直线的位置情况；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页
?
a
1
x?b
1
y?c
1
?0
的解； 方程组解的个数
?
a
2
x?b
2
y?c
2
?0

方程组系数构成的行列式的值：
D?
a
1< br>a
2
b
1
b
2
，
D
x
?< br>?c
1
?c
2
a
1
，
D
y
?
a
2
b
2
D
x
D
y
,)
；
DD
b
1
?c
1
；
?c
2
当
D?0
，即
a
1
b
2
?a
2
b
1
时，方程组有唯一解，两直线相交于一点
(
当
D?0
且
D
x
?0
或
D
y
?0
时，方程组无解，两 直线没有公共点，即平行；
当
D?D
x
?D
y
?0
时，方程组有无穷多解，即两直线重合；

具体应用中，当直线方程形式为一般式时，即两 条直线分别为
l
1
:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
和
l
2
:a
2
x?b
2
y ?c
2
?0
，
可以用以下形式判断直线的位置关系：
① 当a
1
b
1
?
时，两直线相交；特殊地，当
a
1
a
2
?b
1
b
2
?0
时，两直线垂直；
a
2
b
2
a
1
b
1
c
1
abc
??
时，两直线平行； ③ 当
1
?
1
?
1
时，两直线重合；
a
2< br>b
2
c
2
a
2
b
2
c
2< br>② 当
当直线方程形式为斜截式时，即两条直线分别为
l
1
:y?k< br>1
x?b
1
和
l
2
:y?k
2
x? b
2
，可以用以下形式判断直线的
位置关系：
① 当
k
1
?k
2
时，两直线相交；特殊地，当
k
1
k
2??1
时，两直线垂直；
② 当
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
时，两直线平行； ③ 当
k
1< br>?k
2
且
b
1
?b
2
时，两直线重合； < br>我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角；如果两条直线平行或重合，我们规定它们 的
夹角为零；
如果已知两条直线的方程分别为
l
1
:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
和
l
2
:a
2
x?b
2
y?c
2
?0
，它们的方向向量分 别取
d
1
?(?b
1
,a
1
)
和
d
2
?(?b
2
,a
2
)
，由两向量的夹角计算 公式，可得两条直线的夹角公式为
cos
?
?
|d
1
?d
2
||a
1
a
2
?b
1
b
2|
ab?a
2
b
1
?
；
tan
??
12
；
2222
a
1
a
2
?b< br>1
b
2
|d
1
||d
2
|
a
1
?b
1
a
2
?b
2
如果已知两条直线的方程分 别为
l
1
:y?k
1
x?b
1
和
l
2
:y?k
2
x?b
2
，根据倾斜角的定义，可得两条直线的夹角
公式为
tan
?
?
|k
1
?k
2
|
；当
l
1
与
l
2
相互垂直时，
a
1
a
2
?b
1
b
2
?0
，
k< br>1
k
2
??1
；
|1?k
1
k
2
|
4. 点到直线的距离
点P(x
0
,y
0
)
到直线
l:ax?by?c?0的距离公式：
d?
|ax
0
?by
0
?c|
a ?b
22
；两平行线间距离公式：设两条平行直线
为
l
1
: ax?by?c
1
?0
和
l
2
:ax?by?c
2
?0
，
c
1
?c
2
，它们之间的距离
d?
|c
1
?c
2
|
a?b
22
；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

?
?
已知点
P(x
0
,y
0
)
和直线
l:ax?by?c?0
（
a,b
不同时为零 ），

ax
0
?by
0
?c
a?b
22< br>的符号确定了点
P
关于直线
l
的
相对位置，在直线同侧的所有 点，
?
的符号是相同的，在直线异侧的点，
?
的符号是相反的；
5. 与直线相关的几类问题
（1）常用直线系
① 定点直线系方程：经过定点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，其中
k
是待定系数 ；或者
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0
，其中
a,b
是待定系数；
② 共点直线系方程：经过两直线
l
1
:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
和
l
2
:a
2
x?b
2
y?c
2
?0
的交点的直 线系方程为
(a
1
x?b
1
y?c
1
)?
?
(a
2
x?b
2
y?c
2
)?0
，其中
?
是待定系数；
③ 平行直线系方程：与直线
y?kx?b
平行的 直线系方程为
y?kx?c
，其中
c
是待定系数，与直线
ax?by ?c?0
平行的直线系方程为
ax?by?
?
?0
，其中
?
是待定系数；
④ 垂直直线系方程：与直线
ax?by?c?0
垂直的直线 系方程为
bx?ay?
?
?0
，其中
?
是待定系数；
（2）对称问题
① 点关于点对称：若
A
、
B
两点关于点
(x
0
,y
0
)
对称，则
A(x,y)
的 对称点
B
的坐标为
(2x
0
?x,2y
0
?y)< br>；
② 点关于直线对称：若
A
、
B
两点关于直线
l :ax?by?c?0
对称，则
A(x,y)
的对称点
B
的坐标为
(x?
2a(ax?by?c)2b(ax?by?c)
,y?)
；
a
2
?b
2
a
2
?b
2
③ 直线 关于点对称：若
l
、
l
?
两直线关于点
(x
0,y
0
)
对称，则直线
l:ax?by?c?0
的对称直线l
?
的方程为
a(2x
0
?x)?b(2y
0
?y)?c?0
；
④ 直线关于直线对称：若
l
1
、
l< br>2
两直线关于直线
l:ax?by?c?0
对称，则
l
1:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
的对称直线l
2
的方程
为
a
1
[x?
2a(ax?by? c)2b(ax?by?c)
]?b[y?]?c
1
?0
；
1
2222
a?ba?b
（3）距离最值问题
① 在直线
l
上求一点
P
，使
P
到两定点的距离之和最小；

②在直线
l
上求一点
P
，使
P
到两定 点的距离之差的绝对值最大；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第十二章 圆锥曲线

1. 曲线和方程
（1）曲线和方程的概念
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

借助于平面坐标系用代数方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何； 一般地，如果曲线
C
与方程
F(x,y)?0
之间有以下两个关系：
① 曲线
C
上的点的坐标都是方程
F(x,y)?0
的解；
② 以方程
F(x,y)?0
的解为坐标的点都是曲线
C
上的点；
此时，把方程
F(x,y)?0
叫做曲线
C
的方程，曲线
C
叫做方程
F(x,y)?0
的曲线；
平面解析几何研究的两个基本问题是：
① 根据条件，求出表示平面曲线的方程；
② 通过方程，研究平面曲线的方程；如果曲线< br>C
1
,C
2
的方程分别为
F
1
(x,y)? 0
和
F
2
(x,y)?0
，那么曲线
C
1
,C
2
的
交点坐标即方程组
?
?
F
1
(x ,y)?0
的解，方程组解的情况即曲线
C
1
,C
2
的相交 情况；
?
F
2
(x,y)?0
如果曲线
C
1,C
2
的方程分别为
F
1
(x,y)?0
和
F
2
(x,y)?0
，那么过曲线
C
1
,C
2
的交点的曲线系方程
C
?

是
F
1
(x,y)?
?
F
2
(x,y)?0
；
（2）求曲线方程常用方法：① 直接法；② 定义法；③ 代入法；④ 消参法；⑤ 交轨法；⑥ 其他法；
2. 圆的方程
（1）圆的方程形式
圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
，表示以
(a,b)
为圆心，以
r
为半径的圆；
222
D
2
E
2
D
2
?E
2
?4F
圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
，即
(x?)?(y?)?
；
224
?
x?a?rcos
?
圆的参数方程：
?
，表示以
(a,b)
为圆心，以
r
为半径的圆；
y?b?rsin
?
?
22
圆的直径式方程：
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
，其中
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
分别为直径的两个端点；
（2）点和圆的位置关系
222
222
对于点
P(x
0
,y
0
)
和圆
(x?a)?(y ?b)?r
，有：
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r?点在圆外；
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b )
2
?r
2
?
点在圆上；
(x
0
?a)< br>2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点在 圆内；
222
（3）直线和圆的位置关系 判定圆
(x?x
0
)?(y?y
0
)?r
和直线
ax?by?c?0
位置关系的方法有 两种：
① 比较圆心
(x
0
,y
0
)
到直线ax?by?c?0
的距离
d
和圆半径
r
的大小；
d?r?
相交；
d?r?
相切；
d?r?
相离；
?
ax?by?c?0
2
x
Ax?Bx?C?0
，考察根的判别式< br>?
； ② 联立方程组
?
，得到关于的二次方程
222
?(x?x
0
)?(y?y
0
)?r
??0?
相交；??0?
相切；
??0?
相离；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（4）圆和圆的位置关系 若圆
O
1
的半径是
r
1
，圆
O
2
的半径是
r
2
，则 ：
OO
12
?r
1
?r
2
?
两圆外离；
OO
12
?r
1
?r
2
?
两圆外切；r
1
?r
2
?OO
12
?r
1
?r< br>2
?
两圆相交；
OO
12
?r
1
?r
2
?
两圆内切；
OO
12
?r
1
?r
2
?
两圆内含；
（5）与圆相关的公式
切线公式一：对于圆
(x?a)?(y?b)?r
， 若直线和圆的切点为
(x
0
,y
0
)
，则切线方程为
2
(x?a)(x
0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?r
2
；若点
(x
0
,y
0
)
在圆外，则方程
(x?a)(x
0
?a)?
(y?b)(y
0
?b)?r
表示过两个
222
切点的切点弦方程；
切线公式二：对于圆
x?y?r，斜率为
k
的切线方程为
y?kx?rk
2
?1
；两圆 公共弦公式：若两圆
222
C
1
:x
2
?y
2?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C< br>2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2< br>y
?F
2
?0
相交，则它们公共弦的方程为
(D
1< br>?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1< br>?F
2
)?0
；
3. 椭圆方程
F,F
2
叫我们把平面内到两个定点
F
1
,F
2
的距离和等于常数
2a
(2a?F
1
F
2
)
的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点
1
做椭圆的焦点，两个焦点的距离
F
1
F
2
叫做焦 距；
x
2
y
2
y
2
x
2
椭圆的 标准方程：
2
?
2
?1
(a?b?0)
或
2
?
2
?1
(a?b?0)
，如图所示；其中
a,b,c
之 间的关系
abab
c
2
?a
2
?b
2
；

x
2
y
2
从椭圆的标准方程
2
?
2
?1
(a?b?0)
中，我们可以得
ab
到下列性质和结论：
① 对称性：椭圆既是以
x
轴、
y
轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；椭圆的对称中心叫
做椭圆的中心；
② 顶点：
(?a,0)
和
(0,?b)
，这四个点叫做椭圆的顶点；若
a?b ?0
，
2a
表示椭圆长轴的长，
2b
表示椭圆短轴的长，椭圆的两个 焦点都在它的长轴上；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

a
2
③ 范围：
?a?x?a
，
?b?y?b
； ④ 准线：准线方程
x??
；
c
⑤ 离心率：
e?
c
；
0?e?1
； ⑥ 焦半径公式：
r?a?ex
0
；
a
2
⑦ 焦点三角形面积公式：
S?btan
⑨ 参数方程：
?
?
2
； ⑧ 切线方程：若
(x
0
,y
0
)
为切点，则切线方程为
x
0
xy
0y
?
2
?1
；
a
2
b
?
x ?acos
?
，
?
?[0,2
?
)
.
?
y?bsin
?
4. 双曲线方程
我们把平面内到两个定点
F
1
,F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
(2 a?F
1
F
2
)
的点的轨迹叫做
x
2
y< br>2
双曲线；这两个定点
F
1
,F
2
叫做双曲线的焦点 ，两个焦点的距离
F
1
F
2
叫做焦距；双曲线的标准方程：
2
?
2
?1
或
ab
y
2
x
2222
??1
c?a?b
，如图所示；其中，之间的关系满足；
(a?0,b?0)a,b,c
22
ab

x
2
y
2
x
2
y
2
双曲线
2?
2
?1
与双曲线
2
?
2
??1
有共 同的渐近线，它们互为共轭双曲线；
ab
ab
x
2
y
2< br>从双曲线的标准方程
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
中，我们可以得到下列性质和结论：
ab
① 对称性：双曲线既是以
x
轴、
y
轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点
为对称中心的中心对称图形；双曲线的对 称中心叫做双曲线的中心；
② 顶点：
(?a,0)
和
(0,?b)
，这四个点叫做双曲线的顶点；
2a
表示双曲线实轴
的长，
2b
表 示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线
上；
③ 范围：
x?a
或
x??a
，
y?R
； ④ 渐近线：
y??
b
x
；
a
a
2
c
⑤ 准线：准线方程
x??
； ⑥ 离心率：
e?
；
e?1
；
c
a
⑦ 焦半径公式：
r?ex
0
?a
； ⑧ 焦点三角形面积公式：
S?bcot
2
?
2

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

⑨ 切线方程：若
(x
0
,y
0
)
为切点，则切线方程为
?
x?asec
?
x
0
x y
0
y
；⑩ 参数方程：，
?
?[0,2
?
)
.
??1
?
22
ab
?
y?btan
?
5. 抛物线方程
平面上与一个定点
F
和一条定直线
l
（
F不在
l
上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
F
叫做抛物线的焦点，
定直线
l
叫做抛物线的准线；
2
抛物线的标准方程：
y? 2px
，
y??2px
，
x?2py
，
x??2py
(p?0)
；
222

2

从抛物线的标 准方程
y?2px
(p?0)
中，我们可以得到下列性质和结论：
① 对称性：关于
x
轴对称； ② 顶点：原点
(0,0)
；
③ 范围：
x?0
，
y?R
； ④ 准线：
x??
p
；
2
p

2
⑤ 离心率：
e?1
； ⑥ 焦半径公式：
r?x
0
?
⑦ 切线方程：若
(x
0
,y
0
)
为切点，则切线方程为
y
0
y?p(x?x
0
)

?
x?2pt
2
,(t?R)
； ⑧ 参数方程：
?
?
y?2pt
6. 圆锥曲线综合应用
（1）弦中点问题：点差法
与弦的中点有关的问题，主要有三种类型：
① 平行弦的中点轨迹； ② 过定点的弦中点轨迹； ③ 过定点且被定点平分的弦所在的直线方程；


弦中点问题的常见结论：
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

x
2
y
2
① 若直线
l:y?k
1
x?m
与椭圆
2
?
2
?1
相交于
A,B
两点，
A,B
的中点为
P
，连结
OP
，设
OP
的斜率为
k
2
，
ab
b
2
则
k
1
k
2
??
2
；
a
x
2
y
2
② 若直线
l:y?k
1x?m
与双曲线
2
?
2
?1
相交于
A,B两点，
A,B
的中点为
P
，连结
OP
，设
OP
的斜率为
k
2
，
ab
b
2
则
k< br>1
k
2
?
2
；
a
注意：斜率不存在的情况要单独考虑；
（2）抛物线焦点弦性质
① < br>AM
?
?BM
?
，
A
?
F?B
?< br>F
，
M
?
F?AB
；
p
2
3
2
2
②
x
1
x
2
?
，
y
1
y
2
??p
；
OA? OB??p
；
4
4
③
A
，
O
，
B
?
共线，
A
?
，
O
，
B
共线 ；
112
pp
??
， ④
AF?
，
BF?，
AFBFp
1?cos
?
1?cos
?
p
2
2p
；
S
?AOB
?

AB?x
1
?x
2
?p?
2
2sin
?
sin
?
（ 3）韦达定理的应用：联立方程，韦达定理
韦达定理：
x
1
?x
2
??
bc
，
x
1
?x
2
?
；
aa
2
弦长公式：
AB?1?k

AB ?1?
x
1
?x
2
?1?k
2
(x
1?x
2
)
2
?4x
1
?x
2
；
11
2
y?y?1?(y?y)?4y
1
?y
2
；
1212
22
kk
（4）数形结合思想
7. 圆锥曲线的表格汇总
（1）椭圆的方程：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

定义
范围
F
2
的距离之和等于常数2
a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F
1
F
2
|
） 到两定点
F
1
、
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
?a,0
?
、
?2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)
cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
aaaa左焦半径：
右焦半径：
离心率
(0?e?1)

焦半径
MF
1
?a?ex
0

MF
2
?a?ex
0

S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
下焦半径：
上焦半径：
MF< br>1
?a?ey
0

MF
2
?a?ey
0

M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)
通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)
，
AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

（焦点）弦长公式





（2）双曲线的方程：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

标准方程
x
2
y
2
??1?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2< br>x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
定义
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
） 到两定点
F
1
、
x??a< br>或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
F
2
?2c(c
2
?a
2< br>?b
2
)
cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
aaaa
y??
b
x
a
F
1
?
0,?c
?
、
F
2?
0,c
?

离心率
(e?1)
渐近线方程
y??
a
x
b
焦半径
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦：

M
在右支
?
MF
2
?ex
0
?a
??
右焦：
?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦：

M
在左支
?
右焦：MF??ex?a
?
2 0
?
?MF
1
?ey
0
?a
?
左焦：
M
在上支
?
MF
2
?ey
0
?a< br>?
?
右焦：
?MF
1
??ey
0
?a
?
左焦：

M
在下支
?
右焦：MF??ey?a
?
20
?
M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
cot
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)
通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a






（3）抛物线的方程：
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第十三章 复数

1. 复数的概念
为解决 负数的开方问题，引入虚数单位
i
，规定
i??1
，即
i
是
?1
的一个平方根；我们把形如
a?bi
(a,b?R)
的数叫做复 数，复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母
C
表示；单个复数常常用字母
z
表示，
即
z?a?bi
(a,b?R)
，该形式叫做复数的代数形式，其 中
a
与
b
分别叫做复数
z?a?bi
的实部与虚部，记作< br>Rez
和
Imz
；当
b?0
时，复数
z?a?bi? a
是实数；当
b?0
时，复数
z
叫做虚数；当
a?0
且
b?0
时，
复数
z?a?bi?bi
叫做纯虚数；实数集R
是复数集
C
的真子集；
2
?
实数 (b?0)
?

复数 (z?a?bi,a,b?R)
?
?
纯虚数 (a?0,b?0)
虚数
?
?
?
非纯虚数的虚数 (a?0,b?0 )
?
如果两个复数
z
1
?a?bi
(a,b?R)
和
z
2
?c?di
(c,d?R)
的实部与虚部分别相等，即
a?c
且
b?d
，那么
这两个复数相等，记作
a?bi?c?di
；
如果两个复数都是实数，那么 这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等
和不相等两种关系，而不能比较大小；


成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

2. 复数的坐标形式
一个复数
z?a?bi
( a,b?R)
对应了一个有序实数对
(a,b)
；而有序实数对
(a,b)< br>与平面直角坐标系内的
点
Z(a,b)
是一一对应的，因此可以用平面直角坐 标系内的点
Z(a,b)
来表示复数
z?a?bi
，也可以用复数
z ?a?bi
来描述平面直角坐标系内的点
Z(a,b)
；
建立直角坐标系用 来表示复数的平面叫做复平面，在这里
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴，表示实 数的点都在实轴
上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0；
复数集中的元素和复平面 上所有的点是一一对应的；复数集中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一
对应的（实数0与 零向量对应）；我们把复数
z?a?bi
看作点
Z(a,b)
或看作向量OZ?(a,b)
；
复数
z?a?bi
所对应的点
Z(a,b )
到坐标原点的距离叫做复数
z
的模（或绝对值），记作
|z|
，由 模的定义可知
|z|?|a?bi|?a
2
?b
2
；
复数 的模的概念是实数的绝对值的概念的延伸；复数
z?a?bi
的模与表示
z?a?bi
的向量
OZ
的模是一致的，
所以复数的模也可以说成是其对应向量的模；
3. 复数的运算
（1）复数的加减法 设复数
z
1
?a?bi
(a,b?R)
，
z
2
?c?di
(c,d?R)
，则复数的加法：
z
1
?z
2
?(a?bi)?(c?di)?( a?c)?(b?d)i
；两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，
它的虚部是原来两个复数虚部的和；
复数的加法满足交换律和结合律，即
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
，
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z3
)
；
形如
a?bi
和
a?bi
这样实部相 等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭，
共轭复数用
z< br>表示，即当
z?a?bi
时，
z?a?bi
；
由复数模的定义，可知互相共轭的两个复数的模相等，即
|z|?|z|
；
设复数
z
1
?a?bi
(a,b?R)
，
z
2?c?di
(c,d?R)
，则复数的减法：
z
1
?z
2
?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
；两个复数的差依然是一个复 数，它的实部是原来两个复数实部的差，
它的虚部是原来两个复数虚部的差；
设复数
z
1
?a?bi
、
z
2
?c?di
分别对应复平面 上的点
Z
1
(a,b)
、
Z
2
(c,d)
，则
|z
1
?z
2
|?|(a?c)?(b?d)i|?(a?c )
2
?(b?d)
2
；
由此可见，
|z
1
?z
2
|
表示两点
Z
1
,Z
2
之间的距 离，
|z
1
?z
2
|
也等于向量
Z
1Z
2
的模；
（2）复数的乘除法
设复数
z
1
?a?bi
(a,b?R)
，
z
2
?c?di
(c,d? R)
，则复数的乘法：
z
1
?z
2
?(a?bi)(c? di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
；两个复数的乘积依然是一个复数，
复数的乘法与多项式的乘法相类似；特殊地，
z?z?|z|
；
2
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对于任何复数z
1
,z
2
,z
3
，有：
z
1?z
2
?z
2
?z
1
，
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z< br>3
)
，
z
1
(z
2
?z
3
)?z
1
z
2
?z
1
z
3
；
设 复数
z
1
?a?bi
(a,b?R)
，
z
2
?c?di
(c,d?R)
，则复数的除法：
z
1
a?biac? bdbc?ad
??
2
?
2
i
；
22
z
2
c?dic?dc?d
要求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先分别计算这几 个复数的模，然后把各个复数的模相乘或相除；
即
|z
1
?z
2|?|z
1
|?|z
2
|
，
|
z
1< br>|z
1
|
nn
|?
，
|z|?|z|
； < br>z
2
|z
2
|
共轭复数的运算性质：
z
1< br>?z
2
?z
1
?z
2
，
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，
(
（3）复数的 乘方与开方
z
1
z
)?
1
，
z
n
?(z)
n
；
z
2
z
2
复数的乘方运算是指几 个相同复数相乘，对任何复数
z,z
1
,z
2
及正整数
m, n
，满足：
z
m
?z
n
?z
m?n
，< br>(z
m
)
n
?z
mn
，
(z
1?z
2
)
n
?z
1
n
?z
2
n
；
一般地，对
n?N
，满足：
i
4n
?1，
i
4n?1
?i
，
i
4n?2
??1
，
i
4n?3
??i
；
2
如果复数
a?bi< br>(a,b?R)
和
c?di
(c,d?R)
满足：
(a?bi )?c?di
；则称
a?bi
是
c?di
的一个平方根；因
为
(?i)??1
，即
?i
是
?1
的平方根；
3
类似地，若复数
z
1
,z
2
满足
z
1?z
2
，则称
z
1
是
z
2
的立方根；
2
1313
13
i
；设
?
???i
，则满 足
i
，
??
1
的立方根有三个，分别是
1
，??
2222
22
13
i
，
|
?
| ?1
，
?
3
?1
，
?
2
?
??1?0
；同理，
?1
的立方根也有三个，分别是
?1
，
?
22
1313
?i
；设
?
??i
，则满足|
?
|?1
，
?
3
??1
，
?
2
?
?
?1?0
；
2222
4. 实系数一元二次方程
设一元二次方程
ax?bx?c?0
(a,b,c?R
且
a?0)< br>；
2
?b?b
2
?4ac
当
??b?4ac?0< br>时，方程有两个不相等的实数根
x?
；
2a
?b
2
当
??b?4ac?0
时，方程有两个相等的实数根
x?
；
2a< br>2
?b?4ac?b
2
i
当
??b?4ac?0
时， 方程有两个不相等的共轭虚根
x?
；
2a
bc
韦达定理同样适用于
??0
的情况：
x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?
；
aa
2
nn?12对于实系数一元
n
次方程
a
n
x?a
n?1
x ?…?a
2
x?a
1
x?a
0
?0
，有：
① 如果虚数
z
是方程的根，那么
z
也是方程的根；② 方程在复数 集中一定有
n
个根
x
1
,x
2
,x
3,…,x
n?1
,x
n
，即
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?…?a
2
x
2
?a
1
x?a0
?a
n
(x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)…(x?x
n
)
；
5.复平面内的曲线方程
（1）圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)；设
Z(x,y )
以
Z
0
(x
0
,y
0
)
为圆心，
r(r?0)
为半径的圆上任
意一点,则
ZZ
0
?r

(r?0)

（1）该圆向量形式的方程是什么?
ZZ
0
?r(r?0)

（2）该圆复数形式的方程是什么?
z?z
0
?r

(r?0)

222
（3）该圆代数形式的方程是什么?
(x?x
0
)?(y?y
0
)?r(r?0)

（2）椭圆的定义:
平面内与两定点Z
1
，Z
2
的距离的 和等于常数(大于
Z
1
Z
2
)的点的集合(轨迹)；设
Z( x,y)
是以
Z
1
(x
1
,y
2
)Z2
(x
2
,y
2
)
为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点,则
ZZ
1
?ZZ
2
?2a

(2a?Z
1
Z
2
)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么?
ZZ
1
?ZZ
2
?2a

(2a?Z
1
Z
2
)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么?
z?z
1
?z?z
2
?2a

(2a?Z
1
Z
2
)

变式:
以
Z
1
(x
1
,y
2
)Z
2
(x
2
,y
2
)
为端点的线段
（1）向量形式的方程是什么?
ZZ
1
?ZZ
2
?2a

(2a?Z
1
Z
2
)

（2）复数形式的方程是什么?
z?z
1
?z?z
2
?2a

(2a?Z
1
Z
2
)














成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第十四章 空间直线与平面

1. 平面及其相关性质
平面具有“平” 的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限；平面可以用大写的英文字母或小写的希腊字母
表示；
空间的直线和平面都可以看作点的集合，点与它们的关系可以用集合的语言表示；例如，点
A< br>在直线
l
上，或
直线
l
经过点
A
，记作< br>A?l
；点
B
不在直线
l
上，记作
B?l
； 点
A
在平面
?
上，或平面
?
经过点
A
，记 作
A?
?
；
点
B
不在平面
?
上，记作B?
?
；如果直线
l
上的所有点都在平面
?
上，那么称 直线
l
在平面
?
上（或平面
?
经过
直线
l
），记作
l?
?
；

公理1 如果直线
l
上有两个点在平面
?
上，那么直线
l
在平面?
上；
公理1用集合语言表述如下：若
A?l
，
B?l
，且
A?
?
，
B?
?
，则
l?
?
；
公理2 如果不同的两个平面
?
,
?
有一个公共点
A
，那么
?
,
?
的交集是过点
A
的直线；
公理2用集合语言表述如下：若存在
A?
??
，则
??
?l
，且
A?l
；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面；
推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交的直线确定一个平面；
推论3 两条平行的直线确定一个平面；
2. 空间直线与直线的位置关系
?
?
相 交
?
共面
?
空间直线与直线的位置关系
?
?
平行< br>
?
?
异面
公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行；
等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；在同一平面中，两条直线的
位置关系包括相交和平行；如果空间的两条直线
l
1
,l
2
既不平行 ，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既经过
直线
l
1
，又经过直线
l
2
，我们把不能置于同一平面的两条直线
l
1
,l
2
叫做异面直线；

对于异面直线
a
和
b
，在 空间任取一点
P
，过
P
分别作
a
和
b
的平 行线
a
?
和
b
?
，我们把
a
?
和
b
?
所成的锐角或
直角叫做异面直线
a
和
b
所成的角；
当空间两直线
l
1
,l
2
所成的角为直角时，
l
1
和
l
2
垂直，记作
l
1
?l
2
；当
l
1
和
l
2
所成的角为零角时，
l
1
和
l
2
平行或
重合；
异面直线之间距离：设直线
a
与直线< br>b
是异面直线，当点
M,N
分别在
a,b
上，且直线
MN
既垂直于直线
a
，
又垂直于直线
b
时，我们把直线< br>MN
叫做异面直线
a,b
的公垂线，垂足
M,N
之间的距离叫 做异面直线
a
和
b
的距离；
3. 空间直线与平面的位置关系 < br>?
直线在平面内
?
空间直线与平面的位置关系
?
?
相 交

?
直线在平面外
?
平行
?
?
如果直线
l
与平面
?
只有一个公共点
A
，那么称直线
l与平面
?
相交于点
A
，或称
A
是直线
l
与平面
?
的交点，
记作
l
?
?A
；如果直线l
与平面
?
没有公共点，那么称直线
l
与平面
?
平行，记作
l
?
??
或
l
∥
?
；

直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行；
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

直线就和交线平行；
一般地，如果一条直线
l
与 平面
?
上的任何直线都垂直，那么直线
l
与平面
?
垂直，记 作
l?
?
，直线
l
叫做平面
?
的垂线，
l
与
?
的交点叫做垂足；

直线与平面垂直的判定定理 如果直线
l
与平面
?
上的两条相交直线都垂直，那么直线
l
与平面< br>?
垂直；
推论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
直线与平面垂直的性质定理 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；
推论 如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；

点到平面的 距离：设
M
是平面
?
外一点，过点
M
作平面
?的垂线，垂足为
N
，我们把点
M
到垂足
N
之间的
距离叫做点
M
和平面
?
的距离；
直线到平面的距离：设直线l
平行于平面
?
，在直线
l
上任取一点
M
，我 们把点
M
到平面
?
的距离叫做直线
l

和平面
?
的距离；
当直线
l
与平面
?
相 交且不垂直时，叫做直线
l
与平面
?
斜交，直线
l
叫做平面
?
的斜线；
设直线
l
与平面
?
斜交于点
M
，过
l
上任意点
A
，作平面
?
的垂线，垂足为< br>O
，我们把点
O
叫做点
A
在平面
?

上的射影，直线
OM
叫做直线
l
在平面
?
上的射影，并规 定直线
l
与其在平面
?
上的射影
OM
所成的锐角叫做直线< br>l

与平面
?
所成的角；

当直线
l与平面
?
垂直时，它们所成的角为90°；当直线
l
与平面
?< br>平行或直线
l
在平面
?
上时，它们所成的
角为0°；
最小角定理 直线和平面所成的角是这条直线和平面内任一直线所成的角中最小的角；
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线也和这条斜线垂直；
三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也和这条斜线的射影垂直；
4. 空间平面与平面的位置关系
?
相交

空间平面与平面的位置关系
?
平行
?
对于空间不同的两个平面
?
,
?
，如果它们 有公共点，即
??
??
，那么称平面
?
与平面
?
相 交；如果两个平
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

面
?
,?
没有公共点，那么称平面
?
与平面
?
平行，记作
?< br>∥
?
；

平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
推论 垂直于同一条直线的两个平面平行；
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么得到的两条交线互相平行；
推论 若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面；
平面到平面的距离：设平面
?
平行于平面
?
，在平面
?
上任取一点
M
，我们把点
M
到平面
?
的距离叫做
平面
?
和平面
?
的距离；
设两个平面
?
,
?
相交于直线
AB
，
AB
将
?
,
?
分别分割成两个半平面，由
?
,
?
的半平面及其交线
A B
所组成
的空间图形叫做二面角，记作
?
?AB?
?
；交 线
AB
叫做二面角的棱，两个半平面
?
,
?
叫做二面角的面 ；

在二面角的棱
AB
上任取一点
O
，过
O分别在平面
?
和
?
上作棱
AB
的垂线
OM和
ON
，射线
OM
和
ON

所成的角叫做二面 角
?
?AB?
?
的平面角；若射线
OM
和
ON所成的角为90°，则两个平面垂直，记作
?
?
?
；
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；
5. 空间角与距离的计算
（1）异面直线所成角
异面直线所成角的范围
(0?,90?]
；求异面直线所成的角，主要有两种方法：
① 平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法；
② 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交；
（2）直线与平面所成角 < br>直线与平面所成角的范围
[0?,90?]
；求直线与平面所成的角，主要有以下方法：
① 定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角；
② 垂线法，过直线上某一点作平面的垂线；
③ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（3）二面角的平面角
二面角的平面角的范围
[0?,180?]
,求二面角的平面角，主要有以下方法：
① 定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线；
② 垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线；
③ 垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角；
④ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；
⑤ 射影法，面积射影定理
cos
?
?
S
?
；
S

（4）距离的计算
直线到平面的距离，平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离；
求点到平面的距离，主要有两种方法：
① 垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度；
② 等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离；











成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第十五章 简单几何体

1. 多面体
在数学中，我们把由平面多边形 （或三角形）围成的封闭体叫做多面体；构成多面体的各平面多边形（或三角形）
叫做多面体的面；其相 邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的交点叫做多面体的顶点；
（1）棱柱 如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做
棱柱；棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面；棱柱的侧面都是平行四边形 ；不在底面
上的棱叫做棱柱的侧棱；两个底面间的距离叫做棱柱的高；

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；
侧棱与 底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形，直棱柱的高与侧棱的长相等；底面是矩形的直棱柱
叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；

侧棱不垂直于底面侧棱垂直于底面底面是正多边形
棱柱???????斜棱柱??????直棱柱??? ???正棱柱
；
底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形
四棱柱??????? 平行六面体??????直平行六面体?????长方体

底面是正方形棱长都相等
??????正四棱柱?????正方体
；
（2）棱锥
如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这 个多面体叫做棱锥；棱锥的
多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧面都是三角 形；不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；
侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高；

如果 棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥；正棱锥的各条
侧棱长相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等；
2. 旋转体
平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的 几何体叫做旋转体，该定直线
叫做旋转体的轴；
（1）圆柱
如图，将矩形
ABCD
绕其一边
AB
所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做
圆柱；
AB
所在直线叫做圆柱的轴；线段
AD
和
BC
旋转而成的圆 面叫做圆柱的底面；
线段
CD
旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
CD
叫做圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个
底面间的距离（即
AB
的长度）叫做圆柱的高；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

根据圆柱的形成过程易知：
① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；② 圆柱有两个相互平行的底面；
（2）圆锥
类似地，将直角三角形
ABC
（及其内部）绕其一条直角边AB
所在直线旋转
一周，所形成的几何体叫做圆锥；
AB
所在直线叫做 圆锥的轴；点
A
叫做圆锥的顶点；
直角边
BC
旋转而成的圆面叫做圆 锥的底面；斜边
AC
旋转而成的曲面叫做圆锥的
侧面；斜边
AC
叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高；

根据圆锥的形成过程易知：
① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；② 每条母线与轴的夹角都相等；
（3）球 < br>如图，将圆心为
O
的半圆绕其直径
AB
所在直线旋转一周，所形成的几 何体叫做球，
记作球
O
；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点
O< br>到球面上任意点的距离都相等；
把点
O
称为球心，把原半圆的半径和直径分别称 为球的半径和球的直径；
球面上联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上两点之间的距离；在联结球面上
两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；
任意平面与球面的交线都是圆；
我们规定，当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆；
3. 面积与体积公式

直柱体的表面积：
S
全
?S
侧
?2S
底
?ch?2S
底
（
h,c
分别为直柱体的高和底面周长）
圆柱的表面积：
S
全
?S
侧?2S
底
?2
?
rh?2
?
r
（
h, r
分别为圆柱的高和底面半径）
2

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

1
ch
?
?S
底
（< br>h
?
,c
分别为斜高和底面周长）
2
圆锥的表面积：
S
全
?S
侧
?S
底
?
?
rh
?
?
?
r
2
（
h
?
,r
分别为母线 长和底面半径）
正锥体的表面积：
S
全
?S
侧
?S
底
?
球的表面积公式：
S?4
?
r
（
r
是球的半径）
祖暅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等 高处的截面面积都对应相等，
则两空间图形的体积必然相等；
棱柱的体积：
V
棱柱
?S
底
?h
（
h
为棱柱的高）
圆柱的体积 ：
V
圆柱
?S
底
?h?
?
r
2
h
（
h,r
分别为圆柱的高和底面半径）
等底等高的三棱锥的体积相等；棱锥 的体积：
V
棱锥
?
圆锥的体积：
V
圆锥
?
2
1
?S
底
?h
（
h
为棱锥的高）
3< br>11
?S
底
?h?
?
r
2
h
（h,r
分别为圆锥的高和底面半径）
33
4
3
球的体积公式：
V
球
?
?
r
（
r
是球的半径）
3
4. 直观图与斜二测画图法
规定按如图所示的位置和夹角作三条轴分别表示前后 方向、左右方向以及铅垂方向的轴，依次把它们叫做
x
轴、
y
轴和
z
轴，规定在
y
轴和
z
轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等， 而在
x
轴方向上，线段的长度是其表示
的真实长度的二分之一，根据这样的规定，从而 画出空间图形的直观图；
用这种方法画的空间图形直观图叫做斜二轴测图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法；
“斜二测”画图法有以下重要性质：
① 平行直线的直观图仍是平行直线；
② 线段及其线段上定比分点的直观
图保持原比例不变；
③ 直观图与原图的面积比为
2

4
5. 特殊几何体之间的联系

成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

6. 投影与画图
在平面上画空间图形的基本方法是应用投影的原理：当光线照射在空间图形上时，会在它后 面的平面上留下阴影，
这阴影叫做原空间图形在平面上的投影；投影形成了空间图形的平面图；

在应用投影画平面图的过程中，下列因素会对平面图产生影响：
（1）投影线的结 构特征；投影线有两种结构，互相平行的或共点的；如果投影线是互相平行的，那么该投影称为
平行投影；如果投影线是共点的，那么该投影称为中心投影，公共点称为投影中心；
（2）投 影线的方向特征；在平行投影的情况下，我们用
?
表示投影线与投影平面所成的角，
?
的改变会影响投影
的形状或大小；当
?
?90?
时，该投影称为正投影，其他都称为斜投影；
（3）空间图形的位置特征；
常用的投影画图方法：
（1）多面投影法；把三个投 影面平展在一个平面上，就得到空间图形的一种平面图，这种方法被称为多面投影法；

< br>（2）轴测法；设计合适的投影角度，将现实空间的直角坐标系连同各轴上的单位长平行投影到平面上，使 之成为
投影平面上的一组“坐标系”，根据该“坐标系”各轴的方向、单位和投影的性质，将空间图形 在空间直角坐标系
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

中的位置对应地画到平面上，得到一幅相应的平面图，这种方法称为轴测法；

（3 ）标高投影法；用一组高度不一的水平平面截空间几何体，将所得的截线投影到一个平面上，并分别标注各截线< br>的高度，这样的方法被称为标高投影法；











把投影平面设计成三个互相垂直的平 面，将空间图形分别向三个投影面作正投影，再把三个投影图按规则展示
在同一个平面上，这个图被称为空间图形的三视图；
将空间直角坐标系的
xOy平面、
xOz
平面和
yOz
平面作为投影平面，其中
xOy平面接受由上向下方向的正
投影，所得到的投影被称为图形的俯视图；
yOz
平 面接受由左向右方向的正投影，所得到的投影被称为图形的
左视图；
xOz
平面接受由前向后方向的正投影，所得到的投影被称为图形的主视图；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

将三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，我们把整个构图叫 做这个
长方体的三视图；
7. 空间向量
空间向量的模、零向量、相等向量、负向 量、单位向量、向量夹角等概念，空间向量的和、差、数乘、数量积
等运算的定义及其运算律都与同一平面上的向量的相应概念、运算及其运算律具有相同的意义；
如图所示，取有公共原点
O
的三条两两互相垂直，且有相同单位长度的数轴
Ox、
Oy
、
Oz
，这样就构成了
一个空间直角坐标系，记作O?xyz
；由
x
轴和
y
轴所确定的平面叫做
xOy< br>平面，类似地，还有
xOz
平面和
yOz

平面，它们统称为坐标平面；三个坐标平面将整个空间分割成八个部分，被称为空间的八个卦限；

（1）空间向量相关概念
设
P
是空间任意一点，经过点
P
作三个平面分别垂直于
x
轴、
y
轴和
z
轴，它们 与各坐标轴的交点依次为
A,B

和
C
；我们把垂足
A,B
和
C
分别叫作点
P
在
x
轴、
y
轴 和
z
轴上的射影，如果点
A,B,C
在
x
轴、
y< br>轴、
z
轴上的
坐标分别为
x,y,z
，那么点
P确定了一个有序实数组
(x,y,z)
，我们把有序实数组
(x,y,z)
叫做点
P
的坐标，记作
P(x,y,z)
；
P
在
xOy
平面、
xOz
平面和
yOz
平面上的射影分别为
Q, R,S
；
以坐标原点
O
为起点，作向量
OA?a
，把OA
叫做位置向量；对于空间向量
a
，如果把它的起点置于坐标原点，
并 用基本单位向量
i,j,k
表示它，那么
i,j,k
的系数
x,y, z
恰为向量
a
的终点
A
的坐标，我们把有序实数组
(x,y ,z)

叫做向量
a
的坐标，记作
a?
(x,y,z)
；
若点
P
和点
Q
的坐标分别为
(x
1
,y
1
,z
1
)
和
(x
2
,y
2
,z< br>2
)
，则
PQ?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
，
| PQ|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2，即空间两点
P,Q
间的距离公式；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

若
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
a?
?
(x
1
,y
1
,z
1
)?(
?
x
1
,
?
y
1< br>,
?
z
1
)
；
a?b?(x
1
, y
1
,z
1
)?(x
2
,y
2
,z
2
)?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2,z
1
?z
2
)
；
两个非零向量
a
与
b
平行的充要条件是存在非零实数
?
，使
a?
?
b
；
若
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2?z
1
z
2
，
|a|?
对于非零向量
a
、
b
，若它们的夹角为
?
，则
cos
?
?
x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
；
2
1
2
1
a?b
?
|a||b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z< br>2
x?y?z
2
1
x?y?z
2
2
2
2
2
2
；
两个非零向量
a
和
b
垂直的 充要条件是
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
；
（2）空间向量的应用 对于空间任意一条直线
l
，把与直线
l
平行的非零向量
d
叫做直线
l
的一个方向向量；对于非零空间向量
n
，如果
它所在的 直线与平面
?
垂直，那么向量
n
叫做平面
?
的一个法向量；
基础命题1 两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行；
基础命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量；
基础命题3 两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行；
2
根据空 间两条直线所成角的定义，可知
cos
?
?|cos
?
|
；
设直线
l
与平面
?
所成的角为
?
，
??(0,
设空间直线
a
与
b
所成的角为
?
，< br>?
?[0,
?
它们的方向向量分别为
d
1
和
d
2
，
d
1
和
d
2
的夹角为
?< br>，
?
?[0,
?
]
，
]
，
?
2
]
，
d
是直线
l
的一个方向向量，
n
是平面
?
的一个法向量，
d
与
n

的夹角为
?
，根据直线与平面所成角的定义，可知
sin
?
?|cos
?< br>|
；
设二面角的大小为
?
，
?
?[0,
?
]
，二面角的两个半平面的法向量分别为
n
1
和
n
2
，
n
1
和
n
2
的夹角为
?
，根 据
二面角的定义，可知
?
?
?
或
?
?
?
?
?
；已知平面
?
上一点
A
与平面
?外一点
M
，
n
是平面
?
的一个法向量，
设点
M
到平面
?
的距离为
d
，则
d?















成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

|n?AM|
；
|n|

1. 计数原理
乘法原理


第十六章 排列组合与二项式定理

如果完成一件事需要
n
个步骤，第一步有
m
1
种不同的方法，第二步有
m
2
种不同的方法，……，
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

第
n
步有
m
n< br>种不同的方法，那么完成这件事共有：
N?m
1
?m
2
?…
m
n
种不同的方法；
加法原理 如果完成一件事有
n类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，在第2类办法中有
m2
种不同的
方法，……，在第
n
类办法中有
m
n种不同的方法，那么完成这件事共有：
N?m
1
?m
2
?
…
?m
n
种不同的方法；
2. 排列组合

（1）排列
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
(m?n)
个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
元素的一个排列；
从
n
个不同元素中取出
m
(m?n)< br>个元素的所有排列的个数叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数 ，
用符号
P
n
表示；
m
排列数公式
Pn
?n(n?1)(n?2)…(n?m?1)
，这里
m?n
；
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个元素
n
的一个全排列； 这时排列数公式中
m?n
，即
P
n
?n?(n?1)?(n?2)? …?3?2?1?n!
，正整数1到
n
的连乘积叫做
n
的
m
阶乘；排列数公式用阶乘表示为
P
n
?


（2）组合
m
n!
，当
m?n
时，规定
0!?1
；
(n?m)!
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
(m?n)
个元素组成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合；
所有组合的个数叫做组合数，用符号
C
n
表示；
m
P
n< br>m
n(n?1)(n?2)…(n?m?1)n!
组合数公式
C?
m
?
，其中
m?n
；
?
P
m
m!m!(n?m)!
m
n
mn?m0
组合数性质1
C
n
?C
n
；特殊地，
C
n
?1
；
mm?1m
组合数性质2
C
n
?C
n
?C
n?1
；
（3）排列组合问题的常用方法
① 对称法：对称思想；
② 特殊优先法：特殊位置优先考虑，特殊元素优先考虑；
③ 先选后排法：先进行组合，再进行排列；
④ 捆绑法：相邻问题捆绑法；
⑤ 插空法：不相邻问题插空法；
⑥ 隔板法：相同元素分组问题；
⑦ 逆向法：至多至少问题，正难则反，等价转化，又称间接法；
⑧ 枚举法：数量不大时可以逐一枚举各种情况；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

3. 二项式定理
n0n01n?11rn?rrn0n
*
一般地，对于
n?N
，有
(a?b)?C
n
ab?Cn
ab?…?C
n
ab?…?C
n
ab
，这个公式所表 示的定理
叫做二项式定理，右边的多项式叫做
(a?b)
的二项展开式，它一共有n?1
项，其中各项的系数
C
n
叫做二项式系数，
式中的
C
n
a
rn?r
rn?rr
ab
；
b
r
叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第
r?1
，用
T
r? 1
表示，即
T
r?1
?C
n
n
r
mn?m
n
二项式系数性质1
(a?b)
的二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等，即
C
n
?C
n
；
二项式系数性质2
(a?b)
的二项展开式中，所有二项式系数的和等于
2
n
， 012rnn
即：
C
n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?…?C
n
?2
；
n
注意二项式系数与系数之间的区别：
赋值法在二项式定理中的应用：一般令字母等 于
0
可得常数项，令字母等于
1
可得所有系数之和，令字母等于
?1
可分离出奇数项系数之和与偶数项系数之和.







第十七章 概率与统计

1. 概率论初步
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支；我们把一次试验可能出现的结果叫做基本事件；
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

（1）古典概型
具有如下两个特点的概率模型叫做古典概型：① 一次试验所有的基本事件只有有限个；② 每个基本事件出现的
可能性相等；
对于在一定条件 下可能出现也可能不出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象；在概率论中，掷骰子、转硬
币……都叫 做试验，试验的结果叫做随机事件，简称事件；
在古典概型中，事件
A
出现的概率定 义为
P(A)?
事件A所包含的基本事件数
；
试验中所有的基本事件数试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作
?
，不可能出现的事件叫做不可能事件，记作< br>?
；对于必然事件
?
、
不可能事件
?
和随机事件，下 面4个事实值得我们注意：
① 不可能事件的概率为零，即
P(?)?0
；② 必然事件的概率为1，即
P(?)?1
；
③ 对任意随机事件
E
，有
0?P(E)?1
；
④ 若
??{
?
1
,
?
2
,…,
?
n
}
，则
P(
?
1
)?P(
?
2
)?…?P(
?
n
)?1
；设
E
和
F
是两个随机事件，我们把 满足下列
条件的
E
和
F
叫做对立事件：①
EF??
；②
EF??
；
在任何一次试验中，事件
A< br>要么出现，要么不出现；如果把事件
A
不出现记作事件
A
，那么事件< br>A
与事件
A

互为对立事件，易知
P(A)?P(A)?1
；


（2）频率
对于随机事件
E
，如果在
n
次试验中出现了< br>m
次（
0?m?n
），那么
m
称为事件
E
出 现的频数，
m
称为事件
E
n
出现的频率，频率也叫做经验概率； < br>实践证明：事件出现的频率常在该事件的概率（固定常数）附近摆动，这种规律性叫做频率稳定性或随机现 象的
统计规律性；
频率稳定性的含义：① 在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；② 当试验次数无限增大时，事件出现
的频率与概率相差较大的可能性趋近于0；
2. 基本统计方法
（1）统计参数
在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体；
如果总体有
N
个个体，它们的值分别为
x
1
,x
2
,…,x< br>N
，那么
?
?
1
(x
1
?x
2?…?x
N
)
，叫做总体均值；把总体中的
N
各个个体
x
1
,x
2
,…,x
N
，依由小到大的顺序排列，当
N
为奇数时，位于该数列正中位置的数叫做总体的中位数，记作
m
，当
N< br>为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体的中位数；
222
各个个体 与总体平均数
?
的差的平方分别是
(x
1
?
?
), (x
2
?
?
),…,(x
N
?
?
)
，我们把它们的平均数叫做总体方差，
记作
?
，即
?
?
1
[(x
1
?
?
)
2
?(x
2
?< br>?
)
2
?…?(x
N
?
?
)
2]
；总体方差反映了各个个体偏离平均数
?
的程度，
N
?2
越大，总体中各个个体之间的差别越大；
?
2
越小，总体中各个个体之 间的差别越小；
?
叫做总体标准差；
2
2
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

?
2
也可用下面公式计算：
?
2
?
（2）抽样 < br>1
22
(x
1
?x
2
2
?…?x
N
)?
?
2
；
N
从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫 做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，
抽取样本的过程叫做抽样；
科学的抽样方法必须使样本具有代表性，样本的代表性指选取的样本能客观地反映总体的情况，没有人为的主观< br>偏向；常用的抽样方法有如下几种：
① 随机抽样：如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，那么这种抽样叫做
随机抽样；所得的样本称为随机子样；在样本容量不大时，随机抽样可以用抽签方法；在样本容量较大时，可以 使用
随机数表法；
② 系统抽样：把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本 的方法，叫做系统抽样；如果总体中
个体的总数为
N
，样本的容量为
n
，那么间隔
k?N?n
；
③ 分层抽样：把总体分成若干个部分，然后在每个部分按相应比例进行随机抽样的方法，叫做分层抽样；
（3）统计估计
统计估计是利用样本数据获取总体信息的重要手段；统计估计可分成两类：一 类是用样本中某事件出现的频率
估计该事件出现的概率，简称概率估计（可能性估计）；另一类是用样 本的算术平均数和样本标准差估计总体均值
和总体标准差，简称参数估计；
如果样本为x
1
,x
2
,…,x
n
，样本容量为
n
；那么可以用样本的平均值：
x?
的点估计值；用样本的标准差：
s?
1< br>(x
1
?x
2
?…?x
n
)
作为总体均值
n
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?…?(x
n
?x)
2
]
作为总体标准差 的点估计值；
n?1
通过科学的抽样方法获取样本数据，通过数据处理获得总体的某种估计， 是统计的基本方法之一；利用抽样调查，
我们还可以对总体的离散程度作出估计；设样本为
x< br>1
,x
2
,…,x
n
，样本的平均数为
x
，
那么可用
s?
2
1
[(x
1
?x)
2?(x
2
?x)
2
?…?(x
n
?x)
2]
作为总体方差的估计值；
n?1
s?
1
[(x
1< br>?x)
2
?(x
2
?x)
2
?…?(x
n< br>?x)
2
]
作为总体标准差的估计值；
n?1
如果要了解总体的分布情况，那么可以通过样本的频率直方图来分析；
3. 随机事件的类型
设
A,B
为两个随机事件，把“事件
A
与事件B
至少有一个出现”叫做事件
A
与事件
B
的和，记作
A
把“事件
A
与事件
B
同时出现”叫做事件
A
与事件
B
的积，记作
A
概率加法公式
P(A
B
；
B
；
B)?P(A)?P(B)?P(AB)

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件
A、B、C
，其中任何 两个都是互斥事件，则说事件
A、B、C
彼此互斥.
当
A、B
是互 斥事件时，那么事件
A?B
发生（即
A、B
中有一个发生）的概率，等于事件
A、B
分别发生的
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

概率的和，即
P(A?B)?P(A)?P(B)
. < br>⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件
A
的对立事件通常记着
A
.对立事件的概率和等于1.
P(A)?1?P(A)
.
特别提醒：< br>“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，
而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，
也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
⑶相互独立事件：事件
A（或
B
）是否发生对事件
B
（或
A
）发生的概率没有影 响，（即其中一个事件是否发生对
另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.
当
A、B< br>是相互独立事件时，那么事件
A?B
发生（即
A、B
同时发生）的概率 ，等于事件
A、B
分别发生的概率
的积.即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
若A、B两事件相互独立，则A与
B
、
A
与B、
A
与
B
也都是相互独立的.









第十八章 参数方程
1.
参数方程相关概念
?
x?f(t)
一般地，在平面 直角坐标系中，如果曲线
C
上任意一点的坐标
x,y
都是某个变量
t
的函数
?
,(t?D)
，
y?g(t)
?
并且对 于
t
的每一个允许值，由方程组所确定的点
P(x,y)
都在曲线
C
上，那么方程组就叫做曲线
C
的参数方程，
变量
t
叫做参变量或参变数，简称参数；
参数方程化为普通方程的基本方法 是“消去参数”，在消去参数时，要注意变量
x,y
的取值范围，使化成的普通
方程与 参数方程等价；
2.直线的参数方程
?
x?x
0
?ut
,(t?R)
； 若直线
l经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，
l
的一个方向向量为
d?(u,v)
，则直线
l
的参数方程为?
y?y?vt
0
?
?
x?x
0
?tcos< br>?
,(t?R)
； 若
l
的倾斜角为
?
，那么
l
的一个方向向量为
(cos
?
,sin
?
)
， 此时参数方程可写成
?
?
y?y
0
?tsin
?
3 .圆锥曲线的参数方程
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页

x
2
y
2
① 椭圆的参数方程：若椭圆的标准方程为
2?
2
?1
(a?b?0)
，则椭圆的参数方程
ab
?
x?acos
?
为
?
,(0?
?
?2
?< br>)
；
y?bsin
?
?
x
2
y
2
② 双曲线的 参数方程：若双曲线的标准方程为
2
?
2
?1
(a?0,b?0)< br>，则双曲线的参数方程
ab
?
x?asec
?
?
3
?
为
?
,(0?
?
?2
?
,
?< br>?,
?
?)
；
22
?
y?btan
?
?
x?2pt
2
③ 抛物线的参数方程：若抛物线的标准方程为
y?2px

(p?0)
，则抛物线的参数方程为
?
,(t?R)
；
?
y?2pt
参数
t
的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜 率的倒数.
2
成功不必自我，功力必不唐捐！
第 1 页 共 1 页