高中数学椭圆二级结论大全-高中数学常用二级结论

2020年10月6日发(作者：尹校)

椭圆二级结论大全

PF
1
x
2
y
2
1.
PF
?e?1

1
?PF
2
?2a
2.标准方程
2
?
2
?1
3.
ab
d
1
4．点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外 角.
5．PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线P T上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内
切.
8．设A< br>1
、A
2
为椭圆的左、右顶点，则△PF
1
F
2在边PF
2
（或PF
1
）上的旁切圆，必与A
1
A2
所在的直线切于
A
2
（或A
1
）.
x2
y
2
9．椭圆
2
?
2
?1
（a＞b ＞0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a ,0)
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1
、
P
2
时
ab
x
2
y
2
A
1
P
1
与A2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x
0
xy
0
y
x
2
y< br>2
?
2
?1
.
??1
10．若
P
在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
(x,y)P
0000
a
2
b< br>a
2
b
2
x
2
y
2
11．若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则切点弦P
1
P
2
的直线
ab
xxyy
方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
b
2
12．AB是椭圆
2
?< br>2
?1
的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则
k
OM
? k
AB
??
2
.
aba
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y2
?
2
?
2
?
2
. 13．若
P0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
2
abab
abx
2
y
2
x
2
y
2
x
0xy
0
y
?
2
. 14．若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1< br>内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
aba
2
b
ab
x
2
y
2
1111
15．若PQ 是椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则
2
?
2
?
2
?
2
(r
1
?|OP |,r
2
?|OQ|)
.
ab
r
1
r
2
ab
x
2
y
2
16．若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为
Ax?By?1(AB?0 )
,则(1)
ab
11
2a
4
A
2
?b
4
B
2
22
??A?B
;(2)
L?
22
.
a
2
b
2
aA?b
2
B
2
a
2
?b
2
2
ab)
17 ．给定椭圆
C
1
：
bx?ay?ab
（a＞b＞0）,
C
2
：
bx?ay?(
2
,则(i)对
C
1
上任意给
2
a?b
a
2
?b
2
a
2
?b
2
x,?
22
y
0
)
. 定的点
P (x
0
,y
0
)
,它的任一直角弦必须经过
C
2< br>上一定点M
(
22
0
a?ba?b
'''
(ii)对
C
2
上任一点
P
'
(x
0
'
,y
0
'
)
在
C
1
上存在唯一的点
M
,使得
M
的任一直角弦都经过
P
点.
222222
222 2
x
2
y
2
18．设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆（或圆）C:
2
?
2
?1
(a＞0,. b＞0)上一点，P
1
P
2
为曲线C的动弦,且弦PP
1
, PP
2
ab
1?mb
2
?
2
. 斜率存在，记为k
1
, k
2
, 则直线P
1
P
2
通过定点
M(mx
0
,?my
0
)
(m?1)< br>的充要条件是
k
1
?k
2
??
1?ma

第 1 页 共 31 页

x
2
y
2
19 ．过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A( x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，< br>ab
b
2
x
0
则直线BC有定向且
k
BC< br>?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
20．椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆
ab
?< br>a
22
b
2
?
2
2
?
的焦点三角形 的面积为
S
?F
1
PF
2
?btan
，
P (?c?btan,?tan)
.
2
c2c2
x
2
y< br>2
21．若P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上异 于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
a?c
??
?tantan
.
?PF
2F
1
?
?
，则
a?c22
x
2
y2
22．椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式 ：
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
| ?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
，
ab
M(x
0
,y
0
)
).
x
2
y
2
23．若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
， 左准线为L，则当
ab
2?1?e?1
时，可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y< br>2
24．P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一 点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a ?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF
2
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线时，等号成立.
x2
y
2
(a
2
?b
2
)
2
2
25．椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上存在两点关于直线
l
：
y?k(x?x
0
)
对称的充要条件是
x0
?
2
.
aba?b
2
k
2
26． 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂 直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P是椭圆
?
?
x?acos
?
1
2
（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是
e?
.
2
1?sin
?
?
y?bsin
?
x
2
y
2
x
2
y
2
29．设A,B为椭圆
2
?
2< br>?k(k?0,k?1)
上两点，其直线AB与椭圆
2
?
2
? 1
相交于
P,Q
,则
ab
ab
AP?BQ
. x
2
y
2
30．在椭圆
2
?
2
?1< br>中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为
ab
?
x
2
y
2
?
2
bx
2
m?
?
1?(
2
?
2
)
?
?
acos
2
?
?b
2
sin
2
?
?
,其中
tan
?
??
,当
y?0
时,
?
?90
.
ab
?
ay
?
x
2
y
2
31．设S为椭圆
2< br>?
2
?1
（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记 |AB|=
l
，
M(x
0
,y
0
)
ab< br>c
a
2
l
222
e?
?
是AB中点，则当< br>l??S
时，有
(x
0
)
ma
?
,);当< br>l??S
时，有
(c?a?b
x
a
c2e
a
(x
0
)
max
?4b
2
?l
2
,
(x
0
)
min
?0
.
2b

第 2 页 共 31 页

x
2
y
2
22222
3 2．椭圆
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
有 公共点的充要条件是
Aa?Bb?C
.
ab
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax33．椭圆
?B?y0?C
有公共点的充要条件是
a
2
b
2
A
2
a
2
?B
2
b
2
?(A x
0
?By
0
?C)
2
.
x
2
y
2
34．设椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两 个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1
F
2
ab
sin
?
c
中，记
?F< br>1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F2
?
?
,
?F
，则有
??e
.
FP ?
?
12
sin
?
?sin
?
a
35．经 过椭圆
b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2
b
2
（a＞b＞0）的长轴的两端点A
1
和A
2
的切线，与椭圆上任一点的切线相
2
交于P
1
和P
2
，则
|PA
11
|?|P
2
A
2
|?b
.
x
2
y
2
36．已知椭圆
2
?
2?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
OP?OQ
.（ 1）
ab
4a
2
b
2
a
2
b
2< br>1111
22
??
2
?
2
;（2）|OP|+|OQ |的最小值为
22
;（3）
S
?OPQ
的最小值是
22.
22
a?ba?b
|OP||OQ|ab
37．MN是经过椭圆b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2
b
2
（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN
的 弦，则
|AB|
2
?2a|MN|
.
38．MN是经过椭圆
b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2< br>b
2
（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦
OP?MN
，
则
2111
???
.
a|MN||OP|
2
a
2
b
2
x
2
y
2
39．设椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中 心，顶点外的任一点，过M引一条
ab
a
2
直线与椭圆相交于P、Q两点，则 直线A
1
P、A
2
Q(A
1 ,
A
2
为对 称轴上的两顶点)的交点N在直线
l
：
x?
(或
m
b
2
y?
)上.
m
40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相
应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，
A
2< br>P和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2< br>42．设椭圆方程
2
?
2
?1
,则斜率为k(k≠0)的平行 弦的中点必在直线
l
：
y?kx
的共轭直线
y?k
'
x
上,而
ab
b
2
'
且
kk??
2.
a
x
2
y
2
43．设A、B、C、D为椭圆
2
?
2
?1
上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为
?
,
?
，直线AB与CD
ab
PA?PB
b
2
co s
2
?
?a
2
sin
2
?
相交于P,且P 不在椭圆上,则.
?
PC?PDb
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?
x
2
y
2
44 ．已知椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）,点P为其上一点F
1
, F
2
为椭圆的焦点，
?F
1
PF
2
的外（内）角平分线
ab
为
l
，作F
1
、F
2< br>分别垂直
l
于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是

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222
?
ay?bx
?
x?c
?
?
222
??
).
22
x?y ?a
(
cy?
2
a
2
y
2
?b
2
?
x?c
?
45．设△ABC内接于椭圆
?
，且AB为?
的直径，
l
为AB的共轭直径所在的直线，
l
分别交直线AC 、BC
于E和F，又D为
l
上一点，则CD与椭圆
?
相切的充要条件 是D为EF的中点.
x
2
y
2
46．过椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平 分线交
ab
|PF|e
x轴于P，则
?
.
|MN|2x
2
y
2
b
2
x
1
47．设A（x< br>1
,y
1
）是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为
?
2
的直线L，又设d
ab
ay
1
2
是原点到直线 L的距离,
r
1
,r
2
分别是A到椭圆两焦点的距离，则
r
1
r
2
d?ab.
x
2
y
2
x
2
y
2
48 ．已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）和
2
?< br>2
?
?
（
0?
?
?1
），一直线顺次与它们相交于A、B、C、
abab
D四点，则│AB│=|CD│.
x
2
y
2
49．已知椭圆
2
?
2
?1< br>（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
aba
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
.
P(x
0
,0)
, 则
?
aa< br>x
2
y
2
50．设P点是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其 焦点记
?F
1
PF
2
?
?
，则
ab
?
2b
2
2
(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?btan
.
2
1?cos
?
51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP
2
a?m
a
?
n?m
??
和AQ分别交相应于过H点的直线MN：
x?n
于M，N两点,则
?M BN?90?
.
a?mb
2
(n?a)
2
2
x< br>2
y
2
52．L是经过椭圆
2
?
2
?1（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是
ab
离心 率,点
P?L
，若
?EPF?
?
，则
?
是锐角且< br>sin
?
?e
或
?
?arcsine
（当且仅当|PH|?b
时取等号）.
x
2
y
2
?EPF??
，53．L是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的准 线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点
P?L
，e是离心率，
ab
ab
H是L与X轴的交点c是半焦距，则
?
是锐角且
sin
?
?e
或
?
?arcsine
（当且仅当
|PH|?
时取等号）. c
x
2
y
2
?EPF?
?
,54．L是椭圆< br>2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x 轴的交点，点
P?L
，
ab
b
22
22
a?c时取等离心率为e，半焦距为c，则
?
为锐角且
sin
?
?e< br>或
?
?arcsine
（当且仅当
|PH|?
c
号） .
x
2
y
2
55．已知椭圆
2
?
2?1
（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F
2
,且与椭圆相交于A、B两点， 将A、B与
ab
(2a
2
?b
2
)
2
2< br>椭圆左焦点F
1
连结起来，则
b?|F
1
A|?|F
1
B|?
（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当
2
a
且仅当 A、F
1
、B三点共线时左边不等式取等号）.

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x
2
y
2
56．设A、B是椭圆
2?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|cos
?
|
.(2)
? PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则 有(1)
|PA|?
22
a?ccos
2
?
2a
2
b
2
2
cot
?
.
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
b?a
x
2
y
2
57．设 A、B是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（ 异于原点）、外部的两点，且
x
A
、
x
B
ab
的横 坐标
x
A
?x
B
?a
2
，（1）若过A点引直线与 这椭圆相交于P、Q两点，则
?PBA??QBA
；（2）若过B
引直线与这椭圆相交 于P、Q两点，则
?PAB??QAB?180
.
x
2
y
2
58．设A、B是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）长轴 上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过
ab
A点引直线与这椭圆相交于P、 Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且
?PBA??QBA
，则点A、B的横坐标
x
A
、
x
B
满足
x
A
?x
B
?a
2
；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两 点，且
?PAB??QAB?180
,则点A、B的横坐标满足
x
A
?x
B
?a
2
.
x
2
y
2
'< br>''
59．设
A,A
是椭圆
2
?
2
?1的长轴的两个端点，
QQ
'
是与
AA
垂直的弦，则直线
AQ
与
AQ
的交点P
ab
x
2
y
2
的轨迹是双曲线
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
60．过椭圆
2
?
2
?1
（ a＞ b＞0）的左焦点
F
作互相垂直的两条弦AB、CD则
ab
8ab
2
2(a
2
?b
2
)
?|AB|?|CD|?
. < br>22
a?ba
a?c
x
2
y
2
61．到椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距） 的动点M的轨迹是姊妹
b
ab
圆
(x?a)
2
?y
2
?b
2
.
'
a?c
x
2
y
2
62．到椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点的 距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹
b
ab
a
2
b
22
是姊妹圆
(x?)?y?()
.
ee
a?c
x
2
y
2
63．到椭圆
2
?
2
?1
（ a ＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨
b
ab
a< br>2
b
22
迹是姊妹圆
(x?
2
)?y?(
2
)
（e为离心率）.
ee
x
2
y
2
'< br>64．已知P是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上一个动点 ，
A,A
是它长轴的两个端点,且
ab
x
2
b
2< br>y
2
''
AQ?AP
,
AQ?AP
，则Q点的轨迹方 程是
2
?
4
?1
.
aa
65．椭圆的一条直径( 过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
x
2y
2
b
2
x
1
'
66．设椭圆
2?
2
?1
（ a＞b＞0）长轴的端点为
A,A
,
P( x
1
,y
1
)
是椭圆上的点过P作斜率为
?
2的直
ab
ay
1

第 5 页 共 31 页

''
线
l
，过
A,A
'
分别作垂直于长轴的直线交
l
于
M,M
'
,则（1）
|AM||AM|?b
2
.（2）四边形
MAAM
面积
的最小值是
2ab
.
''
x
2
y
2
67．已知椭圆
2
?
2< br>?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆 右焦点
F
的直线与椭圆相交
ab
于A、B两点,点
C
在右准 线
l
上，且
BCx
轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
(x?a)
2
y
2
?
2
?1
（ a＞0, b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线68．OA、OB是椭圆
a
2b
2ab
2
,0)
.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交 点Q的轨迹方程是AB必经过一个定点
(
22
a?b
ab
2
22
ab
2
2
(x?
22
)?y?(
22
)
(x?0)
.
a?ba?b
(x?a)
2
y
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（ 1）直线69．
P(m,n)
是椭圆
2
ab
2ab
2
?m(a
2
?b
2
)n(b
2
?a
2
)
,
2
)
.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨AB必经 过一个定点
(
222
a?ba?b
迹方程是
ab
2
?a
2
m
2
b
2
n
2
a
2[b
4
?n
2
(a
2
?b
2
)](
x?m
且
y?n
).
(x?
22
)?(y ?
22
)?
222
a?ba?b(a?b)
70．如果一个椭圆短半 轴长为b，焦点F
1
、F
2
到直线
L
的距离分别为d
1
、d
2
，那么（1）
d
1
d
2
?b< br>2
，且F
1
、
F
2
在
L
同侧< br>?
直线L和椭圆相切（.2）且F
1
、F
2
在L同侧
?
直线
L
和椭圆相离，（3）
d
1
d
2
?b
2
，
d
1
d
2
?b
2
，或F
1
、F
2
在L异侧
?
直线L和椭圆相交.
x
2
y
2
71．AB是椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的长轴，
N
是椭圆上的动点，过
N
的切线与过A、B 的切线交于
C
、
ab
x
2
4y
2
D
两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是
2
?
2
?1(y?0 )
.
ab
x
2
y
2
x
2
y2
72．设点
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆
2
?
2
?1
过定点
P(x
0
,y
0
)abab
a
2
b
2
?(a
2
y
02
?b
2
x
0
2
)
的任一弦，当弦AB平行（ 或重合）于椭圆长轴所在直线时
(|PA|?|PB|)
max
?
.当弦b
2
a
2
b
2
?(a
2
y
0
2
?b
2
x
0
2
)
AB垂直于长轴所在直 线时,
(|PA|?|PB|)
min
?
.
a
2
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.
76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三
角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中 ,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成
比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连 线必与另一焦半径所

第 6 页 共 31 页

在直线平行. < br>83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半 轴的
长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足 同侧焦半径为直径的圆和椭
圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中, 过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
bb
x
2
y
2
89. 已知椭圆
2
?2
?1(a?0,b?0)
(包括圆在内)上有一点
P
,过点
P
分别作直线
y?x
及
y??x
的
aa
ab
平行线，与
x
轴于
M,N
，与
y
轴交于
R,Q.,
O
为原点，则：（1）
|OM|
2
?|ON|
2< br>?2a
2
；（2）
|OQ|
2
?|OR|
2
?2b
2
.
bb
90. 过平面上的
P
点作直线
l
1
:y?x
及
l
2
:y??x
的平行线，分别交
x
轴于
M,N
，交
y
轴于
R,Q
（.1）
aa
x
2
y
2
222222
若
|OM|? |ON|?2a
，则
P
的轨迹方程是
2
?
2
?1( a?0,b?0)
.(2)若
|OQ|?|OR|?2b
，则
P
ab
x
2
y
2
的轨迹方程是
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
.
ab
x
2
y
2
91. 点
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
(包括 圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过
P
引
x
轴、
y
轴的
ab
b
平行线，交
y
轴、
x
轴于
M,N< br>，交直线
y??x
于
Q,R
，记
?OMQ
与
?ONR
的面积为
S
1
,S
2
，则：
a
ab
S
1
?S
2
?
.
2
b
92. 点
P
为第一象限内一点，过
P
引x
轴、
y
轴的平行线，交
y
轴、
x
轴于
M,N
，交直线
y??x
于
Q,R
，
a
abx
2
y
2
记
?OMQ
与
?ONR
的 面积为
S
1
,S
2
，已知
S
1
?S
2
?
，则
P
的轨迹方程是
2
?
2
?1( a?0,b?0)
.
2
ab

第 7 页 共 31 页

椭圆性质92条证明
1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。
4. 如图，设< br>P(x
0
,y
0
)
，切线PT（即
l
）的斜 率为k，
PF
1
所在直线
l
1
斜率为
k
1
，
PF
2
所在直线
l
2
斜率为
k
2
。
4图 5图

由两直线夹角公式
tan?
?
k
1
?k
2
得：
1?k
1k
2
b
2
x
0
y
0
?
22< br>b
2
?
a
2
?cx
0
?
a
2
y
0
x
0
?cb
2
x
0
?a< br>2
y
0
?b
2
x
0
ca
2
b
2
?b
2
cx
0
k?k
1
b
2
tan
?
???
2
?
2
??
2
b
2
x
0
y
0
1?kk
1
ax
0< br>y
0
?a
2
cy
0
?b
2
x
0
y
0
cx
0
y
0
?a
2
cy
0
cy
0
?
a?cx
0
?
cy
0
1?
2
?
ay
0
x
0
?c
b
2
x
0
y
0
?
22
b
2< br>?
a
2
?cx
0
?
a
2
y
0
x
0
?cb
2
x
0
?a
2
y< br>0
?b
2
x
0
ca
2
b
2
?b
2
cx
0
k?k
2
b
2
tan
?
???
2
?
2
??
2
222
2
bxy
1?kk
2
ax
0
y
0
?acy
0
?bx
0
y
0
cx
0
y
0
?a cy
0
cy
0
?
a?cx
0
?
cy
0
1?
2
0
?
0
ay
0
x
0< br>?c

?
?
?
?
,
?
?
?
0,
?
?
?
?
?
同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。
2
??
5.如图，延长F
1
P至A，使PA=PF
2
，则
?PAF
2
是等腰三角形 ，AF
2
中点即为射影H
2
。则
OH
2
?
同理可得
OH
1
?a
，所以射影H
1
，H
2
的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。
6.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为
d
1
,d
2
，以PQ中点到准线的距离为
d
，以PQ为直 径的圆
的半径为r，则
d?
F
1
A
?a
，
2
d
1
?d
2
PF?FQr
???r
，故以PQ为 直径的圆与对应准线相离。
22ee

第 8 页 共 31 页

7图 8图
PF
1
2a?P F
2
PF
2
??a??a?r
，故两圆内切。 7.如图，两圆圆心 距为
d?OM?
222
8.如图，由切线长定理：
FS?FT?PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
?2a?2c
，< br>FS?FT?a?c

1111
而
FT?a?c?F
1
A
2
，
T
与
A
2
重合，故旁切圆与x轴切于右顶 点，同理可证P在其他位置情况。
1
9.
x
0
2
y
0
2
易知A
1
?
?a,0
?
A
2
?
a,0
?
,设P?1
1
?
x
0
,y< br>0
?
,P
2
?
x
0
,?y
0
?
,则
2
?
ab
2
A
1
P
1< br>:y?
y
0
y
0
x?a,AP:y?
??
2 2
?
x?a
?

a?x
0
a?x
0
?
a
2
ay
0
?
x
P
2
yP
2
a
2
a
2
y
0
2
a2
b
2
?a
2
y
0
2
a
2< br>x
2
y
2
则x
P
??P
?
,?1? P点的轨迹方程为
2
?
2
?1
?
?
2
?< br>2
?
2
?
22
?
22
x
0
xxabxbxbxab
0
?
000
?
0

10.
22
x
0
y
0
x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1
上
?
2
?
2
?1
，对
2
?
2
?1
求导得：P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
ababab
2x2yy
'
b
2
x
0
'
?
2
?0
?y??
2

2
ab
ay
0
22
x
0
xy
0
yx
0
y
0
b
2
x
0
?
切线方程为
y?y
0
??
2
?
x?x
0
?
即
2
?
2< br>?
2
?
2
?1

abab
ay
0< br>x
0
x
1
y
0
y
1
x
0< br>x
2
y
0
y
2
??1,?
2
?1< br>，因为点
P
12
上，且
1
,P
2
在直线PP
222
abab
xxyyx
0
xy
0
y< br>P:?
2
?1
同时满足方程
0
2
?
02
?1
，所以
P
12
2
abab
11.设P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
，由10得：
2222< br>x
1
2
y
1
2
x
2
y
2< br>x
1
2
?x
2
y
1
2
?y
2
??0
12.
设A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,M
?
x
0
,y
0
?
则有
2
?
2?1,
2
?
2
?1
作差得：
22
ababab
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
??
y
1
?y
2
??
y
1
? y
2
??
???0
a
2
b
2

第 9 页 共 31 页

?k
AB
b
2
?
x
1
?x
2
?
b
2
x
0
y
1
?y
2
b
2
b
2
???
2
??
2
??
2
?k
AB
?k
OM
??
2

x
1
?x
2
a
?
y
1
?y
2
?
ay
0
ak
OM
a
b
2
x
0
22
13.由12可得：
y?y
0
??2
?
x?x
0
?
?a
2
y
0
y?a
2
y
0
?b
2
x
0
x?b
2
x
0
?0

ay
0
22
x
0< br>xy
0
yx
0
y
0
?bx
0
x?a y
0
y?bx?ay
?
2
?
2
?
2
?
2

abab
2222
0
22
0
y? y
0
yb
2
14. .由12可得：
???
2
?a
2
y
2
?a
2
y
0
y?b
2x
2
?b
2
x
0
x?0

x?x0
xa
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?bx?ay?bx
0
x?ay
0
y
?
2
?
2
?
2
?
2

abab
22 2222
15.设
P
?
acost,bsint
?
,Qac ost,bsint
，则
k
OP
?k
OQ
''
??
bsintbsint
'
a
2
'
????1
?ta nt?tant??
2

acostacost
'
b
a2
?
cos
2
t?cos
2
t
'
?< br>?b
2
?
sin
2
t?sin
2
t
'
?
11
r
1
2
?r
2
2
?2
?
22
?
2
2
r
1
r
2< br>r
1
r
2
?
acos
2
t?b
2< br>sin
2
t
??
a
2
cos
2
t< br>'
?b
2
sin
2
t
'
?
1
?
2
?
tan
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16.将直线AB 代入椭圆方程中得：
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注意到m≠1，解（1）（3）得
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，代入（2）式，成立。

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< p>
验证k不存在的情况，也得到此结论。故
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?tan
?
tan
?

??
22
coscos
22
2
sin
?
sin
?
第 13 页 共 31 页

??
a
2
?< br>a
2
?
?a?ex,MF?e?x
22.由第二定义得：
MF
1
?e
?
x
0
?
??
020
?< br>?a?ex
0

c
???
c
?
23.
PF
1
PF
2
1?e
??e?PF
2
?e?PF
1
?a?ex
0
?e
?
a?ex
0
??x
0
?
2
a

dPF
1
e?e1?e
?1?e
2
?2e?1?0?e?2?1或e??1?2
2
e?e
e?
?
0,1
?
?e?
?
?
2? 1,1

x
0
?
?
0,a
?
?
?
24.
在?APF
2
中,有PF
2
?AF
2
?PA?PF
2
?AF
2

?PF
1
?PA?P F
1
?PF
2
?AF
2
?2a?AF
2
, PF
1
?PA?PF
1
?PF
2
?AF
2
?2a?AF
2
都当且仅当A、P、F
2
三点共线时取等号。
''< br>25.设椭圆上的点
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
关于
l:y?k x?m
对称，
Mx
0
,y
0
。

??< br>由12得：
k
AB
2'
b
2
x
0
'
a
2
y
0
'
a
?
kx
0
?m
?
1a
2
m
'
b
2
m
'??
2'
???k?
2'
??x
0
??
2,y
0
??
2

ay
0
kbx
0b
2
x
0
'
ckc
又
222
m
2
?
a
2
m
2
b
2
m
2
?
a?bk
2
M
在椭圆内，
?
42
??1?m?
?
442
ckcck
4
c
4
k
2
若
m??kx
0
，则
?a
2
b
2
k
2
2
x
0
?
c
?

a
2
?b
2
k
2
a
2
?b
2
k
2< br>?
a
2
?b
2
?
2
26.由5即可得证。
?
a
2
b
?
acos
?
?
?cos
?
sin
?
x?y?1
，A
?
,
27.设P
?
acos
?
,bsin
?
?
，则切 线
l:
?
1?
?
?

csin
?
c
ab
??
??
27图 30图

?
b
2
b
?
acos
?
?
?
ab
2
cos
?
ab
2
cos
?
22
?FP?FA?
?
acos
?
?c,bsin?
?
?
?
,?b?b??0?FP?FA
?
1?
?
?
?
csin
?
ccc
??
??
< br>28.
设P
?
acos
?
,bsin
?
?< br>,由射影定理有:bsin
22
?
?
?
c?acos
?
??
c?acos
?
?
?c
2
?a
2< br>cos
2
?


第 14 页 共 31 页

?c
2
?a
2
cos
2
?
?
?
a
2
?c
2
?
sin
2
?
?e< br>2
?cos
2
?
?
?
1?e
2
?< br>sin
2
?
1
?
?
1?sin
?
?
e?sin
?
?cos
?
?1?e?
1?sin
2
?
22222

x
2
y
2
x
2< br>y
2
29.设
C
1
:
2
?
2
?1,C
2
:
2
?
2
?k
?
k?1?
,AB
?
l
?
:Ax?By?C?0
。联立
C
1
,l
得：
abab
2Aa
2
C
?< br>Aa?Bb
?
x?2AaCx?aC?abB?0
，由韦达定理：
x< br>A
?x
B
??
A
2
a
2
?B
2
b
2

22222222222
同理
2Aa
2
C
x
P
?x
Q
??
2
Aa?Bb
2
。
2
则
2
A
2
A
2
A
2
AP
?
BQ=
1?
2
x
A
?x
P
?1?
2
x
B
?x
Q
?1?
2
x
A
?x
P
?x
B
?x
Q

BB B
??
而
x
A
?x
P
,x
B
?x
Q
的符号一定相反，故
x
A
?x
P
?x
B
?x
Q
=
x
A
?x
B
?x
P?x
Q
=0。所以AP=BQ
30.设
A
?
acos
?
,bsin
?
?
,B
?
acos
?,bsin
?
?
，
M
?
x
0
,y0
?
为AB中点。
则
??
AB?a
2
?cos
?
?cos
?
?
?b
2
?
si n
?
?sin
?
?
?4a
2
sin
2
2
22
?
?
?
2
sin
2
?
?
?
2
?4b
2
cos
2
?
?
?
2
sin
2
?
?
?
2
?4m< br>2
?a
2
sin
2
而
x
0
?
?
?
?
2
sin
2
?
?
?
2< br>?b
2
cos
2
?
?
?
2
sin< br>2
?
?
?
2
?m
2

acos?
?acos
??
?
??
?
?
bsin
?
?bsin
??
?
??
?
?
?acoscos ,y
0
??bsincos

222222
?
?
?
2
?
?
?
22
,B?sin
2
设
A?sin
，则
x
0
?a
2
?
1?A
??
1?B
?
,y
0
?b
2
?
1?A
?
B,m
2
?a
2
AB?b
2
A
?
1?B
?

22
22
?
a
2
y
0
b
2
x
0
2222
2
?
?
x< br>0
?
x
0
??
?
?
b
2
y
0
y
0
2
2
a
?
2
解得
A?1?
?
2
?
2
?
,B?
2
，代入m得 ：
m?
?
1?
?
2
?
2
?
??
2222
xyxyxy
abab
?
000000
?? ??
??
?
??
2
?
2
ab
?
a
2
b
2
a
2
b
2
2
y
0
b
2
?
?
?

?
?
?
： 令
tan
?
??
bx
0
ay
0
得
2
?
?
x
0
y
0
?
?
?
a
2
b
2
?tan
2
?
2
?
?< br>?
x
0
y
0
?
?
2222
m??
1?
?
2
?
2
?
?
?
?< br>?
?
?
1?
?
2
?
2
?
?
?
acos
?
?bsin
?
?

22b
?
?
?
tan
?
?1tan
?
?1
?
?
?
ab
?
??
?
a
2
2
?
x
2
y
2
?
2222
所以定长为2 m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为
m?
?
1?(
2
?
2
)
?
?
acos
?
?bsin
?
?
。
ab
??
2

第 15 页 共 31 页

其中
tan
?
??
bx
,当
y?0
时,
?
?90
。
ay
31. 设
A
?
aco s
?
,bsin
?
?
,B
?
acos
?< br>,bsin
?
?
，
M
?
x
0
,y< br>0
?
为AB中点。则：
x
0
?
x
0
acos
?
?acos
??
?
??
?
??
?
?

?acoscos?cos?
?
?
?
22 22
acos
2
?
?
?
2
?
?
? ?
?
?
2
?
?
?
2
22
AB?a
2
?
cos
?
?cos
?
?
?b
2
?
sin
?
?sin
?
?
?4a
2sin
2
sin?4b
2
cos
2
sin
22 22

?
22
?
?
?
22
?
?< br>?
?
2
?
?
?
??
222
?
?
?
asin?bcos?41?cosa?ccos
?????
2
?
22
?
2
??
2
?
l
2
?< br>222
?
?
?
22
?
?
?
?
22
?
?
?
2
?
?
?
?a?
?
acos?ccoscos?
?
?ccos
22
?
224< br>?
?4sin
2
?
2
?
x
0
??
?
22
?ex
0
?
?
?c
2
cos
2
?
?
?
2
?
cos
2
?2
222
?
?
?
??
2
?
?l
?

?
?
2
l
2
2
?
?a??a
4
?
?
l
2
l
2
222
二次函数 y=ex-mx+a与
y?
在
?
0,a
?
内的交点即为x< br>0
的值。由图易知y=ex-mx+a与
y?
的左交点
44
为 x
0
的值。当m增大时，x
0
减小。要使x
0
最大，则要使 m最小。
2
x
0
cos
2
?
?
?
2
?c
2
cos
2
?
?
?
2
? 2cx
0
，此时等号成立时
cos
2
?
?
?
2
?
x
0max
?1?x
0max
?c

c
31图 35图

当此
2
式
2
成
m
?
2
立时
y?
l2
e
4
?
0
2x
l
2
m
a< br>4
?
2
e
x
x
?

2
l
a
2e
0

第 16 页 共 31 页 < /p>

当
x
0max
ala
2
l2b
22
2
?????c
时：
l?4
?
ce?a
?< br>?l?2
?
a?ce
?
?=?
?
通径
?
e2ec2ea
当
x
0max
2b
2
2b< br>2
a
2
l
?
。
=?
?
当
l??=
时
x
0max
?c
，
x
0max
?
?c
时：
l?
c2e
aa
2
当
x
0max
?c
时，当
cos
?
?
?
2
? 1
，即AB垂直于x轴时x
0
最大。
ex
22
0max< br>?x
2
0max
l
2
2
?a?c??x
0m ax
4
22
l
2
b?
2
aa
22224
?

?4b?l?x?4b?l
??
0max
22< br>1?e4b2b
2
考虑到对称性
x
0min
?0
对任 意情况均成立。
?x
0min
?0
，
x
0max
?
a
2
l
?
x
0
?
2b
2
2
?
?
?
?x?c,l??=,AB过焦点，cos?
?
?
0max
?
c2ea2c
???

?
?
2
?
2b
?
a
4b
2
?l
2
?
x
2
?
?
?
?c,l??=，AB?x轴，cos?1?
0max
?
?
2ba2
??
?
?
b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2
b
2
?
?
A
2
a
2
?B
2b
2
?
x
2
?2a
2
ACx?a
2< br>?
C
2
?B
2
b
2
?
?0
32.
?
?
Ax?By?C?0
??4a
4
A
2< br>C
2
?4a
2
?
C
2
?B
2
b
2
??
A
2
a
2
?B
2
b< br>2
?
?0?A
2
a
2
?B
2
b2
?C
2

22
2222
?
?
b?
x?x
0
?
?a
?
y?y
0
??ab
33.
?

?
?
Ax?By?C?0
22
?
?
A
2
a
2
?B
2
b2
?
x
2
?2
?
a
2
AC?B
2
b
2
x
0
?a
2
ABy
0
?
x?
?
a
2
C
2
?a
2
B
2
y
0
?B
2
b
2
x
0
?a< br>2
B
2
b
2
?2a
2
BCy
0?
?0

22
??0?A
2
a
2
?B
2
b
2
?A
2
x
0
?B
2
y
0
?C
2
?2ABx
0
y
0
?2AC x
0
?2BCy
0
?
?
Ax
0
?By0
?C
?

2
当
x
0
?y
0
?0
时，即为32：
Aa?Bb?C

34.由正弦定理得
22222
F
1
F
2
PF
2
PF
1
F
1
F
2
sin
?
2cc
??
，所以< br>????e
。
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
?sin
?
PF
1
?PF
22aa
cos
?
sin
?
x?y?1
，
ab
35. 设
P
?
acos
?
,bsin
?
?
，则P点处的切线为
b
2
?
1?cos
2< br>?
?
bb
2
?b
由此可得：
y
P
1
?

?
1?cos
?
?
,y
P
2
?
?
1?cos
?
?
?P
1
A
1
?P
2
A
2
?
2
sin
?
sin
?
sin
?
36.（1）同15.
11
（2）由15,3 6（3）：
?
|OP|
2
|OQ|

2
|O|P|
2
?OQ||
2
O|P|
??
2
|OP||OQ< br>2
|4S
2
OQ|?a
2
b
?
2
? QPO
ab
2
22
2
?

第 17 页 共 31 页

?|OP|
2
（
a
?
?|OQ|?2
22
?b
2
?
4S
?OPQ
a
2< br>b
2
）
4
?
a
2
?b
2
?
?
a
2
b
2
?
4a
2
b
2
??
?
2
?
2

2
?
2
a
2
b
2
a?ba?b
??
2
3设
P< br>?
c
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ao
??
?
sb
?
,
，
?
Qs
a
2
OP?OQ?acos
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cos< br>?
?bsin
?
sin
?
?0?tan
?
t an
???
2

b
22
2S
?OPQ
?O P?OQ?
2
4S
?OPQ
acos
?
acos
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bsin
?
?ab
?
sin
?
cos
?< br>?sin
?
cos
?
?

bsin
?
?
a
2
b
2
?sin
2
?
cos
2
?
+sin
2
?
cos
2
?
?2si n
?
cos
?
sin
?
cos
?

a
4
4
a
2
2
b
tan
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?? 2
22
tan
2
?
?tan
2
?
?2ta n
?
tan
?
tan
?
b

=?
4
a
?
tan
2
?
?1
??
tan
2
?
?1
?
a
4
2
b
4
?1? tan
?
?
b
4
tan
2
?
a
4
a
2
2
22
2
?2
2
?1
224 22422
a?b
4
??
??
aba?2ab?baba
2
b
2
2
bb
?
2
??1??1??S
?O PQ
?
?
2
?S
?OPQ
?
2
4
22222
?
a
4S
?OPQ
4ab4aba?b
?
a?b
2
?
4
a
2
2
b
tan
?
??2
22
tan
?
b
a
2
b
2
?S
min
?
2
a?b
2

p
?
x?tcos
?
37.设
?MFx?
?
,AB:
?
，椭圆
?
?
1?ecos
?
?
y?tsin?
?
b
2
?
?
p?
?

a
??
37图 38图
pp2p2ab
2
2ab
2
????
则
M N?

1?ecos
?
1?ecos
?
1?e
2< br>cos
2
?
a
2
?c
2
cos
2< br>?
a
2
sin
2
?
?b
2
cos< br>2
?

第 18 页 共 31 页

a
2< br>b
2
将AB的方程代入椭圆的标准方程中得：
t?
2
，由参数 t的几何意义可知：
asin
2
?
?b
2
cos
2
?
2
4a
2
b
2
AB?4t?
22?2aMN

22
asin
?
?bcos
?
2
2
38.作半弦OQ⊥OP，由37得：
OQ?
2
a
111 211
MN
，由15：
?????
2

2222
2
|OP||OQ||OP|aMNab
，
2
39.设
l:x?ty? m,P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
2
将
2
l
的方程代入 椭圆得：
?
a
2
?bt
?
y
222
?2b mty?b
?
m?a
?
?0

2

b2
?
m
2
?a
2
?
y
1
2b
2
mt
由韦达定理得：
y
1
?y
2
??< br>2
，直线AP的方程为
y?
,yy?
?
x?a
?，直线
1
12
22222
x
1
?a
a?bta ?bt
A
2
Q的方程为
y?
y
2
?
x?a
?
，联立
x
2
?a
A
1
P和A
2
Q得交点N的横坐标
x?
2ty
1
y
2
?
?
a?m
?
y
2
?
?
m?a
?
y
1
a
，代入化简：
?
a?m
?
y
2?
?
a?m
?
y
1
2b
2
tm
2
?2b
2
ta
2
?2b
2
m
2
t?a
?
a
2
?b
2
t
2
?
?
y
2
?y
1
?
?2ab
2
mt?m
?
a
2
?b
2
t
2
?
?
y2
?y
1
?
a
2
a?a?

2222
m
?
m
?
?
?
a?bt
?
?y
2
?y
1
?
?2abt
?
2222
a
?
a?bty?y?2abt
?
??
??
21
? ?
x?
a
2
所以交点一定在直线
x?
上。同理可证M在y轴 上的情况。
m
引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对 AC的张角为α，对CB的张角为
β。
则：
sin
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
??

PCPBPA

第 19 页 共 31 页

40图
图
40.如图，A为左顶点时，设
?PFH?
?
,?MFH??
，则
?AFP?
?
?
?
,?PFM?
??
?

a
2
b
2
b
2
FH?
pp
?
b
2
?
c
?c?
c
?ae
?
e
,FM?
ecos
?
?
p?
?
。 对F-APM由张角定理
?
a
?
sin
?
?
?
?
?
FP
?
sin
?
?
??
?
FM
?
sin
?
?
?
?
?
FA

?sin
?
?esin
?
cos
?
?esin
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
?esin
?
?
?
?
?
?s in
?
?sin
?
?
?
?
?

0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即FM平分
?PFH
，同理FN平分
?QFH
。
??MFN?90< br>即MF⊥NF
当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。
41.如图，设
?PFA
2
?
?
,?MFA
2
?< br>?
，则
?A
1
FP?
?
?
?
,?P FM?
?
?
??
?A
2
FQ?
?
?
?

对F-QA
2
M和F-A
1
PM由张角定理
sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
sin< br>?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
sin
?
FP
?
FM
?
FA
,??

1
FA
2
FMFQ
两式相减 并化简得：
sin
?
FP
?
sin
?
FQ
?
sin
?
?
?
?
?
FA
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
?sin
?
?
?
?
?

1
FA
2
0?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
即F M平分
?PFA
2
，同理FN平分
?QFA
2
。
? ?MFN?90
即MF⊥NF
42.由12即可证得。
43.设
P
?
x
?x
0
?tcos
?
0
,y
0?
，AB：
?
?
x
，CD
?
x?x
0
?tcos
?
?
y?y
0
?tsin
?
：
?
?
y?y
0
?tsin
?
，将AB的方程代入椭 圆得：
?
b
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?
?
t
2
?2
?
b
2
x
222
0
cos
?
?ay
0
sin?
?
t?
?
b
2
x
0
?a
2
y
0
?a
2
b
2
?
?0

2
由参数t的几何意义可知：
PA?PB?t
b
2
x
22
0
?a
2
y
0
?ab
2
1
t2
?
b
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?
，同

第 20 页 共 31 页
41：
：
理

PC?PD?
22
b
2
x
0
?a
2
y
0
?a
2
b
2b
2
cos
2
?
?a
2
sin
2?

b
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?

??
PC?PDb
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?
44.

对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证
l
为内角平分线的情况。
PA?PB

设P
?
acos
?
,bsin
?
?
，则
l
0
:
2
cos
?
s in
?
x?y?1?bcos
?
?asin
?
?ab?0< br>
ab
则
l:asin
?
x?bcos
?
y ?csin
?
cos
?
?0
，
l
1
:bc os
?
x?asin
?
y?bccos
?
?0
< br>l
2
:bcos
?
x?asin
?
y?bccos< br>?
?0
。分别联立
l
、
l
1
和
l< br>、
l
2
得：
?
ccos
?
?
ac sin
2
?
?b
2
cos
?
?
bcsin
?
cos
?
??
ccos
?
?
acsin
2
?
?b
2
cos
?
?
bcsin
?
cos
?
?
?
，
H
2
??

H
1
?
,?,
22222222
???
asin< br>?
?bcos
?
a?ccos
?
asin
?
?bcos
?
a?ccos
?
?
????
b
?x?c
?
b
?
x?c
?
acsin
2
?
acsin
2
?
则
x
H
1
?c?
，
x
H
2
?c??
对
H
1
点：
??tan
?
?tan
?
??
a?ccos
?a?ccos
?
ayay
?sin
?
??
b
?
x?c
?
ay?b
?
x?c
?
222
2< br>,cos
?
?
ay
ay?b
?
x?c
?222
2
，代回
x
H
1
?c
式得：
b
2
?
x?c
?
2
2
a
2
y2
?b
2
?
x?c
?
b
2
c
?
x?c
?
x?ccy

??1??
222
22
acy
222
ac
ay?b
?
x?c
?ay?b
?
x?c
?
a?
2
a
2
y< br>2
?b
2
?
x?c
?
cy
ay?b
?
x?c
?
222
2
??

?
bc
?
x?c
?
?ay?b
?
x?c
?
22222
a
2
y
2
?b
2
?
x?c
?
2
222
?
ay?bx
?
x?c
?
?< br>ay?bx
?
x?c
?
??
22
??
22< br>?cy?
22
ay?b
2
?
x?c
?
a2
y
2
?b
2
?
x?c
?
2222

第 21 页 共 31 页

222222
???
ay?bxx?cay?bx
?
x?c
?
?
??
? ???

2222
同理对
H
2
点得
cy?
。故
H
1
点、
H
2
点的轨迹方程为
cy?
22
a
2
y
2
?b
2
?
x?c
?
a
2
y
2
?b
2
?
x?c
?22
45.由伸缩变换
y?
'
a
y
将椭圆（左图）变为 圆（右图），椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证
b
命题变为证CD与圆O相切的 充要条件是D为EF中点。

充分性：若D为EF中点 ∵C在圆上，AB⊥OE ∴FC⊥CE，OF⊥OB ∴CD=DE=DF
∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD ∴CD与圆相切。
必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF= ∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC
∵∠ECF=90°
∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D为EF中点。
46.设
?MFx?
?
，由椭圆极坐标方程：
M N?
pp2p
??

22
1?ecos
?
1?ec os
?
1?ecos
?
pp
?
HFPF
epcos
?
1?ecos
?
1?ecos
?
epe
，
HF??
PF????
22
21?e
2
cos
2< br>?
cos
?
1?ecos
?
MN2
47.由10可知
l
为切线
l:bx
1
x?ay
1
y?ab?0
?d?
2222
a
2
b
2
b
4< br>x
1
2
?a
4
y
1
2
222
由22:
rr
12
?a?ex
1

?rra?ex?
12
d?
48.同29。
222
1a
2
b
2
bx?ay
42
1
42
1< br>?
a
2
b
2
a
2
?e
2
x
1
2
bx?ab
?
a?x
42
1
2222
1
?
?
a
2
ba
2
?e
2
x
1
2
a?cx
422
1
?ab

4 9.
设AB中点为M
?
x
0
,y
0
?
,则 k
AB
b
2
x
0
a
2
y
0
a
2
y
0
??
2
?k
MP
?
2
?MP:y?y
0
?
2
?
x?x
0
?
ay
0
bx
0
bx
0
a
2
?b
2
令y?0,得x
P
?x
0
a
2
50 .同20。
?
a
2
?b
2
a
2
?b2
?
x
0
?
?
?a,a
?
?x
P
?
?
?,
?

aa
??
222222 22
51.设
l:x?ty?m,P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
，代入椭 圆方程得：
a?bty?2bmty?bm?a?0

????

第 22 页 共 31 页

b
2
?
m
2
?a
2
?
2b
2
mt
由韦达定理得：
y
1?y
2
??
2

,y
1
y
2
?
a?b
2
t
2
a
2
?b
2
t< br>2
由A、P、M三点共线得
y
M
?
?
n?a
?
y
1
，同理
y?
?
n?a
?
y
2

n?a
y
1
?
N
x
1
?at y
1
?m?aty
2
?m?a
2
2
n?a
?
y
1
y
2
?

?BM?BN?
?
n?m
?
?y
M
y
N
?
?
n?m
?
?
2
2
ty
1
y
2
?t
?< br>m?a
??
y
1
?y
2
?
?
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?
2
?
?
n?m
?
?
2
b
2
?
m
2
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2
?
?
n?a
?
b
2
?
m?a
??
n?a
?
2
2
2
b
2
t
2
?
m
2
? a
2
?
?2b
2
mt
2
?
m?a
?
?
?
m?a
?
?
a
2
?b
2< br>t
2
?
22
2
b
2
?
m?a
??
n?a
?
a?m
a
?
n?m
?
22
?
?
n?m
?
?
22
?
?
n?m
?
??0??
22
22222
a
?
m?a
?
a?mb(n?a)
2
bt
?
m?a
?
?2bm t?
?
m?a
?
?
a?bt
?

52,5 3,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A
?
?k,0
?
，B
?
k,0
?
，点P
?
m,y
?
在
直线x=m上（m>k），则当
y
2
?
?
m?k
??
m?k
?
?m
2
?k
2
时，∠APB最大， 其正弦值为
k
。
m
ab
a
2
52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b时取等号。 53. k=a,m= ∴sinα≤e,当且仅当PH=时取等号。
c
c
b
22
a
2
a?c
时取等号。 54. k=c,m= ∴sinα≤e
2
,当且仅当PH=
c
c
55.设∠AF
2
x=
?
，
F
1
A?F
1
B?
?
2a?
?
?
p
?
p?4a
?
pp
???
2

2a??4a?
???
1?ec os
?
??
1?ecos
?
?
1?e
2
c os
2
?
2
?
?

F
1
A?F
1
B?

p
?
p?4a
?
?0

?cos
∴当
?
=0°时，
?
F
1
A?F
1
B
?
min
?b
2
；当
?
2
=90°时，
?
F
1
A?F
1
B
?
max
?
?< br>2a
2
?b
a
2
2
2
?
∴
b?F
1
A?F
1
B?
2
?
2a< br>2
?b
2
?
a
2

56.（1）设
AP:
?
?
x?tcos
?
?a
222222
，代 入椭圆方程得：
?
bcos
?
?asin
?
?
t? 2abtcos
?
∵AP=
t
≠0
?
y?tsin?
2ab
2
cos
?
?
22
∴AP=
t?
2

2222
bcos
?
?asin
?
a?ccos
?
2ab
2
cos
?

第 23 页 共 31 页

2
y
0
b
2
2
（2）设
P
?
x
0
,y
0
?
则
t an
?
tan
?
?
2

??1?e
22< br>a?x
0
a
12a
2
b
2
sin
?
cos
?
2a
2
b
2
tan
?
?
2
（3）
S?PA?ABsin
?
?

22222
2a?ccos
?
atan
?
?b
由（2）：
na t
b
2
nat
?
?
2
2
a
2nat
2
?
?b
anat
?
?
?
?< br>?
?
?
?
2
b
c
2
nat
?
1?
2
a
na?t?oct
?
?
?
??
2
ant
2
cnat
2
?
2
?
b ?

2a
2
b
2
cot
?
2a
2
b
2
cot
?
?S???

222
cb?a
57.由58可证。
58.（1）易知PQ的斜率为0和斜 率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设
PQ:x?ty?m
，A（m，0）
代 入椭圆方程得：
?
a
2
?bt
?
y
222
?2bmty?b
?
m?
2
a
?
?0
，
2
则
22
y
1
?
2b
2
m
y
2
?
2
?,
2
a?b
2
m
2
?
a
2
t
b
?
?
y
1
y
2
?

2
t
2
?ab
2
t
2
若
?PBA??QBA
，则
k
BQ
?k
BP
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y
1
y
2
??0?y
1
?
ty
2
?m?x
B
?
?y
2
?
ty
1
?m?x
B
?
?0

x
1
?x
B
x
2
?x
B
2b
2
mt
?
m?x
B
?
?2ty
1
y
2
?
?
m?x
B
??
y
1
?y
2
?
?0???0?2b
2
t
?
m
2
?a
2
?
?2b
2< br>mt
?
m?x
B
?
?0
222222
a?b ta?bt
a
2
a
2
222
?mt?at?mt?mtx< br>B
?0?x
B
??x
A
?x
B
?m??a< br>2
mm

（2）作P关于x轴的对称点
P
，由（1）即证。
59.同9。
'
2b
2
t
?
m
2
?a
2
?
pb
2
?
?
?
60.设椭圆< br>?
?
，
?
?
?
0,
?
。
?
1?ecos
?
a?ccos
?
?
2
?
b
2
?
则
AB?CD?
a?ccos
?
b
2
b
2
b
2
??
?
3
?
??a?ccos
?
?
?
?
?
?
a?ccos?
?
?
?
a?ccos
?
?
?
2?
2
??

?
?
?
8ab
2
?
a
2
?b
2
?
b
2
b
2
b
2
b
2
?????

a?ccos
?
a?ccos
?
a?csin
?
a?csin
?
4a
2
b
2
?c
4
sin
2
2
?

第 24 页 共 31 页

2
?
a
2
? b
2
?
?
8ab
2
当
?
?
时，< br>AB?CD
有最小值
2
；当
?
?0
或时，
A B?CD
有最大值
4
2
a?b
2
a
?
2
?
a
2
?b
2
?
8ab
2
?
22
?AB?CD?
a?ba
61,62,63为同一类问题，现给出 公式：若点P到两定点A
?
?m,0
?
，B
?
m,0
?
的距离之比
PA
?k
?
k?0,k?1
?
，< br>PB
?
k
2
?1
?
2km
m,0
?
，圆的半径为
2
则P点的轨迹为一个圆，圆心坐标为
?
2
。
k?1
k?1
??
下三个题的比值
k
均为
a?cb
?
m
?
，代入上述公式得：圆心坐标为
?
,0
?< br>，圆的半径为
m
。
c
b
?
e
?
2
22
61.m=c，圆心坐标为
?
?a,0
?
，圆的半径为
b
。轨迹方程是姊妹圆
?
x?a
?
?y?b
。 < br>b
a
?
?
a
?
??
b
?
6 2.m=a，圆心坐标为
?
?,0
?
，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆
?
x?
?
?y
2
?
??
。
e
e
?
?
e
?
??
e
?
b
a
2
a
?
?
a
?
??
b
?
63. m=，圆心坐标为
?
?
2
,0
?
，圆的半径为
2< br>。轨迹方程是姊妹圆
?
x?
2
?
?y
2
?< br>?
2
?
。
e
c
e
?
?
e
?
??
e
?
64.设
22
22
P
?
acos
?
,bsin
?
?
,Q
?
x, y
?
,A
?
?a,0
?
,A
'
?
a,0
?
，由
'
AP?AQ?A
'
P?AQ?0
得
?
a
2
sin
?
?
Q
?
?aco s
?
,?
?

b
??
x
2
b2
y
2
消去参数
?
得Q点的轨迹方程：
2
?< br>4
?1

aa
''
''
65.同37。 66. （1）同35（2）由基本不等式
AM?AM?2b
，则梯形
MAAM
面积的 最小值为
1
?2a?2b?2ab
。
2
AM?BC
FM< br>AC
?
AM?BC
?
AF?BC
?
e
?1< br> 67.设AC交x轴于M，AD⊥
l
于D。由椭圆第二定义：
?
EM
CM?AD
CM?ADBF?ADe
AC
∴AC过EF的中点。
?
a
2
?b
2
?
x
2
y
2
??a,0
68.（1）由17可知当椭圆方程为
2
?
2
?1
时，AB过定点
?
2
?
。当椭圆方程变为
2
a?b
ab
??
(x?a)
2
y
2
?
2
?1< br>
2
ab

第 25 页 共 31 页

?
a
2
?b
2
?
??a?a,0
时，椭圆向右平移了
a
个单位，定点也应向右平移了
a
个单位，故此时AB过定点
?2
?
即
2
?
a?b
?
?
2ab
2
?
,0
?
2
?

2
a?b
? ?
?
ab
2
?
2
?
ab
2
?（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q点的轨迹方程是
?
x?
22?
?y?
?
22
?
?
x?0
?
。 < br>?
a?b
??
a?b
?
?
a
2
?b
2
b
2
?a
2
x
2
y
2
m?a
?
,
2
69.（1）由17可知当椭圆方程为
2
?< br>2
?1
时，AB过定点
?
22
?
a?ba?b
2
ab
?
?
n
?
。当椭圆方程变
?
22
(x?a)
2
y
2
?
2
?1
为
2
ab
时，椭圆向右平移了
a
个单位，定点也应向右平移了
a
个单位，故此时AB过定点
?
a
2
?b
2
b
2< br>?a
2
m?a
?
?a,
2
?
22
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a?ba?b
2
?
??
2ab
2
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2
?b
2
)n(b
2
?a
2
)
?
n
?
即
?
,
2
?
。
222
a? ba?b
???
x
2
y
2
（2）先证椭圆中心在原点的情况 。椭圆方程为：
2
?
2
?1
，
P
?
x0
,y
0
?
，AB的斜率为
k?tan
?
。
ab
?
a
2
?b
2
?
b
2
?a
2
?
b
2
?a
2
a
2
?b
2
?
x,
2
y
，设AB：
y?
2
y
0
?k
?
x?
2
x
，PQ：由17（1）：AB 过定点
?
22
0
2
0
?
22
0
?
a?ba?ba?ba?b
????
y?y
0
??
两者1
?
x?x
0
?

k
联立得
a
2
?
k
2
?1
?
y
0
2b
2< br>kx
0
b
2
y
0
y
Q
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2
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2
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2
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k?1
??
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??
k?1
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a?b
?
a?b
2
，
b
2
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2
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x
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2a< br>2
ky
0
a
2
x
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x
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2
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2

2
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k?1
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b
2
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2
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x
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2
x
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2
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a
2
x
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2
ky
0
2a
2
y
0
tan
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2
?
2
??则
x
Q
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2

2
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k?1
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a?b
??
k?1
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??
tan
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a?b
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?1
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a?b
?
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2
y
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cos
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bx
0
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a
2
y
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b
2
x
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22
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2222
a?ba?ba?ba? b
a
2
?
k
2
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y
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a
2
y
0
?
tan
2
?
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?
b
2
y
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2b
2
kx
0
2b2
x
0
tan
?
y
Q
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2
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2
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k
2
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a
2
?b
2
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k
2
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a
2
?b
2
??
tan
2
?
?1
??
a
2
?b
2
??
tan
2
?
?1
??
a
2
?b
2
?
222
2b
2
x
0
sin
?
cos
?
ay
0
?
sin
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?cos
?
?
b
2
x
0
a
2
y
0
???
22
sin2
??
22
cos2
?

2222
a?ba?ba?ba?b

第 26 页 共 31 页

???
b
2
x
0
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a
2
x
0
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b
2
y
0
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a
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0
b
2
x
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a
2
y
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x
Q
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y< br>Q
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22
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22
b
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x
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4
y
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2
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2
2
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b
2
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a
2
b
2
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2
y
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4
y
0
2
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a
2
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2
2
?
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a
2
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b?ya?b
??
?
0
??
?
a2
?b
2
2
?
(x?a)
2
y
2?
2
?1
时，椭圆向右平移了
a
个单位，圆心也应向右平移了< br>a
个单位，而半径不当椭圆方程变为
a
2
b
?
a2
?
m?a
?
?
ab
2
?a
2
mb
2
n
?
b
2
n
?
,
2?a,
2
变。故此时圆心的坐标为
?
即
?
，半径的平方 仍为
222
?
222
?
a?ba?b
a?ba?b
??
??
4222
a
2
?
b?ya?b
??
?
0
??
?
a
2
?b
2
2
?< br>。
∴Q点的轨迹方程为
?
x
Q
?
?
?ab?am
??
bn
?
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??
Q
?
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a
2
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2
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a
2
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2
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22
2
2
2
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a
2
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??
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0
??
?
a
2
?b
2
2
?
?
x?m且y?n
?
。
70 .设L:Ax+By+C=0,则
d
1
?
将L代入椭圆
C?AcA?B
方
22
,d
2
?
得
C?Ac
A ?B
：
22

?d
1
d
2
?
2
C
2
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2
c
2
A
2
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2
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2
b
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2
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2
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2
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2
a
2
b
2
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b
2
A
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A
2
a
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2
b
2
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2
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a
2
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2
b
2
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2
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A
2
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b
2
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2
c
2
?C
2
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2
?A
2
c
2
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A
2
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b
2
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1
d
2
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2

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直线
L
和椭圆相离，且F
1
、F
2
在L同侧。
d
1
d
2
?b
2

?
直线L和椭圆相切，且F
1
、F
2
在
L
同侧。
d
1
d
2
?b
2

?
直线L和椭圆相交，或F
1
、F
2
在L异侧。
71.由35：
y
C
?
111sin
?
sin
?< br>2
bb
??

?
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D
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y
M
y
C
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b
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bsin
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M
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x?ay
M
由
M
得
x
M
?acos
?
，消去参数
?< br>得M点的轨迹方程为：
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2
2ay
D
x
2
4 y
2
?
2
?1
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y?0
?

2< br>ab
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b
2
x
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2
y
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2
b
2
22
a
2
b
2< br>?
?
b
2
x
0
?a
2
y
0
?
72.由43：
PA?PB?
bcos
?
?asin?
2222
?
b?csin
?
222
。当
?< br>?0
即AB与椭圆长轴平行时，
?
PA?PB
?
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PA?PB
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2
b
2
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x
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2
y
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b
2
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?
?
?
2
即AB与椭圆短轴平行时，
22
a
2
b
2
?< br>?
b
2
x
0
?a
2
y
0
?
a
2

73.同7。 74.同8。 75.由8可知，
F< br>2
处的切线长
F
2
T?a?c?2c?a?c
，同理可证P在 其他位置情
况。
76. 如图，由切线长定理PS=PT，PS+PT=PF
1+PF
2
-F
1
S-F
2
T= PF
1
+PF
2
-F
1
Q-F
2
Q= 2a-2c，所以PS=PT=a-c
76图 77图

c
2
cos
?
?c
x?c
a
M
77.< br>
设P
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acos
?
,bsin
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，由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：
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，
PF
1
a?ccos
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c
2
cos
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c?
c?x
M
a
??e

PF
2
a?ccos
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7 8.
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1
MF
2
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MF
1
NF
1
MF
2
MF
1
???,同理F
2
I平分 ?MF
2
N
MF
2
NF
2
NF
2
NF
1
?
MI
MF
2
MF
1
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2
2a1
????

NINF
2
NF
1
?NF
2
2ce
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sin
?
x?y?1，由此得外点
ab
79. 设P
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acos
?
,bsi n
?
?
，则
?F
1
PF
2
外角平分线（即 切线）
l:
?
a
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N
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,0
?

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cos
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第 28 页 共 31 页

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c
2
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cos
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c
2
,0
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x?y?sin
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cos
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，同理
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（即法线）
l':
由此得内点
M
?
1
PF
2
内角平分线
a
baab
??
c
2
cos
?
a
?x
M?x
N
???c
2

acos
?
?
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c
2
cos
?
?
c
2
cos
?< br>?
a
?c
80.由79中得到的内外点坐标可得：
c
?
c?
?
?
??
，即证。
aacos
?
????
?
a
?
a
?
c
2
cos
?
?
c??c?c
81.由79中得到的内外点坐标可得：
??
??
，即证。
cos
?
?
acos
?
??
?
82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。
85. 设P
?
acos
?
,bsin
?
?
，则
?F
1
P F
2
外角平分线（即切线）
l:
cos
?
sin
?
x?y?1
，
ab
cos
?
b

tan< br>?
??
a
??
sin
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atan
?
b
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bcsin
?
csin
?
，
?
b则 由50得：
tan
?
?
?
?cot
?
??
tan
?
?
??
b
2
b
csin
?
?
2
?
b
2
b
2
c
2
sin
2
?
?1?c
2
sin
2
?
22< br>2222
cos
?
tan
2
?
?1
tan< br>?
?1
atan
?
b
2
e
2
cos
2
?
?c
2
sin
2
?

ata n
?
?????
1
b
2
cos
2
?
tan
2
?
?1b
2
?c
2
sin
2< br>?
b
2
?c
2
sin
2
?
?1tan
2
?
?1
c
2
sin
2
?1
b
2
e
2
?b
2
e
2
si n
2
?
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2
e
2
sin
2
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2
e
2
?c
2
e
2
sin
2
?
cos
?
2
???e??e

222222
b?csin
?
b?csin
?
cos
?
86.由 4即证。 87.同4。
88.由71：
y
C
?
bb
?
1?cos
?
?
,y
D
?
?
1?cos< br>?
?
，
F
1
?
?c,0
?
,F2
?
c,0
?

sin
?
sin
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2
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2
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sin
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b
2
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2
?
?
sin
2
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2
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?F
1
D?
?
a ?c
??
a?c
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??0
同理：
?CF
2
?F
2
D?
?
a?c
??
a?c
?
?? 0

?CF
1
?F
1
D,CF
2
?F2
D
，即两焦点在以两交点为直径的圆上。
89. 设P
?
a cos
?
,bsin
?
?
，则
l
1
:y? bsin
?
?
同理
bb
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x?acos
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sin
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?cos
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2
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?

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第 29 页 共 31 页

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2
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∴
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??
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b
??
a
??
同理
2
2
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2
ON?a
2
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cos
?
?si n
?
?
?a
2
?
1?sin2
?
?
?OM?ON?a
2
?
1?sin2
?
?
?a
2
?
1?sin2
?
?
?2a
2

222< br>同理
OQ?OR?b
?
1?sin2
?
?
?b
?
1?sin2
?
?
?2b

22
90.设P< br>?
x
0
,y
0
?
，则
l
1
:y?
?
b
?
x
0
?y
0
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2
?OM?
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a
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b
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2 2
2
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2:y??x?y
0
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0

aaaa
2
b??
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