高中数学5-2

第五章 第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题
1
1．等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝，a
2
＋a
5
＝4，a
n
＝33，则n为( )
3
A．48
C．50
B．49
D．51
12
解析： ∵a
2
＋a
5
＝2a1
＋5d＝4，则由a
1
＝
得d＝，
33
12
令a
n
＝33＝
＋(n－1)×，
33
可解得n＝50，故选C.
答案： C
2．若{a
n
}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( )
2
}；③{a①{a
n
＋3}；②{a
nn
＋
1
－ a
n
}；④{2a
n
}；⑤{2a
n
＋n}
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
解析： {a
n
}为等差数列，则由其定义可知①，③，④，⑤仍然是等差数列，故选D.
答案： D
3．在等差数列{a
n
}中，若a
1
，a
2 011
为方程x
2
－10x＋16＝0的两根，则a
2
＋a
1 006
＋a
2 010
＝( )
A．10
C．20
B．15
D．40
解析： 由题意，知a
1
＋a
2 011
＝a
2
＋a
2 010
＝2a
1 006
＝10，所以a
2
＋a
1 006
＋a
2 010
＝15，故
选B.
答案： B
4．(2011·大纲全国卷)设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，公差d＝ 2，S
k
＋
2
－S
k
＝24，则k＝( )
A．8
C．6
B．7
D．5
解析： ∵S
k ＋2
－S
k
＝a
k＋1
＋a
k＋2
＝a
1
＋kd＋a
1
＋(k＋1)d＝2a
1
＋(2k＋1)d＝2×1＋ (2k＋

1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.
答案： D
5． (2011·山东济宁一模)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a2
＋a
7
＋a
12
＝30，则S
13
的值是( )
A．130
C．70
B．65
D．75
解析： 由a
2
＋a
7
＋a
12
＝30得3a7
＝30，即a
7
＝10.
13?a
1
＋a
13
?
则S
13
＝
＝13a
7
＝130.
2
答案： A
6．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>，已知a
5
＋a
7
＝4，a
6
＋a
8
＝－2，则当S
n
取最大值时，
n的值是( )
A．5
C．7
B．6
D．8
解析： 依题意得2a
6
＝4 ,2a
7
＝－2，a
6
＝2＞0，a
7
＝－1＜0；又数列 {a
n
}是等差数列，
因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负 数，于是当S
n
取最大值时，
n＝6，选B.
答案： B
二、填空题
7．(2011·辽宁卷)S
n
为等差数列{a
n}的前n项和，S
2
＝S
6
，a
4
＝1，则a
5
＝________.
6×5
?
?
a
1
＋a< br>1
＋d＝6a
1
＋
2
d，
解析： 由题意知
?
?
?
a
1
＋3d＝1，

< br>?
?
a
1
＝7，
解得
?
∴a
5＝1＋(－2)＝－1.
?
?
d＝－2.
答案： －1
8． (2011·天津卷)已知{a
n
}是等差数列，S
n
为其前n项和，n∈N
*
.若a
3
＝16，S
20
＝20，
则S
10
的值为________．
解析： 设首项为a
1
，公差为d，

?
?
a
1
＋2d＝16， ①
∴
?

1
?
?
20a
1
＋2
×20×19d＝20. ②

由②得2a
1
＋19d＝2.③
③－①×2得15d＝－30，
∴d＝－2，∴a
1
＝16－2d＝20.
1
∴S
10
＝10a
1
＋×10×9d＝200－90＝1 10.
2
答案： 110
9．(2012·安庆模拟)在等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
50< br>＝200，a
51
＋a
52
＋…＋a
100
＝2 700，则a
1
＝________.
解析： 根据题意可知a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
50
＝200①
a
51
＋a
52
＋a
53
＋…＋a
100
＝2 700②
②－①可得50×50d＝2 500，可得d＝1.
由a
1
＋ a
2
＋a
3
＋…＋a
50
＝25×(a
1
＋a
50
)＝25(2a
1
＋49d)＝200.
解得a
1
＝－20.5.
答案： －20.5
三、解答题 10．等比数列{a
n
}中，已知a
3
＝8，a
6
＝6 4.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若a
3
，a
5
分别为等差数列{b
n
}的第3项和第5项，试求数列{b
n
}的通项公式及前n项
和S
n
.
解析： (1)设{a
n
}的首项为a
1
，公比为q.
由已知得8＝a1
q
2,
64＝a
1
q
5
，解得q＝2，a< br>1
＝2.
所以a
n
＝2
n
.
(2)由( 1)得a
3
＝8，a
5
＝32，则b
3
＝8，b
5
＝32.
??
?
b
1
＋2d＝8，
?
b
1
＝－16.
设{b
n
}的公差为d，则有
?
解得
?

?
b
1
＋4d＝32.
?
??
d＝12.
从而b
n
＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
n?－ 16＋12n－28?
所以数列{b
n
}的前n项和S
n
＝
＝6n
2
－22n.
2
11．设数列{a
n
}(n＝1, 2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{a
n
}中任意(不同)两项之
和仍是该数 列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
(1)若a
1
＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；