数学套路大全

(一）高中数学思想
1、方程、函数思想 (求定值方程思想，求范围或最值函数思想 ）
2、数形结合（涉及函数，解析几何，线性规划）
3、分类讨论
4、转化与化归（复杂问题转化为简单、熟悉问题）
5、特殊与一般（特殊值法原理）
6、有限与无限

（二）高中数学解题技巧
板块一：集合、函数、导数
1、函数的值域（最值问题）
1、图像法
2、配方法
3、分离常量法
4、反解变量法（反函数法）
5、换元法
6、判别式法
7、分类讨论
8、利用单调性
9、数形结合（利用几何意义）
10、函数有界性法（通常为三角函数）
11、基本不等式
12、求导画图


2、求函数的解析式
1、直接代入法
2、换元法
3、待定系数法
4、配凑法
5、构造方程组（二元一次方程组）
6、利用奇偶性（包括对称性）


3、函数的定义域
1、分母不为0
1

2、偶次方根大于等于0
3、对数底和真数
4、X的0次方（x不等于0）
4、求函数的单调性
1、图像法
2、定义法（设x1,x2)
3、求导
4、定性分析法（x增大，??）
5、代几组数检验（选择题 ）

5、指数式、对数式比较大小
1、作差、作商法
2、单调函数法（指数式：底不同幂函数，底同指数函数；对数式：底不同换底公式）
3、中间桥梁法（通常是1或0）
4、特值代入法
5、估值计算法
6、数形结合法
7、构造函数法

6、已知函数表达式求图像的分析方法
1、定义域
2、奇偶性
3、值域
4、单调性（求导数）
5、代入特殊值
6、周期性
7、取极限（正无穷，负无穷）


7、函数奇偶性判断
1、画图
2、f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断
3、特殊值法（代入几组值，实用于选择题）


8、复合函数值域
引入中间变量分解成2个简单函数，求2次值域


2

9、复合函数单调性
引入中间变量分解成2个简单函数，“同增异减”

10、零点问题
1、解方程
2、画函数图像
3、函数与方程（将方程拆分成2个函数，画这2个函数图像求交点）
4、求导（求单调区间，本质上还是画图像）
5、零点存在定理（如果
f(a)?f(b)?0
，那么在区间(a, b)至少存在一个零点）

11、函数图像变换
1、左右平移------ 对x左加右减
2、上下平移-----对y下加上减
3、左右拉抻------ 把x改为几分之几
4、左右压缩-------把x改为几倍
5、Y轴对称------- 把x换成-x
6、X轴对称-------把y换成-y
7、X=a对称------- 把x改为2a-x
8、Y=b对称-------把y改为2b-y
9、Y=x对称 -------把x,y交换
10、原点对称-------把（x,y）换成（-x,-y)
11、（a,0)对称------（x,y）换成（2a-x,-y)
12、（0,b)对称-------（x,y）换成（-x,2b-y)
13、（a,b)对称-------（x,y）换成（2a-x,2b-y)

12、切线问题
1、曲线内一点切线（直接求导）
2、曲线外一点切线（设切点）


13、三次函数图像四种情况（令导数=0）
1、增减增（得尔塔>0,三次项系数大于0)
2、减增减（得尔塔>0，三次项系数小于0)
3、单调递增（得尔塔<=0，三次项系数大于0)
4、单调递减（得尔塔<=0，三次项系数小于0)



3

14、含参二次函数讨论问题（画数轴对参数分区间）
1、开口
2、对称轴
3、得尔塔
4、与y轴交点

15、极值点的两个条件
1、该点的导数为0
2、该点的导数两侧异号（两侧单调性相反）


16、极大、小值点的判断方法（导数为0为前提）
1、解不等式
2、特殊值法（微小偏移法）


板块二：解析几何
1、轨迹方程的求法
1、直译解析法 （依题意直接列式）
2、定义法 （动点符合椭圆，双曲线 ，抛物线的定义）
3、相关点法 （也叫代入法）
4、参数法
5、交轨法（两曲线的交点轨迹方程）
6、点差法 （弦中点与斜率的关系）

2、曲线过定点
1、代入几组数解方程组
2、提出参数让括号内为0

板块三：立体几何
1、立体几何证明
1、线线垂直（1、线面垂直 2、平移直线利用勾股定理或相似）
2、线面垂直（线垂直2条相交直线）
3、面面垂直（线面垂直，其中一个面找线垂直另一个面）
4

4、线面平行（1、面面平行 2、线线平行：中位线或平行四边形）
5、面面平行（面2条交线平行另一个面）


2、立体几何角计算（空间向量）
1、线线角（线向量*线向量，得cos，取锐角）
2、线面角（线向量*法向量，得cos，取余角）
3、面面角（法向量*法向量，得cos ）

3、立体几何体积计算
1、公式法
2、等体积法（三棱锥）
3、割补法


4、三视图求体积
1、在长方体内描点复原原图形(抠图法）


5、三视图的性质
1、正视图和侧视图等高，且高为立体图形的高
2、正视图和俯视图水平宽相等
3、侧视图水平宽和俯视图高相等


板块四：数列与不等式
1、数列通项的求法
1、归纳法 （观察前面几项归纳，选择题）
2、公式法 （等差等比）

3、
利用
a
n
?
?
S< br>1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)

4、累加、累乘法
5、构造1
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n?N
*
).

5

6、构造2 （后面跟指数，同系数底）
7、构造3 （后面跟指数，不同系数底）
8、构造4 （后面跟n的一次函数）
9、取倒数 （递推关系式是分式）
10、到对数 （递推关系式出现高次）
11、两式相减法 （出现n项和式时）
12、数学归纳法 （归纳--猜想--证明）

2、数列求和
1、公式法
2、分组求和（差+比）
3、倒序相加法
4、错位相减法（差*比）
5、裂项相消法（通常通项公式为分式）


3、证明不等式（代数式型）
1、利用基本不等式
2、作差、作商法
3、综合、分析法
4、放缩法
5、利用单调性
6、判别式法
7、数形结合法
8、反证法
9、换元法
10、数学归纳法


4、证明不等式（函数型）
1、转化为函数最值问题
2、构造辅助函数
3、f(x)最小值》g(a)最大值


5、线性规划
1、直线型（目标函数为直线）
2、斜率型（目标函数为分式）
3、距离型（目标函数有平方）

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6、基本不等式的使用
“一正二定三相等”


板块五：三解函数、解三角形与平面向量
1、诱导公式（90度相关）
“奇变偶不变，符号看象限”

2、使用正弦定理（角多优先考虑）
1、两角一边
2、两边一角（边对角）

3、使用余弦定理（边多优先考虑）
1、两边一角
2、三边

4、三角形面积计算
1、S=12底*高
2、S=12absinC
3、S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)，p=12(a+b+c) (海伦公式）（推导方法：2面积公式+余弦定理）

板块六：统计、概率、排列组合
1、等可能型事件概率
1、古典概型（M分之N型）
2、几何概型（M分之N型）

2、排列组合（理科）
1、直接法
2、间接法（正难则反）
3、插空法（不相邻）
4、捆绑法（相邻）
5、隔板法（分配问题）
6、平均分堆问题
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7、单元格问题（分类讨论）
8、几何问题（分类讨论）

板块七：其它专题
1、恒成立问题求参数取值范围
1、分离变量法
2、分类讨论（画图像）
3、变更主元法
4、数形结合（分成2个函数画图像）
5、求导研究原函数图像


2、算法
列变量竖式


3、求范围问题
1、转化为函数问题
2、转化为不等式问题
3、转化为线性规划问题

4、含参分类讨论原则
对参数画数轴分区间，然后才讨论


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