新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全

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高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性
说明：(1)对于一个给定 的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者
不是这个给定的集合的元素。
(2 )任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集
合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较
它们的元 素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集 合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方
法。用确定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
（3）图示法（文氏图）：

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4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A
记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a
?
A
6、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空 集不含任
何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集
合有包含关系， 称集合A为集合B的子集，记作A
?
B
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含 于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
B或B
?
A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2
n
.
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x
2
-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论： 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,
集合B的任何一个元素都是 集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
A=B
?A?B且B?A

①任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?B,且A
?
B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
?
B(或B
?
A)

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③如果A
?
B,B
?
C,那么A
?
C
④如果A
?
B同时B
?
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的
交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫
做A,B的并集。记作：A∪B(读作 ”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A=A，A∩φ =φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪
A.
4、全集与补集 （1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以
看作一个全集。 通常用U来表示。
（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A
?
S），由S中
S
A
所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。
CsA
记作：C
S
A，即C
S
A={x|x
?
S且x?
A}
（3）性质：⑴C
U
(C
U
A)=A⑵(C< br>U
A)∩A=Φ⑶(C
U
A)∪A=U
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B)(5)(C
U
A)∪ (C
U
B)=C
U
(A∩B)
二、函数的有关概念
1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集
合A中的任意一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：

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A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，
x的取值范 围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集
合{f(x)|x∈A}叫做函 数的值域．
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是
指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的
形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等 式
组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)
对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函
数是由一些基 本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意
义的x的值组成的集合.（6）指 数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域．由于值域是由定义域和
对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致，即称这两个
函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致，而与表示自变量和
函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达 式相同(两点必须
同时具备)
值域补充

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(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先
考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是
求解复杂函数值 域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) ,(x∈A)中的x为横坐标，函数值y
为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x), (x∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y= f(x)的每
一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y =f(x),x∈
A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平 行于Y轴的
直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法：
A、 描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为
坐标在坐标系内描 出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5 1
?
（2）y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a与y? a?
?
??

?
a
?
（3）y=f(x)和y=- f(x)的图象关于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x

x?x
a
x
Ⅱ、平移变换:由f (x)得到f(x
?
a)左加右减；由f(x)得到f(x)
?
a上加下减
(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、
提高 解题的速度；发现解题中的错误。

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4．区间的概念
（1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的
数轴表示．
5．映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对
于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就
称对应f： A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A
?
B”
给定 一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们
把元素b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B 及对应法则f
是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B
到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素 ，在集合B中
都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以
是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离 散的点等等，注意判断一
个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2解析法：必须注明函数的定义域；
3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的
特征；
4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

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注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函
数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值
时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，
而应写成函 数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的
自变量的取值情况．注意：（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域 是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),( x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f是g的
复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义 域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么 就说f(x)在区间D上是增函数。区间
D称为y=f(x)的单调增区间；
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)＞f(x
2
)，那
么就说f(x)在 这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2、必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
)（或
f(x1
)＞f(x
2
)）。
（2）图象的特点

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如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数< br>y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函
数的图象从左到右是上升的 ，减函数的图象从左到右是下降
的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：
1任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；2作差f(x
1
)－f(x
2
)；3变形 （通
常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；5下结论（指出
函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调 性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)
的单调性密切相关，其规律如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能 把单调性相同的区间和在
一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)
与
y?f(x)
的单调性相反；
② 当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时，
③函数
y?f(x)
与函数
y?f(x)?C
（C为常数）的单调性相同；
④当C>0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相同；
当C<0（C为常数） 时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相反；
⑤函数f(x)
、
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)?g(x)
仍是增（减）函数；
⑥若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是增（减）函数；
若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是减（增）函数；
y?
1
f(x)
与函数
y?f(x)
的单调性相反；
u=g(y=f(
x)
增
增
减
减
u)
增
减
增
减
y=f[g
(x)]
增
减
减
增

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n
n
f( x)
f
f(x)kgf(x)(k?0)
f(x)?0
⑦设，若在定义域上是 增函数，则、、
(x)(n?1)
都是
1
增函数，而
f(x)
是减函数.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义 域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就
叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体
性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具 有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的
任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定 义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的 格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定
义域是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x) 的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)
或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数 ；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)
是奇函数．
注意：函 数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义
域是否关于原点对称，若不对称 则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判

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定;(2)有 时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或
f(x)f( -x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数，则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0，则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
F(x)
与一个偶函数
G(x)
的和（或差）”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函 数，则
F(x)?
G(x)?
f(x)?f(?x)
2
f(x)?f (?x)
，
2
.
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)?0
，定义域是关于原点对称的任意一个数集） .
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的 函数关系时，一是
要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解 析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已
知函数解析式的构造时，可用待定系数 法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，
可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达 式较简单时，也可用凑配法；C、
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2）利用图象求函数的最大（小）值；
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]
上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b)；如果

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函数y=f(x)在区间[a， b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b)；
第二章基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0
=0。
注意：(1)
(
n
a)
n
?a

?
a,a?0
(2)当n是奇数时，
a?a
，当n是偶数时，
a?|a|?< br>?

?a,a?0
?
n
n
n
n
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：
a?
n
a
m
(a?0,m,n ?N
?
,且n?1)

正数的正分数指数幂的意义：
a
_< br>m
n
m
n
?
1
a
m
n
(a ?0,m,n?N
?
,且n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R )

（2）
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)

（3）
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?R)

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如
[(1?2)]?1?2而应=2?1

（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定
义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠1
2、指数函数的图象和性质

图
像
0
a>1

1
2
2
性质 定义域R,值域（0，+∞）

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（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数
（3）当x>0时,0当x<0时,y>1
图象特征
(2)在R上是增函数
（3）当x>0时,y>1;
当x<0时,0函数性质
函数的定义域为R
函数的值域为R
+

非奇非偶函数
过定点（0，1）
减函数
共性 向x轴正负方向无限延伸
函数图象都在x轴上方
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都过定点（0，1）
01
在第一象限内的图象纵坐标都小当x>0时,0于1
在第二象限内的图象纵坐标都大当x<0时,y>1
于1
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度
较慢；
a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大当x>0时,y>1;
于1
在第二象限内的图象纵坐标都小当x<0时,0于1
图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，

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到了某一值后增长速度
极快；
注意：指数增长模型：y=N(1+p)
x
指数型函数：y=ka
x

3考点：（1）a
b
=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1 的异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单
调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a
0
)
进 行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a
1
=a，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数：y=N(1+p)
x
简写：y=ka
x

二、对数函数
（一）对数
x?log
a
N
1．对数的 概念：一般地，如果
a
x
?N
，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：（a—底数，N—真数，
log
a
N
—对数式）
说明：1.注意底数的限制，a>0且a≠1；2.真数N>03.注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10为底的对数,
log
10
N记为lgN
；
（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,
log
e
N记为lnN．
3、对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←a→幂底数
对数←x→指数
真数←N→幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）l og
a
a=1,log
a
1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne =1,ln1=0
(3)对数恒等式：
a
logN
?N

（二）对数的运算性质
如果a>0，a?1，M>0，N>0有：
?log
a
M?log
a
N
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 1、log（
a
M?N）
a
2、
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
两个正数的商的对数等于这两个正数的 对数差
N

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（n?R）
3、
log
a
M
n
?nlog
a
M
一个正数的n次方的对数等于这个 正数的对数n倍
说明:
1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2)有时可逆向运用公式
3)真数的取值必须是(0,＋∞)
4)特别注意：log
a
MN?log
a
M?log
a
N
< br>注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b
l gb
?
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?

log
c
alga
利用换底公式推导下面的结论
①
log
a
b?
1
n
②
log
a
b?log
b
c?log
c
d?log
a
d
③
log
a
m
b
n
?log
a
b

log
b
a
m
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x
(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
y? log
a
x?1
，
y?log
a
x?2
都不是对数 函数，而只能称其为对数型函数．
（2）对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1
2、对 数函数的图像与性质：对数函数
y?log
a
x
(a>0，且a≠1)

图
像
0＜a＜1
y
a＞1
y
0

(1,0)
x

0

(1,0)
x

性定义域：（0，＋∞）值域：R
质
过点(1,0),即当x＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0
当x=1时，y=0
当00
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0

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重要结论：在logb中，当a ,b同在(0,1)或(1,+
a
内时，有logb>0;
a
当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+∞)内时,有
logb<0.
a
口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于0 指logb的值）3、如图，底数
a
对函数
y?log
a
x
a
的影响。
规律:底大枝头低,头低尾巴翘。
4考点：
Ⅰ、loga
b,当a,b在1的同侧时,log
a
b>0；当a,b在1的异侧时,log
a
b<0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握 利用
单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用
（1）的知识不 能解决的插进1(=log
a
a)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图 象利用1=log
a
a，用y=1去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=a
x
(a>0且a≠1)与y=log
a
x(a>0且a≠1)互为反函数，图象关于y= x对称。
5比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判
断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和
0.
6比较大小的方法
∞)

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(1)利用函数单调性( 同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作
差比较
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
的函数称为 幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图
都过点（1，1）；
（2）α >0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+
上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下< br>当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α<0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函 数．在第一象限内，当x从右边
趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时， 图象在x轴
上方无限地逼近x轴正半轴．
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0的 实数x叫做函数的零点。（实质
上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）
2、函数零点的 意义：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数
y=f(x)有零点
3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)< 0,
那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f (x)=0
的根。
4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：
∞）
凸；
象

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（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；
（2）（几何法）对于不能用求根公式的方 程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起
来，并利用函数的性质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函
数有两个零点 ．
2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交
点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把
函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零
点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点c;
⑶计算f(c),
①若f(c)=0,则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x
0
∈(a,c)）
③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x
0
∈(c,b)）
( 4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复
⑵~⑷
三、函数的应用：

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（1）评价模型：给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)
指数函数：y=a
x
(a>1)指数型函数：y=ka
x
(k>0,a>1)
幂函数：y=x< br>n
（n?N*)对数函数：y=log
a
x(a>1)
二次函数：y=ax
2
+bx+c(a>0)
增长快慢：V(a
x
)>V(x
n
)>V(log
a
x)
解不等式(1)lo g
2
x<2
x
2
(2)log
2
x< x
2
<2
x

（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。
（4）二 次函数模型：y=ax
2
+bx+c(a≠0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的
点代进求最值。
（5）数学建模：
(6)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布
两个根都在（m,n)内 两个有且仅有一个在x
1
∈(m,n)x
2
∈(p,q)
（m,n)内
y
m
m
?
??0
n

n
x

f(m)f(n)<0
m
n p q


?
b
?
?n
?
m??
2a
?
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
f(p )?0
?
?
f(q)?0
两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大

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于K
y
k
k
?
??0

?
b
?
?k
?< br>?
2a
?
?
?
f(k)?0
x

k

?
??0

?
b
?
?k< br>?
?
2a
?
?
?
f(k)?0

f(k)<0