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【备战2020】高考数学全套知识点(共42页,Word版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 08:07
tags:高中数学大全

高中数学如何蒙-几何体高中数学

2020年10月6日发(作者:牛从龙)



高考数学全套知识点

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 :集合A?
?
x|y?lgx
?
,B?
?
y|y?lgx< br>?
,C?
?
(x,y)|y?lgx
?
,A、B、C
中元素
各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A?x|x
2
?2x?3?0,B?
?
x|ax?1
?


若B?A,则实数a的值构成的集合为
1
?

(答:
?
?
?1,0,
?


?
3
?
??

3. 注意下列性质:

(1)集合a
1
,a
2
,……,a
n
的所有子集的 个数是2
n



(3)德摩根定律:



??
C
U
?
A?B
?
??
C
U
A
?
?
?
C
U
B?

C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

的取值范围。



5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和
“非”(?).



若p?q为真,当且仅当p、q均为真


若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真,当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f: A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对
应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?


10. 如何求复合函数的定义域?


如:函数f(x)的定义域是a,b,b?? a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是
_。

(答:
?
a,?a
?


11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?





12. 反函数存在的条件是什么?





??


(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

如:求函数f(x)?
??
?
1?x
2
?
?
?x
?
x?0?
的反函数

?
x?0
?
?
x?1
?
x?1
?

(答:f
?1
(x)?
?


?
?
?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;



14. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?













∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?



在区间
?
a,b
?
内,若总 有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?



值是( )
A. 0

B. 1 C. 2 D. 3



由已知f(x)在[1,??)上为增函数,则
∴a的最大值为3)
a
?1,即a?3

3
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶 函数;一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。










17. 你熟悉周期函数的定义吗?

函数,T是一个周期。)





如:







18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称

a(a?0)个单位
y?f(x?a)

将y?f(x)图象?左移
?????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
b( b?0)个单位
y?f(x?a)?b

?
上移
????? ????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换:





y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?


(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?


(2)反比例函数:y?
k
?
k?0
?
推 广为y?b?
k
?
k?0
?
是中心O'(a,b)
的双曲线 。
xx?a
b
?
4ac?b
2

(3)二 次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
图象为抛物线

?
x?
?
?
?
2a
?
4a2
2



应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程


②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。


④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
b
2

如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
?
2a
?
?
f(k)?0







由图象记性质! (注意底数的限定!)


(6)“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?



20. 你在基本运算上常出现错误吗?




log
a


21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)



M1
?log
a
M?log
a
N,log
a
n
M?log
a
M

Nn




(2)x?R,f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。





22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?




(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调
性法,导数法等。 )
如求下列函数的最值:






23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式
吗?


24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义



?
?

又如:求函数y ?1?2cos
?
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?
?
?

(∵1?2cos
?
?
?x
?
)?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
,如图:

2


25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗?







y?sinx的增区间为
?
2k??
?
?
??
?< br>,2k??
?
?
k?Z
?

22
?

减区间为
?
2k??
?
,2k??
3?
?
?
k?Z
?

?
22
?
??

图象的对称点为
?
k?,0
?
,对称轴为x?k??

y?cosx的增区间为2k?,2k???
?
k?Z
?


减区间为2k???,2k??2?
?
k?Z
?

?
?
k?Z
?

2
??
??
?
?

图象的对称点为
?
?
k??,0
?
,对称轴为x?k?
?
k?Z
?

??
2
??
?

y?tanx的增区间为
?
?
k??,k??
?
k?Z

?
22
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?

(1)振幅|A|,周期T?
2?

|?|

若f
?
x
0
?
??A,则x?x
0
为对称 轴。


若f
?
x
0
?
?0,则< br>?
x
0
,0
?
为对称点,反之也对。


(2)五点作图:令?x??依次为0,
?
,?,
3?
,2?,求出 x与y,依点
(x,y)作
22
图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

??





解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
,T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角
的范围。


28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?


29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:



?
?
x'?x?h

a?(h,k)

(1 )点P(x,y)???????P'(x',y'),则
?
平移至
?
y'? y?k

(2)曲线f(x,y)?0沿向量a?(h,k)平移后的方程为f(x?h,y?k)?0


如:函数y?2sin
?
?
2x?
?

?
?
?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
图象?
4
?
?



30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?



“k·< br>?
2
??”化为?的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,
指k取奇、 偶数。

如:cos
9?7?
?
4
?tan
?
?
?
?
6
?
?
?sin
?
2 1?
?
?


又如:函数y?
sin??tan?< br>cos??cot?
,则y的值为

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:





、“偶”

“奇”




应用以上公 式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含
三角函数,能求值,尽可能求 值。)
具体方法:
?
??
?
?

(1)角的变换:如??
?
???
?
??,
???
??
?
??
?
?
?
??
?
……

??
22
??
2
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 < br>sin?cos?2
?1,tan
?
???
?
??,求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

(由已知得:

??1,∴tan??
2
2sin?2
2sin?

如:已知

21
?
tan????tan?
??< br>32
?
1


∴tan
?
??2?
?
?tan
?
?
???
?
??
?
??
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2·
1
8
32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

?
a?2RsinA

正弦定理:
a
?
b< br>?
c
?2R?
?
?
b?2RsinB

sinAsinBsinC
?
c?2RsinC
?








(1)求角C;




((1)由已知式 得:1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1?1







(2)由正弦定理及a
2
?b
2
?





1
2
c得:

2

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
??

反正弦 :arcsinx?
?
?,
?
,x?
?
?1,1
?

?
2
?
?
2
?

反余弦:arccosx?0,?,x??1,1

??
?

反正切:arctanx?
?
?
?,
?

?
x?R
?

?
22
?
????
34. 不等式的性质有哪些?














答案:C
35. 利用均值不等式:

a
2
?b
2
?2ab
?
a,b? R
?
?
2
;a?b?2ab;ab?
?
?
a?b< br>?
?
2
?
?
求最值时,你是否注
意到“a,b?R< br>?
”且“等号成立”时的条件,积(ab)或和(a?b)其中之一为定
值?(一正、< br>二定、三相等)
注意如下结论:


当且仅当a?b时等号成立。






如:若x?0,2?3x?
4
x
的最大值为



当且仅当3x?
4
x
,又x?0,∴x?
233
时,y
max
?2?43)


< br>(∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
,∴最小值为22)

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)


并注意简单放缩法的应用。






37.解分式不等式
f(x)
?a
?
a?0
?
的一般步骤是什么?

g(x)
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始


39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例如:解不等式|x?3|?x?1?1


1
?

(解集为
?
?
x|x?
?


2
??

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如:设f(x)?x
2
?x?13,实数a满足|x?a|?1


证明:





(按不等号方向放缩)


42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如:对于一切实数x,若x?3?x?2?a恒成立,则a的取值范围是

(设u?x?3?x?2,它表示数轴上到两定点?2和3距离之和



43. 等差数列的定义与性质

定义:a
n?1
?a
n
?d(d为常数),a
n
?a
1
?< br>?
n?1
?
d


等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y





前n项和S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1
?< br>2
d


性质:
?
a
n
?
是等差数列



(2)数列
?
a
2n?1
?

?
a
2n
?

?
ka
n
?b
?仍为等差数列;



(3)若三个数成等差数列,可设为a?d,a,a?d;



(4)若a
n
,b
n
是等差数列S
n
,T
n
为前n项和,则
a
m
S
2m?1
?;

b
m
T
2m?1

(5)
?
an
?
为等差数列?S
n
?an
2
?bn(a,b为常数 ,是关于n的常数项为
0的二
次函数)

S
n
的最 值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值;或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项,即:
?
a?0

当a
1
?0,d?0,解不等式组
?
n
可得S
n< br>达到最大值时的n值。

a?0
?
n?1
a
n
?0

当a< br>1
?0,d?0,由
?
可得S
n
达到最小值时的n值。

?
?
a
n?1
?0

如:等差数列?
a
n
?
,S
n
?18,a
n
?a< br>n?1
?a
n?2
?3,S
3
?1,则n?





44. 等比数列的定义与性质


等比中项:x、G、y成等比数列?G
2
?xy,或G??xy

?
na
1
(q?1)
n

前n项和:S?
?
(要注意!)

?
a
1
1?q
n
(q?1)
?
1?q
?
??

性质:
?
a
n
?
是等比数列



(2)S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
……仍为等比数列



45.由S
n
求a
n
时应注意什么?

< br>(n?1时,a
1
?S
1
,n?2时,a
n
?Sn
?S
n?1


46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法

如:
?
a
111
n
?
满足
2
a
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n
a< br>n
?2n?5
解:

n?2时,
1
2
a
11
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5



[练习]

数列
?
a
5
n
?
满足S
n
?S
n?1
?
3
a
n?1
,a
1
?4,求a
n


(注意到 a?S
S
?1
n?1n?1
?S
n
代入得:
nS
?4

n

又S
1
?4,∴
?
S
n
?
是等比数列,S
n
n
?4


n?2时,a
1
n
?S
n
?S
n ?1
?……?3·4
n?

(2)叠乘法

例如:数列
?
a
a
n?1
n
?
中,a
1
?3,
a
?
n
?1
,求a
n

n
n
解:

(3)等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f(n),a
1?a
0
,求a
n
,用迭加法

?1?

?2?


n?2时,a
2
?a
1
?f(2)
?
?
a
3
?a
2
?f(3)< br>?

?
两边相加,得:
…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?


[练习]



数列
?
a
n?
,a
1
?1,a
n
?3
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
,求a
n


(4)等比型递推公式

a
n
?ca
n?1
?dc 、d为常数,c?0,c?1,d?0


可转化为等比数列,设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?





??
d
?
d


?
,c为公比的等比数列

?
a
n
?< br>?
是首项为a
1
?
c?1
?
c?1
?


[练习]


数列
?
a
n
?
满足a
1
?9,3a
n?1
?a
n
?4,求a
n

4
?

(a
n< br>?8
?
?
?
?
?
3
?
(5)倒数法
n?1
?1)


例如:a
1
?1,a
n?1
?
2a
n
,求a
n

a
n
?2



由已知得:
1
?
a
n
?2
?
1
?
1

a
n?1
2a
n
2a
n

1
?
11

?
?
??
为等差数列,?1,公差为

?
a
n
?
a
1
2


47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
如:
?
a
n
?
是公差为d的等差数列,求
?
1

k?1
a
k
a
k?1

n
解:


[练习]

求和:1?

(2)错位相减法:

?
a
n
?
为等差数列,
?
b
n
?为等比数列,求数列
?
a
n
b
n
?
(差比数列 )前n项

111

??……?
1?21?2?3
1?2?3?……?n

和,可由S< br>n
?qS
n
求S
n
,其中q为
?
b
n
?
的公比。







(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

[练习]

2


1
?
x

(由f(x)?f
?
?
? ?
?
?
x
?
1?x
2
2
x
21
???1

222
1?x1?x
?
1
?1?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
1
?
??
?
1
?
?

∴原式?f(1)?
?
f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f
??????
????
?
2
?
?
?
3
?
?
?
4
?
??????

48. 你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:


△ 若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额
归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)
后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还


x元,满足



p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。


(m
i
为各类办法中的方法数)


分步计数原理:N?m
1
·m
2
……m
n


(m
i
为各步骤中的方法数)

(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A
m
n
.



(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不



规定:C
0

n
?1

(4)组合数性质:


50. 解排列与组合问题的规律是:


相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法 ;至多至少
问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。


如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析:可分成两类:

(1)中间两个分数不相等,




(2)中间两个分数相等

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10
种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理



C
r
n
为二项式系数(区别于该项的系数)

性质:
n?r

(1)对称性:C
r
r?0,1,2,……,n

n
?C
n


??
1nn

(2)系数和:C
0
n
?C
n
?…?C
n
?2< br>

(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
;n为奇数时,(n?1)为偶数,中间两项的二项式

?
?1< br>?
项,二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项,其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22
n?1n?1
n



如:在二项式< br>?
x?1
?
11
的展开式中,系数最小的项系数为

(用数字
表示)

∴共有12项,中间两项系数的绝对值最大,且为第
12
?6或第7项

2
r

由C
11
x
11?r
(?1 )
r
,∴取r?5即第6项系数为负值为最小:



又如:
?
1?2x
?
2004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x< br>2004
?
x?R
?
,则

?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a
0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
?

(用数字作答)


令x?1,得:a
0
?a
2
?……?a
2004
?1


∴原式?2003 a
0
?a
0
?a
1
?……?a
2004
? 2003?1?1?2004)

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(1)必然事件?,P??)?1,不可能事件?,P(?)?0


(2)包含关系:A?B,“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B


??


(3)事件的和(并):A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和
( 并)。


(4)事件的积(交):A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。




(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A

A?A??,A?A??


(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独
立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

(2)若A、B互斥,则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


(3)若A、 B相互独立,则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>

(4)P(A)?1?P(A)

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;

??
(2)从中任取5件恰有2件次品;



(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

23
C
2
44
3
·4·6?4

∴P
3
?

?
3
125
10
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)


分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,
它的特征是从总体中 逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡
成若干部分,每部分只取一个;分层 抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中
有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等,体现了抽样的客观性和平等
性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作 为总体的概率,用样本的期望(平均值)和
方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:

(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。

其中,频率?小长方形的面积?组距×
频率

组距



样本平均值:x?

样本方差:S
2
?
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
??
1
?
x
1
?x
?
2
?
?
x
2
?x
?
2
?……?
?
x
n
?x
?
2

n
??
如:从1 0名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组
成此参赛队的概率为___ _________。

56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。


(2)向量的模——有向线段的长度,|a|


(3)单位向量|a
0
|?1,a
0
?
a

?
??
?
?
|a|

(4)零向量0,|0|?0

长度相等

(5)相等的向量?
?
a?b

?
??
??
?
方向相同
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?,使b??a

(7)向量的加、减法如图:
??????





(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)


的一组基底。
(9)向量的坐标表示


i,j是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得

?
? ?
a?xi?yj,称(x,y)为向量a的坐标,记作:a?
?
x,y
?< br>,即为向量的坐标

????
表示。






57. 平面向量的数量积

(1)a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积(或内积)。


??????







数量积的几何意义:

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

(2)数量积的运算法则



?????
?????



?

注意:数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


(3 )重要性质:设a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?



②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|


?a??b(b?0,?惟一确定)




[练习]



???
??

??????????
?
?
?
?
?
?

(1)已知正方形ABCD,边长为1,AB?a,BC?b,AC?c,则


答案:
??

(2)若向量a?
?
x,1
?
,b?
?
4,x
?
,当x?
答案:2
时a与b共线且方向相同

??



(3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|?
答案:
??
o
??

58. 线段的定比分点
设P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
,分点P
?
x ,y
?
,设P
1
、P
2
是直线l上两点,P点在

??
l上且不同于P
1
、P
2
,若存在一实数?,使P1
P??PP
2
,则?叫做P分有向线段

?
P
1
P
2
所成的比(??0,P在线段P
1
P
2
内 ,??0,P在P
1
P
2
外),且



如:?ABC,A
?
x
1
,y
1
?
,B< br>?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?

x
1
?x
2
?x< br>3
y?y
2
?y
3
?

则?ABC重心G的坐标是
?

1
??

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线???线∥面???面∥面
性质

?
判定
???线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定:

a∥b,b?面?,a???a∥面?

a

b
??

线面平行的性质:

三垂线定理(及逆定理):

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a?面?,则





线面垂直:


面面垂直:

a⊥面?,a?面???⊥?


面?⊥面?,????l,a??,a⊥l?a⊥?



a⊥面?,b⊥面??a∥b


面?⊥a,面?⊥a??∥?


60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°



(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°



(3)二面角:二面角??l??的平面角?,0
o
???180
o



(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO ,则AO⊥棱
l

∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。




(?为线面成角,∠AOC=?,∠BOC=?)

(2)如图,正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
=8,BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成
的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD
1
和AD所成的角;
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。


(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且P D=AD,求面PAB
与面PCD所成的锐二面角的大小。

(∵AB∥D C,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB


的 交线……)
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理
法,或者用等积转化法)。
如:正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB
1
C
1
的距离为___________;
(2)点B到面ACB
1
的距离为____________;
(3)直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________;
(4)面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________;
(5)点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素?



S
正棱锥侧
?
1
C·h'(C——底面周长,h'为斜高)

2

V

?
1
底面积×高

3
63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。


(4)S

?4?R,V

?
2
4
?R
3

3
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内 切球半径r
之比为R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为
( )

A.3?
答案:A
64. 熟记下列公式了吗?

(1)l直线的倾斜角??
?
0,?
?
,k?ta n??
B.4?C.33?D.6?

y
2
?y
1
?
?
?
?
??,x
1
?x
2
?

?
x
2
?x
1
?
2
?
< br>P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
是l上两点,直线l的方向向量 a?
?
1,k
?

(2)直线方程:
< br>点斜式:y?y
0
?k
?
x?x
0
?
(k存 在)


斜截式:y?kx?b


截距式:
x
?
y
?1

ab

一般式:Ax?By?C?0(A、B不同时为零)



(3)点P
?
x
0
,y
0
?
到直线l:Ax?B y?C?0的距离d?

(4)l
1
到l
2
的到角公式:tan??

l
1
与l
2
的夹角公式:tan??
Ax
0
?B y
0
?C
A?B
22

k
2
?k
1

1?k
1
k
2
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直?

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
(反之 不一定成立)


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组?关于x(或y )的一元二次方程?“?”
??0?相交;??0?相切;??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a,2 a?2c?F
1
F
2
?

第一定义
?

?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a,2a?2c?F
1
F
2
?
?
?
抛 物线?PF?PK

第二定义:e?
PF
?
c

PKa

0?e?1?椭圆;e?1?双曲线;e?1?抛物线










70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程, 要注意其二次项系数是否为零?
△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥ 0下进行。)

弦长公式P
1
P
2
?
?< br>1?k
?
?
?
x
2
1
2
?x
2
?
?4x
1
x
2

?
1
?
2

??
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
??








通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点,原点与MN中点连

线的斜率为
2m
,则的值为
2n

答案:
73. 如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点 M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲
线C上任意一点,设A'(x',y')为A关于点M的 对称点。

(由a?
x?x'
,b?
y?y'
?x '?2a?x,y'?2b?y)

22



只要证明A '
?
2a?x,2b?y
?
也在曲线C上,即f(x')?y'

?
AA'⊥l

(2)点A、A'关于直线l对称?
?

?
AA'中点在l上
?
k·k
l
??1

?
?
AA'

?
AA'中点坐标满足l方程
?x?rcos?
74.圆x
2
?y
2
?r
2
的 参数方程为
?
(?为参数)

y?rsin?
?
22
?
x?acos?
xy

椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
(?为参数)
ab
?
y?bsin?
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直
线,求出目标函数的最值。

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